高一数学必修2必修5复习资料


高一数学寒假预科班资料(内容:必修 2、5)

第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内. 符号表示为 A∈L A B∈L => L α α ? L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 A B ? α ? C 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , ? 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共 直线。 β 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L P α 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据. ? L 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, ); 2 ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

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a

α

a∩α =A

a∥α

课堂练习部份 1.若直线 a 不平行于平面 ? ,则下列结论成立的是( ) A. C.

? 内所有的直线都与 a 异面; ? 内所有的直线都与 a 相交;

B.

? 内不存在与 a 平行的直线;

D.直线 a 与平面 ? 有公共点.

2.已知两个平面垂直,下列命题 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面; ④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0

3. 给出下列命题: (1)直线 a 与平面 ? 不平行,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不平行; (2)直线 a 与平面 ? 不垂直,则 a 与平面 ? 内的所有直线都不垂直; (3)异面直线 a、b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; (4)若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面 其中错误命题的个数为( A、 0 B、1 C、2 ) D、3 )条

4.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 异面的棱有( A、 3 B、 4 C、 6 D、 8 )

5.直线 a,b,c 及平面α ,β ,γ ,下列命题正确的是( A、若 a ? α ,b ? α ,c⊥a, c⊥b 则 c⊥α C、若 a//α ,α ∩β =b 则 a//b 6.平面 ? 与平面 ? 平行的条件可以是( A. ? 内有无穷多条直线与 ? 平行; )

B、若 b ? α , a//b 则 a//α D、若 a⊥α , b⊥α 则 a//b

B.直线 a// ? ,a// ?

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C.直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a// ? ,b// ? 7.a, b 是异面直线,下面四个命题:

D. ? 内的任何直线都与 ? 平行

①过 a 至少有一个平面平行于 b; ②过 a 至少有一个平面垂直于 b; ③至多有一条直线与 a,b 都垂直;④至少有一个平面与 a,b 都平行。 其中正确命题的个数是( A 0 B 1 C 2 ) D 3

8.三个平面把空间分成 7 部分时,它们的交线有( ) A. 1 条 C. 3 条 B. 2 条 D. 1 条或 2 条

2 的正方形,高为 4 , 9.在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,底面是边长为
则点 A1 到截面 AB1D1 的距离为( )

8 3 4 C. 3
A.

B.

3 8 3 D. 4

10.直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各侧棱和底面的边长均为 a ,点 D 是 CC1 上任意一点, 连接 A1B, BD, A1D, AD ,则三棱锥 A ? A 1BD 的体积为( )

A.

1 3 a 6

B.

3 3 a 12


C.

3 3 a 6

D.

1 3 a 12

11.下列说法不正确的 是( ....

A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 二、填空题 12.已知直线 a//平面 ? ,平面 ? //平面 ? ,则 a 与 ? 的位置关系为 . 13.已知直线 a⊥直线 b, a//平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系为 14.如图,ABC 是直角三角形, ? ACB= 90? ,PA ? 平面 ABC,此图形中有 A B 个直角三角形 C P

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15.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线, 给出四个论断: ① m ? n ②α ?β ③ m ?β ④ n ?α

以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题:若_____则_______. 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与 此平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示: a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面 平行。 符号表示: a β b β a∩b = P a∥α b∥α

β ∥α

2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此 平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a ∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

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2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交 线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 课堂练习部份: 1.对于平面 ? 和共面的直线 m、n,下列命题中假命题是 (填序号). ①若 m⊥ ? ,m⊥n,则 n∥ ? ②若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n ③若 m ? ? ,n∥ ? ,则 m∥n ④若 m、n 与 ? 所成的角相等,则 m∥n 2.已知直线 a,b,平面 ? ,则以下三个命题: ①若 a∥b,b ? ? ,则 a∥ ? ; ②若 a∥b,a∥ ? ,则 b∥ ? ; ③若 a∥ ? ,b∥ ? ,则 a∥b. 其中真命题的个数是 . 3.下列命题,其中真命题的个数为 . ①直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线,则 l∥ ? ; ②若直线 a 在平面 ? 外,则 a∥ ? ; ③若直线 a∥b,直线 b ? ? ,则 a∥ ? ; ④若直线 a∥b,b ? ? ,那么直线 a 就平行于平面 ? 内的无数条直线. 4.设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列命题不正确的是 (填序号). ①若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n ②若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? ③若 ? ⊥ ? ,m ? ? ,则 m⊥ ? ④若 ? ⊥ ? ,m⊥ ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 5.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的 棱 A1B1,B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP=
a ,过 P,M,N 3

的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= . 6. 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1,BC1 上分别有两 点 E,F,且 B1E=C1F. 求证:EF∥平面 ABCD.

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7.如图所示, 已知 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点, 且 SA=SB=SC, SG 为△SAB 上的高,D、E、F 分别是 AC、BC、SC 的中点,试判断 SG 与平面 DEF 的位置关 系,并给予证明.

8.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 BC、CC1、 C1D1、A1A 的中点.求证: (1)BF∥HD1; (2)EG∥平面 BB1D1D; (3)平面 BDF∥平面 B1D1H.

9.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

10.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左 视图在下面画出(单位:cm).

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接 BC′,证明:BC′∥平面 EFG.

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2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义:如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面α 互相垂 直,记作 L⊥α ,直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面 垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线 与此平面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个 平面垂直。 课堂练习部份: 1、“直线 l 垂直于平面?内的无数条直线”是“ l ⊥?”的 ( ) A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条 件 2、如果一条直线 l 与平面?的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面?的位置关系是 ( ) A、 l ?? B、 l ⊥? C、 l ∥? D、 l ??或 l ∥? 3、若两直线 a⊥b,且 a⊥平面?,则 b 与?的位置关系是 ( ) A、相交 B、b∥? C、b?? D、b∥?,或 b?? 4、a∥ ? ,则 a 平行于 ? 内的( ) A、一条确定的直线 B、任意一条直线 C、所有直线 D、无数多条平行线 5、如果直线 a∥平面 ? ,那么 直线 a 与平面 ? 内的 ( ) A、一条直线不相交 B、两条直线不相交 C、无数条直线不相交 D、任意一条直线都不相交 6、若 直线 l 上有 两点 P、Q 到平面 ? 的距离相等,则直线 l 与平面 ? 的位置关系是( ) A、平行 B、相交 C、平行或相交 D、平行、相交或在平面 ? 内 7、已知 a,b,c 是直线,?,?是平面,下列条件中,能得出直线 a⊥平面?的是( A、a⊥c,a⊥b,其中 b??,c?? B、a⊥b,b∥? C、?⊥?,a∥? ) D 、a∥b,b⊥? β

