汕头市金山中学2011-2012学年高二下学期期中考试(文数)


2011-2012 学年第二学期高二期中考试 文科数学
参考公式:

? ? ? ? 在线性回归方程 y ? b x ? a 中, b ?

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

, a ? y ? bx .

?

??

? x)2
) )

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.如果等差数列 ?an ? 中, a3 + a4 + a5 =12,那么 a 4 ? ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.已知复数 a ? bi ? i(i ? 1) (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为( A. ?2 B. ?1
2 2

C.0

D.2

1 x y ? ? 1 的离心率为 ,则 m =( ) 2 2 m 3 3 A. ? 3 B. 3 C. ? D. 2 2 2 4.用反证法证明命题: “若整系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根,那么 a, b, c 中至少有一个是偶数”时,下列假设正确的是( ) A.假设 a, b, c 都是偶数 B.假设 a, b, c 都不是偶数 C.假设 a, b, c 至多有一个是偶数 D.假设 a, b, c 至多有两个是偶数 5. 若抛物线顶点为 (0,0) , 对称轴为 x 轴, 焦点在 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上, 则抛物线的方程为 (
3.若焦点在 x 轴上的椭圆 A. y ? 16x B. y ? ?16x C. y ? 12x D. y ? ?12x 6.有人收集了春节期间平均气温 x 与某取暖商品销售额 y 的有关数据如下表:
2 2 2 2



平均气温(℃)

?2

?3

?5

?6

销售额(万元) 20 23 27 30 根 据以 上数据 ,用线 性回 归的 方法, 求得销 售额 y 与 平 均气温 x 之 间线 性回 归方程

? ? ? ? ) y ? b x ? a 的系数 b ? ?2.4 .则预测平均气温为 ? 8 ℃时该商品销售额为( A. 34 .6 万元 B. 35 .6 万元 C. 36 .6 万元 D. 37 .6 万元 x 7.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递减区间是( ) A. (??,2) B. (0,3) C. (1,4) D. (2,??) 8.给定正数 p, q, a, b, c ,若 p, a, q 是等差数列, p, b, c, q 是等比数列,则一元二次方程 bx2 ? 2ax ? c ? 0 ( )
A. 无实根
2

B. 有两个相异实根
2

C. 有两个相同实根

D. 有实根

9.若双曲线 x ? y ? 1 右支上一点 P ( a, b) 到渐近线 y ? x 的距离是 2 ,则 a ? b 的值为 ( ) A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

1 1 或 2 2

D. 2或 ? 2

1 3 1 2 ax ? bx ? x ? 1 的极大值为 f ( x1 ) 、极小值为 f ( x2 ) , 3 2 又 x1 , x 2 中至少有一个数在区间 (1,2) 内,则 a ? b 的取值范围为( ) A. (?2,??) B. (??,?2) C. (??,2) D. (?2,2)
10.已知 x1 ? x 2 且函数 f ( x) ?

1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.函数 f ( x) ? x 3 在 x ? 1 处的切线方程为 12.设 P 为双曲线 x ?
2 2

.

3 y ? 1上的一点,F1,F2 是该双曲线的两个焦点, PF1 ? PF2 , 若 2 12
.

则 cos?F1 PF2 为 则

13.在 Rt?ABC 中,两直角边分别为 a, b ,设 h 为斜边上的高,

1 1 1 ? 2 ? 2 ,类比此性质,如图,在四面体 P—ABC 中, 2 h a b 若 PA,PB,PC 两两垂直,且长度分别为 a, b, c ,设棱锥底面 ABC 上 的高为 h ,则得到的正确结论为 .
14. 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有 n 个不同的点 P、P2、 、Pn (n ? ?? ) ,F ? 1 4 3

是右焦点, ? P F ? 组成公差为 d ? n 为 .

3 的等差数列,则 n 的最大值 100

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(12 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 x ? ? (1) 求 a , b 的值; (2) 求函数 f ( x ) 的单调区间.

2 与 x ? 1 时都取得极值. 3

16. (12 分)某校在两个班进行教学方式对比试验,两个月后进行了一次检测,试验班与对 照班成绩统计如 2 ? 2 列联表所示(单位:人) . (1)求 m , n ; 80 及 80 80 分以 (2)你有多大把握认为“教学方式与成绩有关 合计 分以上 下 系”? 参考公式及数据: 试验班 对照班 合计 35 20 55 15 50 50

n(ad ? bc)2 , K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

m
45

n

其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量.

