山东省潍坊市临朐县2016届高三上学期12月统练数学试卷(理科) Word版含解析


2015-2016 学年山东省潍坊市临朐县高三(上)12 月统练数学试 卷(理科)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知全集 U=R,A={y|y=2x+1},B={x|lnx<0},则(?UA)∩B=( A.? B.{x| <x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1} )

2.下列命题中正确的个数是 ①若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是¬q 的充分而不必要条件; ②命题“对任 x∈R,都 x2≥0”的否定为“存 x0∈R,使 x02<0”; ③若 p∧q 为假命题,则 p 与 q 均为假命题.( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

3.把函数 象向右平移 A.

图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再将图 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( B. C. D. )

4.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( A. B. C. D.



5.已知变量 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为(



A.

B.

C.

D.

6.若 α∈( A.

,π),则 3cos2α=sin( C. D.﹣

﹣α),则 sin2α 的值为(



B.﹣

7.已知数{an}满 a1=0,an+1=an+2n,那 a2016 的值是( A.2014×2015 B.2015×2016 C.2014×2016

) D.2015×2015

8. B, C 所对的边分别为 a, b, c, 在锐角△ ABC 中, 角 A, 若 则 b 的值为( A. B. ) C. D.

a=2, ,



9.如图,设 E,F 分别是 Rt△ ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点,已知 AB=3,AC=6,则

?

=(



A.8

B.10

C.11

D.12

10.已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4﹣x),且当 x≠2 时其导函数 f′ (x)满足 xf′(x)>2f′(x),若 2<a<4 则( A.f(2a)<f(3)<f(log2a) C.f(log2a)<f(3)<f(2a) )

B.f(3)<f(log2a)<f(2a) D.f(log2a)<f(2a)<f(3)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 与 的夹角为 120°,若( . + )⊥( ﹣ ),且| |=2,则 在 方向上的

正射影的数量为

12.若存在 x∈[2,3],使不等式

≥1 成立,则实数 a 的最小值为



13.已知向量 =(x﹣1,2), =(4,y),若 ⊥ ,则 9x+3y 的最小值为



14.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 10 个图中有 点.



15.已知函数 f(x)= ax3+ax2﹣3ax+1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围 为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知 =(2﹣sin(2x+ (1)求函数 f(x)的值域; (2)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 f( )=1,b=1,c= a 的值. ,求 ),﹣2), =(1,sin2x),f(x)= ? ,(x∈[0, ])

17.已知函数 h(x)=x﹣(a+1)lnx﹣ ,求函数 h(x)的单调递减区间.

18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PA=PD=DA=2,∠BAD=60° (I)求证:PB⊥AD; (II)若 PB= ,求二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值.

19.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=8,S4=40.数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn ﹣2bn+3=0,n∈N*. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Pn.

20.某旅游景点预计 2013 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)?(39﹣2x),(x∈N*,且 x≤12).已知第 x 月的人

= 均消费额 q (x) (单位: 元) 与 x 的近似关系是 q (x)

(I)写出 2013 年第 x 月的旅游人数 f(x)(单位:万人)与 x 的函数关系式; (II)试问 2013 年第几月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元?

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax2﹣x(a∈R). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在(1,﹣2)处的切线方程; (2)当 a≤0 时,分析函数 f(x)在其定义域内的单调性; (3)若函数 y=g(x)的图象上存在一点 P(x0,y0),使得以 P 为切点的切线 m 将图象分 割为 c1,c2 两部分,且 c1,c2 分别完全位于切线 m 的两侧(除了 P 点外),则称点 x0 为函 数 y=g(x)的“切割点“.问:函数 f(x)是否存在满足上述条件的切割点.