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8 如果直线 l⊥平面?,①若直线 m⊥l,则 m∥?;②若 m⊥?,则 m∥l;③若 m∥?,则 m⊥l; ④若 m∥l,则 m⊥?,上述判断正确的是 ( ) A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、②④ 9、直角△ABC 的斜边 BC 在平面?内,顶 点 A 在平面?外,则△ABC 的两条直角边在平面?内 的射影与斜边 BC 组成的图形只能是 ( ) A、一条线段 B、一个锐角三角形 C、一个钝角三角形 D、一条线段或一个钝角三角形 ) 10、下列命题中正确的是(

A、过平面 外一点作这个平面的垂面有且只有一个 B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个 C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条 D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个 11、给出下列命题: ①若平面 α 的两条斜线段 PA、 PB 在 α 内的射影长相等, 那么 PA、 PB 的长度相等; ②已知 PO 是平面 α 的斜线段,AO 是 PO 在平面 α 内的射影,若 OQ⊥OP,则必有 OQ⊥OA; ③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个; ④平面 α 内有两条直线 a、b 都与另一个平面 β 平行,则 α ∥β 、 上述命题中不正确的命题是 ( A、①②③④ B、①②③ ) C、①③④ D、②③④

12、如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,D,E 分别为 AC,AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一 点,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1F⊥CD,如图 2. A

A1 D F C B C E D F 图2 E B

图1

(1) 求证:DE∥平面 A1CB; (2) 求证:A1F⊥BE; (3) 线段 A1B 上是否存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ?说明理由.

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第二章 点、直线、平面之间的位置关系测试题 一、选择题 1.设 ?,?为两个不同的平面,l,m 为两条不同的直线,且 l ? ?,m ? ? ,有如下的 两个命题:①若??∥?,则 l∥m;②若 l⊥m,则??⊥?.那么( A.①是真命题,②是假命题 C.①②都是真命题 B.①是假命题,②是真命题 D.①②都是假命题 ). ).

2.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误 的是( .. A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60°

3.关于直线 m,n 与平面??,?,有下列四个命题: ①m∥?,n∥??且??∥?,则 m∥n; ③m⊥?,n∥??且??∥?,则 m⊥n; 其中真命题的序号是( 4.给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ).

(第 2 题)

②m⊥?,n⊥??且??⊥?,则 m⊥n; ④m∥?,n⊥??且??⊥?,则 m∥n. B.③④ C.①④ D.②③

A.①②

②垂直于同一平面的两个平面互相平行

③若直线 l1,l2 与同一平面所成的角相等,则 l1,l2 互相平行 ④若直线 l1,l2 是异面直线,则与 l1,l2 都相交的两条直线是异面直线 其中假 命题的个数是( . ).A.1 ). B.2 C.3 D.4

5.下列命题中正确的个数是(

①若直线 l 上有无数个点不在平面???内,则 l∥? ②若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行, 那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面???平行,则 l 与平面???内的任意一条直线都没有公共点 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 ). D.只有两个

6. 两直线 l1 与 l2 异面,过 l1 作平面与 l2 平行,这样的平面( A.不存在 B.有唯一的一个 C.有无数个

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A,B,C,D 四点为顶点的三棱锥体积最 大时,直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( A.90° B.60° ). ). C.45° D.30°

8.下列说法中不正确的 是( ....

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A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 B.同一平面的两条垂线一定共面 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 9.给出以下四个命题: ①如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的一个平面和这个平面相交, 那么这条 直线和交线平行 ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行 ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直 其中真命题的个数是( A.4 ). B.3 C.2 D.1 ).

10. 异面直线 a, b 所成的角 60° , 直线 a⊥c, 则直线 b 与 c 所成的角的范围为( A.[30°,90°] 二、填空题 B.[60°,90°] C.[30°,60°]

D.[30°,120°]

11.已知三棱锥 P-ABC 的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且三个侧面的面积 分别为 S1,S2,S3,则这个三棱锥的体积为 .

12.P 是△ ABC 所在平面???外一点,过 P 作 PO⊥ 平面??,垂足是 O,连 PA,PB,PC. (1)若 PA=PB=PC,则 O 为△ ABC 的 (2)PA⊥PB,PA⊥PC,PC⊥PB,则 O 是△ABC 的 (3)若点 P 到三边 AB,BC,CA 的距离相等,则 O 是△ABC 的 (4)若 PA=PB=PC,∠C=90?,则 O 是 AB 边的 (5)若 PA=PB=PC,AB=AC,则点 O 在△ABC 的 点; 线上. 心; 心; 心;

13.如图,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H, I,J 分别为 AF,AD,BE,DE 的中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成三 棱锥以后,GH 与 IJ 所成角的度数为 . J

14.直线 l 与平面 ??所成角为 30°,l∩?=A,直线 m∈?,则 m 与 l 所 成角的取值范围是 .

(第 13 题)

15.棱长为 1 的正四面体内有一点 P,由点 P 向各面引垂线,垂线段长度分别为 d1,

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d2,d3,d4,则 d1+d2+d3+d4 的值为



16.直二面角??-l-??的棱上有一点 A,在平面??,??内各有一条射线 AB,AC 与 l 成 45°,AB ? ?,AC ? ?,则∠BAC= 三、解答题 17.在四面体 ABCD 中,△ABC 与△DBC 都是边长为 4 的正三角形. (1)求证:BC⊥AD; (2)若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3,求二面角 A-BC-D 的正弦值; (3)设二面角 A-BC-D 的大小为 ?, 猜想 ??为何值时, 四面体 A-BCD 的体积最大.(不要求证明) .

( 第 17 题)

18. 如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,BB1=BC=1,E 为 D1C1 的中点, 连结 ED,EC,EB 和 DB. (1)求证:平面 EDB⊥平面 EBC; (2)求二面角 E-DB-C 的正切值.

(第 ) 19*.如图,在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC =18 90题 °,

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SA⊥ 面 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= (1)求四棱锥 S—ABCD 的体积;

1 . 2

(2)求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值. (提示:延长 BA,CD 相交于点 E,则直线 SE 是 所求二面角的棱.)

20*.斜三棱柱的一个侧面的面积为 10,这个侧面与它所对棱的距离等于 6,求这个棱柱的体积.(提 示:在 AA1 上取一点 P,过 P 作棱柱的截面,使 AA1 垂直于这个截面.)

