广东省珠海市2013-2014学年高三(上)开学摸底数学试卷(文科)(含解析)


2013-2014 学年广东省珠海市高三(上)开学摸底数学试卷(文科)
一、选择题 1. 分) (5 (2013?昌平区一模)设集合 A={x|x>1},B={x|x(x﹣2)<0},则 A∩B 等于( ) A.{x|x>2} B.{x|0<x<2} C.{x|1<x<2} D.{x|0<<1} 考点: 交集及其运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 先解一元二次不等式化简集合 B,再与集合 A 求 A∩B 即可. 解答: 解:∵集合 B={x|x(x﹣2)<0}={x|0<x<2}, 又 A={x|x>1}, ∴A∩B={x|1<x<2}, 故选 C. 点评: 本题考查解不等式,考查集合的运算,考查学生的计算能力,属于基础题. 2. 分) (5 (2013?肇庆一模)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数为( A.y=x﹣1 B.y=log2x C.y=|x| D.y=﹣x2 )

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据 y=x﹣1= 在区间(0,+∞)上单调递减,得 A 项不符合题意;根据 y=log x 的定义域不关于原 2 点对称,得 y=log2x 不是偶函数,得 B 项不符合题意;根据 y=﹣x 的图象是开口向下且关于 x=0 对 2 称的抛物线,得 y=﹣x 的在区间(0,+∞)上为减函数,得 D 项不符合题意.再根据函数单调性与 奇偶性的定义,可得出只有 C 项符合题意. 解答: 解:对于 A,因为函数 y=x﹣1= ,在区间(0,+∞)上是减函数 不满足在区间(0,+∞)上单调递增,故 A 不符合题意; 对于 B,函数 y=log2x 的定义域为(0,+∞) ,不关于原点对称 故函数 y=log2x 是非奇非偶函数,故 B 不符合题意; 对于 C,因为函数 y=|x|的定义域为 R,且满足 f(﹣x)=f(x) , 所以函数 y=|x|是偶函数, 而且当 x∈(0,+∞)时 y=|x|=x,是单调递增的函数,故 C 符合题意; 2 对于 D,因为函数 y=﹣x 的图象是开口向下的抛物线,关于直线 x=0 对称 2 所以函数 y=﹣x 的在区间(0,+∞)上为减函数,故 D 不符合题意 故选:C 点评: 本题给出几个基本初等函数,要求我们找出其中的偶函数且在区间(0,+∞)上单调递增的函数, 着重考查了基本初等函数的单调性与奇偶性等知识,属于基础题. 3. 分) (5 (2013?潮州二模)设 i 为虚数单位,则复数 A. B. C. 等于( ) D.
2

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 把给出的复数分子分母同时乘以 2﹣i,然后整理成 a+bi(a,b∈R)的形式即可. 解答: 解: = . 故选 A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的共轭复数,是基 础题. 4. 分) (5 (2007?广州二模)sin480°的值为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 利用诱导公式直接化简函数的表达式,通过特殊角的三角函数值求解即可. 解答: 解:sin480°=sin(360°+120°)=sin120°= . 故选 B. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的诱导公式的应用,注意特殊角的三角函数值,送分题. 5. 分)中心在原点的双曲线,一个焦点为 (5 双曲线的方程是( ) A. B. ,一个焦点到最近顶点的距离是 C. D. ,则

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意知,双曲线的焦点在 y 轴,c= ,a=1,从而可得其标准方程. 解答: 解:∵中心在原点的双曲线,一个焦点为 F(0, ) , ∴其焦点在 y 轴,且半焦距 c= ; 又 F 到最近顶点的距离是 ﹣1, ∴a=1, 2 2 2 ∴b =c ﹣a =3﹣1=2. ∴该双曲线的标准方程是 y ﹣
2

=1.

故选 A. 点评: 本题考查双曲线的标准方程,着重考查双曲线的简单性质,判断焦点位置是关键,属于中档题. 6. 分) (5 (2013?广元二模)如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图 是一个直径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为( )

A.

