导与练普通班2017届高三数学一轮复习第九篇平面解析几何第1节直线与方程课件理


第九篇 平面解析几何(必修2、选修2—1)

六年新课标全国卷试题分析
高考考点、示例分布图 命题特点 1.高考在本篇一般命制 1~2 道小题,1 道解答题,分值占 20~24 分. 2.对直线方程、 圆及圆锥曲线的概念和 性质的考查一般以选择题或填空题为 主,重在考查学生的双基掌握情况. 3.对直线与圆锥曲线的位置关系的考 查,常以压轴题的形式出现,其命题形 式常与向量结合,重在考查圆锥曲线的 几何性质,另外定值问题、最值问题及 探索性问题依然是考查的热点问题. 4.本章内容集中体现了两大数学思想: 函数与方程及数形结合的思想,且常与 向量、三角函数、不等式、导数等知识 交汇命题,体现了综合与创新.

第1节 直线与方程

最新考纲 1.理解直线的倾斜角和斜率的概 念,掌握过两点的直线的斜率的计 算公式. 2.能根据两条直线的斜率判断这两 条直线平行或垂直. 3.掌握确定直线位置的几何要素.

4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点 式及一般式等),了解斜截式与一次函数的 关系. 5.能用解方程组的方法求两条相交直线的 交点坐标. 6.掌握两点间的距离公式、 点到直线的距离 公式,会求两平行直线间的距离.

知识链条完善
考点专项突破 易混易错辨析

知识链条完善

把散落的知识连起来

【教材导读】 1.任意一条直线都有倾斜角和斜率吗? 提示:每一条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每一条直线都存在斜率. 倾斜角为90°的直线斜率不存在.

2.直线的倾斜角θ 越大,斜率k就越大,这种说法正确吗?
提示:这种说法不正确.由 k=tan θ(θ≠ (1)当θ∈[0,
π )知 2

π )时,k>0,θ越大,斜率就越大; 2 π (2)当θ∈( ,π)时,k<0,θ越大,斜率也越大. 2

但当θ∈[0,π)时,这种说法不正确.

3.截距是距离吗?

提示:直线在x(y)轴上的截距是直线与x(y)轴交点的横(纵)坐标,所以
截距是一个实数,可正、可负,也可为0,而不是距离. 4.应用点到直线的距离和两平行线间的距离时应注意什么?

提示:(1)将方程化为最简的一般形式;(2)利用两平行线之间的距离公
式时,应使两平行线方程中x,y的系数分别对应相等.

知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义.当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴 正向 与直线l 向上 方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重 合时,规定它的倾斜角为0°. ②范围:倾斜角α 的范围为 [0°,180°) . (2)直线的斜率 ①定义.一条直线的倾斜角α 的 正切值 叫做这条直线的斜率,斜率常用 小写字母k表示,即k= tan α
y2 ? y1 . x2 ? x1

,倾斜角是90°的直线没有斜率.

②过两点的直线的斜率公式.经过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜 率公式为 k=

2.直线方程的五种形式
名称 点斜 式 斜截 式 两点 式 截距 式 一般 式 已知条件 斜率 k 与点 (x0,y0) 斜率 k 与截距 b 两点(x1,y1)、 (x2,y2) (其中 x1≠x2、y1 ≠y2) 截距 a 与 b 方程
y-y0=k(x-x0) y=kx+b

适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1(x1=x2)和直线 y=y1(y1=y2) 不含垂直于坐标轴和过原点 的直线 平面直角坐标系内的直线都 适用

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b
Ax+By+C=0 (A,B不同时为0)

3.两条直线位置关系的判定
直线 方程 相交 垂直 斜截式 y=k1x+b1 y=k2x+b2 k1≠k2
k1k2=-1

一般式 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 A1B2-A2B1≠0 A1A2+B1B2=0

平行

k1=k2 且 b1≠b2

? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ? ?B2C1 ? B1C2 ? 0 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 或? 1 2 ?A 2C1 ? 0 ? AC ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 ? ?B2C1 ? B1C2 ? 0 ? A1B2 ? A2 B1 ? 0 或? 1 2 ?A 2C1 ? 0 ? AC

重合

k1=k2 且 b1=b2

4.两条直线的交点 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的方程联立,得方程

? A1x ? B1 y ? C1 ? 0, 组? ? A2 x ? B2 y ? C2 ? 0.
(1)若方程组有唯一解,则 l1 与 l2 相交 ,此解就是 l1、l2 交点的坐标;

(2)若方程组无解,则l1与l2 无公共点 ,此时l1∥l2; (3)若方程组有无数组解,则l1与l2重合.
5.几种距离 (1)两点距离 两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=
( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 .

