高中数学导数题型分类教案


导数题型分析
一、考试内容 导数的概念,导数的几何意义,几种常见函数的导数; 两个函数的和、 差、 基本导数公式, 利用导数研究函数的单调性和极值, 函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析 题型一:利用导数研究函数的极值、最值。

??1,1? 上的最大值是 1. f ( x) ? x ? 3x ? 2 在区间
3 2

2 6 ;

2 2.已知函数 y ? f ( x) ? x( x ? c) 在x ? 2 处有极大值,则常数 c=

3.函数 y ? 1 ? 3x ? x 有极小值 -1

3

,极大值

3

.

题型二:利用导数几何意义求切线方程 1.曲线 y ? 4 x ? x 在点
3

? ?1, ?3? 处的切线方程是

y ? x?2
(1,0)

4 2.若曲线 f ( x) ? x ? x 在 P 点处的切线平行于直线 3 x ? y ? 0 ,则 P 点的坐标为

3.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为 4 x ? y ? 3 ? 0
4

4.求下列直线的方程:
3 2 (1)曲线 y ? x ? x ? 1 在 P(-1,1)处的切线; 2 (2)曲线 y ? x 过点 P(3,5)的切线;

3 2 / 2 / 解: (1) ? 点P(?1,1)在曲线y ? x ? x ? 1上, ? y ? 3x ? 2x ? k ? y |x ?-1? 3-2 ? 1

即x ? y ? 2 ? 0 所以切线方程为 y ? 1 ? x ? 1 ,
2 / (2) 显然点 P (3, 5) 不在曲线上, 所以可设切点为 A( x0 , y0 ) , 则 y0 ? x0 ①又函数的导数为 y ? 2 x ,

k ? y / |x? x0 ? 2x0 所 以 过 A( x0 , y0 ) 点 的 切 线 的 斜 率 为 , 又 切 线 过 A( x0 , y0 ) 、 P(3,5) 点 , 所 以 有
2 x0 ? y0 ? 5 x0 ? 3

? x0 ? 1 ? x0 ? 5 ? y ? 1 或 ? y ? 25 ? 0 ②,由①②联立方程组得, ? 0 ,即切点为( 1 , 1 )时,切线斜率为

k1 ? 2 x0 ? 2;

;当切点为(5,25)时,切线斜率为 k2 ? 2 x0 ? 10 ;所以所求的切线有两条,方程分

即y ? 2 x ? 1 或y ? 10 x ? 25 别为 y ? 1 ? 2( x ? 1)或y ? 25 ? 10( x ? 5),

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题型三:利用导数研究函数的单调性,极值、最值 1.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 过曲线y ? f ( x)上的点P(1, f (1)) 的切线方程为 y=3x+1
3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x)在x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求函数 y ? f ( x) 在[-3,1]上的最大值; (Ⅲ)若函数 y ? f ( x) 在区间[-2,1]上单调递增,求实数 b 的取值范围
3 2 2 解: (1)由 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 求导数得f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b.

过 y ? f ( x)上点P(1, f (1)) 的切线方程为:

y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1),即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1).

的切线方程为 y ? 3x ? 1. 而过 y ? f ( x)上P[1, f (1)]
?3 ? 2a ? b ? 3 ? 故 ?a ? c ? ?3 ?2a ? b ? 0 即? ?a ? c ? ?3
① ② ③

, 故f ?(?2) ? 0,? ?4a ? b ? ?12 ∵ y ? f ( x)在x ? ?2时有极值
由①②③得 a=2,b=-4,c=5

3 2 ∴ f ( x) ? x ? 2x ? 4x ? 5.

2 (2) f ?( x) ? 3x ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2).

2 ? 3 ? x ? ?2时, f ?( x) ? 0; 当 ? 2 ? x ? 时, f ?( x) ? 0; 3 当
2 当 ? x ? 1时, f ?( x) ? 0. ? f ( x) 极大 ? f (?2) ? 13 3

又 f (1) ? 4,? f ( x) 在[-3,1]上最大值是 13。
2

? (3)y=f(x)在[-2,1]上单调递增,又 f ( x) ? 3x ? 2ax ? b, 由①知 2a+b=0。
2 ? ? 依题意 f ( x) 在[-2,1]上恒有 f ( x) ≥0,即 3x ? bx ? b ? 0.

x?
①当

b ? 1时, f ?( x) min ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0,? b ? 6 6 ; b ? ?2时, f ?( x) min ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0,? b ? ? 6 ;

x?
②当

6 12b ? b 2 ? 2 ? ? 1时, f ?( x) min ? ? 0, 则0 ? b ? 6. b 12 ③当

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综上所述,参数 b 的取值范围是 [0,??)
3 2 2.已知三次函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? 1 和 x ? ?1 时取极值,且 f (?2) ? ?4 .