2015-2016 学年山东省潍坊市临朐县高三 12 月统练 (上) 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.已知全集 U=R,A={y|y=2x+1},B={x|lnx<0},则(?UA)∩B=( A.? B.{x| <x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1} )

【考点】补集及其运算;交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】本题求集合的交集,由题设条件知可先对两个集合进行化简,再进行交补的运算, 集合 A 由求指数函数的值域进行化简,集合 B 通过求集合的定义域进行化简 【解答】解:由题意 A={y|y=2x+1}={y|y>1},B={x|lnx<0}={x|0<x<1}, 故 CUA={y|y≤1} ∴(CUA)∩B={x|0<x<1} 故选 D 【点评】本题考查补集的运算,解题的关键是理解掌握集合的交的运算与补的运算,运用指 数函数与对数函数的知识对两个集合进行化简, 本题是近几年高考中的常见题型, 一般出现 在选择题第一题的位置考查进行集合运算的能力

2.下列命题中正确的个数是 ①若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则 p 是¬q 的充分而不必要条件; ②命题“对任 x∈R,都 x2≥0”的否定为“存 x0∈R,使 x02<0”; ③若 p∧q 为假命题,则 p 与 q 均为假命题.( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】转化思想;定义法;简易逻辑. 【分析】①根据充分条件和必要条件的定义结合逆否命题的等价性进行判断; )

②根据含有量词的命题的否定进行判断”; ③根据复合命题真假的关系进行判断. 【解答】解:①若¬p 是 q 的必要而不充分条件,则¬q 是 p 的必要而不充分条件 则 p 是¬q 的充分而不必要条件;故①正确, ②命题“对任 x∈R,都 x2≥0”的否定为“存 x0∈R,使 x02<0”;故②正确, ③若 p∧q 为假命题,则 p 与 q 质数有一个为假命题,故③错误, 故正确的个数 2 个, 故选:C 【点评】本题主要考查命题的真假判断,比较基础.

3.把函数 象向右平移 A.

图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再将图 个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为( B. C. D. )

【考点】正弦函数的对称性. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】先对函数 ωx+φ= 【解答】解: 到函数 再将图象向右平移 ; 个单位,得函数 是其图象的一条对称轴方程. ,根据 即可得到答案. 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),得 进行图象变换,再根据正弦函数对称轴的求法,即令

对称轴处一定取得最大值或最小值可知 故选 A.

【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质.图象变换是考生很容易搞错的问题, 值得重视.一般地,y=Asin(ωx+φ)的图象有无数条对称轴,它在这些对称轴上一定取得 最大值或最小值.

4.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为(



A.

B.

C.

D.

【考点】定积分在求面积中的应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】要求曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积,根据定积分的几何意义,只要求∫01(x2 ﹣x3)dx 即可. 【解答】解:由题意得,两曲线的交点坐标是(1,1),(0,0)故积分区间是[0,1] 所求封闭图形的面积为∫01(x2﹣x3)dx═ 故选 A. 【点评】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积. ,

5.已知变量 x,y 满足约束条件

,则

的最大值为(



A.

B.

C.

D.

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用 z 的几何意义求 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC): 的几何意义为区域内的点 P 到原点 O 的直线的斜率, 由图象可知当直线过 B 点时对应的斜率最小,当直线经过点 A 时的斜率最大, 由 ,解得 ,

即 A(3,2), 此时 OA 的斜率 k= , 即 的最大值为 .

故选:B.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法, 要熟练掌握目标函数的几何意义.

6.若 α∈( A.

,π),则 3cos2α=sin( C. D.﹣

﹣α),则 sin2α 的值为(



B.﹣

【考点】三角函数的化简求值;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的余弦函数;两 角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;三角函数的图像与性质. 【分析】 直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式, 利用平 方关系式求出结果即可. 【解答】解:3cos2α=sin( 可得 3cos2α= ﹣α),

(cosα﹣sinα), (cosα﹣sinα),

3(cos2α﹣sin2α)= ∵α∈(

,π),∴sinα﹣cosα≠0, , .

上式化为:sinα+cosα= 两边平方可得 1+sin2α= ∴sin2α= 故选:D. .

【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数,同角三角函数的基本关系的应用,属于中档题.

7.已知数{an}满 a1=0,an+1=an+2n,那 a2016 的值是( A.2014×2015 B.2015×2016 C.2014×2016

) D.2015×2015

【考点】数列递推式.