(第 20 题)

补充:空间向量与立体几何

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一、空间向量及其运算 1.空间向量的概念 向量:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法:用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 2.向量运算和运算率

? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

? OP ? ?a(? ? R)
加法交换率: a ? b ? b ? a. 加法结合率: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ). 数乘分配率: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b. 3.平行向量(共线向量):如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, ? ? ? ? 则这些向量叫做共线向量或平行向量。 a 平行于 b 记作 a ∥ b 。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 共线向量定理:对空间任意两个向量 a ( a ≠ 0 ) 、 b , a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? 使 b
=? a ? ? 4.向量与平面平行:如果表示向量 a 的有向线段所在直线与平面 ? 平行或 a 在 ? 平面 ? ? ? 内,我们就说向量 a 平行于平面 ? ,记作 a ∥ ? 。注意:向量 a ∥ ? 与直线 a∥ ? 的联系与 区别。 共面向量:我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。 ? ? ? ? ? 共面向量定理 如果两个向量 a 、b 不共线,则向量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是 存在实数对 x、y,使 p ? xa ? yb. ①

?

?

?

?

? ? ? 5.空间向量基本定理:如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量,存在
一个唯一的有序实数组 x, y, z, 使 p ? xa ? yb ? zc .

?

?

?

?

? ? (1)夹角:已知两个非零向量 a 、 b ,在空间任取一点 O,作 ? ? ? ? ? ? 则角∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作 ? a,b ? OA ? a , OB ? b ,
说明:⑴规定 0≤ ? a,b ? ≤ ? ,因而 ? a,b ? = ?b ,a ? ;

6.数量积

A
? a

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ⑵如果 ? a,b ? = ,则称 a 与 b 互相垂直,记作 a ⊥ b ; 2

O
? a

(1)

B
? a

⑶在表示两个向量的夹角时,要使有向线段的起点重合,注意图( 1) 、 (2)中的两个 向量的夹角不同, A
? a

O
? a

(2)

B
? a

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图(1)中∠AOB= ?OA, OB? , 图(2)中∠AOB= ?

? ? AO, OB? , ? ?OA, OB? .

从而有 ? ?OA, OB? = ?OA,?OB? = ?

(2)向量的模:表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。 ? ? ? ? ? ? ? ? (3)向量的数量积: a b cos? a , b ? 叫做向量 a 、 b 的数量积,记作 a ? b 。 即 a ? b = a b cos? a , b ? ,

? ?

? ?

? ?

B

? 向量 AB 在e 方向上的正射影:

? e
A
A?

B?
l

? ? ? ? a ? e ?| AB | cos?a, e? ? A?B?
(4)性质与运算率 ⑴ a ? e ? cos? a , e ? 。 ? ? ? ? ⑵ a ⊥ b ? a ? b =0 ⑶ | a |2 ? a ? a.

? ?

? ?

⑴ (?a) ? b ? ? (a ? b ) ? ? ⑵a ?b =b ?a ⑶ a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c

二、空间向量的坐标运算 1、空间直角坐标系: (1)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为 1 ,这个基底叫 单位正交基底,用 {i, j, k} 表示; (2)在空间选定一点 O 和一个单位正交 基底 {i, j, k} ,以点 O 为原点,分别以 i, j , k 的方向为正方向建立三条数 轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角 坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原点,向量 i, j , k 都叫坐标向量.通过每两个
x k i O j y z

A(x,y,z)

坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为 xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面; 2、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空间任一点 A ,存在唯 一的有序实数组 ( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? y j ? z k ,有序实数组 ( x, y, z ) 叫作向量 A 在空 间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标, 记作 A( x, y, z ) ,x 叫横坐标, y 叫纵坐标,z 叫竖坐标. 3、设 a= (a1 , a 2 , a 3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) (1) a±b= = . (4) a∥b ? 。 ;a ? b ? (2) ? a= . .(3) a?b

(5)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , 则 | a |?

a ? a ? a1 ? a2 ? a3 .

2

2

2

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(6)夹角公式: cos a ? b ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? . 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3

( 7 ) 两 点 间 的 距 离 公 式 : 若

A( x1, y1, z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则

| AB |? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2
(8) 设 A ? ( x1 , y1 , z1 ), B ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) 则 AB = AB 的中点 M 的坐标为 , AB ? . .

2

三、立体几何中的向量方法

-------空间夹角和距离
E a

(1)用法向量求异面直线间的距离 如右图所示,a、b 是两异面直线, n 是 a 和 b 的法 向量,点 E∈a,F∈b,则异面直线 a 与 b 之间的距离是

d?

EF ? n n
; b F A

(2)用法向量求点到平面的距离 如右图所示,已知 AB 是平面α 的 一条斜线, n 为平

n
C α B

面α 的法向量,则 A 到平面α 的距离为 d ?

AB ? n


n

(3)用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行, 然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面 的距离问题。 (4)用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行, 这时可以在一个平面上任取一点, 将两平面间的距离 问题转化成点到平面的距离问题。 (5)用法向量求二面角 如图,有两个平面 α 与 β ,分别作这两个平面的法向 α 量 n1 与 n2 ,则平面 α 与 β 所成的角跟法向量 n1 与 n2 所 成的角相等或互补, 所以首先必须判断二面角是锐角还是钝 角。 (6)法向量求直线与平面所成的角

n1
n2

β

要求直线 a 与平面 α 所成的角 θ ,先求这个平面 α 的法向量 n 与直线 a 的夹角的余弦

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cos n, a ,易知 θ = n, a 或者

?
2

? n, a 。

重点考题解析: 题型 1:异面直线所成的角 例 1、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 为棱 AB 的中点。 求:D1E 与平面 BC1D 所成角的大小(用余弦值表示)

z D1 C1 B1

A1

D A x 题型 2:直线与平面所成的角

y C E B

例 2、如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90?,侧棱 AA1=2, D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点,点 E 在平面 ABD 上的射影是△ABD 的重心 G。求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小(结果用余弦值表示) ; z C1 A1 D D E K G x 题型 3:二面角 例 3、在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD, PA=AB=a,E 为 BC 中点。 (1)求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小(用正切值 表示) ; (2)求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。 E F A C B y B1

O

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z

题型 4:异面直线间的距离 例 1、如图 2,正四棱锥 S ? ABCD 的高 SO ? 2 , 底边长 AB ? 2 。求异面直线 BD 和 SC 之间的距 离? A D
x

S

O 图2 B

C
y

题型 5:点面距离 例 2、如图,已知ABCD为边长是4的正方形, E,F分别是AB,AD的中点,GC垂直于A BCD所在的平面,且GC=2,求点B到 平面EFG的距离。 F E A





O?
H E O E E B



题型 6:线面距离 例 3、已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 8, 对角线 B1C ? 10 ,D 是 AC 的中点。 (1)求点 B1 到 直线 AC 的距离。 (2)求直线 AB1 到平面 C1 BD 的距离。

A1

B1

C1

A

D B

C

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第三章 直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行 或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α <180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α =0°, k = tan0°=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, α = 90°, k 不存在.
? ? 当 ? ? 0 ,90 时, k ? 0 ; 在。

?

