数学必修3第三章概率测试题(附答案)


高中数学必修 3 第三章 概率单元检测
一、选择题 1.任取两个不同的 1 位正整数,它们的和是 8 的概率是( A. ). D.

1 24

B.

1 6

C.

3 8

1 12
).

1 ? π π? - , ? 上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2.在区间 ? 2 2 2 ? ?
A. C.

1 3
1 2

B. D.

2 π
2 3

3.从集合{1,2,3,4,5}中,选出由 3 个数组成子集,使得这 3 个数中任何两个数的 和不等于 6,则取出这样的子集的概率为( A. C. ). B. D.

3 10 3 5

7 10 2 5

4.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数 字外完全相同. 现从中随机取出 2 个小球, 则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 ( ). A. C.

3 10 1 10

B. D.

1 5 1 12

5.从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位 数字之和等于 9 的概率为( A. C. ). B. D.

13 125 18 125

16 125 19 125

6.若在圆(x-2)2+(y+1)2=16 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率 为( A. C. ).

1 2 1 4

B. D.

1 3
1 16
).

7. 已知直线 y=x+b, b∈[-2, 3], 则该直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是(
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A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中随机取点,则点落在四棱锥 O-ABCD(O 为正方体体 对角线的交点)内的概率是( A. C. ). B. D.

1 6 1 2

1 3
2 3

9.抛掷一骰子,观察出现的点数,设事件 A 为“出现 1 点” ,事件 B 为“出现 2 点” .已 知 P(A)=P(B)= A. C.

1 ,则“出现 1 点或 2 点”的概率为( 6
B. D.

).

1 2 1 6

1 3
1 12

二、填空题 10.某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台报时,假定电台每小时报时一 次,则他等待的时间短于 10 分钟的概率为___________. 11.有 A,B,C 三台机床,一个工人一分钟内可照看其中任意两台,在一分钟内 A 未 被照看的概率是 .

12.抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有 1~6 点),设事件 A 为“出现 1 点” ,事件 B 为 “出现 2 点” ,则“出现的点数大于 2”的概率为 .

?1 ? ?1 ? 13.已知函数 f(x)=log2 x, x∈ ? ,2 ? ,在区间 ? ,2 ? 上任取一点 x0,使 f(x0)≥0 ?2 ? ?2 ?

的概率为



14.从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构 成三角形的概率是 .

15.一颗骰子抛掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的 点数为 b.则 a+b 能被 3 整除的概率为 .

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三、解答题 16.射手张强在一次射击中射中 10 环、9 环、8 环、7 环、7 环以下的概率分别是 0.24、 0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)至少射中 7 环的概率; (3)射中环数小于 8 环的概率.

17.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时 刻是等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h,乙船停泊时间为 2 h,求它们中的任意一艘都不需 要等待码头空出的概率.

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18.同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有 1~6 个点数,抛掷后,以向上一面的 点数为准),试计算出现两个点数之和为 6 点、7 点、8 点的概率分别是多少??

19.从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后 不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.

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参考答案
一、选择题 1.D 解析: 1 位正整数是从 1 到 9 共 9 个数, 其中任意两个不同的正整数求和有 8+7+6+5 +4+3+2+1=36 种情况,和是 8 的共有 3 种情况,即(1,7) , (2,6) , (3,5) ,所以和 是 8 的概率是 2.A
? π π? ? π π? 解析: 在区间 ?- , ? 上随机取一个数 x,即 x∈ ?- , ? 时,要使 cos x 的值介于 0 ? 2 2? ? 2 2? 1 π π π π π 到 之间, 需使- ≤x≤- 或 ≤x≤ , 两区间长度之和为 , 由几何概型知 cos x 的 2 2 3 3 2 3

1 . 12

π 1 1 值介于 0 到 之间的概率为 3 = .故选 A. π 2 3

3.D 解析:从 5 个数中选出 3 个数的选法种数有 10 种,列举出各种情形后可发现,和等于 6 的两个数有 1 和 5,2 和 4 两种情况,故选出的 3 个数中任何两个数的和不等于 6 的选法 有(10-3×2)种,故所求概率为 4.A 解析:从五个球中任取两个共有 10 种情形,而取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的 只有 3 种情况:即 1+2=3,2+4=6,1+5=6, ,故取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率为