B.2π

C.3π

D.4π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 几何体是一个圆柱,圆柱的底面是一个直径为 1 的圆,圆柱的高是 1,圆柱的表面积包括三部分, 两个圆的面积和一个矩形的面积,写出表示式,得到结果. 解答: 解:由三视图知几何体是一个圆柱, 圆柱的底面是一个直径为 1 的圆, 圆柱的高是 1, ∴圆柱的全面积是 2×π 故选 A. +2 = ,

点评: 本题考查由三视图求几何体的表面积,考查有三视图还原直观图,本题是一个基础题,题目的条件 比较简单,是一个送分题目. 7. 分)经过圆 x ﹣2x+y =0 的圆心且与直线 x+2y=0 平行的直线方程是( (5 A.x+2y﹣1=0 B.x+2y﹣2=0 C.x+2y+1=0
2 2

) D.x+2y+2=0

考点: 圆的一般方程;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 通过圆的一般方程求出圆的圆心坐标,求出直线的斜率,然后求出所求直线的方程即可. 解答: 解:因为圆 x2﹣2x+y2=0 的圆心为(1,0) , 与直线 x+2y=0 平行的直线的斜率为:
2 2



所以经过圆 x ﹣2x+y =0 的圆心且与直线 x+2y=0 平行的直线方程是: y=﹣ (x﹣1) 即 x+2y﹣1=0. , 故选 A. 点评: 本题考查圆的一般方程求解圆的圆心坐标,直线的斜率与直线的点斜式方程的求法,考查计算能力.

8. 分) (5 (2013?潮州二模)已知实数 x,y 满足 A.﹣3 B. C.5

,则目标函数 z=2x﹣y 的最大值为( D.6



考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ ABC 及其内部,再将目标函数 z=2x﹣y 对应的直线 进行平移,可得当 x=2,y=﹣1 时,z 取得最大值 5. 解答: 解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ ABC 及其内部,

其中 A(﹣1,﹣1) ,B(2,﹣1) ,C(0.5,0.5) 设 z=F(x,y)=2x﹣y,将直线 l:z=2x﹣y 进行平移, 当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴z 最大值=F(2,﹣1)=5 故选:C 点评: 题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=2x﹣y 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平 面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题. 9. 分)如图,在△ ABC 中,点 D 是 BC 边上靠近 B 的三等分点,则 (5 =( )

A.

B.

C.

D.

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出. 解答: 解: = = = 故选 C. 点评: 熟练掌握向量的三角形法则和向量共线定理是解题的关键. 10. 分)用 C(A)表示非空集合 A 中元素的个数,定义 (5



若 A={1,2},B={x|(x +ax) +ax+2)=0},且 A*B=1,设实数 a 的所有可能取值构成集合 S,则 C(S) (x =( ) A.4 B.1 C.2 D.3 考点: 集合的确定性、互异性、无序性. 专题: 常规题型;新定义. 分析: 根据 A={1,2},B={x|(x2+ax) 2+ax+2)=0},且 A*B=1,可知集合 B 要么是单元素集合,要么 (x 2 是三元素集合,然后对方程|x +ax+1|=1 的根的个数进行讨论,即可求得 a 的所有可能值,进而可求 C(S) . 解答: 解:由于(x2+ax) 2+ax+2)=0 等价于 (x 2 2 x +ax=0 ①或 x +ax+2=0 ②, 又由 A={1,2},且 A*B=1, ∴集合 B 要么是单元素集合,要么是三元素集合, 1°集合 B 是单元素集合,则方程①有两相等实根,②无实数根, ∴a=0; 2°集合 B 是三元素集合,则方程①有两不相等实根,②有两个相等且异于①的实数根, 即 ,

2

2

解得 a=±2 , 综上所述 a=0 或 a=±2 , ∴C(S)=3. 故答案为 D. 点评: 此题是中档题.考查元素与集合关系的判断,以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用. 二、填空题 11. 分)设等比数列{an}的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 (5 = .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的通项公式与前 n 项和的公式表示出 S4 与 a4, 进行比值计算再结合 q 的数值即可得到 答案. 解答: 解:因为数列{an}是等比数列, 所以由等比数列的前 n 项和公式与通项公式可得 ,a4=a1q ,
3

所以 又因为 q=2, 所以 故答案为 . .