?

? ? ? 当 ? ? 90 ,180 时, k ? 0 ; 当 ? ? 90 时, k 不存

?

?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) ( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 ≠x2) x2 ? x1

注意下面四点:(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

④截矩式: ?

x a

y ? 1 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、y 轴 b 的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C

? 0 (A,B 不全为 0)
; x ? a (a 为常数)

注意:○ 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如: ○ 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交
A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 的一组解。 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

B x2 , y2) (8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),( 是平面直角坐标系中的两个点,

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则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

( 9 ) 点 到 直 线 距 离 公 式 : 一 点 P?x0 , y0 ? 到 直 线

l1 : Ax ? By ? C ? 0 的 距 离

d?

(10)两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
课堂练习部份: 一、选择题 1.若直线 x=1 的倾斜角为 ?,则??( A.等于 0 B.等于? ).

C1 ? C 2 A2 ? B 2

C.等于

? 2

D.不存在 ).

2.图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

(第 2 题)

3.已知直线 l1 经过两点(-1,-2)、(-1,4),直线 l2 经过两点(2,1)、(x,6),且 l1∥l2,则 x=( A.2 ). B.-2 C.4 D.1

4.已知直线 l 与过点 M(- 3 , 2 ),N( 2 ,- 3 )的直线垂直,则直线 l 的倾斜 角是( A. ).
? 3

B.

2? 3

C.

? 4

D. ).

3? 4

5.如果 AC<0,且 BC<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

6.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 2,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程是( A.x+y-5=0 ). C.2y-x-4=0 D.2x+y-7=0 ).

B.2x-y-1=0

7.过两直线 l1:x-3y+4=0 和 l2:2x+y+5=0 的交点和原点的直线方程为( A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.19x-3y= 0

D.3x+19y=0

8.直线 l1:x+a2y+6=0 和直线 l2 : (a-2)x+3ay+2a=0 没有公共点,则 a 的值是 ( ).

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A.3

B.-3

C.1

D.-1

9.将直线 l 沿 y 轴的负方向平移 a(a>0)个单位,再沿 x 轴正方向平移 a+1 个单位得 直线 l',此时直线 l' 与 l 重合,则直线 l' 的斜率为( A.
a a+ 1

).
a+ 1 a

B. -

a a+ 1

C.

D. - ).

a+ 1 a

10.点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是( A.(-6,8) 二、填空题 B.(-8,-6) C.(6,8)

D.(-6,-8)

11.已知直线 l1 的倾斜角 ?1=15°,直线 l1 与 l2 的交点为 A,把直线 l2 绕着点 A 按逆时 针方向旋转到和直线 l1 重合时所转的最小正角为 60°, 则直线 l2 的斜率 k2 的值为 12.若三点 A(-2,3),B(3,-2),C(
1 ,m)共线,则 m 的值为 2

. .

13.已知长方形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第 四个顶点 D 的坐标为 . .

14.求直线 3x+ay=1 的斜率

15.已知点 A(-2,1),B(1,-2),直线 y=2 上一点 P,使|AP|=|BP|,则 P 点坐 标为 .

16 . 与 直 线 2x + 3y + 5 = 0 平 行 , 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 的 和 为 6 的 直 线 方 程 是 . 17.若一束光线沿着直线 x-2y+5=0 射到 x 轴上一点,经 x 轴反射后其反射线所在直 线的方程是 三、解答题 18.设直线 l 的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6(m∈R,m≠-1),根据 下列条件分别求 m 的值: ①l 在 x 轴上的截距是-3; ②斜率为 1. .

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19.已知△ABC 的三顶点是 A(-1,-1),B(3,1),C(1,6).直线 l 平行于 AB,交 AC,BC 分别于 E,F,△CEF 的面积是△CAB 面积的
1 .求直线 l 的方程. 4

20. 一直线被两直线 l1: 4x+y+6=0, l2: 3x-5y-6=0 截得的线段的中点恰好是坐标原点, 求该直线方程.

21.直线 l 过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线 l 的横截距与纵截距之和为 6,求 直线 l 的方程.

第四章 圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心
2 2
2 2 2

?a, b ? ,半径为 r;

点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r ,点在圆外
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r ,点在圆上
2

当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r ,点在圆内
2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

D E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ?
2 2

?

2

2?

2

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D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。
当 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法: 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件, 若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离 为
d? Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

, 则 有

d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ;

d ? r ? l与C相交
(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该 直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程 为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 课堂练习部份: 一、选择题 1. 若圆 C 的圆心坐标为(2, -3), 且圆 C 经过点 M(5, -7), 则圆 C 的半径为( A. 5 B.5 C.25 D. 10 ). ).

2.过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+4)2=16 D.(x+3)2+(y-4)2=19 4.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( A.0 或 2 B.2 C. 2 ). B.(x+3)2+(y-4)2=16 ). B.(x+3)2+(y-1)2=4

C.(x-1)2+(y-1)2=4

C.(x-3)2+(y+4)2=9

D.无解

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5.圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是( A.8 B.6

). D.4 3 ).

C.6 2

6. 两个圆 C1: x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2: x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系为( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离

7.圆 x2+y2-2x-5=0 与圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直 平分线的方程是( A.x+y-1=0 +1=0 8.圆 x2+y2-2x=0 和圆 x2+y2+4y=0 的公切线有且仅有( A.4 条 B.3 条 C.2 条 ). D.1 条 ). B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y

9.在空间直角坐标系中,已知点 M(a,b,c),有下列叙述: 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,-b,c); 标是 M2(a,-b,-c); 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,-b,c); 点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是( A.3 ). B.2 C.1 D.0 ). D. 86 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐

10.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是( A.2 43 二、填空题 11. 圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 12.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 13.以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 . . B.2 21 C.9



14.两圆 x2+y2=1 和(x+4)2+(y-a)2=25 相切,试确定常数 a 的值 15. 圆心为 C(3, -5), 并且与直线 x-7y+2=0 相切的圆的方程为 16. 设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3, 1), 则直线 AB 的方程是

. . .

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三、解答题 17.求圆心在原点,且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶ 2 两部分的圆的方程.

18.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0).

19.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的圆的方程.