(1) 求函数 y ? f ( x) 的表达式; (2) 求函数 y ? f ( x) 的单调区间和极值; (3) 若函数 g ( x) ? f ( x ? m) ? 4m (m ? 0) 在区间 [m ? 3, n] 上的值域为 [?4, 16] ,试求 m 、 n 应满足 的条件.
2 ? 解:(1) f ( x) ? 3x ? 2ax ? b ,
2 由题意得, 1, ? 1 是 3x ? 2ax ? b ? 0 的两个根,解得, a ? 0, b ? ?3 .

3 再由 f (?2) ? ?4 可得 c ? ?2 .∴ f ( x) ? x ? 3x ? 2 . 2 ? (2) f ( x) ? 3x ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) ,

? ? 当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? ?1 时, f ( x) ? 0 ; ? ? 当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; ? 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 .∴函数 f ( x) 在区间 ( ??, ?1] 上是增函数; ] 在区间 [ ?1,1 上是减函数;在区间 [1, ? ?) 上是增函数.

函数 f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 0 ,极小值是 f (1) ? ?4 . (3) 函数 g ( x) 的图象是由 f ( x) 的图象向右平移 m 个单位,向上平移 4 m 个单位得到的, 所以,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? m] 上的值域为 [?4 ? 4m, 16 ? 4m] ( m ? 0 ) . 而 f (?3) ? ?20 ,∴ ?4 ? 4m ? ?20 ,即 m ? 4 . 于是,函数 f ( x) 在区间 [?3, n ? 4] 上的值域为 [?20, 0] . 令 f ( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 2 .由 f ( x) 的单调性知, ?1 剟n ? 4 综上所述, m 、 n 应满足的条件是: m ? 4 ,且 3 剟n
6. 2 ,即 3 剟n 6.

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3.设函数 f ( x) ? x( x ? a)( x ? b) . (1)若 f ( x ) 的图象与直线 5x ? y ? 8 ? 0 相切,切点横坐标为2,且 f ( x ) 在 x ? 1 处取极值, 求实数 a , b 的值; (2)当 b=1 时,试证明:不论 a 取何实数,函数 f ( x ) 总有两个不同的极值点.

? 解: (1) f ( x) ? 3x ? 2(a ? b) x ? ab.
2

? ? 由题意 f (2) ? 5, f (1) ? 0 ,代入上式,解之得:a=1,b=1.

? (2)当 b=1 时, 令f ( x) ? 0得方程 3x ? 2(a ?1) x ? a ? 0.
2

因 ? ? 4(a ? a ? 1) ? 0, 故方程有两个不同实根 x1 , x 2 .
2

不妨设 x1 ? x 2 ,由 f ( x) ? 3( x ? x1 )(x ? x2 ) 可判断 f ( x) 的符号如下:
' '

f ( x) >0;当 x1 ? x ? x2时, f ( x) <0;当 x ? x2时, f ( x) >0 当 x ? x1时,
' ' '

因此 x1 是极大值点, x2 是极小值点. ,当 b=1 时,不论 a 取何实数,函数 f ( x ) 总有两个不同的 极值点。 题型四:利用导数研究函数的图象
/ 1.如右图:是 f(x)的导函数, f ( x) 的图象如右图所示,则 f(x)的图象只可能是( D )

(A) 2.函数
y?

(B)
1 3 x ? 4 x ? 1的图像为 3 ( A

(C) )

(D)

6 4 2 -4 -2

y

o 2 4 -2 -4

x

6 4 2 -4 -2

y

6 4 2 x -4

y

6 4 2 x

y

o 2 4 -2 -4

o y 2 4 -2 -2 -4

o 2 4 -2 -4

x

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3 2 3.方程 2 x ? 6 x ? 7 ? 0在(0,2)内根的个数为

( B D、3

)

A、0

B、1

C、2

题型五:利用单调性、极值、最值情况,求参数取值范围

1 f ( x) ? ? x 3 ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b,0 ? a ? 1. 3 1.设函数
(1)求函数 f ( x) 的单调区间、极值.

