江苏省扬州市2014-2015学年高一下学期期末考试 数学(Word版含答案)


2014—2015 学年度第二学期期末调研测试试题

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2015.7 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1.直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 2.不等式 ▲ ▲ . .

x ?1 ? 0 的解集是 x?3

3.经过点 (?2,1) ,且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线方程是 4.已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? a5 ? a8 ? 15 ,则 S9 ?



.



.

5.直线 x-y-5=0 被圆 x2+y2-4x+4y+6=0 所截得的弦的长为





6.

1 ? cos100 ? cos850





?y ? x ? 7.在约束条件 ? y ? 2 x 下,目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?



.

8.已知 a ? R ,直线 l : (a ? 1) x ? ay ? 3 ? 0 ,则直线 l 经过的定点的坐标为▲

.

9.在 ?ABC 中,已知 a ?

4 3 , b ? 4, A ? 30 0 , 则 ?ABC 的面积为 3



.

10.等差数列 ?an ? 中, S n 是其前 n 项和, a1 ? 2014 , 为 ▲ .

S 2014 S 2012 ? ? ?2 ,则 S 2015 的值 2014 2012

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2 2 11. ?ABC 三内角为 A, B, C ,若关于 x 的方程 x ? x cos A cos B ? cos

?ABC 的形状是 ▲

C ? 0 有一根为 1,则 2

.

12.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y ) ,若不等式 : ( x ? a ) ? ( x ? a ) ? 2 对实数 x ? [1, 2] 恒成立,则 a 的范围为 ▲ .

13.已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ?bn ? 是公比为 q 的等比数列。若对一切

n? N? ,

an ?1 ? bn 总成立,则 d ? q ? an



.

14.若 ?ABC 的内角 A, B 满足 ▲ .

sin B ? 2 cos( A ? B) ,则当 B 取最大值时,角 C 大小为 sin A

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? a cos C . (1)求角 C 的大小; (2)求 f ( A) ? 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值.

16. (本题满分 14 分) 等比数列 ?an ? 中, S3 ? 7, S6 ? 63 . (1)求 an ; (2)记数列 ?S n ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

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17.(本题满分 15 分) 在 ?ABC 中, ?C 的平分线所在直线 l 的方程为 y ? 2 x ,若点 A(-4,2) ,B(3,1). (1)求点 A 关于直线 l 的对称点 D 的坐标; (2)求 AC 边上的高所在的直线方程; (3)求 ?ABC 得面积.

18. (本题满分 15 分) 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在 2016 年举行某一产品的促销活动,经调查测 算,该产品的年销量(即该厂的年产量 ) x 万件与年促销费用 t (t ? 0) 万元满足 x=4- k (k 为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是 1 万件.已知 2016 年 2t+1 生产该产品的固定投入为 6 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元,厂家将每 件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的 1.5 倍(生产投入成本包括生产固 定投入和生产再投入两部分). (1)求常数 k,并将该厂家 2016 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数;

(2)该厂家 2016 年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?

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19. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系中,圆 O : x ? y ? 4 与 x 轴的正半轴交于点 A ,以 A 为圆心的圆
2 2

A : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 与圆 O 交于 B, C 两点.
(1)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D, E ,当线段 DE 长最小时,求 直线 l 的方程; (2)设 P 是圆 O 上异于 B, C 的任意一点,直线 PB 、 PC 分别与 x 轴交于点 M 和 N , 问 OM ? ON 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. l
P D B O N A E C M

y

x

20. (本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1=1 , an ? 0 , ? S n=an an+1 +1 ,其中 ? 为常数. (1)证明:数列 ?a2 n ?1? 是等差数列; (2)是否存在实数 λ,使得 ?an ? 为等差数列?并说明理由; (3)若 ?an ? 为等差数列,令 bn ? ? ?1?
n ?1

4n ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn . an an ?1

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扬州市 2014—2015 学年度第二学期期末调研测试试题

高 一 数 学 参 考 答 案
1.

2015.7 6. 2

?
4

2. ?? 3,1? 8. (3, ?3)

3. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0

4. 45

5. 6

7.

5 3

9.

8 4 3或 3 3 3

10.0

11. 等腰三角形.