【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】通过 an+1=an+2n 可知 an﹣an﹣1=2(n﹣1),an﹣1﹣an﹣2=2(n﹣2),an﹣2﹣an﹣3=2 (n﹣3),…,a2﹣a1=2,累加计算,进而可得结论. 【解答】解:∵an+1=an+2n, ∴an+1﹣an=2n, ∴an﹣an﹣1=2(n﹣1), an﹣1﹣an﹣2=2(n﹣2), an﹣2﹣an﹣3=2(n﹣3), … a2﹣a1=2, 累加得:an﹣a1=2[1+2+3+…+(n﹣1)]=2? 又∵a1=0, ∴an=n(n﹣1), ∴a2016=2016(2016﹣1)=2015×2016, 故选:B. 【点评】本题考查数列的通项,利用累加法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于 中档题. =n(n﹣1),

8. B, C 所对的边分别为 a, b, c, 在锐角△ ABC 中, 角 A, 若 则 b 的值为( A. B. ) C. D.

a=2, ,



【考点】正弦定理. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】在锐角△ ABC 中,利用 sinA= 定理可求得 b+c,解方程组可求得 b 的值. 【解答】解:∵在锐角△ ABC 中,sinA= ∴ bcsinA= bc ∴bc=3,① = , ,S△ ABC= , ,S△ ABC= ,可求得 bc,在利用 a=2,由余弦

又 a=2,A 是锐角, ∴cosA= = ,

∴由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA, 即(b+c)2=a2+2bc(1+cosA)=4+6(1+ )=12, ∴b+c=2 ② , .

由①②得: 解得 b=c= 故选 A.

【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用,考查方程思想与运算能力,属于中档题.

9.如图,设 E,F 分别是 Rt△ ABC 的斜边 BC 上的两个三等分点,已知 AB=3,AC=6,则

?

=(



A.8

B.10

C.11

D.12

【考点】向量在几何中的应用. 【专题】数形结合;数形结合法;平面向量及应用. 【分析】建立平面直角坐标系,用坐标表示出 , ,代入向量的数量积公式计算.

【解答】解:以 BC 为 x 轴,以 B 为坐标原点建立平面直角坐标系,如图

∵AB=3,AC=6,∠BAC=90°,BC=3 ∵ = ,sinC=cosB



∴sinB=2cosB,

∵sin2B+cos2B=1 ∴sinB= ∴A( ∴ =( =( ∴ ? = ,cosB= , ,﹣ ,﹣ ? ),E( ), ), +(﹣ )2=10. ,0),F(2 ,0).

故选 B. 【点评】 本题考查了平面向量在几何中的应用, 建立合适坐标系是解题的关键, 属于基础题.

10.已知函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4﹣x),且当 x≠2 时其导函数 f′ (x)满足 xf′(x)>2f′(x),若 2<a<4 则( A.f(2a)<f(3)<f(log2a) C.f(log2a)<f(3)<f(2a) )

B.f(3)<f(log2a)<f(2a) D.f(log2a)<f(2a)<f(3)

【考点】抽象函数及其应用;导数的运算. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由 f(x)=f(4﹣x),可知函数 f(x)关于直线 x=2 对称,由 xf′(x)>2f′(x), 可知 f(x)在(﹣∞,2)与(2,+∞)上的单调性,从而可得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)对定义域 R 内的任意 x 都有 f(x)=f(4﹣x), ∴f(x)关于直线 x=2 对称; 又当 x≠2 时其导函数 f′(x)满足 xf′(x)>2f′(x)?f′(x)(x﹣2)>0, ∴当 x>2 时,f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上的单调递增; 同理可得,当 x<2 时,f(x)在(﹣∞,2)单调递减; ∵2<a<4, ∴1<log2a<2, ∴2<4﹣log2a<3,又 4<2a<16,f(log2a)=f(4﹣log2a),f(x)在(2,+∞)上的单调 递增; ∴f(log2a)<f(3)<f(2a). 故选 C.