? (2)若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ( x) |? a ,试确定 a 的取值范围.
2 2 x ? a, x2 ? 3a ? ? 解: (1) f ( x) ? ? x ? 4ax ? 3a = ?( x ? 3a)( x ? a) ,令 f ( x) ? 0 得 1

列表如下: x (-∞, a) a

(a,3a) 3a + 0 极大

(3a,+∞) -

f ?( x ) f ( x)

-

0 极小

∴ f ( x ) 在(a,3a)上单调递增,在(-∞,a)和(3a,+∞)上单调递减

4 f极小 ( x ) ? b ? a 3 3 , x ? 3a 时, f极小 ( x) ? b x ? a 时,

? (2) f ( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ∵ 0 ? a ? 1 ,∴对称轴 x ? 2a ? a ? 1 ,
2 2

? ∴ f ( x ) 在[a+1,a+2]上单调递减


? ? ?(a ? 1)2 ? 4a(a ? 1) ? 3a2 ? 2a ?1 fmin ? ? ?(a ? 2)2 ? 4a(a ? 2) ? 3a2 ? 4a ? 4 f Max ,
即 | 2a ? 1|? a,| 4a ? 4 |? a

? |? a | f ? |? a , | f min ? 依题 | f ( x) |? a ? Max
4 ? a ?1 解得 5 ,又 0 ? a ? 1

4 [ ,1) ∴a 的取值范围是 5

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2 2.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 在 x=- 3 与 x=1 时都取得极值(1)求 a、b 的值与函
数 f(x)的单调区间 (2)若对 x?〔-1,2〕 ,不等式 f(x)?c2 恒成立,求 c 的取值范围。 解: (1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f?(x)=3x2+2ax+b

由 f?(



2 1 12 4 - - a+b=0 3 )= 9 3 ,f?(1)=3+2a+b=0 得 a= 2 ,b=-2
1 (1,+?)

f?(x)=3x2-x-2=(3x+2) (x-1) ,函数 f(x)的单调区间如下表: x

2 2 (-?,- 3 ) - 3
0 极大值

2 (- 3 ,1)
- ?

f? (x) + f(x) ?

0 极小值

+ ?

2 2 所以函数 f(x)的递增区间是(-?,- 3 )与(1,+?) ,递减区间是(- 3 ,1) 1 2 22 (2)f(x)=x3- 2 x2-2x+c,x?〔-1,2〕 ,当 x=- 3 时,f(x)= 27 +c
为极大值,而 f(2)=2+c,则 f(2)=2+c 为最大值。 要使 f(x)?c2(x?〔-1,2〕 )恒成立,只需 c2?f(2)=2+c,解得 c?-1 或 c?2 题型六:利用导数研究方程的根

1.已知平面向量 a =( 3 ,-1).

1 3 b =( 2 , 2 ).

(1)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x = a +(t2-3) b , y =-k a +t b , x ⊥ y , 试求函数关系式 k=f(t) ; (2) 据(1)的结论,讨论关于 t 的方程 f(t)-k=0 的解的情况. 解:(1)∵ x ⊥ y ,∴ x ? y =0
2

即[ a +(t2-3) b ]·(-k a +t b )=0.
2

整理后得-k a +[t-k(t2-3)] a ? b + (t2-3)· b =0

1 ∵ a ? b =0, a =4, b =1,∴上式化为-4k+t(t2-3)=0,即 k= 4 t(t2-3)
2 2

1 1 (2)讨论方程 4 t(t2-3)-k=0 的解的情况,可以看作曲线 f(t)= 4 t(t2-3)与直线 y=k 的交点个
数.
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3 3 于是 f′(t)= 4 (t2-1)= 4 (t+1)(t-1).
令 f′(t)=0,解得 t1=-1,t2=1.当 t 变化时,f′(t)、f(t)的变化情况如下表: t f′(t) F(t) (-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 (-1,1) ↘ 1 0 极小值 (1,+ ∞) + ↗

1 当 t=-1 时,f(t)有极大值,f(t)极大值= 2 . 1 当 t=1 时,f(t)有极小值,f(t)极小值=- 2 1 函数 f(t)= 4 t(t2-3)的图象如图 13-2-1 所示,
可观察出:

1 1 (1)当 k> 2 或 k<- 2 时,方程 f(t)-k=0 有且只有一解; 1 1 (2)当 k= 2 或 k=- 2 时,方程 f(t)-k=0 有两解; 1 1 (3) 当- 2 <k< 2 时,方程 f(t)-k=0 有三解.