直线与圆的位置关系练习题: 1.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( ). 2 2 2 A.(x-3) +(y+4) =16 B.(x+3) +(y-4)2=16 C.(x-3)2+(y+4)2=9 D.(x+3)2+(y-4)2=19 2.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( ). A.0 或 2 B.2
2 2

C. 2

D.无解 )

( ? 2, 0) 3.直线 l 过点 , l 与圆 x ? y ? 2 x 有两个交点时,斜率 k 的取值范围是(

2 2) A (? 2 2,
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B (? 2,2)
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C (?
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2 2 , ) 4 4

D ( ? ,)
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1 1 8 8

4.设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程是 5. 圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是 。



2 2 6. P 为圆 x ? y ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为

_______ 7.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为 8.圆心为 C(3,-5),并且与直线 x-7y+2=0 相切的圆的方程为
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. .

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2 10.已知圆 C: ? x ? 1? ? y ? 9 内有一点 P(2,2) ,过点 P 作直线 l 交圆 C 于 A、B 两点. 2

(1) 当 l 经过圆心 C 时,求直线 l 的方程; (2) 当弦 AB 被点 P 平分时,写出直线 l 的方程; (3) 当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求弦 AB 的长.

11.已知动点 M 到点 A(2,0)的距离是它到点 B(8,0)的距离的一半, 点 M 的轨迹方程; (2)若 N 为线段 AM 的中点,试求点 N 的轨迹.

求: (1)动

必修五第一章

解三角形

a b c ? ? ? 2R 1.正弦定理:在△ABC 中, sin A sin B sin C
注意: (1)R 表示△ABC 外接圆的半径; (2)正弦定理可以变形成各种形式来使用; (3) 应用正弦定理解决的题型: ①已知两角和一边, 求其它②已知两边和一边的对角, 求其它. (4)在已知两边和一边的对角,求其它的类型中,可能出现无解、一解或两解,具体后 面例题再进一步分析. 2.余弦定理:在△ABC 中,

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
变形为:

cos A ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 , cos B ? , cosC ? 2bc 2ac 2ab

注意: (1)应用余弦定理解决的题型:①已知三边,求各角②已知两边和一边的对角, 求其它③已知两边和夹角,求其它; (2)正、余弦定理的实质是一样的,从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解, 反之亦然;只是方便程度有别; (3)正、余弦定理可以结合使用; 3.△ABC 的面积公式, S ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B . 2 2 2

4.三角形形状的判定方法 常用两种途径: (1)由正余弦定理将边转化为角; (2)由正余弦定理将角转化为边;注:化 简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合 起来. 5.解三角形的应用可大体上把它分成以下三类: (1)距离问题:一点可到达另一点不可到达;两点都不可到达; (2)高度问题(最后都转化为解直角三角形) ; (3)角度问题; (4)面积问题. 重点考点解析 题型一:正弦定理的应用 例 1 (1)在△ABC 中, A= 30 ,B= 45 ,a=6,求 c;
0 0

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(2)在△ABC 中,A= 30 0 ,b=4,a=3,则 cosB; (3)在Δ ABC 中,B= 30 0 ,b= 50 3 ,c=150,求 a.

题型二:余弦定理的应用 例 2(1)在△ABC 中, a=2,B= 600 ,c=4,求 b; (2)在△ABC 中, a=7,b=3,c=5, 求最大角和 sinC; (3)在△ABC 中, a= 3 ,b= 2 , B ? 450 ,求 c.

题型三:判定下列三角形的形状
2 2 2 例 3(1)在△ABC 中,已知 sin A ? sin B ? sin C ,判断△ABC 的形状;

1 2 , a ? bc ,判断△ABC 的形状; 2 (3)在△ABC 中,若 B ? 600 ,2b ? a ? c ,试判断△ABC 的形状.
(2)在△ABC 中,已知 cos A ?

题型四:三角形的面积
2 2 例 4 (1)在△ABC 中,已知 b ? bc ? 2c ? 0, a ?

6 , cos A ?

7 ,求△ABC 的面积; 8

(2)在△ABC 中, B ? 300 , AB ? 2 3, 面积 S ? 3, 求 AC; 0 2 (3) 在△ABC 中,边 a , b 的长是方程 x ? 5x ? 2 ? 0 的两个根, C ? 60 , 求边 C 的长.

题型五:三角形恒等式 例 5 在 ?ABC 中,求证

a ? c cos B sin B ? . b ? c cos A sin A

课堂练习部份: 一.选择题 1.在△ABC 中,若 sin A : sin B ? 2 : 3 ,则边 b : a ? (

).

4 (A) 3 : 2或9:

3 (B) 2:

4 (C) 9:

2. (D) 3:
) .

2.在△ABC 中,已知 A=30°,a=8,b= 8 3 则三角形的面积为(

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(A) 32 3

(B)16

(C) 32 3 或 16

(D)32 3 或 16 3 .

3.在△ABC 中,A、B、C 所对边分别为 a,b,c 且 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则 A 等于 ( (A) ) .

? 6

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

2? 3
) .

4.在△ABC 中,三边长 AB=7,BC=5,AC=6,则 AB ? BC 的值为( (A)19 (B)-14 (C)-18 (D)-19 ).

sin A cos B cos C ? ? 5.若 ,则△ABC 的形状为( a b c

(A)等边三角形 (B)等腰直角三角形 (C)有一个角为 30°的直角三角形 (D)有一个角为 30°的等腰三角形. 6. 在直角三角形中,A、B 为两锐角,则 sin A sin B 中( ) (A)有最大值

1 和最小值 0 2

(B)有最大值

1 和无最小值 2

(C)无最大值也无最小值 二、真空题:

(D)有最大值 1,但无最小值.

7.在△ABC 中,若 B=30°,AB= 2 3 ,AC=2,则△ABC 的面积为

.

8. 已知三角形的三边成公差为 2 的等差数列,且它的最大角的正弦值为,则这个三角形的 面积为 . 9.若以 2,3, x 为三边组成一个锐角三角形,则 x 的取值范围是 . 10.△ABC 中,若 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 . 三、解答题: 11.已知 a, b, c 是 ?ABC 中角 A, B, C 的对边,且 a ? a ? 2b ? 2c ? 0, a ? 2b ? 2c ? 3 ? 0 ,
2

求这个三角形的最大内角.

12.在△ABC 中, BC=a, AC=b, a,b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根, 且 cos( A ? B ) ?
2

1 . 2

求(1)角 C 的度数; (2)AB 的长; (3)△ABC 的面积.