【点评】本题考查抽象函数及其应用,考查导数的性质,判断 f(x)在(﹣∞,2)与(2, +∞)上的单调性是关键,属于中档题.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 与 的夹角为 120°,若( + )⊥( ﹣ ),且| |=2,则 在 方向上的

正射影的数量为 ﹣1 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】转化思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质求得| |=2,再利用一个向量在另一个向量上的射 影的定义求得 在 方向上的正射影的数量. + = )⊥( ﹣ ),∴( + )?( ﹣ )=0,即 = .

【解答】解:∵( 再根据| ∵已知 |=2,∴ 与

=4,| |=2. 在 方向上的正射影的数量为| |?cos120°=﹣1,

的夹角为 120°,∴

故答案为:﹣1. 【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质,一个向量在另一个向量上的射影的定义,属于 基础题.

12.若存在 x∈[2,3],使不等式 【考点】其他不等式的解法. 【专题】函数的性质及应用.

≥1 成立,则实数 a 的最小值为



【分析】由已知得 a≥2x﹣ ,令 y=2x﹣ ,由导数性质得到 y=2x﹣ ,在[2,3]上是增函数, 由此能求出实数 a 的最小值. 【解答】解:∵存在 x∈[2,3],使不等式 ∴1+ax≥x?2x,即 a≥2x﹣ , 令 y=2x﹣ ,则 y′=2xln2+ >0, ≥1 成立,

∴y=2x﹣ ,在[2,3]上是增函数,

∴当 x=2 时,y 取得最小值,ymin=22﹣ = , ∴a≥ ,即实数 a 的最小值为 . 故答案为: . 【点评】本题考查实数的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意导数性质的合 理运用.

13.已知向量 =(x﹣1,2), =(4,y),若 ⊥ ,则 9x+3y 的最小值为 6 . 【考点】基本不等式;平面向量数量积的运算. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】由向量知识易得 2x+y=2,进而可得 9x+3y=32x+3y≥2 等号成立的条件即可. 【解答】解:∵向量 =(x﹣1,2), =(4,y),且 ⊥ , ∴ =4(x﹣1)+2y=0,整理可得 2x+y=2, =2 =6 =2 =6,验证

∴9x+3y=32x+3y≥2

当且仅当 32x=3y 即 x= 且 y=1 时取等号, 故答案为:6. 【点评】本题考查基本不等式,涉及向量的数量积的运算,属基础题.

14.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 10 个图中有 91

个点.

【考点】归纳推理. 【专题】计算题;方程思想;综合法;推理和证明. 【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的. 【解答】解:通过观察得: 图 1 有:1×1﹣0=1 个点,

图 2 有:2×2﹣1=3 个点, 图 3 有:3×3﹣2=7 个点, 图 4 有:4×4﹣3=13 个点, 图 5 有:5×5﹣4=21 个点, …, 所以第 10 图中的点数为:10×10﹣19=91. 故答案为:91 【点评】 此题考查的知识点是图形数字变化类问题, 解题的关键是通过观察图形分析总结出 规律,再按规律求解.

15.已知函数 f(x)= ax3+ax2﹣3ax+1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围为 (﹣ ∞,﹣ )∪( ,+∞) . 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;数形结合;方程思想;转化思想;综合法;函数的性质及应用;导数的综 合应用. 【分析】求导,得 f′(x)=ax2+2ax﹣3a=a(x+3)(x﹣1),要使函数 f(x)的图象经过四 个象限,则 f(﹣3)f(1)<0,再进一步计算即可. 【解答】解:∵f(x)= ax3+ax2﹣3ax+1, ∴f′(x)=ax2+2ax﹣3a=a(x﹣1)(x+3), 令 f′(x)=0, 解的 x=1 或 x=﹣3,是函数的极值点,当 a>0 时,f(﹣3)是极大值,f(1)是极小值,f (﹣3)f(1)<0,当 a<0 时,f(﹣3)是极小值,f(1)是极大值,f(﹣3)f(1)<0, 所以,要使函数 f(x)的图象经过四个象限,则 f(﹣3)f(1)<0, ∵f(﹣3)= a(﹣3)3+a(﹣3)2﹣3a(﹣3)+1=9a+1, f(1)= a+a﹣3a+1=1﹣ a, ∴(9a+1)(1﹣ a)<0, 即(a+ )(a﹣ )>0,