(2)点线距离 点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0)的距离 d=
Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

.

(3)线线距离 两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离 d=

C1 ? C2 A ?B
2 2

.

【重要结论】

1.常见的直线系方程
(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以 表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可设为x=x0).

(2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ =0(λ ≠C).
(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ =0. (4)过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程: A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).

2.对称问题 (1)中心对称 点P(x0,y0)关于A(a,b)的对称点为P′(2a-x0,2b-y0),直线关于点的对称 问题可转化为点关于点的对称问题.
(2)轴对称 点 P(a,b)关于直线 Ax+By+C=0(B≠0)的对称点为 P′(m,n),则有
A ? n?b ? ( ? ) ? ?1, ? ?m ? a B 直线与直线的对称问题可转化为点与直线的对称问题. ? ? A ? a ? m ? B ? b ? n ? C ? 0. ? 2 2 ?

夯基自测
1.已知两点 A(-3, 3 ),B( 3 ,-1),则直线 AB 的倾斜角等于( (A)
π 3

D )

(B)

2π 3

(C)

π 6

(D)

5 π 6

解析:斜率 k=

3 ?1 ? 3 =, 3 3 ? (?3)
5 π. 6

又因为θ∈[0,π),所以θ=

2.(2014高考福建卷)已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线 x+y+1=0垂直,则l的方程是( D ) (A)x+y-2=0 (B)x-y+2=0 (C)x+y-3=0 (D)x-y+3=0 解析:依题意,得直线l过点(0,3),斜率为1,所以直线l的方程为y-3=x-0,

即x-y+3=0.故选D.

3.(2016济南模拟)已知两条直线y=ax-2和3x-(a+2)y+1=0互相平行,则a 等于( A )

(A)1或-3
(C)1或3

(B)-1或3
(D)-1或-3
1 和 y=-2x-2 不平行, 3

解析:当 a=-2 时,3x-(a+2)y+1=0 为 x=3 ? a ? , ? ? a?2 若两条直线平行,则 ? ??2 ? 1 , ? a?2 ?

解得 a=1 或 a=-3.

4.(2016北京模拟)经过两条直线3x+4y-5=0和3x-4y-13=0的交点,且斜率 为2的直线方程是( B )

(A)2x+y-7=0

(B)2x-y-7=0

(C)2x+y+7=0 (D)2x-y+7=0 ?3x ? 4 y ? 5 ? 0, 解析:由 ? ?3x ? 4 y ? 13 ? 0
? x ? 3, 得? ? y ? ?1,
则两直线的交点为(3,-1), 故所求直线方程为 y+1=2(x-3), 即 2x-y-7=0.

5.已知点A(3,2)和B(-1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等,则a的值为 .
解析:由已知得
| 3a ? 2 ? 1| | ?a ? 4 ? 1| = , 2 2 a ?1 a ?1

化简得 3a+3=-a+5 或 3a+3=a-5, 解得 a=
1 或 a=-4. 2

答案:

1 或-4 2

考点专项突破

在讲练中理解知识
)

考点一 直线的倾斜角与斜率
【例 1】 (1)(2016 绥化一模)直线 xsin α +y+2=0 的倾斜角的取值范围是( (A)[0,π ) (C)[0,
π ] 4

(B)[0, (D)[0,

π 3π ]∪[ ,π ) 4 4 π π ]∪( ,π ) 4 2

解析:(1)因为直线 xsin α+y+2=0 的斜率 k=-sin α,又-1≤sin α≤1, 所以-1≤k≤1.设直线 xsin α+y+2=0 的倾斜角为θ, π 3π 所以-1≤tan θ≤1,而θ∈[0,π),故θ∈[0, ]∪[ ,π).故选 B. 4 4

答案: (1)B

(2)已知点 A(2,1),B(-2,2),若直线 l 过点 P(l 的斜率 k 的取值范围是 .