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补充:三角函数式在解三角形中的应用 重难点归纳 (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形; (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化; (3)能熟练运用三角形基础知识,正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合,通过 等价转化或构建方程解答三角形的综合问题,注意隐含条件的挖掘 例 1 在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得一轮船 在岛北 30°东,俯角为 30°的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在 岛北 60°西、俯角为 60°的 C 处。 (1)求船的航行速度是每小时多少千米; (2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的 D 处,问此 时船距岛 A 有多远?
西 D

P
C



B

东 A

例 2 已知△ABC 的三内角 A、B、C 满足 A+C=2B,设 x=cos (1)试求函数 f(x)的解析式及其定义域; (2)判断其单调性,并加以证明; (3)求这个函数的值域

A?C 1 1 ,f(x)=cosB( ) ? 2 cos A cos C

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例 3 已知△ABC 的三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B

1 1 2 A?C ? ?? ,求 cos 的值 cos A cos C cos B 2

巩固练习 1 给出四个命题 (1)若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形;(2)若 sinA=cosB,则△

ABC 为直角三角形;(3)若 sin2A+sin2B+sin2C<2,则△ABC 为钝角三角形;(4)若 cos(A- B)cos(B-C)cos(C-A)=1,则△ABC 为正三角形 以上正确命题的个数是( A 2 1 B 2 C 3 D 4 )

在△ ABC 中, A 为最小角, C 为最大角,已知 cos(2A+C)= -

4 4 , sinB= ,则 3 5

cos2(B+C)=__________ 3 积 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形 ABCD 的面

4

如右图,在半径为 R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯,桌子边缘一点处的照度和灯

光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ 的正弦成正比,角和这一点到光源的距离 r 的平方 成反比,即 I=k?

sin? ,其中 k 是一个和灯光强度有关的常数,那么 r2
h R r ?

怎样选择电灯悬挂的高度 h,才能使桌子边缘处最亮?

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5. 在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边, 4 sin 2 (1)求角 A 的度数; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值

B?C 7 ? cos 2 A ? 2 2

6.

在正三角形 ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点,使沿线段 DE 折叠三角形时,顶

点 A 正好落在边 BC 上,在这种情况下,若要使 AD 最小,求 AD∶AB 的值

第二章 第一课时:数列的概念与简单表示法 一、数列中的一些简单概念:

数列

数列:按照一定顺序排列着的一列数;数列的项:数列中的每一个数. 数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 数列的前 n 项和:数列从第一项加到第 n 项的和,Sn=a1+a2+ a3+.........+ an-1 +an 二、数列的分类: 有穷数列:项数有限的数列. 无穷数列:项数无限的数列.

递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 常数列:各项相等的数列. 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.

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三、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 四、数列的前 n 项和与通项公式的关系: an ? ?

?S1 (n ? 1) ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

五、重点难点解析与练习: 一.根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 【例 1】根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,? 1 1 5 13 29 61 (3)2, 4,-8, 16,-32, 64,? 3 7 9 (4)2, 1, 10, 17,? (5)0,1,0,1,? 分析先观察各项的特点,然后归纳出通项公式

二.根据递推公式写出数列的前几项 a =1, ? ? 1 【例 2】设数列{an}满足? 写出这个数列的前 5 项. 1 an=1+ (n>1,n∈N*). ? an-1 ?

三.数列通项公式的应用 ?9n2-9n+2? 【例 3】已知数列? 9n2-1 ?; ? ? (1)求这个数列的第 10 项; 98 (2)101是不是该数列中的项,为什么? (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; 1 2? (4)在区间? ?3,3?内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由.

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四.利用函数的性质判断数列的单调性 例 4 已知数列{an}的通项公式为 an= .求证:数列{an}为递增数列. n2+1 n2

五.求数列的最大项 9n(n+1) 例 5 已知 an= 10n (n∈N*),试问数列{an}中有没有最大项?如果有,求出这个最大项;如 果没有,说明理由.

六.由递推公式求通项公式 1 例 6 已知数列{an}满足 a1=1,an=an-1+ (n≥2),写出该数列的前五项及它的一个 n(n-1) 通项公式.

课堂练习: 1.数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是 ( ) n(n-1) n(n+1) A.an=n2-n+1 B.an= 2 C.an= 2 D.an=n2+1 2.已知数列{an}中,an=2n+1,那么 a2n 为( ) A.2n+1 B.4n-1 C.4n+1 D.4n 3.若数列的前 4 项为 1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是 ( ) 1 1 - A.an=2[1+(-1)n 1] B.an=2[1-cos(n?180°)] 1 - C.an=sin2(n?90°) D.an=(n-1)(n-2)+2[1+(-1)n 1] 4.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-50,则-8 是该数列的 ( ) A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.非任何一项 1 1 1 1 5.设 an= + + +?+2n (n∈N*),那么 an+1-an 等于 ( ) n+1 n+2 n+3 1 1 1 1 1 1 A. B. C. + D. - 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2 6.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.常数项 D.不能确定 1 1 7.已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足 an+1=2an+2n,则此数列第 4 项是( ) 1 3 5 A.1 B.2 C.4 D.8 an 8.若 a1=1,an+1= ,给出的数列{an}的第 34 项是( ) 3an+1 34 1 1 A.103 B.100 C.100 D.104

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3 9.已知 an= (n∈N*),记数列{an}的前 n 项和为 Sn,则使 Sn>0 的 n 的最小值为( ) 2n-11 A.10 B.11 C.12 D.13 10.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是______. 11.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 570 年—公元前 500 年)学派的数学家经常 在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们将石子摆成如图 所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第 10 个三角形数是______.

12.数列 a,b,a,b,?的一个通项公式是______ 13.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有多少个点.

14.已知数列{an}满足:a1=a2=1,an+2=an+1+an, (n∈N*),则使 an>100 的 n 的最小值是______. 15.设 an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第 m 项的和最大,则 m 的值是______. 16.已知数列{an}满足 a1=0,an+1=an+n,则 a2 009=______. 17.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1?a2?a3???an=n2. (1)求 a3+a5; 256 (2)探究225是否为此数列中的项; (3)试比较 an 与 an+1 (n≥2)的大小.

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18.已知函数 f(x)=2x-2 x,数列{an}满足 f(log2an)=-2n. (1)求数列{an}的通项公式; (2)证明:数列{an}是递减数列.



1 1 19.在数列{an}中,a1=2,an=1- (n≥2,n∈N*). an-1 (1)求证:an+3=an; (2)求 a2 010.

第二课时:等差数列 一、等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等 差数列,这个常数称为等差数列的公差. 二、等差数列的通项公式与前 n 项和公式 1、若等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an 通项公式的变形:

? a1 ? ? n ?1? d .

an ? am ? ? n ? m? d ; d ?
?

an ? a1 an ? am ;d ? . n ?1 n?m

2、等差数列的前 n 项和的公式: (1) Sn

n ? n ? 1? n ? a1 ? an ? d. ; (2) Sn ? na1 ? 2 2

3、等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 和 an 的关系: (1)等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 与 an 有如下关系: an ? ? (2)若已知等差数列

?S1 (n ? 1) ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

?an ? 的前 n 项和 S

n

求通项公式 an ,要分两步进行:

①先求 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ; ②再令 n ? 1 求得 a1 .若 a1 ? S1 ,则 an 即为所求;若 a1 ? S1 ,则 an ? ?