解的 a<﹣ ,或 a> 故答案为:(﹣∞,﹣ )∪( ,+∞). 【点评】本题考查函数与导数的应用,利用导数判断函数的单调性,函数零点的应用,函数 值的变化从而确定其性质.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.已知 =(2﹣sin(2x+ (1)求函数 f(x)的值域; (2)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 f( )=1,b=1,c= a 的值. 【考点】正弦定理;两角和与差的正弦函数. 【专题】解三角形;平面向量及应用. 【分析】 (1)利用平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用化简可得解析式 f(x) =cos(2x+ )+1,由余弦函数的有界性即可求值域. )=0,又结合范围 0<B<π,即可解得 B 的值,由正弦 ,求 ),﹣2), =(1,sin2x),f(x)= ? ,(x∈[0, ])

(2)由 f( )=1,得 cos(B+

定理可求 sinC,解得 C,解得 A,即可解得 a 的值. 【解答】(本小题满分 12 分) f = ? =2﹣sin 解: (1) (x) (2x+ = cos2x﹣ ∵x∈[0, sin2x+1=cos(2x+ ],∴2x+ ∈[ , ) ﹣2sin2x=2﹣ (sin2xcos )+1. … )≤ ,从而有 0≤f(x)≤ , … <B+ , +cos2xsin ) ﹣ (1﹣cos2x)

],∴﹣1≤cos(2x+

所以函数 f(x)的值域为[0, ]. (2)由 f( )=1,得 cos(B+ 从而 B+ = ,即 B= .

)=0,又因为 0<B<π,所以 … 得 sinC= =

因为 b=1,c= 故 C= 或

,所以由正弦定理 ,



当 C= 当 C=

时,A= 时,A=

,从而 a= ,又 B=

=2, ,从而 a=b=1

综上 a 的值为 1 或 2.… (用余弦定理类似给分). 【点评】 本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用, 考查了余弦函 数的图象和性质,正弦定理,勾股定理的应用,属于基本知识的考查.

17.已知函数 h(x)=x﹣(a+1)lnx﹣ ,求函数 h(x)的单调递减区间. 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;分类讨论;转化思想;综合法;导数的综合应用. 【分析】求出函数的导数,通过导函数的符号,求解不等式,求出函数的单调减区间即可. 【解答】解:函数 h(x)=x﹣(a+1)lnx﹣ ,h′(x)=1﹣ + =(x﹣a)(x﹣1)x2,

①当 a≤0 时,由 h′(x)<0 可得,0<x<1.函数 h(x)的单调减区间为(0,1); ②当 0<a<1 时,由 h′(x)<0 可得,a<x<1.函数 h(x)的单调减区间为(a,1); ③当 a=1 时,由 h′(x)≥0,可得函数 h(x)的无单调减区间; ④当 a>1 时,由 h′(x)<0 可得,1<x<a.函数 h(x)的单调减区间为(1,a); 【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性与导函数的关系,考查计算能力.

18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,且 PA=PD=DA=2,∠BAD=60° (I)求证:PB⊥AD; (II)若 PB= ,求二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值.

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 【专题】空间位置关系与距离;空间角.

