吉林省九校联合体2014届高三第二次摸底考试 数学文


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吉林九校联合体 2014 届第二次摸底考试
数 学 试 题 (理科 )

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知 A. C.

U ? R, M ? ?x ? 1 ? x ? 2? , N ? ?x x ? 3? ,
B. D.



?CU M ? ? N ? (



?x 2 ? x ? 3? ?x x ? ?1或2 ? x ? 3?
z?

?x 2 ? x ? 3? ?x x ? ?1或2 ? x ? 3?
) D.第四象限 ) D. 3 )

2.已知复数 A.第一象限 3.在等差数列 A. 11

2?i 1 ? i ,则复数 z 在复平面内对应的点在 (
B.第二象限 C. 第三象限

?an ?中, a1 ? a5 ? 8, a4 ? 7, 则 a5 ? (
B. 10 C. 7

2 2 2 p ?( 4.抛物线 y ? 2 px? p ? 0? 的准线经过双曲线 x ? y ? 1 的左焦点,则

2 A. 2

B. 2

C. 2 2

D. 4 2

? 5.将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向左平移 4 个单位,所得图象的解析式是(
A. y ? cos2 x ? sin 2 x C. y ? sin 2 x ? cos2 x B. y ? cos 2 x ? sin 2 x D. y ? sin x cos x



6.先后两次抛掷一枚骰子,在得到点数不大于 6 的情况下,在得到的点数中有 3 的概率为 ( ) A.1/3 B.2/5 C.1/5 D. 1/6 7.一个棱锥的三视图如图所示,则它的体积为 ( )

1 A. 2

3 B. 2 1 D. 3

C.1

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8.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为( A.20 B.30 C.40

) D.50

9. 已知 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平 面,则下列命题正确的是( ) m ? n ? m A.若 ∥ , ∥ ,则 ∥ n B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n C.若 m ∥ ? , m ∥ ? , ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ?

tan( ? ? ) ? cos 2? 4
10.计算 A. ? 2

?

2 cos2 (

?

4

??)
B. 2

的值为(

) C. ? 1 D. 1

2 11.已知向量 a = ( x , x ? 1) , b = (1 ? x , t ) ,若函数 f ( x) ? a ? b 在区间(-1,1)上

是增函数,则 t 的取值范围为( A. t ? 5 B. t ? 5

) C. t ? 5 D. t ? 5

12.已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点 ?1,0? 对 称. w 若对任意的 x, y ? R, f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 恒成立,则当 x ? 3 时,
2 2

?

? ?

?

x 2 ? y 2 的取值范围是(
A. ?3,7?

) C. ?13,49? D. ?9,49?

B. ?9,25?

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.将某班的 60 名学生编号为: 01,02,...,60, 采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的 样本,且随机抽得的一个号码为 04 ,则剩下的四个号码依次是 14.若向量 a ? (2,3) , b ? ( x,?6) ,且 a ∥ b ,则实数 x =
2 2 15.经过圆 C : x ? y ? 2 x ? 0 的圆心,且与直线 3x ? y ? 2 ? 0 垂直的直线方程



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4 16.在 ?ABC 中, C ? 60?, AB ? 3, AB 边上的高为 3 ,则 AC ? BC ?
三.解答题: (本大题共 6 小题,共 60 分) 17. ( 本小题满分 12 分) 在各项均为负数的数列

?an ? 中,已知点 (a n ,an?1 )(n ? N ? ) 均在函

y?


2 8 x a 2 ? a5 ? 3 的图象上,且 27 .

(1)求数列 (2)若数列

?an ? 的通项 an ;

?bn ? 的前 n 项和为 S n ,且 bn ? an ? n ,求 S n .

18. ( 本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 A ? BCDE 中,

?ABC 是 正 三 角 形 , 四 边 形 BC DE 是 矩 形 , 且 平 面
ABC ? 平面 BCDE , AB ? 2 , AD ? 4 .
(1)若点 G 是 AE 的中点,求证: AC // 平面 BDG (2)若 F 是线段 AB 的中点,求三棱锥 B ? EFC 的体积. 19.( 本小题满分 12 分) 某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔 试成绩,按成绩分组得到的频率分布表如下: 组号 分组 频数 频率 [160,165) 5 第一组 0.050 a [165,170) 第二组 0.350 b [170,175) 30 第三组 c [175,180) 第四组 0.200 [180,185] 10 第五组 0.100 100 合计 1.00 (1)为了能选拔出优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第三、四、五组中用分层抽样法 抽取 6 名学生进入第二轮面试,试确定 a , b , c 的值并求第三、四、五组每组各抽取多少 名学生进入第二轮面试; (2)在(1)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官的面试,求 第四组中至少有一名学生被 A 考官面试的概率.