点评: 解决此类问题的关键的是数列掌握等比数列的通项公式与前 n 项和的公式,并且进行正确的运算. 12. 分)直线 y=﹣ x+b 是函数 f(x)= 的切线,则实数 b= 1 或﹣1 . (5 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 设切点为 P(m,n) ,求出函数 f(x)= 的导数

,得切线斜率为﹣



再根据切点 P 既在切线 y=﹣ x+b 上又在函数 f(x)= 的图象上, 列出关于 m、n、b 的方程组,解之即可得到实数 b 之值. 解答: 解:由于函数 f(x)= 的导数 ,若设直线 y=﹣ x+b 与函数 f(x)= 相切于点 P(m,n) ,



解之得 m=2,n= ,b=1 或 m=﹣2,n=﹣ ,b=﹣1 综上所述,得 b=±1 故答案为:1 或﹣1 点评: 本题给出已知函数图象的一条切线,求参数 b 的值,着重考查了导数的运算公式与法则和利用导数 研究曲线上某点切线方程等知识,属于基础题. 13. 分)在△ ABC 中, (5 ,AB=2,且△ ABC 的面积为 ,则边 BC 的长为 .

考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 应用余弦定理结合三角形面积公式进行计算即可; 解答: 解:∵ = ∴AC=1 由余弦定理可知: 2 2 2 BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cos∠A 即 BC= 故答案为: 点评: 本题考查了余弦定理的应用,属于基础题.

14. 分) (5 (2013?潮州二模) 如图, ⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A、 两点, B 割线 PCD 经过圆心, 已知 PA=6, ,PO=12,则⊙O 的半径为 8 .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 计算题. 分析: 设出圆的半径,根据切割线定理推出 PA?PB=PC?PD,代入求出半径即可; 解答: 解:设圆的半径为 r, ∵PAB、PCD 是圆 O 的割线, ∴PA?PB=PC?PD, ∵PA=6,PB= ∴6×
2 2

=

,PC=12﹣r,PD=12+r,

=(12﹣r)×(12+r) ,

r =12 ﹣80=64 ∴r=8, 故答案为:8.

点评: 本题主要考查切割线定理等知识点,熟练地运用性质进行计算是解此题的关键. 15. 分) (5 (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系(ρ,θ)中,直线 (ρ∈R)被圆 ρ=2sinθ 截得的弦的长是 .

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 化极坐标方程为普通方程,求出圆心坐标和半径,然后求出圆心到直线的距离,由勾股定理可求弦 长. 解答: 解:由 ρ=2sinθ,得 ρ2=2ρsinθ,即 x2+(y﹣1)2=1. 所以圆的圆心为(0,1) ,半径为 1. 再由直线 (ρ∈R) ,得 y=x. . .

圆心(0,1)到直线 y=x 的距离 d= 所以弦长为

故答案为 . 点评: 本题考查了极坐标化直角坐标,考查了点到直线的距离公式,是基础的运算题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 2 16. (12 分)已知函数 f(x)=cos x+sinxcosx,x∈R.

(1)求 (2)若

的值; ,且 ,求 .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)把 x= 代入函数,利用特殊角的三角函数值即可求解; (2)利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据 sinα 的值求出 cosα,代入 f ( )进行化简. )=cos
2

解答: 解: (1)f( =( )+ …2 分
2

+sin

(2)f(x)=cos x+sinxcosx = = = ∴f( = = ∵sin= ∴cosα=﹣ …11 分 f( = )= …12 分 …10 分 )= …6 分 …8 分 …4 分

