湖北省武昌区2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题 文


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武昌区 2012-2013 学年度第二学期期末调研考试 高二文科数学试题参考答案及评分细则

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一、选择题: 1.A 6.A 二、填空题 11.1 15.

2.C 7.C 12.10

3.C 8.D

4.C 9.B

5.C 10.C 14.②

13.140+ 40?
2 2 2

2

16.

a ?b ?c 2

17. 1

三、解答题: 18. 解: (Ⅰ) f ( x) ? 由T ?

3 sin 2?x ? 1 ? cos 2?x ? m ? 2 sin(2?x ?

?
6

) ? 1.

2? ? ? ,得 ? ? 1. 2?

……………………………………………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
6

) ?1.

? ? ? 7? ? x ? [0, ] ,? 2 x ? ? [ , ] . 2 6 6 6 ? 7? 7? ? 当 2x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) min ? 2 sin ?1 ? 0 ; 6 6 6 2
当 2x ?

?

6

?

?

2

,即 x ?

?

6

时, f ( x) max ? 2 sin

?

所以,函数 f (x) 在区间 [0,

?
2

2

?1 ? 3.

] 上的取值范围是 [0,3] .………………………12 分

19. 解: (I)由题意得 10a ? 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.35 ? 1 , 所以 a ? 0.005 .…………………………………………………………………2 分 (Ⅱ)由直方图,得: 第 3 组人数为 0.3 ? 100 ? 30 , 第 4 组人数为 0.2 ? 100 ? 20 人, 第 5 组人数为 0.1? 100 ? 10 人. 所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生, 每组分别为:

30 ? 6 ? 3 人, 60 20 第 4 组: ? 6 ? 2 人, 60 10 第 5 组: ? 6 ? 1 人. 60
第 3 组: 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人. …………………………7 分 (Ⅲ)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 ,第 5 组的 1 位 同学为 C1 ,则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:
6

( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ),
其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的有:

( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ),
共 9 种. 所以其中第 4 组的 2 位同学至少有一位同学入选的概率为

9 3 ? . ……………12 分 15 5

20. 解: (Ⅰ)?VC ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC, ?VC ? AC . 又,C 是⊙O 上的点,AB 是直径, ? AC ? BC . ?VC ? 平面 VAC, BC ? 平面 VAC, VC ? BC ? C , ?AC⊥平面 VBC. 又 AC ? 平面 VAC, ?平面 VAC⊥平面 VBC. ……………………………………………………………7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ?AVC 为直线 VC 与平面 VBC 所成的角. 在 Rt ?ACV 中, tan ?AVC ?

AC ? 3, VC
?

? ?AVC ? 60 ? .
所以直线 V 与平面 VBC 所成的角为 60 .………………………………………13 分 21. 解: (Ⅰ)f (x)的定义域为{x | x ? 0 } .

f ?( x) ? 1 ?

a a ? 1 x 2 ? a ? (a ? 1) x ( x ? 1)( x ? a) ? ? ? . x x2 x2 x2

?a ? 1 ,
令 f ?( x) ? 0 ,即

( x ? 1)( x ? a) ? 0, 得x ? 1或x ? a , x2

∴ f (x) 的增区间为(0,1) (a,??) . , 令 f ?( x) ? 0 ,即

( x ? 1)( x ? a) ? 0 ,得1 ? x ? a . x2

∴ f (x) 的减区间为 (1, a ) .……………………………………………………6 分 (Ⅱ)①当 a ? 1时, f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,

? f (x) 在 [1, e] 恒为增函数.
?[ f ( x)] min ? f (1) ? 1 ? a ? ?2 ,得 a ? 3 (舍去) .
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②当 1 ? a ? e 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a或1 . 当 1 ? x ? a 时, f ?( x) ? 0 ,? f (x) 在 (1, a ) 上为减函数; 当 a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,? f (x) 在 (a, e) 上为增函数; . ?[ f ( x)] min ? f (a) ? a ? 1 ? (a ? 1) ln(a) ? ?2 ,得 a ? e (舍) ③当 a ? e 时, f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立, 此时 f (x) 在 [1, e] 恒为减函数.

?[ f ( x)] min ? f (e) ? e ?
综上可知 a ? e .

a ? (a ? 1) ? ?2 ,得 a ? e . e

…………………………………………………………14 分

22. 解: (Ⅰ)设点 M 的坐标为( x , y ) , 因为 k AM ? 所以

y ?1 y ?1 , k BM ? , x x

x2 y ?1 y ?1 1 ,即 ? y2 ? 1 . ? ?? m ?1 x x m ?1
x2 ? y 2 ? 1? x ? 0 ? .………………………………6 分 m ?1

所以,曲线 C 的方程是

(Ⅱ)假设存在.将 l : y ? kx ?

x2 1 代入 ? y 2 ? 1 ,得 m ?1 3
2

2 ?1? ?? m ? 1? k 2 ? 1? x 2 ? ? m ? 1? kx ? ? ? ? m ? 1? ? m ? 1 . ? ? 3 ?3?
2 2 即 9 ?? m ? 1? k ? 1? x ? 6 ? m ? 1? kx ? 8 ? m ? 1? ? 0 . ? ?

设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,则

6 ? m ? 1? k ? ? x1 ? x2 ? 9 ?? m ? 1? k 2 ? 1? ? ? ? 由韦达定理,得 ? . ?8 ? m ? 1? ?x x ? ? 1 2 9 ?? m ? 1? k 2 ? 1? ? ? ?
? 依题意 ?PAQ ? 90 ,所以 AP ? AQ ? 0 ,即 ? x1 , y1 ? 1?? x2 , y2 ? 1? ? 0 .

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4 ?? 4? ? ? x1 x2 ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? 0 , x1 x2 ? ? kx1 ? ? ? kx2 ? ? ? 0 . 3 ?? 3? ?
即 9 1 ? k 2 x1 x2 ? 12k ? x1 ? x2 ? ? 16 ? 0 . 于是 9 1 ? k

?

?

?

2

?8 ? m ? 1 6 m ?1 k ? 9 ? m ? 1 k ?? 1? ? 12k 9 ? m? ? 1 k? ? 1? ? 16 ? 0 . ??

?

2

?

??

?

2

?

即 ? 1 ? k 2 8 ? m ? 1? ? 8 ? m ? 1? k 2 ? 16 ?? m ? 1? k 2 ? 1? ? 0 . ? ? 化简,得 m ? 1. 所以,存在 m ? 1,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 A.…………………………14 分

?

?

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