2 C (t , ) t 为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 20.( 本小题满分 12 分) 已知以点

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O,B,其中 O 为坐标原点. (1)求证:Δ OAB 的面积为定值;

OM ? ON (2)设直线 y ? ?2 x ? 4 与圆 C 交于点 M,N,若 ,求圆 C 的方程.
f ( x) ?
21.( 本小题满分 12 分) 已知函数 求 f ( x) 的表达式;

mx (m, n ? R) x ?n 在 x ? 1 处取得极值 2 .
2

?1 ? ? 1 1? x1 ? ? ,2? x2 ? ? 2 , ? ? 2 ? ,总存在唯一的 ? e e ? ,使得 设函数 g ( x) ? ax ? ln x . 若对于任意的
g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.
选考题: (本小题满分 10 分) 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按 所做的第一题记分. 22.已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的 切线,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长 23. 已 知 某 圆 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 ? 4 2? cos?? ?

? ?

??

??6?0 4?

(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程; (2)若点 P ? x, y ?在该圆上,求 x ? y 的最大值和最小值. 24. 已知关于 x 的不等式

ax ? 1 ? ax ? a ? 1?a ? 0?

(1)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (2)若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

版权所有:() 版权所有:() 吉林九校联合体 2014 届第二次摸底考试 数 学 试 题(文科)参 考 答 案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) DDBCB CABBD AC 二、填空题
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13. 16,28,40,52 三、解答题

14. ? 4

15. x ? 3 y ? 1 ? 0

16.

11

(a a )(n ? N ? ) 均在函数 17.解: (1)∵点 n , n?1
a n ?1 ?

y?

2 x 3 的图象上,



a n ?1 2 2 2 ? an q? ? ? a a 3 3 ,即 n 3 的等比数列。-----2 分 ,故数列 n 是公比
8 2 2 8 a1 q ? a1 q 4 ? a12 ( ) 5 ? ( ) 3 27 ,则 27 ,即 3 3 , 3

又因

a 2 ? a5 ?

a1 ? ? ?a ? 2 ,----------4 分 由于数列 n 的各项均为负数,则 3 2 2 a n ? ? ? ( ) n ?1 ? ?( ) n ? 2 2 3 3 ∴ .

------------6 分

2 2 a n ? ?( ) n ? 2 bn ? ?( ) n ? 2 ? n 3 3 (2)由(1)知, , ,------------8 分

3 2 ? ? [1 ? ( ) n ] n(1 ? n) 2 n?1 n 2 ? n ? 9 2 3 Sn ? ? ? 3? ( ) ? 2 2 3 2 1? 3 ∴ .------------12 分
18.解: (1)证明:设 CE ? BD ? O ,连接 OG , 由三角形的中位线定理可得: OG // AC , ------------3 分

∵ AC ? 平面 BDG , OG ? 平面 BDG ,∴ AC // 平面 BDG . ------------6 分

(2)∵平面 ABC ? 平面 BCDE , DC ? BC ∴ DC ? 平面 ABC ,∴ DC ? AC ,∴ DC ? 又∵ F 是 AB 的中点, ?ABC 是正三角形, ∴ CF ? AB ,

AD2 ? AC2 ? 2 3 -------8 分



S ?BCF ?

1 3 BF ? CF ? 2 2 ,

------------10 分

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又平面 ABC ? 平面 BCDE , EB ? BC , ∴ EB ? 平面 BCF ,



VB ? EFC ? VE ? BCF ?

1 S ?BCF ? EB ? 1 3

------------12 分

19. 解: ( 1 )由频率分布表知 a ? 100 ? 0.35 ? 35 ,

b?

30 ? 0 .3 100 , c ? 100 ? 0.2 ? 20

------------3 分 因为第三、四、五组共有 60 名学生,所以利用分层抽样法在 60 名学生中抽取 6 名学生,每

30 20 10 ?6 ? 3 ?6 ? 2 ?6 ?1 组分别为:第三组 60 人,第四组 60 人,第五组 60 人.
所以第三、四、五组分别抽取 3 人、2 人、1 人进入第二轮面试。-----6 分 (2)设第三组的 3 名学生为 A1、A2、A3,第四组的 2 名学生为 B1、B2, 第五组的 1 名学生为 C1。则从 6 名学生中抽取 2 名学生有 15 种可能: (A1,A2) , (A1,A3) , (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,C1) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2, B2) , (A2、C1) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A3,C1) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B2,C1) , 第四组的 2 名学生至少有一名学生被 A 考官面试共有 9 种可能。------9 分

9 3 ? 所以其中第四组的 2 名学生至少有一名学生被 A 考官面试的概率为 15 5 .
-----------12 分

OC ? t 2 ?
20.解: (1)由题意知圆 C 过原点 O,∴

2

4 t2 .

2 4 (x ? t)2 ? ( y ? )2 ? t 2 ? 2 t t ,-------2 分 设 C 的方程为
令 y ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 2t , 则 A(2t ,0) -------3 分

令 x ? 0 ,得 y1 ? 0 ,

y2 ?