2

点评: 此题考查了两角和与差的正弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握公式是解本题的关键. 17. (12 分) (2010?湖南)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员中, 抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人) 高校 相关人数 抽取人数 A 18 x B 36 2 C 54 y (1)求 x,y; (2)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的概率. 考点: 分层抽样方法;等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)根据分层抽样的方法,有

,解可得答案;

(Ⅱ)根据题意,可得从 5 人中抽取两人的情况数目与二人都来自高校 C 的情况数目,根据等可能 事件的概率公式,计算可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)根据分层抽样的方法,有 ,解可得 x=1,y=3;
2

(Ⅱ)根据题意,从高校 B、C 抽取的人共有 5 人,从中抽取两人共 C5 =10 种, 2 而二人都来自高校 C 的情况有 C3 =3 种; 则这二人都来自高校 C 的概率为 .

点评: 本题考查分层抽样的方法与等可能事件概率的计算,难度不大,注意组合数公式的运用.φ 18. (14 分) (2012?珠海二模)如图 1,在边长为 4cm 的正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点, M、N 分别为 AB、CF 的中点,现沿 AE、AF、EF 折叠,使 B、C、D 三点重合于点 B,构成一个三棱锥(如

图 2) . (1)判别 MN 与平面 AEF 的位置关系,并给予证明; (2)证明:平面 ABE⊥平面 BEF; (3)求多面体 E﹣AFNM 的体积. 考点: 平面与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线线平行,即 MN∥AF,利用线面平行的判定证明线面平行; (2)利用线面垂直,证明面面垂直; (3)利用体积比,即可求多面体 E﹣AFNM 的体积. 解答: (1)解:MN∥平面 AEF…(1 分) 证明如下:因翻折后 B、C、D 重合,∴MN 是△ ABF 的一条中位线,…(3 分) ∴MN∥AF 又∵MN?平面 AEF,AF?平面 AEF ∴MN∥平面 AEF.…(6 分) (2)证明:∵AB⊥BE,AB⊥BF,且 BE∩BF=B ∴AB⊥平面 BEF,…(8 分) 而 AB?平面 ABE,∴平面 ABE⊥平面 BEF…(9 分) (3)解:∵AB=4,BE=BF=2,∴ 又 …(13 分) ,…(11 分)

∴VE﹣AFMN=2.…(14 分) .

点评: 本题考查线面平行,面面垂直,考查多面体体积的计算,掌握线面平行,面面垂直的判定方法是关 键.

19. (14 分)数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 n∈N ,总有 an,Sn,an 成等差数列. (1)求 a1; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 bn= ,求证:对任意正整 n,总有 Tn<2.

*

2

考点: 数列与不等式的综合;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) (2)由题意可得 ,利用 出. (3)由(2)可得 .当 n≥2 时,

和等差数列的通项公式即可得

,利用裂项求和即可证明.

* 2 解答: 解: (1)∵对于任意的 n∈N ,总有 an,Sn,an 成等差数列. ∴ ,

令 n=1,得 (2)当 n≥2 时,由 得

,解得 a1=1. , , ,

∴(an+an﹣1) n﹣an﹣1﹣1)=0, (a * ∵?n∈N ,an>0,∴an﹣an﹣1=1, ∴数列{an}是公差为 1 的等差数列, ∴an=1+(n﹣1)×1=n. (3)由(2)可得 当 n≥2 时, ∴ 当 n=1 时,T1=bn=1<2. ∴对任意正整 n,总有 Tn<2. 点评: 熟练掌握利用 的关键. 20. (14 分)已知点 M(4,0) 、N(1,0) ,若动点 P 满足 (1)求动点 P 的轨迹 C; (2)在曲线 C 上求一点 Q,使点 Q 到直线 l:x+2y﹣12=0 的距离最小. . 求 an 和等差数列的通项公式、放缩法、裂项求和等是解题 . , =2﹣ .