?S1 (n ? 1) ?Sn ? Sn?1 (n ? 2)

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三、等差数列中的一些简单性质 1、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等 差中项.若 b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

2、若 ?an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an 若 ?an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 2an 3、等差数列的前 n 项和 Sn 的性质: (1)项数(下标)的“等和”性质: Sn ? (2)项的个数的“奇偶”性质:
* ①若项数为 2n n ? ? ,则 S2n

? ap ? aq ;

? ap ? aq .

n ? a1 ? an ? n(am ? an ?m ?1 ) ? 2 2

?

?

? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd ,


S奇 a ? n . S偶 an?1


* ②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an? 1 ,且 S

?

?

?S

? ?an?1 , S

偶:

S



? n : n ?1
(3 ) “片段和”性质:等差数列 ?an ? 中,公差为 d ,前 k 项的和为 Sk ,则 Sk 、 S2 k ?k 、

S3k ?2k ,……, Smk ?( m?1) k ,……构成公差为 k 2 d 的等差数列.
补充:等差数列与函数的关系 重点题型解析与练习: 题型一、计算求值(等差数列基本概念的应用) 1、.等差数列{an}的前三项依次为 a-6,2a -5, -3a +2,则 a 等于( A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2.在数列{an}中,a1=2,2an+1=2an+1,则 a101 的值为 ( A.49 A.92 A 15 B.50 B.47 B 30 C.51 C.46 C 31 3.等差数列 1,-1,-3,?,-89 的项数是( ) D.45 ) D 64 ) ) D.52

)

4、已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是( 5. 首项为-24 的等差数列,从第 10 A.d>

8 3

B.d<3

C.

8 ≤d<3 3

D.

8 <d≤3 3

6 、 . 在 数 列 { a n } 中 , a1 ? 3 , 且 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n , 点 ( an , an?1 ) 在 直

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x ? y ? 3 ? 0 上,则 an =_____________.
题型二、等差数列性质 1、已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则 a5 等于( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 2、设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S7 ? 35 ,则 a4 ? ( )

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 3、 若等差数列 ?a n ?中, a3 ? a7 ? a10 ? 8, a11 ? a4 ? 4, 则 a7 ? __________ . A.7 B. 6 C. 3 D. 2 )

4、记等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 2 ? 4 , S 4 ? 20 ,则该数列的公差 d=(



1 5、等差数列 {an } 中,已知 a 1 ? , a 2 ? a 5 ? 4 , a n ? 33 ,则 n 为( 3
(A)48 (B)49 (C)50 (D)51 )

a S 5 6、设 Sn 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,若 5 ? , 则 9 ? ( a3 9 S5 1 A.1 B.-1 C.2 D. 2

7、已知等差数列{an}满足 α 1+α 2+α 3+?+α 101=0 则有( ) A.α 1+α 101>0 B.α 2+α 100<0 C.α 3+α 99=0 D.α 51=51 8、如果 a1 , a2 ,?, a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( ) (A) a1 a8 ? a4 a5 (B) a8 a1 ? a4 a5 (C) a1 + a8 ? a4 + a5 (D) a1 a8 = a4 a5 题型三、等差数列前 n 项和 1、等差数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? 项和 Sn ? . ( D. )

? a10 ? p , an?9 ? an?8 ?

? an ? q ,则其前 n

2、已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a99 ? 0 ,则 A. a1 ? a99 ? 0 B.

a1 ? a99 ? 0

C.

a1 ? a99 ? 0

a50 ? 50

3、在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? 15, an ? an?1 ? an?2 ? 78 , S n ? 155, 则n ? 。 ) 4、等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S2 ? 2, S4 ? 10, 则S6等于 ( A.12 B.18 C.24 D.42
*

5、若等差数列共有 2n ? 1 项 n ? N 则项数为 A. 5 ( B. 7 ) C. 9

?

?,且奇数项的和为 44,偶数项的和为 33,
D. 11

6、 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ?

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7、 若两个等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别是 Sn,Tn ,已知 ( A. 7 ) B.

a Sn 7n ,则 5 等于 ? b5 Tn n ? 3

2 3

C.

27 8

D.

21 4

题型四、等差数列综合题精选 1、等差数列{ an }的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 ? 30, a20 ? 50. (Ⅰ)求通项 an ; (Ⅱ)若 Sn=242,求 n.

2、已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。

3、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +C(C 为常数),求数列{a0}的通项公式,并判断{an}是不 是等差数列。

2

4、已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? 2 , a3 ? 18; ?bn ? 也是等差数列, a 2 ? b2 ? 4 ,

b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? a1 ? a2 ? a3 。 (1)求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项和 S n 的公式; (2)数列 ?an ? 与 ?bn ? 是否有相同的项? 若有,在 100 以内有几个相同项?若没有,请说
明理由。

8.已知 f(x)=x -2(n+1)x+n +5n-7 (1)设 f(x)的图像的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列。 (2)设 f(x)的图像的顶点到 x 轴的距离构成{bn},求{bn}的前 n 项和。

2

2

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第三课时:等比数列 一、等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比 数列,这个常数称为等比数列的公比. 二、等比数列的通项公式与前 n 项和公式 1、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q n?1 . 通项公式的变形:

an ? amqn?m ; q n ?1 ?

a an n?m ? n . ;q am a1

?na1 ? q ? 1? ? 2、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
三、等比数列中的一些简单性质 1、 在 a 与 b 中间插入一个数 G , 使 a ,G ,b 成等比数列, 则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若

G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
2、若 ?an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ?* ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;若
2 ,则 an ? ap ? aq . ?an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ?* )

3、等比数列的前 n 项和的性质: (1)项的个数的“奇偶”性质:
* ①若项数为 2n n ? ? ,则

?

?

S偶 S奇

?q
a1 ? a2 n ? 2 ( q ? ?1 ) 1? q

* ②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S

?

?



? S 偶?

(2) “片段和” 性质: 等比数列 ?an ? 中, 公比为 q , 前 k 项的和为 Sk ( Sk ? 0) , 则 Sk 、 S2 k ? k 、

S3k ?2k ,……, Smk ?( m?1) k ,……构成公比为 qk 的等比数列.
(3) “相关和”性质: Sn?m

? Sn ? qn ? Sm

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重点题型解析与练习: 题型一:等比数列定义的应用 1、数列 ?an ? 满足 an ? ? an ?1 ? n ? 2 ? , a1 ?