4 1 ,- ),且总与线段 AB 有交点,则直线 5 5

解析:(2)当直线 l 由位臵 PA 绕点 P 转动到位臵 PB 时,直线 l 的斜率逐渐变大直至 l 垂直于 x 轴,当直线 l 垂直于 x 轴时,l 无斜率,再转时斜率为负值,逐渐变大直至 PB 的位臵,所以直线 l 的斜率 k≥kPA 或 k≤kPB,根据题意可得 kPA=
3 11 或 k≤- . 7 6 3 11 ,kPB=- ,所以 k≥ 7 6

答案:(2)(-∞,-

11 3 ]∪[ ,+∞) 6 7

反思归纳

(1)已知直线方程求直线倾斜角范围的一般步骤

①求出斜率k的取值范围(若斜率不存在,倾斜角为90°).

②利用正切函数的单调性,借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围.
(2)直线的斜率与倾斜角的关系 ①当α∈[0,
②当α∈( (α≠
π π π )且由 0 增大到 (α≠ )时,k 由 0 增大到+≦. 2 2 2

π π ,π)时,k 也是关于α的单调函数,当α在此区间内由 2 2

π )增大到π(α≠π)时,k 由-≦趋近于 0(k≠0). 2

【即时训练】 (1)(2015 陕西大联考)直线 xcos θ -y-1=0(θ ∈R)的倾斜角α 的取值范围为 . (2)(2015 沈阳联考)已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1,1)和 Q(2,2),若 直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,则实数 m 的取值范围是 .
解析:(1)由 xcos θ-y-1=0 得直线斜率 k=cos θ∈[-1,1],
π 3π ]∪[ ,π). 4 4 (2)如图所示,直线 l:x+my+m=0 过定点 A(0,-1),

故直线的倾斜角的取值范围为[0,
3 1 ,kPA=-2,kl=- . m 2

当 m≠0 时,kQA= 所以-

1 1 3 1 2 ≤-2 或- ≥ .解得 0<m≤ 或- ≤m<0; m m 2 2 3

当 m=0 时,直线 l 的方程为 x=0,与线段 PQ 有交点.所以实数 m 的取值范围为-

2 1 ≤m≤ . 3 2

答案:(1)[0,

π 3π ]∪[ ,π ) 4 4

(2)[-

2 1 , ] 3 2

考点二 求直线方程 【例2】 △ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求: (1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上中线AD所在直线的方程; (3)BC边的垂直平分线DE的方程.
解:(1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点, 由两点式得 BC 的方程为
y ?1 x ? 2 = ,即 x+2y-4=0. 3 ? 1 ?2 ? 2
2?2 1? 3 =0,y= =2. 2 2

(2)设 BC 边的中点 D 的坐标为(x,y),则 x=

BC 边的中线 AD 过点 A(-3,0),D(0,2)两点,由截距式得 AD 所在直线的方程为 即 2x-3y+6=0.

x y + =1, ?3 2

(3)由(1)知,直线 BC 的斜率 k1=-

1 ,则 BC 的垂直平分线 DE 的斜率 k2=2. 2

由(2)知,点 D 的坐标为(0,2).由点斜式得直线 DE 的方程为 y-2=2(x-0),即 2x-y+2=0.

反思归纳

(1)求直线方程的常用方法有:

①直接法:直接求出直线方程中的系数,写出直线方程;
②待定系数法:先根据已知条件设出直线方程,再构造关于系数的方 程(组)求系数,最后代入求出直线方程.

(2)求直线方程时,应注意分类讨论思想的应用:如直线的斜率是否存
在,直线在两坐标轴的截距是否为0等. (3)如果没有特别要求,则求出的直线方程应化为一般式Ax+By+C=0, 且A≥0.

【即时训练】 (1)(2015 太原模拟)已知直线 l 的斜率为 1,在 y 轴上截距 为直线 x-2y-4=0 的斜率的倒数,则直线 l 的方程为( (A)y=x+2 (B)y=x-2 (C)y=x+
1 (D)y=-x+2 2
1 ,则所求直线在 y 轴上的截距为 2, 2

)

解析:(1)直线 x-2y-4=0 的斜率为 故所求的直线为 y=x+2.故选 A.