P( K 2 ? k )

? ?

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

? ?

k

2

17.(14分)某公司在安装宽带网时,购买设备及安装共花费5万元.该公司每年需要向电信部 门交纳宽带使用费都是0.5万元,公司用于宽带网的维护费每年各不同,第一年的维护费是 0.1万元,以后每年比上一年增加0.1万元. (1)该公司使用宽带网满 5 年时,累计总费用(含购买设备及安装费用在内)是多少? (2)该公司使用宽带网多少年时,累计总费用的年平均值最小?

18.(14 分)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 ? 9 , S 6 ? 66 . (1)求数列 {an } 的通项公式 an 及前n项的和Sn ; (2)设数列 {

1 1 } 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? ; 4 a n a n ?1

(3)是否存在自然数 n ,使得 s1 ? 若不存在,说明理由.

s s2 s3 ? ? ? ? n ?(n ? 1)2 =2009?若存在,求出 n 的值; 2 3 n

19.(14 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线

y?

1 2 2 5 x 的焦点,离心率为 . 4 5

(1)求椭圆 C 的标准方程;

B (2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A 、 两点, y 轴于 M 点, MA ? ?1 AF , 交 若

????

??? ?

???? ??? ? MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 ? ?10 .

20.(14 分)设函数 f ( x ) ? ln x ?

1 2 ax ? x 2

(1)当 a ? 2 时,求 f (x) 的最大值; (2)令 F ( x) ? f ( x) ?

1 2 a ax ? x ? (0 ? x ? 3) ,以其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 为切 2 x

3

点的切线的斜率 k ?

1 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2

(3)当 a ? 0 时,方程 mf ( x) ? x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值.

4

参考答案及评分标准
一、选择题答案栏(50 分) 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 A 6 A 7 A 8 D 9 B 10 A

二、填空题(20 分) 11、 y ? 3x ? 2 13、 12、0 14、67

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 h a b c

三、解答题(80 分) 15.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b ????2 分 由 f (? ) ?
'

2 3

12 4 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 ??????4 分 9 3

得a ? ? (2)

1 , b ? ?2 ?????????6 分 2

f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,?????????8 分
' 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?

2 或x ? 1 3 2 ' 当 f ( x) ? 0时 , x ? ? 或x ? 1 3 2 ' 当 f ( x) ? 0时 , ? ? x ? 1 ?????????10 分 3 2 2 所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区 间是 ( ? ,1) ;???????? 3 3
12 分 16.(本小题满分 12 分) 解:⑴ m ? 45 ? 15 ? 30 , n ? 50 ? 50 ? 100 .
2 ⑵K ?

???????????2 分 ????????????4 分

100 ? (35 ? 30 ? 15 ? 20)2 ?????????? 8 分 50 ? 50 ? 55 ? 45

? 9.091 ??????????????????? 9 分
因为 K ? 7.879 ,
2

所以 P ? 0.005 ?????????? 11 分 所以有 99.5%的把握认为“教学方式与成绩”有关系.?????12 分

5

17.(本小题满分 14 分) 解: (1)宽带网维护费组成以 0.1 万元为首项,公差为 0.1 万元的等差数列?1 分 所以使用 5 年时累计总费用为

5 ? 0.5 ? 5 ? (0.1? 5 ?
*

5? 4 ? 0.1) ? 9 2

????5 分 ????6 分

所以,使用 5 年时累计总费用为 9 万元.

(2)设使用 x( x ? N ) 年时,宽带网累计总费用的年平均值为 y 万元,可得

y?

5 ? 0.5x ? 0.1x ?

x( x ? 1) ? 0.1 5 2 ? 0.55 ? ? 0.05x x x

???10 分 ???12 分

? 0.55 ? 2
当且仅当

5 ? 0.05x ? 1.55 x

5 ? 0.05 x ,即 x ? 10 时等号成立,此时 y 取最小值. ??13 分 x
????14 分

所以,使用 10 年时,宽带网累计总费用的年平均值最少. 18.(本小题满分 14 分) 解:⑴设等差数列 {an } 的公差为 d ,由 a3 ? 9, S 6 ? 66 可得

?a1 ? 2d ? 9 ? ?6a1 ? 15d ? 66
解得 a1 ? 1, d ? 4 因此, an ? 4n ? 3

???? 2 分 ???? 4 分 ???? 5 分

sn ?