题型七:导数与不等式的综合 1.设 a ? 0,函数f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上是单调函数.
3

(1)求实数 a 的取值范围; (2)设

x0 ≥1, f ( x) ≥1,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0 .

2 2 ? ? ? 解: (1) y ? f ( x) ? 3x ? a, 若 f ( x) 在 ?1,??? 上是单调递减函数, 则须 y ? 0,即a ? 3x , 这

样的实数 a 不存在.故 f ( x) 在 ?1,??? 上不可能是单调递减函数.
2 若 f ( x) 在 ?1,??? 上是单调递增函数,则 a ≤ 3 x ,

1,???, 故3x ? 3 .从而 0<a≤3. 由于 x ? ?
2

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( 2 ) 方 法 1 、 可 知 f ( x) 在 ?1,??? 上 只 能 为 单 调 增 函 数 .

若 1≤

x0 ? f ( x0 ) , 则

f ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) ? x0矛盾, 若 1≤ f ( x0 ) ? x0 , 则f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ),即x0 ? f ( x0 ) 矛盾,故
只有

f ( x0 ) ? x0 成立.
2 : 设
3 f ( x0 ) ? u, 则f (u) ? x0 , ? x0 ? ax0 ? u, u 3 ? au ? x0 , 两 式 相 减 得

方 法

3 2 ( x0 ? u 3 ) ? a( x0 ? u) ? u ? x0 ? ( x0 ? u)(x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a) ? 0,? x0 ≥1,u≥1, 2 2 ? x0 ? x0u ? u 2 ? 3, 又0 ? a ? 3 ,? x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a ? 0

3 f ( x) ? ( x 2 ? )( x ? a) 2 2.已知 a 为实数,函数
(1)若函数 f ( x ) 的图象上有与 x 轴平行的切线,求 a 的取值范围 (2)若 f '( ?1) ? 0 , (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间

x 、x2 ? (?1,0) ,不等式 (Ⅱ)证明对任意的 1
f ( x) ? x 3 ? ax 2 ?
解:

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?

5 16 恒成立

3 3 3 x ? a ? f '( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 2 2 , 2

函数 f ( x ) 的图象有与 x 轴平行的切线,? f '( x) ? 0 有实数解

?? ? 4a 2 ? 4 ? 3 ?

9 3 3 3 ? 0 a2 ? ( ? ?, ? 2] [ 2, ? ?) 2 ,所以 a 的取值范围是 2 2 2 ,

9 3 9 3 1 ? 3 ? 2a ? ? 0 a ? ? f '( x) ? 3x 2 ? x ? ? 3( x ? )( x ? 1) f '(?1) ? 0 , 4, 2 2 2 2 ,
由 f '( x) ? 0, x ? ?1 或

x??

1 1 f '( x) ? 0, ?1 ? x ? ? 2 ;由 2

1 1 ( ?1, ? ) (??, ?1), (? , ??) ? f ( x) 的单调递增区间是 2 2 ;单调减区间为

易知 f ( x ) 的最大值为

f (?1) ?

25 1 49 27 f (? ) ? f (0) ? f ( x ) 8 , 2 16 ,又 8 的极小值为

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? f ( x) 在 [?1, 0] 上的最大值

M ?

27 49 m? 8 ,最小值 16

? 对任意 x1 , x2 ? (?1,0) ,恒有

| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? M ? m ?

27 49 5 ? ? 8 16 16

题型八:导数在实际中的应用 1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为 3m 的正六 棱锥(如右图所示) 。试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 o1 的距离为多少时,帐篷的体积最大? 解:设 OO1 为 x m ,则 1 ? x ? 4 由题设可得正六棱锥底面边长为:

3 2 ? ( x ? 1) 2 ? 8 ? 2 x ? x 2

, (单位: m )

6?
故底面正六边形的面积为:

3 3 3 ?( ? (8 ? 2 x ? x 2 ) 2 2 2 8 ? 2 x ? x ) 4 = 2 , (单位: m )

帐篷的体积为:

V(x) ?