(2)(2015长沙模拟)已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,把直线l绕 点M逆时针方向旋转45°,得到的直线方程是( (A)3x+y-6=0 (B)3x-y+6=0 )

(C)x+y-3=0

(D)x-3y-2=0

解析:(2)直线 2x-y-4=0 与 x 轴的交点为(2,0),设直线 2x-y-4=0 的倾斜 角为β,则 tan β=2,设所求直线的倾斜角α, 因为 0°<β<90°,所以α=45°+β, tan α=tan(45°+β)=
tan 45? ? tan ? 1 ? 2 = =-3. 1 ? tan 45? tan ? 1 ? 2

故直线方程为 y-0=-3(x-2). 即 3x+y-6=0.故选 A.

考点三 两直线的位置关系

【例 3】 (1)(2015 北京海淀区期末)已知直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:mx-y=0 平行,则实数 m 的取值为( (A)1 2

)

(B)

1 2

(C)2

(D)-2

解析:(1)因为直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:mx-y=0 平行, 所以
m ?1 = ≠0, 1 2

解得 m=-

1 .故选 A. 2

(2)(2016浙江名校联考)已知直线l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x+ay-1=0,则
“a=-1”是“l1⊥l2”的( (A)充分不必要条件 )

(B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析: (2)若a=-1,则l1:x-3y-2=0, l2:-3x-y-1=0, 显然两条直线垂直; 若l1⊥l2,则(a-2)+a(a-2)=0, 所以a=-1或a=2, 因此“a=-1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A.

反思归纳

充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关

键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和 l2,l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2

?k1· k2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多
少一定要特别注意.

【即时训练】 (1)若直线 ax+2y-6=0 与 x+(a-1)y+a2-1=0 平行,则 a=

.

(2)已知经过点 A(-2,0)和点 B(1,3a)的直线 l1 与经过点 P(0,-1)和点 Q(a,-2a) 的直线 l2 互相垂直,则实数 a 的值为 .

解析:(1)因为两直线平行,所以有a(a-1)=2, 即a2-a-2=0,解得a=2或a=-1.
(2)l1 的斜率 k1=
3a ? 0 ?2a ? (?1) 1 ? 2a =a.当 a≠0 时,l2 的斜率 k2= = . a?0 a 1 ? (?2)
1 ? 2a =-1,解得 a=1. a

因为 l1⊥l2,所以 k1k2=-1,即 a·

当 a=0 时,P(0,-1),Q(0,0),这时直线 l2 为 y 轴, A(-2,0),B(1,0),直线 l1 为 x 轴,显然 l1⊥l2, 综上可知,实数 a 的值为 1 或 0.

答案: (1)2或-1 (2)1或0

考点四 距离问题
考查角度 1:两点间距离公式及应用. 高考扫描:2015 高考新课标全国卷Ⅱ,2013 高考新课标全国卷Ⅱ,2014 高考 新课标全国卷Ⅱ 【例 4】 已知 A,B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y=0 和 x+ay=0 上,且 线段 AB 的中点为 P(0, (A)8 (B)9 (C)10
10 ),则线段 AB 的长为( a

)

(D)11

解析:由直线 2x-y=0 和 x+ay=0 垂直,得 a=2,所以 P(0,5), 设 A(x1,2x1),B(x2,? x1 ? x2 ? 2 ? 0, ? 则? 1 2 x ? ? 1 2 x2 ? 5, ? 2 ?
1 x2), 2

解得 x1=4,x2=-4.

1 所以|AB|= ( x1 ? x2 )2 ? (2 x1 ? x2 )2 2
= 64 ? 36 =10. 故选 C.

反思归纳

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式为 |P1P2|= ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 .

(2)求两点间的距离,关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一 般用来判断三角形的形状等.