(a1 ? an )n ? 2n 2 ? n ???? 6 分 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ⑵ Tn ? ? ? ? ? 1? 5 5 ? 9 (4n ? 3)(4n ? 1) a1a2 a2 a3 an an ?1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] 4 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 1 1 n n 1 ? (1 ? )? ? ? ???? 10 分 4 4n ? 1 4n ? 1 4n 4

19.(本小题满分 14 分) (1)解:设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 (a >b >0 ) ,??1 分 a 2 b2 2 抛物线方程化为 x ? 4 y ,其焦点为 (0,1) , ??????2 分 则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) ,即 b ? 1 ??????3 分
6

c a 2 ? b2 2 5 2 ,∴ a ? 5 , ? ? 2 a a 5 x2 ? y2 ? 1 所以椭圆 C 的标准方程为 ??????6 分 5 (2)证明:易求出椭圆 C 的右焦点 F (2, 0) , ?????7 分 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) ,由题意,显然直线 l 的斜率存在,
由e ? 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,代入方程 得

x2 ? y 2 ? 1 并整理, 5
????9 分

(1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0
2 2

20k 20k ? 5 , x1 x2 ? ??????10 分 2 1 ? 5k 1 ? 5k 2 ???? ???? ??? ? 又 , M ? ( 1 ,x? y 0 ) y MB ? ( x2 , y2 ? y0 ) , AF ? (2 ? x1 , ? y1 ) , A 1 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? BF ? (2 ? x2 , ? y2 ) ,而 MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF , 即 ( x1 ? 0, y1 ? y0 ) ? ?1 (2 ? x1 , ? y1 ) , ( x2 ? 0, y2 ? y0 ) ? ?2 (2 ? x2 , ? y2 ) x1 x2 ∴ ?1 ? , ?2 ? , ????????12 分 2 ? x1 2 ? x2 x1 x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 所以 ?1 ? ?2 ? ? 2 ? ? ?10 ???14 分 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2
∴ x1 ? x2 ?



20.(本小题满分 14 分) 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? x ? x , f ( x) ?
2 '

1 ? 1 ? 2x x

??1 分

解 f ' ( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ?

1 (舍去) 2

??2 分

' 当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 , f (x) 单调增加, ' 当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? 0 , f (x) 单调减少

??3 分 ??4 分

所以 f (x) 的最大值为 f (1) ? 0 (2) F ( x) ? ln x ? 由k ?

a 1 a (0 ? x ? 3), k ? F ' ( x0 ) ? ? 2 (0 ? x0 ? 3) x x0 x0

??6 分

1 1 2 1 1 2 恒成立得 a ? x0 ? x0 ? ? ( x0 ? 1) ? 恒成立 2 2 2 2 1 1 1 2 因为 ? ( x0 ? 1) ? ? ,等号当且仅当 x0 ? 1 时成立 2 2 2 1 所以 a ? 2
2 2 (3) a ? 0 时,方程 mf ( x) ? x 即 x ? mx ? m ln x ? 0

??7 分 ??8 分 ??9 分

7

设 g ( x) ? x 2 ? mx ? m ln x ? 0 ,解 g ' ( x) ? 2 x ? m ?

m ?0 x

m ? m 2 ? 8m m ? m 2 ? 8m 得 x1 ? (<0 舍去), x2 ? 4 4
g (x) 在 (0, x2 ) 单调增加,在 ( x2 ,??) 单调减少,最大值为 g ( x2 )
因为 mf ( x) ? x 2 有唯一实数解, g (x) 有唯一零点,所以 g ( x2 ) ? 0 由? ??11 分 ??12 分

?g ' ( x2 ) ? 0 得 x2 ? 2 ln x2 ? 1 ? 0 , ?g ( x2 ) ? 0
??13 分 ??14 分

因为 h( x) ? x ? 2 ln x ? 1 单调递增,且 h(1) ? 0 ,所以 x2 ? 1 从而 m ? 1

8


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