4 4 B(0, ) t, 则 t -------4 分

S ?OAB ?
∴ (2)∵

1 1 4 OA ? OB ? ? ? 2t ? 4 2 2 t ,即Δ OAB 的面积为定值.-------5 分


OM ? ON

CM ? CN
1 2

∴OC 垂直平分线段 MN.

k ? ?2 ∵ MN



k OC ?

y?
∴ 直线 OC 的方程为

1 x 2 ,

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2 1 ? t 2 ,解得 t ? 2 或 t ? ?2 ------------7 分 ∴ t

OC ? 当 t ? 2 时,圆心 C 的坐标为(2,1) ,
d?
的距离

5

,此时圆心 C 到直线 y ? ?2 x ? 4

1 5

? 5

,圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 相交于两点.------------9 分

OC ? 当 t ? ?2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1) , ,
d?
距离

5

,此时圆心 C 到直线 y ? ?2 x ? 4 的

9 5

? 5

,圆 C 与直线 y ? ?2 x ? 4 不相交.-----11 分
2 2

∴ 圆心 C 的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5

------------12 分

f ?( x) ?
21、 (1)

m( x 2 ? n) ? 2m x2 ? m x2 ? m n ? ( x 2 ? n) 2 ( x 2 ? n) 2 .------------1 分

? m n? m ?0 ? ? (1 ? n) 2 ? ? m ?2 ? ? 由 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值 2 ,故 f (1) ? 0, f (1) ? 2 ,即 ? 1 ? n ,--------3 分

?m ? 4 ? n ?1 , 解得: ?
经检验:此时 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,故

f ( x) ?

4x x ? 1 .--------5 分
2

f ?( x) ?
由(1)知

4(1 ? x)(1 ? x) 1 ( ,1) 2 2 ( x ? 1) ,故 f ( x) 在 2 上单调递增,在 (1,2) 上单调递减,由

?8 ? 1 8 f (2) ? f ( ) ? ? , 2? f (1) ? 2 , 2 5 ,故 f ( x) 的值域为 ? 5 ? . -----------7 分
g ?( x) ? a ?
依题意:

? 1 1? 1 M ? ? 2 , ? ? x ? M ,? e ? 1 ? e 2 ?e e? , x ,记 x

? 1 8 ? g(e) ? 5 ? 1 ?g ( 2 ) ? 2 0 ? a ? 3 e ? 5 ,故此时 ①当 a ? e 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减,依题意有 ? e 得

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3 0?a? e 5 .
1 1 1 1 1 1 1 x?( , ) ? ? 2 x?( 2 , ) ? g ( x ) ? 0 a e 时, g ?( x) ? 0 , e a 时, ②当 e ? a ? e 时, e a e ,当 ;当
2

3 1 8 1 8 g( ) ? 1 ? ln ? , a ? e 5 5 ,得 a 5 依题意有: a ,这与 a ? e 矛盾.

? 1 ? g(e) ? 2 ? 1 8 ?g ( 2 ) ? 2 ? g ( x ) g ( x ) ? 0 5 ,无解. -----11 分 ③当 a ? e 时, , 单调递增,依题意有 ? e
3 0?a? e 5 . 综上所述: a 的取值范围是

-------------12 分

22、 (1)? DE // AC,? ?CDE ? ?ACD 又? DE 切圆 O 于点 D ,

? ?CDE ? ?CBD ? ?ACD ? ?CBD
而 ?ACD ? ?ABD (同弧)

? ?CBD ? ?ABD
所以,BD 平分∠ABC -------------5 分 (2)由(1)知 ?CBD ? ?ABD ,又? ?CBD ? ?CAD ,? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角,所以 ?DBA 与 ?DAH 相似。

?

AH AD ? AB BD ,因为 AB=4,AD=6,BD=8,所以 AH=3 ------10 分
2 2

23、解(1) x ? y ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 ;

? ? x ? 2 ? 2 cos? ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ? ( ? 为参数)

-------------5 分

?? ? x ? y ? 4 ? 2 sin ?? ? ? 4 ?, ? (2)因为
所以其最大值为 6,最小值为 2 . -------------10 分 1 3 1 x ?1 ? x ? 或x ? 2 x ?1 ? 1 a ? 1 2 2, 2 , 解得 24、 (1)当 时,得 , 即
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1 3 (??, ] ? [ , ??) 2 2 ∴不等式的解集为 .

------------5 分

(2)∵

ax ? 1 ? ax ? a ? a ? 1 ,

∴原不等式解集为 R 等价于

a ? 1 ? 1.

∴ a ? 2, 或a ? 0.

∵ a ? 0 ,∴ a ? 2.

∴实数 a 的取值范围为 [2,??) . -----------10 分

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