12. ? 1 ? a ? 2 解:由题: ( x ? a )[1 ? ( x ? a )] ? 2 对实数 x ? [1, 2] 恒成立,即 x 2 ? x ? a 2 ? a ? 2 ? 0 对实数

x ? [1, 2] 恒成立,记 f ( x) ? x 2 ? x ? a 2 ? a ? 2 ,则应满足 f (1) ? 12 ? 1 ? a 2 ? a ? 2>0 ,
化简得 a 2 ? a ? 2<0 ,解得 ? 1 ? a ? 2 13 . 1 解 析 : 由

bn a a 2 ? n ?1 ? n ?1 ? q , 得 an ?1 ? an ?1 ? qan , 所 以 bn ?1 an an

(a1 ? nd ) ? (a1 ? nd ? 2d ) ? q(a1 ? nd ? d ) 2 对 n ? N ? 恒 成 立 , 从 而 d 2 ? qd 2 . 若 d ? 0, 则
a12 ? qa12 ,得 q ? 1 ;若 q ? 1, 则 d ? 0 ,综上 d ? q ? 1 .

14.

2? 3

解:由条件得 sin B ? 2sin A cos( A ? B ) ,

? sin B ? 2sin A cos A cos B ? 2sin 2 A sin B
所以 tan B ?

2sin A cos A 2 tan A ? ? ,由此可知 A ? (0, ) , B ? (0, ) , tan A ? 0 , ? 2 2 1 ? 2sin A 1 ? 3 tan A 2 2

? tan B ?

2 1 ? 3 tan A tan A

?

3 ? 3 , 当 且 仅 当 tan A ? 时 , 即 A? 时 , 3 6 3

(tan B )max ?

3 ? 2? , B 的最大值为 ,从而角 C 大小为 . 3 6 3

15.解(1)由 c sin A ? a cos C 及正弦定理得

tan C ? 1 ,

……………………3 分

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在 ?ABC 中, C ? (0,

?
2

) ,5 分
……………………7 分

?C ?

?
4



(2)由(1) C ?

?
4

,? A ? B ?

3? 3? , ?B ? ?A 4 4

…………………… 9 分

? 3? ? ? f ( A) ? 3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos[( ? A) ? ] 4 4 4 ? ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) 6
因为 0 ? A ? 最大值为 2.

………………

12 分

3? ? ? ,所以当 A ? 时, f ( A) ? 3 sin A ? cos( B ? ) 的 4 3 4
……………………14 分

16.解:(1)若 q ? 1 ,则 S6 ? 2 S3 ,与已知矛盾,所以 q ? 1 。………………………… 2 分

? S ? a1 ?1? q3 ? ? 7 ? 3 1? q 从而 ? a1 ?1? q6 ? 解得 S ? ? 63 ? ? 6 1? q

?

a1 ?1 q?2

,因此 an ? 2n ?1 .

……………………………………………… 7 分

(2)由(1),求得 S n ? 2n ? 1 , 于是 Tn ? 21 ? 1 ? 22 ? 1 ?

…………………………………………………………………………………… 9 分
2 ?1 ? 2n ? 1? 2 ? n ? 2n ?1 ? n ? 2 ……………………………………… 14 分

? 2n ? 1 ?

17.解: (1)设点 A 关于 l 的对称点 D (m, n)

1 ? n?2 ?? ? ?m ? 4 ?m ? 4 2 ?? ? ? n ? 2 ? 2 ? m ? 4 ?n ? ?2 ? ? 2 2

∴ D (4, ?2) (2)

…………………………………………………………………………5 分

∵D 点在直线 BC 上,∴直线 BC 的方程为 3 x ? y ? 10 ? 0 ,

因 为

C

在 直 线

?3 x ? y ? 10 ? 0 ? x ? 2 ?? 所 以 y ? 2x 上 , 所 以 ? ? y ? 2x ?y ? 4

C (2, 4) 。……………………………8 分

1 ,所以 AC 边上的高所在的直线方程的方程为 3 x ? y ? 10 ? 0 。…………10 分 3 (备注:若学生发现 AC ? BC ,进而指出 AC 边上的高即为 BC,AC 边上的高所在的直线方
∴ k AC ? 程的方程为 3 x ? y ? 10 ? 0 也可以)

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(3) S ?ABC ?