【分析】(Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E,连接 PE,BE,BD.证明 AD⊥平面 PBE,然后证 明 PB⊥AD; (Ⅱ)以点 E 为坐标原点,分别以 EA,EB,EP 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空 间直角坐标系,求出平面 APD 的一个法向量为 =(0,1,0),平面 PDC 的一个法向量为 ,利用向量的数量积求解二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值. 【解答】(Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E,连接 PE,BE,BD. ∵PA=PD=DA,四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD=60°, ∴△PAD 和△ ABD 为两个全等的等边三角形, 则 PE⊥AD,BE⊥AD,∴AD⊥平面 PBE,… 又 PB?平面 PBE,∴PB⊥AD;… (Ⅱ)解:在△ PBE 中,由已知得,PE=BE= ,PB= ,则 PB2=PE2+BE2,

∴∠PEB=90°,即 PE⊥BE,又 PE⊥AD,∴PE⊥平面 ABCD; 以点 E 为坐标原点,分别以 EA,EB,EP 所在直线为 x,y,z 轴,建立如图所示空间直角 坐标系, 则 E(0,0,0),C(﹣2, 则 =(1,0, ), ,0),D(﹣1,0,0),P(0,0, ,0), ),

=(﹣1,

由题意可设平面 APD 的一个法向量为 =(0,1,0);… 设平面 PDC 的一个法向量为 =(x,y,z), 由 得: 令 y=1,则 x= , ,z=﹣1,∴ >= =( = ,1,﹣1); = ,…

则 ? =1,∴cos<

由题意知二面角 A﹣PD﹣C 的平面角为钝角, 所以,二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值为﹣ …

【点评】本题考查直线与平面垂直,二面角的平面角的求法,考查逻辑推理以及计算能力.

19.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2=8,S4=40.数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn ﹣2bn+3=0,n∈N*. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Pn.

【考点】数列的求和;等差数列的性质. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)运用等差数列的通项公式与求和公式,根据条件列方程,求出首项和公差, 得到通项 an,运用 n=1 时,b1=T1,n>1 时,bn=Tn﹣Tn﹣1,求出 bn; (Ⅱ)写出 cn,然后运用分组求和,一组为等差数列,一组为等比数列,分别应用求和公 式化简即可. 【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, 由题意,得 ,

解得 ∴an=4n,



∵Tn﹣2bn+3=0,∴当 n=1 时,b1=3,当 n≥2 时,Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0, 两式相减,得 bn=2bn﹣1,(n≥2) 则数列{bn}为等比数列, ∴ ;

(Ⅱ)



当 n 为偶数时,Pn=(a1+a3+…+an﹣1)+(b2+b4+…+bn) = 当 n 为奇数时, (法一)n﹣1 为偶数,Pn=Pn﹣1+cn=2(n﹣1)+1+(n﹣1)2﹣2+4n=2n+n2+2n﹣1, (法二)Pn=(a1+a3+…+an﹣2+an)+(b2+b4+…+bn﹣1) = . .





【点评】 本题主要考查等差数列和等比数列的通项与求和公式的运用, 考查方程的思想在数 列中的运用,同时考查数列的通项与前 n 项和的关系式,考查数列的求和方法:分组求和, 是一道综合题.

20.某旅游景点预计 2013 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的和 p(x)(单位:万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)= x(x+1)?(39﹣2x),(x∈N*,且 x≤12).已知第 x 月的人

= 均消费额 q (x) (单位: 元) 与 x 的近似关系是 q (x)

(I)写出 2013 年第 x 月的旅游人数 f(x)(单位:万人)与 x 的函数关系式; (II)试问 2013 年第几月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元? 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】应用题;函数的性质及应用. 【分析】(Ⅰ)根据所给的前 x 个月旅游人数的和,可以得到第 x 个月的旅游人数,注意验 证第一个月的旅游人数符合表示式. (Ⅱ)根据所给的表示式,写出第 x 月旅游消费总额,是一个分段函数,求出分段函数的最 大值,把两个最大值进行比较,得到最大月旅游消费总额. 【解答】解:(Ⅰ)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37,

当 2≤x≤12,且 x∈N*时, f(x)=P(x)﹣P(x﹣1)= x(x+1)(39﹣2x)﹣ (x﹣1)x(41﹣2x)=﹣3x2+40x.… 验证 x=1 符合 f(x))=﹣3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12))…

(Ⅱ)第 x 月旅游消费总额为 g(x)=

(x∈N*)

即 g(x)=

(x∈N*)…

当 1≤x≤6,且 x∈N*时,g′(x)=18x2﹣370x+1400,令 g′(x)=0,解得 x=5,x= ∴当 1≤x<5 时,g′(x)>0,当 5<x≤6 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时,g(x)max=g(5)=3125(万元).…

(舍去).