1 3 3 3 (16 ? 12x ? x 3 ) (8 ? 2 x ? x 2 ) [ ( x ? 1) ? 1] ? 3 3 2 2 (单位: m )

V' (x) ?
求导得

3 (12 ? 3x 2 ) 2 。

(x) ? 0 ,解得 x ? ?2 (不合题意,舍去) 令 V' ,x ? 2,
(x) ? 0 , V ( x) 当 1 ? x ? 2 时, V' 为增函数; (x) ? 0 , V ( x) 当 2 ? x ? 4 时, V' 为减函数。
∴当 x ? 2 时, V(x) 最大。
3 答:当 OO1 为 2 m 时,帐篷的体积最大,最大体积为 16 3 m 。

2.统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量

y (升)关于行驶速度 x (千米/

y?
小时)的函数解析式可以表示为:

1 3 x3 ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

已知甲、乙两地相距 100 千米。 (I)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?

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100 ? 2.5 解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 小时, 1 3 ( ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 80 要耗没 128000 (升) 。
100 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,设耗油量为 h( x) 升,

1 3 100 1 2 800 15 h( x ) ? ( x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4 依题意得

h '( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。

题型九:导数与向量的结合

a?(
1.设平面向量

3 1 1 3 , ? ), b ? ( , ). 2 2 2 2 若存在不同时为零的两个实数 s、t 及实数 k,使

x ? a ? (t 2 ? k )b, y ? ?sa ? tb,且x ? y,
(1)求函数关系式 S ? f (t ) ;

, ? ? ? 上是单调函数,求 k 的取值范围。 (2)若函数 S ? f (t ) 在 ?1
a?(
解: (1)

3 1 1 3 ,? ), b ? ( , ). a ? b ? 1, a ?b ? 0 2 2 2 2

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又 x ? y, x ? y ? 0,得
2 ?a ? b? ? 0, ? (t ? k)( ? ? sa ? tb)

即 ? sa ?( t t 2 ? k) b -(t ? st 2 ? sk) a ? b ? 0。 ?? s ? (t 2 ? k)t ? 0,故s ? ( f t) ? t 3 ? kt。
(2)

2

2

f? (t) ? 3t 2 ? k且f(t)在?1 , ? ??上是单调函数,

? ? ?0 则在 ?1,??? 上有 f (t ) ? 0或f (t)

? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t ? k ? (3t ) min ? k ? 3 ;
2 2 2

? 由 f (t ) ? 0 ? 3t ? k ? 0 ? k ? 3t 。
2 2

因为在 t∈ ?1,??? 上 3t 是增函数,所以不存在 k,使 k ? 3t 在 ?1,??? 上恒成立。故 k 的取值范
2 2

围是 k ? 3 。

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一、选择题 1. y=esinxcos(sinx),则 y′(0)等于( ) A.0 B.1 C.-1 2.经过原点且与曲线 y= x ? 9 相切的方程是(
x?5

D.2 ) B.x-y=0 或 D.x-y=0 或
x +y=0 25 x -y=0 25

A.x+y=0 或 C.x+y=0 或

x +y=0 25 x -y=0 25
x?0

3.设 f(x)可导,且 f′(0)=0,又 lim f ?( x) =-1,则 f(0)(
x

)

A.可能不是 f(x)的极值 B.一定是 f(x)的极值 C.一定是 f(x)的极小值 D.等于 0 2 2 n 4.设函数 fn(x)=n x (1-x) (n 为正整数),则 fn(x)在[0,1]上的最大值为( A.0 B.1 C. (1 ?
2 n ) 2?n

)

D. 4(

n n?1 ) n?2

5、函数 y=(x2-1)3+1 在 x=-1 处( ) A、有极大值 B、无极值 C、有极小值 6.f(x)=ax3+3x2+2,f’(-1)=4,则 a=( ) 10 13 16 A、 B、 C、
3
2

D、无法确定极值情况 D、 19
3

3

3

7.过抛物线 y=x 上的点

M( 1 , 1 )的切线的倾斜角是( 2 4

) )

A、300 B、450 C、600 D、900 8.函数 f(x)=x3-6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A、 (0,1) B、 (-∞,1) C、 (0,+∞) D、 (0, 1 )
2

9.函数 y=x3-3x+3 在[ ? 3 , 5 ]上的最小值是(
2 2

)