考查角度2:点到直线的距离公式及其应用. 高考扫描:2010高考新课标全国卷,2013高考新课标全国卷Ⅰ,Ⅱ,2014 高考新课标全国卷Ⅰ,Ⅱ 【例5】 (2015武汉调研)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. (1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
解:(1)可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0, 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0. 由题意得

|10 ? 5? ? 5 | (2 ? ? ) ? (1 ? 2?)
2 2

=3,
1 . 2

即 2λ -5λ+2=0,所以λ=2 或

2

所以 l 的方程为 4x-3y-5=0 或 x=2.

(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
?2 x ? y ? 5 ? 0, 解:(2)由 ? ? x ? 2 y ? 0,

解得交点为 P(2,1), 如图,过 P 作任一直线 l, 设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立). 所以 dmax=|PA|= 10 .

反思归纳

(1)点到直线的距离公式

点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 d=

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

.

(2)解决与点到直线的距离有关的问题,应熟记点到直线的距离公式,

若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须
讨论斜率是否存在.

考查角度 3:两平行线间的距离公式及其应用 【例 6】 (2016 安庆模拟)若直线 l1:x+3y+m=0(m>0)与直线 l2:2x+6y-3=0 的距 离为 10 ,则 m 等于( (A)7 (B)
17 2

) (C)14 (D)17

解析:直线 x+3y+m=0(m>0), 即为 2x+6y+2m=0, 因为它与直线 l2:2x+6y-3=0 的距离为 10 , 所以
| 2m ? 3 | = 10 , 4 ? 36
17 23 或 m=(舍).故选 B. 2 2

求得 m=

反思归纳

两平行直线间的距离求法

(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一 点到另一条直线的距离;

(2)利用两平行线间的距离公式.
提醒:在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形 式,且使x,y的系数分别相等.

备选例题
【例1】 (2015金华模拟)经过两条直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点 且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程为
? x ? 2 y ? 4 ? 0, ? x ? 0, 解析:法一 由方程组 ? 得? ? y ? 2. ? x ? y ? 2 ? 0,
即 P(0,2). 因 l3 的斜率为
3 ,且 l⊥l3, 4 4 . 3 4 x+2,即 4x+3y-6=0. 3

.

故 l 的斜率为-

故直线 l 的方程为 y=-

法二 l 与 l3 垂直, 故可设 l 的方程为 4x+3y+m=0,

? x ? 2 y ? 4 ? 0, 又由 ? 得 P(0,2), ?x ? y ? 2 ? 0
代入直线 l 的方程得 m=-6. 故直线 l 的方程为 4x+3y-6=0. 法三 设经过 l1 与 l2 交点的直线系方程为(x-2y+4)+λ(x+y-2)=0(λ∈R), 即(1+λ)x+(λ-2)y+(4-2λ)=0. 因 l 与 l3:3x-4y+5=0 垂直, 故(1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0, 解得λ=11, 故直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.

答案:4x+3y-6=0

【例 2】 已知直线 l 的方程为(m+2n)x+(m-3n)y+4n=0.求证:对任意的实数 m,n, 直线 l 恒过定点,并求出定点坐标.
证明:将方程变形为 m(x+y)+n(2x-3y+4)=0.

? x ? y ? 0, 由该方程恒成立可得 ? ?2x ? 3 y ? 4 ? 0,
4 ? x ? ? , ? ? 5 解得 ? ?y ? 4, ? 5 ?

所以无论 m,n 取任何实数,直线 l 恒过定点,该定点的坐标为(-

4 4 , ). 5 5

【例3】 光线沿直线l1:x-2y+5=0射入,遇直线l:3x-2y+7=0后反射,求
反射光线所在的直线方程.
? x ? 2 y ? 5 ? 0, ? x ? ?1, 解:法一 由 ? 得? 所以反射点 M 的坐标为(-1,2). 3 x ? 2 y ? 7 ? 0 y ? 2. ? ?
又取直线 x-2y+5=0 上一点 P(-5,0), 设 P 关于直线 l 的对称点 P′(x0,y0), 由 PP′⊥l 可知,kPP′=y 2 = 0 . 3 x0 ? 5

? x ? 5 y0 ? 而 PP′的中点 Q 的坐标为 ? 0 , ?, 2? ? 2

由题意点 Q 在 l 上,所以 3×

x0 ? 5 y -2× 0 +7=0. 2 2

2 ? y0 17 ? ? ? , x0 ? ? , ? ? 3 ? ?x ?5 13 由? 0 得? ? 3 ( x ? 5) ? y ? 7 ? 0, ? y ? ? 32 . 0 0 0 ? ? 13 ? ?2

根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.

