2012江苏省数学竞赛提优教案:第02讲 二次函数与二次不等式


第 2 讲 二次函数与二次不等式 本讲内容包括二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。 二 次 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的 解 , 是 相 应 的 二 次 函 数 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 中,函数值为 0 时 x 的值,即此二次函数的图象在 x 轴上 的截距(函数图象与 x 轴的交点的横坐标) 。 二 次 不 等 式 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的 解 , 是 相 应 的 二 次 函 数 y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 中,函数值大于 0 时 x 的值,即此二次函数的图象在 x 轴 上方时 x 的取值范围;同样的,二次不等式 ax 的二次函数 y 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的解,是相应 ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 中,函数值小于 0 时 x 的值,即此二次函数的 图象在 x 轴下方时 x 的取值范围。因此, ??0 ??0 ??0 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的解 x ? x1 或 x ? x2 x ? x0 且 x ? R x1 ? x ? x2 无解 无解 一切实数 高次不等式可以先进行因式分解,再运用符号法则将它转化为一次不等式或二次不等 式求解。 A 类例题 例 1 a2 设二次函数 y ? x ? 2ax ? (a ? 0) 的图象的顶点为 A ,与 x 轴的交点 2 2 为 B , C ,当 ?ABC 为等边三角形时,求 a 的值。 分析 欲求 a 的值,需得到一个关于 a 的方程。因为 A 是抛物线的顶点, 所以 AB 得 AD ? 可求。 ? AC 。 由 ?ABC 是等边三角形, 3 BC 。只要以 a 表示 AD 和 BC ,则 a 的值 2 解 a2 a2 2 由函数 y ? x ? 2ax ? (a ? 0) ,化简得 y ? ( x ? a) ? 2 2 2 。 因而有 a2 A ( ? a , ? ) ,又设 B ( x1 , 0) , C ( x2 , 0) 。则 2 x 2 ? 2ax ? a2 ? 0 (a ? 0) 2 2 2 a2 ? BC ?| x1 ? x2 |? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ? 4a ? 4 ? ?? 2 a. 2 由 ?ABC 是等边三角形,得 AD ? 3 BC 2 ,即 | y A |? 3 BC 。 2 a2 3 所以, ? (? 2 a) ? a ? ? 6 或 a ? 0 . 由 a ? 0 ,得所求 a 的值为 ? 6 . 2 2 例2 当a 2 2 ?0 时,解关于 x 的二次不等式 (1) x (2) x ? 4ax ? 5a2 ? 0 ; ? 2(a ? 1) x ? (a 2 ? 3a ? 1) ? 0 ; 2 (3) ax 分析 ? (a 2 ? 4) x ? 4a ? 0 。 解二次不等式,首先应判断相应的二次方程是否有实数根,然后再根据根的不 同情况求解。 解 (1)因为 x 2 ? 4ax ? 5a 2 ? ( x ? 5a)( x ? a) , 又 a ? 0 ,得 5a ? ?a 。 所以,原不等式的解为 x ? 5a

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