1 1 AC ? BC ? ? 2 10 ? 10 ? 10 …………15 分 2 2
k k 中,得 1=4- ,得 k=3 1 2t+1 …………………………………………… 5分

18.解 (1)由题意,当 t ? 0 时, x ? 1 ,代入 x=4- 6+12x 3 故 x=4- ,∴y=1.5× × x-(6+12x)-t x 2t+1 3 18 =3+6x-t=3+6?4-2t+1?-t=27- -t(t≥0). ? ? 2t+1 (2)由(1)知:y=27-

…………………………………………… 7 分

? 9 ? 1? 18 -t=27.5-? 1+ ?t+2? ?t+ 2t+1 ? 2
9 ? 1? ·t+ =6, 1 ? 2? t+ 2

? ?. ? ?
………………………12 分

1 9 由基本不等式 +?t+ ?≥2 1 ? 2? t+ 2

9 1 当且仅当 =t+ ,即 t=2.5 时等号成立, 1 2 t+ 2 故 y=27-

……………………13 分

? 9 1 18 + ?t+ ? -t=27.5-? 1 2 ? ? ?t+ 2t+1 ? 2

? ?≤27.5-6=21.5. ? ?

…………………………14 分 ………………15 分

答:该厂家 2016 年的年促销费用投入 2.5 万元时,厂家利润最大。 19.解: (1)设直线 l 的方程为

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,即 bx ? ay ? ab ? 0 , a b

由直线 l 与圆 O 相切,得

ab a 2 ? b2

? 2 ,即

1 1 1 ? ? , a 2 b2 4

……………4 分

DE 2 ? a 2 ? b 2 ? 4(

1 1 ? )(a 2 ? b 2 ) ? 16 , a 2 b2

当且仅当 a ? b ? 2 2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x ? y ? 2 2 ? 0 .………8 分
2 2 (2)设 B ( x0 , y0 ) , P ( x1 , y1 )( y1 ? ? y0 ) ,则 C ( x0 , ? y0 ) , x0 ? y0 ? 4 , x12 ? y12 ? 4

直线 PB 的方程为: y ? y1 ?

y0 ? y1 ( x ? x1 ) x0 ? x1 ? y0 ? y1 ( x ? x1 ) x0 ? x1

直线 PC 的方程为: y ? y1 ?

分别令 y ? 0 ,得 xM ?

x1 y0 ? x0 y1 x y ?x y , xN ? 1 0 0 1 , y0 ? y1 y0 ? y1

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所以 OM ? ON ? xM xN ?

2 2 2 2 2 x12 y0 ? x0 y1 (4 ? y12 ) y0 ? (4 ? y0 ) y12 ? ? 4 为定值。……16 分 2 2 y0 ? y12 y0 ? y12

20.解:(1)证明:由题设,λSn=anan+1+1,λSn-1=anan-1+1,两式相减得 λan=an(an+1-an-1). 因为 an≠0,所以 an+1-an-1=λ,所以 a2n+1-a2n-1=λ,数列{a2n-1}是等差数列.……… 4 分 (2)由题设,a1=1,λS1=a1a2+1,可得 a2=λ-1,由(1)知,a3=λ+1.若{an}为等差数列, 则 2a2=a1+a3,解得 λ=4,故 an+2-an=4.……………………………………6 分 由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为 3, 公差为 4 的等差数列, a2n=4n-1.所以 an=2n-1, an+1-an=2.因此存在 λ=4, 使得数列{an} 为等差数列.…………………………………………………………………………………………………………10 分 (3)由题意可知, 1 1 4n 4n bn=(-1)n-1 =(-1)n-1 =(-1)n-1?2n-1+2n+1?.………12 分 ? ? anan+1 (2n-1)(2n+1) 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 1 + + 1+ ?-? + ?+…+? 当 n 为偶数时,Tn=? - ? 3? ?3 5? ?2n-3 2n-1? ?2n-1 2n+1? =1- 1 2n = . 2n+1 2n+1 1? ?1 1? ? 1 + 1 ? ? 1 + 1 ? 当 n 为奇数时,Tn=? ?1+3?-?3+5?+…- 2n-3 2n-1 + 2n-1 2n+1

?

? ?

?

2n+2 1 =1+ = . 2n+1 2n+1 2n+2 ? ?2n+1,n为奇数, 所以 T =? (或 T 2n ? ?2n+1,n为偶数.
n

n

?

2n ? 1 ? (?1) n ?1 )………………………………16 分 2n ? 1

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