A、 89
8

B、1

C、 33
8

D、5

10、若 f(x)=x3+ax2+bx+c,且 f(0)=0 为函数的极值,则( ) A、c≠0 B、当 a>0 时,f(0)为极大值 C、b=0 D、当 a<0 时,f(0)为极小值 11、 已知函数 y=2x3+ax2+36x-24 在 x=2 处有极值, 则该函数的一个递增区间是( ) A、 (2,3) B、 (3,+∞) C、 (2,+∞) D、 (-∞,3) 12、方程 6x5-15x4+10x3+1=0 的实数解的集合中( ) A、至少有 2 个元素 B、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D、恰好有 5 个元素 二、填空题 13.若 f′(x0)=2, lim f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) =_________.
k ?0

2k

14.设 f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则 f′(0)=_________. 15.函数 f(x)=loga(3x2+5x-2)(a>0 且 a≠1)的单调区间_________. 16.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最 大. 三、解答题
第 12 页 共 17 页

17.已知曲线 C:y=x3-3x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点(x0,y0)(x0≠0),求直线 l 的方程及切点坐标. 18.求函数 f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+),在[0,1]内的最大值. 19.证明双曲线 xy=a2 上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 20.求函数的导数 (1)y=(x2-2x+3)e2x; (2)y= 3
x 1? x

.

21.有一个长度为 5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以 3 m/s 度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚 1.4 m 时,梯子上端下滑的速度. 22.求和 Sn=12+22x+32x2+…+n2xn-1 ,(x≠0,n∈N*). 23.设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求其单调区间. 2 24.设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx +x 的两个极值点. (1)试确定常数 a 和 b 的值; (2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值,并说明理由. 25.已知 a、b 为实数,且 b>a>e,其中 e 为自然对数的底,求证:ab>ba.
?a . 26.设关于 x 的方程 2x2-ax-2=0 的两根为α 、β (α <β ),函数 f(x)= 4 x 2 x ?1

(1)求 f(α )·f(β )的值; (2)证明 f(x)是[α ,β ]上的增函数; (3)当 a 为何值时,f(x)在区间[α ,β ]上的最大值与最小值之差最小?

【参考答案】 一、1.解析:y′=esinx[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e0(1-0)=1. 答案:B 2.解析:设切点为(x0,y0),则切线的斜率为 k= y 0 ,另一方面,y′=( x ? 9 )′=
x0

x?5

?4 ( x ? 5) 2

,



y ′ (x0)=k, 即

y x0 ? 9 ?4 ? 0 ? ( x0 ? 5) 2 x0 x0 ( x0 ? 5)
5

或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)= - 3,y0(2)= - 15, 对 应 有
?4 ( ?3 ? 5) 3

y0(1)=3,y0(2)= ?15 ? 9 ? 3 ,因此得两个切点 A(-3, 3)或 B(-15, 3 ),从而得 y′(A)=
? 15 ? 5

5

=-1 及 y′(B)= 答案:A

?4 1 ?? 25 (?15 ? 5) 2

,由于切线过原点, 故得切线: lA:y=-x 或 lB:y=-

x . 25

3.解析:由 lim f ?(0) =-1,故存在含有 0 的区间(a,b)使当 x∈(a,b),x≠0 时 f ?(0) <0,于
x?0

x

x

是当 x∈(a,0)时 f′(0)>0,当 x∈(0,b)时,f′(0)<0,这样 f(x)在(a,0)上单增, 在(0,b)上单减. 答案:B 4.解析: ∵f′n(x)=2xn2(1-x)n-n3x2(1-x)n-1 =n2x(1-x)n-1 [2(1-x)-nx] ,令 f′
n

(x)=0, 得 x1=0,x2=1,x3=

2 2?n

, 易 知 fn(x) 在 x=

2 2?n

时取得最大值,最大值

第 13 页 共 17 页

fn(

2 )=n2( 2 )2(1- 2 )n=4·( 2 )n+1 2?n 2?n 2?n 2?n

.