当 7≤x≤12,且 x∈N*时,g(x)=﹣480x+6400 是减函数,∴当 x=7 时,g(x)max=g(7) =3040(万元), 综上,2013 年第 5 月份的旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为 3125 万元.… 【点评】本题考查函数模型的选择和导数的应用,本题解题的关键是写出分段函数,要分别 求出两段函数的最大值,进行比较.

21.已知函数 f(x)=lnx﹣ax2﹣x(a∈R). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)在(1,﹣2)处的切线方程; (2)当 a≤0 时,分析函数 f(x)在其定义域内的单调性; (3)若函数 y=g(x)的图象上存在一点 P(x0,y0),使得以 P 为切点的切线 m 将图象分 割为 c1,c2 两部分,且 c1,c2 分别完全位于切线 m 的两侧(除了 P 点外),则称点 x0 为函 数 y=g(x)的“切割点“.问:函数 f(x)是否存在满足上述条件的切割点. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】新定义;分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】(1)求出 a=1 的函数,求出导数,求出切线的斜率,由点斜式方程即可得到切线 方程; (2)求出导数,对 a 讨论,a=0,a<0,运用判别式结合二次方程的求根公式,解不等式即 可得到单调区间,注意定义域;

(3)求出导数,对 a 讨论,a=0,a>0,由导数得到单调区间,进而得到最大值,即可说明 不存在切割点;a<0,由(2)可得单调区间,说明 f(x)无最值,则存在切割点. 【解答】解:(1)当 a=1 时,函数 f(x)=lnx﹣x2﹣x 的导数为 f′(x)= ﹣2x﹣1, 则函数 f(x)在(1,﹣2)处的切线斜率为 1﹣2﹣1=﹣2, 即有函数 f(x)在(1,﹣2)处的切线方程为 y+2=﹣2(x﹣1), 即为 2x+y=0; (2)函数 f(x)=lnx﹣ax2﹣x 的导数为 f′(x)= ﹣2ax﹣1= ,(x>0),

当 a=0 时,f′(x)=

,当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)递减;

当 0<x<1 时,f′(x)>0,f(x)递增. 当 a<0 时,令 h(x)=﹣2ax2﹣x+1, 当△ ≤0,即 1+8a≤0,a≤﹣ 时,h(x)≥0 恒成立,即有 f(x)递增; 当△ >0,即 1+8a>0,a>﹣ 时,由 h(x)=0 可得 x= 当 x> 当 或 0<x< <x< >0,

时,f′(x)>0,f(x)递增; 时,f′(x)<0,f(x)递减.

综上可得,当 a=0 时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞); 当 a≤﹣ 时,f(x)的增区间为(0,+∞); 当﹣ <a<0 时,f(x)的增区间为(0, 减区间为( , ). ),( ,+∞),

(3)函数 f(x)=lnx﹣ax2﹣x 的导数为 f′(x)= ﹣2ax﹣1=

,(x>0),

当 a=0 时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞),f(1)为最大值,且为﹣1 <0, 即 f(x)<0 恒成立.则不存在切割点; 当 a>0 时,f′(x)=0 解得 x= (负的舍去),

当 0<x< 当 x> 即有 f(

时,f′(x)>0,f(x)递增, 时,f′(x)<0,f(x)递减. )取得最大,且为负值,则不存在切割点;

当 a<0 时,由(2)得当 a≤﹣ 时,f(x)在 x>0 时递增,无最值,则存在切割点; 当﹣ <a<0 时,由于 f(x)的增区间为(0, 减区间为( , ),( ,+∞),

),无最值,则存在切割点.

综上可得,当 a≥0 时,不存在切割点;当 a<0 时,存在切割点. 【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和判断单调性和极值、最值,同时考查新定义的 理解和运用,运用分类讨论的思想方法和单调性的运用是解题的关键.


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