4 2 = . 10 5

3 . 10

5.D 解析:由于一个三位数,各位数字之和等于 9,9 是一个奇数,因此这三个数必然是“三 个奇数”或“一个奇数两个偶数” .又由于每位数字从 1,2,3,4,5 中抽取,且允许重复, 因此,三个奇数的情况有两种:(1)由 1,3,5 组成的三位数,共有 6 种;(2)由三个 3 组成 的三位数,共有 1 种.一个奇数两个偶数有两种:(1)由 1,4,4 组成的三位数,共有 3 种; (2)由 3,2,4 组成的三位数,共有 6 种;(3)由 5,2,2 组成的三位数,共有 3 种.再将以 上各种情况组成的三位数的个数加起来, 得到各位数字之和等于 9 的三位数, 共有 19 种. 又 知从数字 1,2,3,4,5,中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数共有 53=125

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种.因此,所求概率为 6.D 解析:所求概率为 7.B

19 . 125
π ?12 1 = . π ? 42 16

解析:区域Ω为区间[-2,3],子区域 A 为区间(1,3],而两个区间的长度分别为 5,2. 8.A 解析:所求概率即为四棱锥 O-ABCD 与正方体的体积之比. 9.B 解析:A,B 为互斥事件,故采用概率的加法公式 P(A+B)=P(A)+(B)= 二、填空题 10.

1 1 1 + = . 6 6 3

1 . 6

解析: 因为电台每小时报时一次, 我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间, 例如(13∶00,14∶00),而且取各点的可能性一样,要遇到等待时间短于 10 分钟,只有当 他打开收音机的时间正好处于 13∶50 至 14∶00 之间才有可能,相应的概率是

10 1 = . 60 6

1 11. . 3
解析:基本事件有 A,B;A,C;B,C 共 3 个,A 未被照看的事件是 B,C,所以 A

1 未被照看的概率为 . 3
12.

2 . 3

1 2 解析:A,B 为互斥事件,故采用概率的加法公式得 P(A+B)= ,1-P(A+B)= . 3 3
13.

2 . 3

解析:因为 f(x)≥0,即 log2 x0≥0,得 x0≥1,故使 f(x)≥0 的 x0 的区域为[1,2]. 14.

3 . 4
3 . 4

解析:从长度为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出 3 条共有 4 种不同的取法,其中可 构成三角形的有(2,3,4),(2,4,5),(3,4,5)三种,故所求概率 P=

1 15. . 3
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解析:把一颗骰子抛掷 2 次,共有 36 个基本事件.设“a+b 能被 3 整除”为事件 A, 有(1,2),(2,1),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(3,6),(4,5),(5,4), (6,3),(6,6),共 12 个.

1 P(A)= . 3
三、解答题 16.解:设“射中 10 环” 、 “射中 9 环” 、 “射中 8 环” 、 “射中 7 环” 、 “射中 7 环以下” 的事件分别为 A,B,C,D,E,则 (1)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52. 所以,射中 10 环或 9 环的概率为 0.52. (2)P(A∪B∪C∪D)= P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.24+0.28+0.19+0.16=0.87. 所以,至少射中 7 环的概率为 0.87. (3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29. 所以,射中环数小于 8 环的概率为 0.29. 17.解:这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船 到达码头的时刻分别为 x 与 y,A 为“两船都不需要等待 码头空出” ,则 0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要 等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达 1h 以上或乙比甲 早到达 2h 以上,即 y-x≥1 或 x-y≥2.故所求事件构 成集合 A={(x,y)| y-x≥1 或 x-y≥2,x∈[0,24], y∈[0,24]}. A 对应图中阴影部分,全部结果构成集合Ω 为边长是 24 的正方形. 由几何概型定义,所求概率为
A 的面积 P(A)= = ? 的面积
23 22

(24-1)2 ?

1 1 ?(24-2)2 ? 2 2 = 506.5 =0.879 34. 2 576 24

18.解:将两只骰子编号为 1 号、2 号,同时抛掷,则可能出现的情况有 6×6=36 种, 即 n=36.出现 6 点的情况有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3). ∴m1=5, ∴概率为 P1=

m1 5 = . n 36

出现 7 点的情况有(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3).
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∴m2=6, ∴概率为 P2=

m2 6 1 = = . n 36 6

出现 8 点的情况有(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4).? ∴m3=5, ∴概率为 P3=

m3 5 = . n 36

19.解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件 有 6 个,即(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)。其中小括号内左边 的字母表示第 1 次取出的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产品,用 A 表示“取出的两 件中,恰好有一件次品”这一事件,则 A={(a1,b),(a2,b),(b1,a),(b,a2)}, 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而,P(A)=

4 2 = . 6 3

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