答案:D 5、B 6、A

7、B

8、D

9、B

10、C
k ?0

11、B
?k

12、C

二、13.解析:根据导数的定义:f′(x0)= lim f [( x0 ? (?k )] ? f ( x0 ) (这时 ?x ? ?k )
? lim f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ? lim[? ? ] k ?0 k ?0 2k 2 ?k 1 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 1 ? ? lim ? ? f ?( x0 ) ? ?1. 2 k ?0 ?k 2

答案:-1 14.解析: 设 g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f′(x)=g(x)+xg′(x), f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n! 答案:n! 15. 解 析 : 函 数 的 定 义 域 是 x > 1 或 x < - 2,f ′ (x)=
3
log a e 3x ? 5 x ? 2
2

.(3x2+5x - 2) ′

= (6 x ? 5) ? log a e ,
(3 x ? 1)( x ? 2)

①若 a>1,则当 x> 1 时,logae>0,6x+5>0,(3x-1)(x+2)>0,∴f′(x)>0,∴函数
3

f(x)在( 1 ,+∞)上是增函数,x<-2 时,f′(x)<0.∴函数 f(x)在(-∞,-2)上是
3

减函数. ②若 0<a<1,则当 x> 1 时,f′(x)<0,∴f(x)在( 1 ,+∞)上是减函数,当 x<-2
3 3

时, f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,-2)上是增函数. 答案:(-∞,-2) 16.解析: 设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h,

那 么

h=AO+BO=R+

R2 ? x2

,解得

x2=h(2R-h),于是内接三角形的面积为 S=x·h=
2

(2Rh ? h2 ) ? h ? (2Rh3 ? h4 ) ,
1

从而 S ? ? 1 (2Rh3 ? h 4 ) ? 2 (2Rh3 ? h 4 )?
? 1 h 2 (3R ? 2h) ? (2 Rh3 ? h 4 ) 2 (6 Rh 2 ? 4h 3 ) ? 2 ( 2 R ? h) h 3 1

.

令 S′=0,解得 h= 3 R,由于不考虑不存在的情况,所在区间(0,2R)上列表如下:
2

h

(0,

3R 2

( 3 ,2
2

第 14 页 共 17 页

3 R) 2

R)
0 最大 值 - 减函 数

S


+ 增函 数

S
2

由此表可知,当 x= 3 R 时,等腰三角形面积最大. 答案: 3 R
2

三、 17. 解: 由 l 过原点, 知 k= y 0 (x0≠0),点(x0,y0)在曲线 C 上, y0=x03-3x02+2x0,
x0

∴ y 0 =x02-3x0+2,y′=3x2-6x+2,k=3x02-6x0+2
x0

又 k= y 0 ,∴3x02-6x0+2=x02-3x0+2,2x02-3x0=0,∴x0=0 或 x0= 3 .
x0

2

由 x≠0,知 x0= 3 ,
2
2

∴y0=( 3 ) -3( 3 )2+2· 3 =- 3 .∴k= y 0 =- 1 .
2 2 8
x0

3

4

∴l 方程 y=- 1 x 切点( 3 ,- 3 ).
4 2 8

18. f ' (x) ? p 2 x(1 ? x) p?1[2 ? (2 ? p)x] , 令 f’(x)=0 得,x=0,x=1,x=

2 2?p

, .

在[0,1]上,f(0)=0,f(1)=0, f ( ∴
[f ( x )] max ? 4( p 2? p ) 2?p

p p?2 2 ) ? 4( ) 2?p 2?p

.

19.设双曲线上任一点 P(x0,y0), a2 , k ? y | x ?x ? ?
0

x0

2

∴ 切线方程 y ? y 0 ? ? 令 y=0,则 x=2x0 2 令 x=0,则 y ? 2a .
x0

a2 x0
2

(x ? x 0 )

,



S?

1 | x || y |? 2a 2 2

.

20.解:(1)注意到 y>0,两端取对数,得 lny=ln(x2-2x+3)+lne2x=ln(x2-2x+3)+2x,
? 1 ( x 2 ? 2 x ? 3)? 2x ? 2 2( x 2 ? x ? 2) ? y? ? 2 ?2? 2 ?2? 2 y x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 x ? 2 x ? 3.

? y? ?

2( x 2 ? x ? 2) 2 ( x 2 ? x ? 2) ? y ? ? ( x 2 ? 2 x ? 3) ? e 2 x . x2 ? 2x ? 3 x2 ? 2x ? 3 ? 2( x 2 ? x ? 2) ? e 2 x .