考点: 直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设出动点坐标,利用向量数量积公式及模长公式,即可求动点 P 的轨迹 C; (2)椭圆 C 上的点 Q 到直线 l 的距离的最值等于平行于直线 l:x+2y﹣12=0 且与椭圆 C 相切的直 线 l1 与直线 l 的距离. 解答: 解: (1)设动点 P(x,y) ,又点 M(4,0) 、N(1,0) , ∴ , , . …(3 分) 由 ,得 ,…(4 分)

∴(x ﹣8x+16)=4(x ﹣2x+1)+4y ,故 3x +4y =12,即

2

2

2

2

2



∴轨迹 C 是焦点为(±1,0) 、长轴长 2a=4 的椭圆; …(7 分) 评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣(1 分) . (2)椭圆 C 上的点 Q 到直线 l 的距离的最值等于平行于直线 l:x+2y﹣12=0 且与椭圆 C 相切的直 线 l1 与直线 l 的距离. 设直线 l1 的方程为 x+2y+m=0(m≠﹣12) . …(8 分) 由 ,消去 y 得 4x +2mx+m ﹣12=0(*) .
2 2 2 2 2

依题意得△ =0,即 4m ﹣16(m ﹣12)=0,故 m =16,解得 m=±4. 当 m=4 时,直线 l1:x+2y+4=0,直线 l 与 l1 的距离 当 m=﹣4 时,直线 l1:x+2y﹣4=0,直线 l 与 l1 的距离 由于 ,故曲线 C 上的点 Q 到直线 l 的距离的最小值为
2 2

. . .…(12 分)

当 m=﹣4 时,方程(*)化为 4x ﹣8x+4=0,即(x﹣1) =0,解得 x=1. 由 1+2y﹣4=0,得 ∴曲线 C 上的点 ,故 . 到直线 l 的距离最小. …(13 分) …(14 分)

点评: 本题考查向量知识的运用,考查直线与椭圆的位置关系,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析 解决问题的能力,属于中档题. 21. (14 分) (2009?嘉定区二模)已知函数 f(x)= =0,且 f'(x)≥0 在 R 上恒成立. (1)求 a,c,d 的值; (2)若 ,解不等式 f'(x)+h(x)<0; +cx+d(a,c,d∈R)满足 f(0)=0,f'(1)

(3)是否存在实数 m,使函数 g(x)=f'(x)﹣mx 在区间[m,m+2]上有最小值﹣5?若存在,请求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 导数的运算;函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值;其他不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (1)待定系数法求函数解析式,由 f(0)=0,f'(1)=0,且 f'(x)≥0 在 R 上恒成立列出三个方程, 解出 a、b、c (2)一元二次不等式解法,注意根之间比较,考查分类讨论思想 (3)考查二次函数最值问题,考查分类讨论思想,对 m 进行讨论,看对称轴与区间的关系. 解答: 解: (1)∵f(0)=0,∴d=0 ∴ ∵ 显然 a=0 时,上式不能恒成立∴ 由于对一切 x∈R,都有 f'(x)≥0,于是由二次函数的性质可得 恒成立 是二次函数





(2)∵ ∴ 即 当 (3)∵ ∴



,当 ,∴



该函数图象开口向上,且对称轴为 x=2m+1. 假设存在实数 m 使函数 5. ①当 m<﹣1 时,2m+1<m,函数 g(x)在区间[m,n+2]上是递增的. ∴ 解得 ∵ ,∴ 舍去 区间[m. m+2]上有最小值﹣

②当﹣1≤m<1 时,m≤2m+1<m+2,函数 g(x)在区间[m,2m+1]上是递减的, 而在区间[2m+1,m+2]上是递增的,∴g(2m+1)=﹣5. 即 解得 ,均应舍去

③当 m≥1 时,2m+1≥m+2,函数 g(x)在区间[m,m+2]上递减的∴g(m+2)=﹣5 即 解得 应舍去. 综上可得,当 时, 函数 g(x)=f'(x)﹣mx 在区间[m,m+2]上有最小值﹣5. 点评: 本题考查导数的综合运用,具体包含导数的计算、恒成立问题、不等式的解法、待定系数法求函数 解析式、二次函数最值问题,分类讨论思想,对学生有一定的能力要求,属于难题.


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