高中数学北师大版选修2-1 空间向量与立体几何 本章整合 课件 (38张)


本章整合 从平面向量到空间向量 空间向量的加减法 空间向量的运算 空间向量的数乘 空间向量的数量积 向量的坐标表示和 空间向量基本定理 空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理 空间向量运算的坐标表示 直线间的夹角 夹角的计算 平面间的夹角 直线与平面的夹角 点到直线的距离 点到平面的距离 距离的计算 直线与平面的距离 平面与平面的距离 用向量讨论垂直与平行 专题一 专题二 专题三 专题一 空间角 (1)异面直线间的夹角 求异面直线间的夹角主要有定义法(平移法)和向量法两种.定义法主 要借助于构造出的平行四边形的对边和三角形的中位线;向量法就是在两 条异面直线上取方向向量,将两条异面直线的夹角与两个方向向量的夹角 联系在一起,但应注意两个方向向量的夹角 θ,当 0<θ≤ 时,θ 就是所求,当 π <θ<π 2 π 2 时,π-θ 才是所求,因为异面直线间的夹角的范围是 0, π 2 . 专题一 专题二 专题三 (2)直线与平面的夹角 求直线和平面的夹角也有传统法和向量法两种.传统法的关键是找斜 线在平面内的投影,从而找出线面角;向量法则可建立空间直角坐标系,利用 向量的运算求解. (3)平面间的夹角 求平面间的夹角也有传统法和向量法两种.传统法是找到二面角的平 面角,然后解这个角所在的三角形或多边形,最后由二面角与平面间的夹角 的关系求解;向量法是建立空间直角坐标系,用两个平面的法向量研究两个 平面的夹角,最后得出结论即可. 专题一 专题二 专题三 【应用 1】如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是侧棱 CC1 上的一点,CP=m. (1)试确定 m,使得直线 AP 与平面 BDD1B1 夹角的正切值为 3 2. (2)在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q,使得对任意的 m,D1Q 在平面 APD1 上的投影垂直于 AP?并证明你的结论. 提示:本题主要考查线面关系,直线与平面夹角的有关知识及空间想象 能力和推理运算能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力. 专题一 专题二 专题三 解法一:建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1). 专题一 专题二 专题三 (1)因为 =(-1,-1,0),1 =(0,0,1),=(-1,1,m), =(-1,1,0), 所以 · =0, ·1 =0, 所以 为平面 BB1D1D 的一个法向量. 设 AP 与平面 BB1D1D 的夹角为 θ, 则 sin θ=cos 3 2 1+(3 2) 2 ,解得 π |·| 2 2 -θ = = . 依题意 , 有 = 2 |||| 2· 2+2 2· 2+2 1 1 m= .故当 m= 时,直线 AP 与平面 BDD1B1 夹角的正切值为 3 3 3 2. (2)存在点 Q 满足题意,证明如下:设 Q(x,1-x,1),所以1 Q=(x,1-x,0). 依题意,对任意的 m,D1Q 在平面 APD1 上的投影垂直于 AP?D1Q⊥AP?·1 Q=0?-x+(1-x)=0?x= ,即 Q 为 A1C1 的中点时,满 足题意要求. 1 2 专题一 专题二 专题三 解法二:(1)连接 AC,设 AC∩BD=O,AP 与平面 BDD1B1 交于点 G,连接 OG,如图所示.因为 PC∥平面 BDD1B1,平面 BDD1B1∩平面 APC

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