(2)两端取对数,得
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ln|y|= 1 (ln|x|-ln|1-x|),
3

两边解 x 求导,得
1 1 1 ?1 1 1 ? y? ? ( ? )? , y 3 x 1? x 3 x(1 ? x) 1 1 1 x 3 ? y? ? ? ?y? . 3 x(1 ? x) 3x(1 ? x) 1 ? x

21.解:设经时间 t 秒梯子上端下滑 s 米,则 s=5-

25 ? 9t 2

,当下端移开 1.4 m 时,

t0= 1? 4 ? 7 ,
3 15
? 1 2 又 s′=- (25-9t ) 2 ·(-9·2t)=9t 2 1

1 25 ? 9t 2

,

所以 s′(t0)=9×

7 ? 15

1 7 25 ? 9 ? ( ) 2 15

=0.875(m/s).

22.解: (1)当 x=1 时, Sn=12+22+32+…+n2= 1 n(n+1)(2n+1),当 x≠1 时, 1+2x+3x2+…
6

+nxn-1

= 1 ? (n ? 1) x

n

? nx

n?1

(1 ? x) 2

,两边同乘以 x,得
n?1 2

x+2x2+3x2+…+nxn= x ? (n ? 1) x Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1
= 1 ? x ? (n ? 1)
2

? nx n?2

(1 ? x)

两边对 x 求导,得

x n ? (2n 2 ? 2n ? 1) x n ?1 ? n 2 x n ?2 (1 ? x ) 3

.

23.解:f′(x)=3ax2+1. 若 a>0,f′(x)>0 对 x∈(-∞,+∞)恒成立,此时 f(x)只有一个单调区间,矛 盾. 若 a=0,f′(x)=1>0,∴x∈(-∞,+∞),f(x)也只有一个单调区间,矛盾. 若 a<0,∵f′(x)=3a(x+ 1 )·(x- 1 ),此时 f(x)恰有三个单调区间.
3| a | 3| a | 1 3| a |

∴a<0 且单调减区间为(-∞,- 单调增区间为(-
1 3| a |

)和(

1 3| a |

,+∞),

,

1 3| a |

).

24.解:f′(x)= a +2bx+1,
x

(1)由极值点的必要条件可知:f′(1)=f′(2)=0,即 a+2b+1=0,且 a +4b+1=0,
2

解方程组可得 a=- 2 ,b=- 1 ,∴f(x)=- 2 lnx- 1 x2+x,
3 6 3 6

(2)f′(x)=- 2 x-1- 1 x+1,当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,当 x∈(1,2)时,f′(x)
3 3

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>0,当 x∈(2,+∞)时, f′(x)<0,故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值 5 ,在 x=2 处函数
6

取得极大值 4 - 2 ln2.
3 3

25.证法一: ∵b>a>e,∴要证 ab>ba,只要证 blna>alnb,设 f(b)=blna-alnb(b >e),则

f′(b)=lna- a .∵b>a>e,∴lna> 1,且 a <1,∴f′(b)>0.∴函数 f(b)=blna-
b b

alnb 在(e,+∞)上是增函数, ∴f(b)>f(a)=alna-alna=0,即 blna-alnb>0,∴blna b a >alnb,∴a >b .
证法二:要证 ab>ba,只要证 blna>alnb(e<a<b ) ,即证
x

,设 f(x)= ln x (x
x

x <0,∴函数 f(x)在(e,+∞)上是减函数,又∵e<a<b, >e),则 f′(x)= 1 ? ln 2

∴f(a)>f(b),即 ln a ? ln b ,∴ab>ba.
a b

26.解:(1)f(α )=

?8 a 2 ? 16 ? a

,f(β )=

?8 a 2 ? 16 ? a

,f(α )=f(β )=4,

(2)设φ (x)=2x2-ax-2,则当α <x<β 时,φ (x)<0,
f ?( x) ? ?? (4 x ? a)?( x 2 ? 1) ? (4 x ? a)( x 2 ? 1)? 4( x 2 ? 1) ? 2 x(4 x ? a) ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2

2(2 x 2 ? ax ? 2) 2? ( x ) ?? 2 ?0 ( x 2 ? 1) 2 ( x ? 1) 2 .

∴函数 f(x)在(α ,β )上是增函数. (3)函数 f(x)在[α ,β ]上最大值 f(β )>0,最小值 f(α )<0, ∵ |f( α ) · f( β )|=4, ∴ 当 且 仅 当 f( β )= - f( α )=2 时 , f( β ) - f(α )=|f(β )|+|f(α )|取最小值 4,此时 a=0,f(β )=2.

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