2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科数学(原卷精校版)


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试卷类型:B

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)
本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答 题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

?? ? ?a ? 中系数计算公式 b 线性回归方程 ? y ? bx

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? ? y ? bx ? , ,a

2

样本数据 x1 , x2 ,?, xn 的标准差, s ? 其中 x , y 表示样本均值.

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] , n

n 是正整数,则 an ? bn ? (a ? b)(an?1 ? an?2b ? ? ? abn?2 ? bn?1 ) .
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.设复数 z 满足 iz ? 1 ,其中 i 为虚数单位,则 z ? A. ? i B. i C. ?1 D. 1 2.已知集合 A ? {( x, y) | x, y 为实数,且 x ? y ? 1} , B ? {( x, y) | x, y 为实数,且 x ? y ? 1} ,则 A ? B
2 2

的元素个数为 A.4

B.3

C.2

D.1

3.已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) .若 ? 为实数, (a ? ? b) ∥ c ,则 ? ? A.

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

数学(文科)试题 B 第 1 页 (共 4 页)

4.函数 f ( x) ?

1 ? lg(1 ? x) 的定义域是 1? x
B. (1, ??) C. (?1,1) ? (1, ??) D. (??, ??)

A. (??, ?1)
2

5.不等式 2 x ? x ? 1 ? 0 的解集是 A. ( ?

1 ,1) 2

B. (1, ??)

C. (??,1) ? (2, ??)

D. (??, ? ) ? (1, ??)

1 2

?0 ≤ x ≤ 2 ? 6. 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ≤ 2 给定. 若 M ( x, y ) 为 D 上的动点, 点A ? ?x ≤ 2 y ???? ? ??? ? 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为
A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2

7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱 对角线的条数共有 A.20 B.15 C.12 D.10 8.设圆 C 与圆 x2 ? ( y ? 3)2 ? 1外切,与直线 y ? 0 相切,则 C 的圆心轨迹为 A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 9.如图 1 ~ 3,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形 和菱形,则该几何体的体积为 A. 4 3 C. 2 3 B. 4

2 3
D. 2 2 侧视图 图2

正视图 图1

2

俯视图 图3 10.设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数,如下定义两个函数 ( f ? g ) ( x ) 和 ( f ?g ) ( x ) :对任意

x ? R , ( f ? g ) ( x ) ? f ( g ( x)) ; ( f ?g ) ( x ) ? f ( x) g ( x) ,则下列等式恒成立的是

h ) ( x ) ? ( ( f ?h)   A. ( ( f ? g )   ?  ? ( g ?h) ) ( x )

( g ? h) ) ( x ) B. ( ( f ?g )   ? h ) ( x ) ? ( ( f ? h)   ?  ? h) ) ( x ) C. ( ( f ? g ) ? h ) ( x ) ? ( ( f   ? g)   ? (g  ( g ?h) ) ( x ) D. ( ( f ?g )   ? h ) ( x ) ? ( ( f ?g )   ? 
数学(文科)试题 B 第 2 页 (共 4 页)

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(9 ~ 13 题) 11.已知 {an } 是递增的等比数列,若 a2 ? 2 , a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ? 12.设函数 f ( x) ? x3 cos x ? 1 .若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) ? . .

13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天 打篮球时间 x (单 位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为 6 小时篮球的投篮命中率为 .

;用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 号打

(二)选做题(14 ~ 15 题,考生只能从中选做一题)

5 2 ? ? x ? 5 cos ? ?x ? t ? 14 . (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ? (0 ≤? ? ? ) 和 ? 4 ? ? y ? sin ? ? ?y ? t C D (t ? R ) ,它们的交点坐标为___________.
15. (几何证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD ,

E

F

AB ? 4 , CD ? 2 , E , F 分别为 AD, BC 上的点,且 EF ? 3 , EF ∥ AB ,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为________. A B

图4 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求 f (0) 的值; (2)设 ? , ? ? ?0,

1 3

?
6

), x? R .

? 10 6 ? ?? f (3 ? ? ) ? f (3 ? ? 2 ? ) ? , , ,求 sin(? ? ? ) 的值. 2 13 5 ? 2? ?

17. (本小题满分 13 分) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n (n ? 1, 2,?, 6) 的同学所得成绩, 且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1)求第 6 位同学的成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 数学(文科)试题 B 第 3 页 (共 4 页)

18. (本小题满分 13 分) 图 5 所示的几何体是将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右

? ,D ? ?E ? 的中点, O , O ? , O , O ? 分别为 CD , C ?D ? , ??D? , DE ? ,C 水平平移后得到的. A, A?, B, B? 分别为 CD 1 1 2 2
DE , D ?E ? 的中点.
(1)证明: O1? , A?, O2 , B 四点共面; (2)设 G 为 AA? 中点,延长 A?O1? 到 H ? ,使得 O1? H ? ? A?O1? .证明: BO2? ? 平面 H ?B?G .

A?

C?
H?

O1?

D?

O 2?
B?

E?

G
A

C

O1

D B
图5

O2

E

19. (本小题满分 14 分) 设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x2 ? 2(1 ? a) x 的单调性.

20. (本小题满分 14 分) 设 b ? 0 ,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ≤ b 21. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 上,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A .设 P 是 l 上一点, M 是线段 OP 的垂直 平分线上一点,且满足 ?MPO ? ?AOP . (1)当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2)已知 T (1, ?1) ,设 H 是 E 上动点,求 HO ? HT 的最小值,并给出此时点 H 的坐标; (3)过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点,求直线 l1 的斜率 k 的 取值范围. 数学(文科)试题 B 第 4 页 (共 4 页)
n ?1

nban ?1 (n ≥ 2) . an ?1 ? n ? 1

? 1.


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