9.§1.3.2算法案例—秦九韶算法


河北武邑中学教师课时教案
备课人 课题 课标要求 教 学 目 标 重点 难点 授课时间
§ 1.3.2 算法案例—秦九韶算法
1.了解秦九韶算法的计算过程,理解利用秦九韶算法减少计算次数提高计算效率的实质。 2.理解数学算法与计算机算法的区别,理解计算机对数学的辅助作用。

知识目标 技能目标 情感态度价值观

了解秦九韶算法的计算过程;了解数学计算转换为计算机计算的途径。 模仿秦九韶计算方法,体会古人计算构思的巧妙;探究计算机算法与数 学算法的区别。 通过对秦九韶算法的学习,了解中国古代数学家对数学的贡献,充分认 识到我国文化历史的悠久。

理解秦九韶算法的思想。 用循环结构表示算法的步骤。

问题与情境及教师活动
一.复习引入 大家都喜欢吃苹果吧,我们吃苹果都是从外到里一口一口的 吃,而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃,由此看 来处理同一个问题的方法多种多样. 怎样求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值呢? 思考:若先计算各项的值,然后再相加,那么一共要做多少次乘 法运算和多少次加法运算? 共需要 10 次乘法运算,5 次加法运算。 我们把多项式变形为: f ( x) ? x (1 ? x(1 ? x(1 ? x))) ? x ? 1
2

学生活动

教 学 过 程 及 方 法

再统计一下计算当 x ? 5 时的值时需要的计算次数, 可以得出仅需 4 次乘法和 5 次加法运算即可得出结果。显然少了 6 次乘法运算。 这种算法就叫秦九韶算法。 二.研探新知 探究一: 秦九韶算法的基本思想 思考 1:利用后一种算法求多项式

f ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? ? ? a1 x ? a0 的值,这个多项
式应写成哪种形式?

f ( x) ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? an ? 2 x n ? 2 ? ? ? a1 x ? a0 ? (an x n ?1 ? an ?1 x n ? 2 ? an ? 2 x n ?3 ? ? ? a1 ) x ? a0 ? ((an x n ? 2 ? an ?1 x n ?3 ? ? ? a2 ) x ? a1 ) x ? a0 ? ?? ? (? ((an x ? an ?1 ) x ? an ? 2 ) x ? ? ? a1 ) ? a0
1

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问题与情境及教师活动
思考 2:对于由内向外逐层计算一次多项式

学生活动

f ( x) ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? ? ? a1 x ? a0 ? (? ?( ? an x ? an ?1 ) x ? an ?2 ) x ? ? ? ? ? a1 ) x ? a0
的值,其算法步骤如何? 第一步,计算 v1 ? an x ? an?1 . 第二步, 第三步, … 第 n 步,计算 vn ? vn ?1 x ? a0

教 学 过

思考 3: 上述求多项式 f ( x) ? an x n ? an?1 x n?1 ? ? ? ? ? a1 x ? a0 的值的方 法称为秦九韶算法, 利用该算法求 f ( x0 ) 的值,一共需要多少次乘法运算,多少次 加法运算? 秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的求值 问题。直接法乘法运算的次数最多可到达

程 九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多 n 次,加法最多 n 次 思考 4:在秦九韶算法中,记 v 0 ? a n 那么第 k 步的算式是什么? 及 vk ? vk ?1 x ? an?k ?k ? 0,1,2,?, n? 方 探究二: 秦九韶算法的程序设计 法

( n ? 1) n ,加法最多 n 次。秦 2

思考 1: 用秦九韶算法求多项式的值, 可以用什么逻辑结构来构造算法? 其算法步骤如何设计? 我们可以得到下面的公式:

?v0 ? an , ? ?vk ? vk ?1 x ? an?k (k ? 1,2,?, n).
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现. 算法步骤如下: 第一步,输入多项式次数 n、最高次的系数 an 和 x 的值. 第二步,将 v 的值初始化为 an,将 i 的值初始化为 n-1. 第三步,输入 i 次项的系数 ai. 第四步,v=vx+ai,i=i-1. 第五步,判断 i 是否大于或等于 0.若是,则返回第三步; 否则,输出多项式的值 v. 思考 2:该算法的程序框图如何表示? 程序框图如下图: 2

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INPUT “n=”;n INPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END

程 思考 3:该程序框图对应的程序如何表述?
探究三:理论迁移

及 【例 2】 已知一个 5 次多项式为 f ( x) ? 5x 5 ? 4 x 4 ? 3x 3 ? 2 x 2 ? x ? 10 用秦九韶算法求 f (5) 的值. 方 法

三.随堂练习

P45
教 学 小 结 课 后 反 思

练习 2.

秦九韶算法计算多项式的值及程序设计

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