圆与方程练习题2


圆与方程知识点 1、圆的标准方程: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 圆心 C(a,b),半径为 r 2、圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 3 圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其参数方程 ? x ? a ? r cos? 为? (θ 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?
D2 ? E 2 ? 4F ? 0 表示圆,圆心 C( ? D2 ? E 2 ? 4F ? 0 表示点( ?
D2 ? E 2 ? 4F D E , ? )半径为 2 2 2

D E , ? ) D2 ? E 2 ? 4F ? 0 不表示任何图形 2 2 3、点 M ( x0 , y0 ) 与圆的关系的判断方法:

(1)圆方程为标准式 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ? 点在圆外 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ? 点在圆上 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ? 点在圆内 (2)圆方程为一般式 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 点在圆外 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 点在圆内 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ? 点在圆上

4、直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C 的位置关系判断方法 (1)求出圆的半径 r ,圆心 C 到直线 l 的距离为 d

d ? r ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点 d ? r ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点 d ? r ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点
(2)将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程,求出判别式 ? ? b
2

? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相离 ? 直线 l 与圆 C 无交点 ? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相切 ? 直线 l 与圆 C 有一交点 ? ? 0 ? 直线 l 与圆 C 相交 ? 直线 l 与圆 C 有两交点
C1C2 ? r1 ? r2 ? 圆 C1 与圆 C 2 相离 ? 有 4 条公切线
C1C2 ? r1 ? r2 ? 圆 C1 与圆 C 2 外切 ? 有 3 条公切线

? 4ac

5、 圆与圆的位置关系判断方法 求出圆心距 C1C2 ,两圆的半径 r1 , r2

| r1 ? r2 |? C1C2 ? r1 ? r2 ? 圆 C1 与圆 C 2 相交 ? 有 2 条公切线 C1C2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 C1 与圆 C 2 内切 ? 有 1 条公切线 C1C2 ?| r1 ? r2 | ? 圆 C1 与圆 C 2 内含 ? 有 0 条公切线

6、过点求圆的切线方程 (1)点 ( x0 , y0 ) 在圆上 圆的方程为 x 2 ? y 2 ? r 2 ,切线方程 x0 x ? y0 y ? r 2 圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,切线方程 ( x0 ? a)( x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) ? r 2

圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,切线方程 x0 x ? y0 y ? D

x0 ? x y ?y ?E 0 ?F ?0 2 2

(2)点 ( x0 , y0 ) 在圆外,设直线方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 即 kx ? y ? kx0 ? y0 ? 0 由圆心到直线的距离 d ? r 求出 k (过圆外一点作圆的切线有 2 条) 7、圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交,则公共弦的直线 方程为 ( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0
l 公共弦长 l ,半径 r ,圆心到弦的距离(弦心距) d 满足关系式: ( ) 2 ? d 2 ? r 2 2 2 2 2 2 8、圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 相交,过两圆交点的圆

系方程可设为 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0(? ? ?1) 或
x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ?[( D1 ? D2 ) x ? ( E1 ? E2 ) y ? ( F1 ? F2 )] ? 0

9、圆 C1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 C2 : x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 点 M 在圆 C1 上,点 N 在圆 C2 上,则有 MN max ? C1C2 ? r1 ? r2
MN
min

? 0 (相交,相切), MN min ? C1C2 ? r1 ? r2 (相离)

MN min ? r1 ? r2 ? C1C2 (内含)

11、空间直角坐标系
R M O P Q M' y

(1)点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分 别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标 (2)有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点 12 、 点 P1 ( x1 , y1 , z1 ) 与 点 P2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 的 中 点 坐 标 为 x ?x y ?y z ?z ( 1 2 , 1 2 , 1 2) 2 2 2

x

距离 P1 P2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

讲解 圆的标准方程
1)已知圆的参数方程是 ? 的参数 θ 的值为
? x ? 8 cos? ? y ? 8 sin?

(0≤θ<2π)若圆上一点 M 的坐标为(4,-4 ,则它的普通方程为 .

3

),则 M 所对应

.

? x ? ?5 ? 3 cos? (2)已知圆的参数方程为 ? ? y ? 3 ? 3sin?

2.已知点 M 是圆 x2+y2-4x=0 上的一个动点,点 N(2,6)为定点,当点 M 在圆上运动时, 求线段 MN 的中点 P 的轨迹方程,并说明轨迹的图形. 3.若实数 x、y 满足 x2+y2-2x+4y=0,求 x-y 的最大值. 4.已知对于圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点 P(x,y),不等式 x+y+m≥0 恒成立,求实数 m 的取值范 围. 5.已知圆 x2+y2=1,定点 A(1,0),B、C 是圆上两个动点,保持 A、B、C 在圆上逆时针排列,且 ∠BOC= ? (O 为坐标原点) ,求△ ABC 重心 G 的轨迹方程.
3

圆的基础练习
1.直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 15 ? 0 所截得的弦长等于 2.圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的外有一点 P( x0 , y0 ) ,由点 P 向圆引切线的长______ 2. 对 于 任 意 实 数 k , 直 线 (3k ? 2) x ? ky ? 2 ? 0 与 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 2 ? 0 的 位 置 关 系 是 _________ 4.动圆 x 2 ? y 2 ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m2 ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是
2 2

.

5. P 为圆 x ? y ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为_______. 三、解答题 1.求过点 A(2, 4) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程。 2.求直线 2 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长。 y?2 3.已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,求 的取值范围。 x ?1 4.已知两圆 x 2 ? y 2 ? 10 x ? 10 y ? 0, x 2 ? y 2 ? 6 x ? 2 y ? 40 ? 0 , 求(1)它们的公共弦所在直线的方程; (2)公共弦长。

圆 解答题 提高题
17. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A 为(3,-1) ,AB 边上的中线所在直线方程为 求 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 ,?B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 , BC 边所在直线的方程. 18. (本小题满分 12 分)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧 5 长之比为 3:1;③圆心到直线 l : x ? 2 y ? 0 的距离为 ,求该圆的方程. 5 19. (本小题满分 12 分)设 M 是圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 上的动点,O 是原点,N 是射线 OM 上的点,若 | OM | ? | ON |? 150 ,求点 N 的轨迹方程。 20. (本小题满分 12 分)已知过 A(0,1)和 B(4, a) 且与 x 轴相切的圆只有一个,求 a 的值 及圆的方程. 21. (本小题满分 12 分) (2006 年辽宁卷)已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? y 2 ? 2 px( p ? 0)上的两个动点, O 是坐标原点,向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的 方程为 x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 (I) 证明线段 AB 是圆 C 的直径;(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为 求 p 的值。
AP 22. 本小题满分 14 分) ( 已知定点 A (0, , 1) B (0, , -1) C (1, . 0) 动点 P 满足: ? BP ? k | PC | 2 .

2 5 时, 5

(1)求动点 P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型; ??? ??? ? ? (2)当 k ? 2 时,求 | 2 AP ? BP | 的最大、最小值.


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