法二 设直线 x-2y+5=0 上任意一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点为 P′(x,y), 则
y0 ? y 2 ? x ? x0 y ? y0 ? =- ,又 PP′的中点 Q ? , ? 在 l 上, 3 x0 ? x 2 2 ? ?
x ? x0 y ? y0 -2× +7=0, 2 2

所以 3×

2 ? y0 ? y ? ? , ? ?5 x ? 12 y ? 42 3 ? x0 ? x 由? 可得 x0= , 13 x ? x ?3 ? 0 ? ( y ? y0 ) ? 7 ? 0 ? 2 ?

y0=

12 x ? 5 y ? 28 , 13

代入方程 x-2y+5=0 中, 化简得 29x-2y+33=0, 所以所求反射光线所在的直线方程为 29x-2y+33=0.

【例4】已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B 两点,如图所示,求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程.
x y ? ? 1, , a b

解:法一 设直线方程为

代入 P(3,2)得

3 2 6 + =1≥2 , a b ab

得 ab≥24,从而 S△AOB= 当

1 ab≥12, 2

3 2 b 2 = ,k=- =- 时,S△AOB 最小,此时直线 l 方程为 2x+3y-12=0. a b a 3

法二 依题意知,直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-3)(k<0), 则有 A(32 ,0),B(0,2-3k), k 1 2 (2-3k)(3- ) 2 k

所以 S(k)= =

4 1 [12+(-9k)+ ] 2 ( ?k )
1 1 4 [12+2 (?9k ) ? ]= (12+12)=12. 2 2 ( ?k )
4 2 时,即 k=- 时,等号成立, ?k 3



当且仅当-9k=

故所求直线的方程为 2x+3y-12=0.

法三

如图所示,过 P 分别作 x 轴,y 轴的垂线 PM,PN,垂足分别为 M,N.
π ), 2

设θ=∠PAM=∠BPN,θ∈(0, 则 S△AOB=S△PBN+S 四边形 NPMO+S△PMA =

1 1 1 ×3×3×tan θ+6+ ×2×2× tan ? 2 2 9 2 tan θ+ , tan ? 2

=6+

所以 S△AOB≥6+2 当且仅当

2 9 ? tan ? =12, tan ? 2

2 9 2 = tan θ,即 tan θ= 时,Smin=12, tan ? 2 3

此时直线 l 的斜率为-

2 ,其方程为 2x+3y-12=0. 3

易混易错辨析

用心练就一双慧眼

直线方程的应用中忽略分类讨论
【典例】 已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割 为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( (A)(0,1) (C)(12 1 , ] 2 3

)

(B)(1(D)[

2 1 , ) 2 2

1 1 , ) 3 2

解析:(1)当直线 y=ax+b 与 AB,BC 相交时(如图 1),

? y ? ax ? b, a?b 由? 得 yE= , a ? 1 x ? y ? 1 ?
又易知 xD=由 S△DBE=
b b ,所以|BD|=1+ , a a

1 b a?b 1 ×(1+ )× = a ?1 2 2 a

得 b=

1 1 ∈(0, ). 2 1 1? ?1 a

(2)当直线 y=ax+b 与 AC,BC 相交时(如图 2), 由 S△PCG=
1 1 (xG-xF)·|CM|= 2 2

得 b=1-

2 2

1 ? a 2 ∈(1-

2 ,1)(因为 0<a<1), 2

因为直线 y=ax+b 对于任意的 a>0 恒成立, 所以 b∈(0, 即 b∈(1故选 B.
1 2 )∩(1,1), 2 2

2 1 , ). 2 2

易错提醒:(1)解此题时因为a>0,只考虑到直线与BC相交,而忽略直线

y=ax+b与AC,BC都相交,而导致选错.
(2)在利用三角形面积求b的范围时因忽略a的范围导致错误,另外,最 后两种情况一定要求得交集.


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