2、 在数列 ?an ? 中, 若 a1 ? 1 , 则该数列的通项 an ? ______________. an?1 ? 2an ? 1? n ? 1? , 题型二:等比中项的应用 1、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( A. ?4 A. 0 B. ?6 B. 1 C. ? 8 C. 2 ) D. ?10 ) D.不确定

1 3

4 ,则 a4 ? _________. 3

2、若 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数为( 3、已知数列 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2 , a2 ? a4 ? 题型三:等比数列及其前 n 项和的基本运算 1、若公比为 A. 3

20 ,求 ?an ? 的通项公式. 3

2 9 1 的等比数列的首项为 ,末项为 ,则这个数列的项数是( ) 3 8 3 B. 4 C. 5 D. 6

2、 已知等比数列 ?an ? 中,a3 ? 3 ,a10 ? 384 , 则该数列的通项 an ? _________________. 3、若 ?an ? 为等比数列,且 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q ? ________. 4、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2 ,则 A.

2a1 ? a2 的值为( 2a3 ? a4
D.1



1 4

B.

1 2

C.

1 8


题型四:等比数列及其前 n 项和性质的应用 1、在等比数列 ?an ? 中,如果 a6 ? 6 , a9 ? 9 ,那么 a3 为(

3 16 C. 2 9 2、如果 ?1 , a , b , c , ?9 成等比数列,那么( ) A. b ? 3 , ac ? 9 B. b ? ?3 , ac ? 9 b ? 3 ac ? ? 9 C. , D. b ? ?3 , ac ? ?9
A. 4 B. 3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2 a3a4a5a6a7 a8a9 等于( A. 81 B. 27 5 27 C. 3

D. 2

) D. 243 )
10

4、在等比数列 ?an ? 中, a9 ? a10 ? a ? a ? 0? , a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a100 等于(

b9 A. 8 a

b10 ?b? ?b? B. ? ? C. 9 D. ? ? a ?a? ?a? 5、 在等比数列 ?an ? 中, 则 a2 a4 a6 的值为 ( a3 和 a5 是二次方程 x 2 ? kx ? 5 ? 0 的两个根,
A. 25 B. 5 5 C. ?5 5 D. ?5 5 6、若 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,若 a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值等于

9



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题型五:公式 an ? ?

? S1 , (n ? 1) 的应用 ? Sn ? S n ?1 , (n ? 2)
n

1.等比数列前 n 项和 Sn=2 -1,则前 n 项的平方和为( A.(2 -1)
n 2

) D.

B.

1 n 2 (2 -1) 3

C.4 -1
n

n

1 n (4 -1) 3

2. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3 +r,那么 r 的值为______________.

3.设数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 S1=3,若对任意的 n∈N 都有 Sn=2an-3n. (1)求数列{an}的首项及递推关系式 an+1=f(an); (2)求{an}的通项公式; (3)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 题型六:等比数列的综合题 1. 已知等比数列 {a n }满足 a3 ? 12, a8 ? (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若 S n ? 93, 求n.

*

3 , 记其前 n 项和为 S n . 8

2. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列. (1)求 ?an ? 的公比 q ; (2)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 S n .

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3.在等比数列 ?an ? 中,a1 ? 1, 公比 q ? 0 , 设 bn ? l og (1)求证:数列 ?bn ? 是等差数列;

2

且 b1 ? b3 ? b5 ? 6, b1b3b5 ? 0. an ,

(2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 及数列 ?an ? 的通项公式; (3)试比较 an 与 S n 的大小.

4.已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , 4 2 是 a1 和 a 4 的一个等比中项, a 2 和 a3 的等差中项 为 6 ,若数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 an ( n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Sn .

第四课时:数列的通项公式与前 n 项和的求法 数列通项公式的求法

一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 这种方法适应于已知数列类型 的题目. 2 例 1.等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S5 ? a5 .求
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数列 ?an ? 的通项公式.

二、公式法
若已知数列的前

n 项 和 S n 与 an 的 关 系 , 求 数 列 ?an ? 的 通 项 an 可 用 公 式

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 求解。 an ? ? ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2 例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。

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三、由递推式求数列通项法 对于递推公式确定的数列的求解, 通常可以通过递推公式的变换, 转化为等差数列或等比数 列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型 1 递推公式为 an?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

类型 2 递推公式为 an?1 ? f (n)an 解法:把原递推公式转化为

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an
2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

类型 3 递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。 解法:把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 比数列求解。 例 5.在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ?

q ,再利用换元法转化为等 1? p

类型 4 递推公式为 an?1 ? pan ? q n(其中 p, q 均为常数, 。 ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

(或

an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数)
例 6 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3, 3 3 3

求通项 an ;

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四、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联 想出一种适当的辅助模型,如某种数量关系,某个直观图形,或者某一反例,以此促成命题 转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递 推公式要求出该数列的通项公式, 此类题通常较难, 但使用构造法往往给人耳目一新的感觉. 1、构造等差数列或等比数列 由于等差数列与等比数列的通项公式显然, 对于一些递推数列问题, 若能构造等差数列或等 比数列,无疑是一种行之有效的构造方法. 例 7:
2

an ? 2an ? 4Sn 成立,求 ?an ?的通项 an.

设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对于任意正整数 n,都有等式:

例 8: 数列 ?an ?中前 n 项的和 S n ? 2n ? an ,求数列的通项公式 an .

2、构造差式与和式 解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差, 然后采用迭加的方法就可求得这 一数列的通项公式. 2 2 例 9: 设 ?an ?是首项为 1 的正项数列,且 an (n∈N*) ,求数列的 ? an ?1 ? nan ? nan?1 ? 0 , 通项公式 an.

3、构造商式与积式 构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 例 10: 数列 ?an ?中, a1 ?

1 ,前 n 项的和 Sn ? n 2 an ,求 a n ?1 . 2

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数列前 n 项和的求法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q )
n

? na1 ? ? ?

(q ? 1) a ? an q ? 1 1? q
4、 S n ?
n

1? q

(q ? 1)

3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

?k
k ?1

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2

[例 1] 已知 log3 x ?

?1 ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

[例 2] 设 Sn=1+2+3+?+n,n∈N ,求 f (n) ?
*

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列 {an? bn}的前 n 项和,其中 {an } 、 {bn } 分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ?????????①

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[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法, 就是将一个数列倒过来排列 (反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 5] 求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 6] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,? a a a

五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)

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(3) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(4) an ?

(2n) 2 1 1 1 ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ? (6)

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

an ?

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n
求数列

[例 7]

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

[例 8]

在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

前 n 项的和.


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