2012届高三数学一轮复习:函数


函数 第 2 章
一、选择题

第1节

1.(文)(2010· 浙江文)已知函数 f(x)=log2(x+1),若 f(a)=1,则 a=( A.0 C .2 [答案] B [解析] 由题意知,f(a)=log2(a+1)=1,∴a+1=2, ∴a=1. B.1 D.3

)

?2x x∈?-∞,2] ? (理)(2010· 广东六校)设函数 f(x)=? ,则满足 f(x)=4 的 x 的值是 ? ?log2x x∈?2,+∞?

( A.2 C.2 或 16 [答案] C [解析] 当 f(x)=2x 时.2x=4,解得 x=2. 当 f(x)=log2x 时,log2x=4,解得 x=16. ∴x=2 或 16.故选 C.
? ?log3x x>0 1 2.(文)(2010· 湖北文,3)已知函数 f(x)=? x ,则 f(f( ))=( 9 2 x ≤ 0 ? ?

)

B.16 D.-2 或 16

)

A.4 C.-4 [答案] B 1 1 [解析] ∵f( )=log3 =-2<0 9 9 1 1 - ∴f(f( ))=f(-2)=2 2= . 9 4
1 x ? ?2 -1 ? (理)设函数 f(x)= ?lgx ?


1 B. 4 1 D.- 4

?x<1? ?x≥1?

,若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是(

)

A.(-∞,0)∪(10,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-2)∪(-1,10) D.(0,10) [答案] A

? ? ?x0<1 ?x0≥1 [解析] 由? 或? ?x0<0 或 x0>10. ?21-x0-1>1 ? ? ?lgx0>1

3.(2010· 天津模拟)若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些 函数为“同族函数”,那么函数解析式为 f(x)=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有( A.7 个 C .9 个 [答案] C [解析] 由 x2=1 得 x=± 1,由 x2=4 得 x=± 2,故函数的定义域可以是{1,2},{-1,2}, {1,-2},{-1,-2},{1,2,-1},{1,2,-2},{1,-2,-1},{-1,2,-2}和{-1,- 2,1,2},故选 C. 1-2x 4.(2010· 柳州、贵港、钦州模拟)设函数 f(x)= ,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象 1+x 关于直线 y=x 对称,则 g(1)等于( 3 A.- 2 1 C.- 2 [答案] D 1-2a [解析] 设 g(1)=a,由已知条件知,f(x)与 g(x)互为反函数,∴f(a)=1,即 =1,∴a 1+a =0. 5.(2010· 广东六校)若函数 y=f(x)的图象如图所示,则函数 y=f(1-x)的图象大致为( ) ) B.-1 D.0 B.8 个 D.10 个 )

[答案] A [解析] 解法 1:y=f(-x)的图象与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称.将 y=f(-x)的图象向右 平移一个单位得 y=f(1-x)的图象,故选 A. 解法 2:由 f(0)=0 知,y=f(1-x)的图象应过(1,0)点,排除 B、C;由 x=1 不在 y=f(x)的 定义域内知,y=f(1-x)的定义域应不包括 x=0,排除 D,故选 A. 6.(文)(2010· 广东四校)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义

如下表,填写下列 g(f(x))的表格,其三个数依次为(

)

x f(x) x g(x) x g(f(x)) A.3,1,2 C.1,2,3 [答案] D B.2,1,3 D.3,2,1

1 2 1 1 1

2 3 2 3 2

3 1 3 2 3

[解析] 由表格可知,f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1,g(1)=1,g(2)=3,g(3)=2, ∴g(f(1))=g(2)=3,g(f(2))=g(3)=2,g(f(3))=g(1)=1, ∴三个数依次为 3,2,1,故选 D. (理)(2010· 山东肥城联考)已知两个函数 f(x)和 g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定 义如下表: x f(x) x g(x) 1 2 1 3 2 3 2 2 3 1 3 1

则方程 g[f(x)]=x 的解集为( A.{1} C.{3} [答案] C

) B.{2} D.?

[解析] g[f(1)]=g(2)=2,g[f(2)]=g(3)=1; g[f(3)]=g(1)=3,故选 C. 7.若函数 f(x)=loga(x+1) (a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则 a 等于( 1 A. 3 C. 2 2 B. 2 D.2 )

[答案] D

[解析] ∵0≤x≤1,∴1≤x+1≤2, 又∵0≤loga(x+1)≤1,故 a>1,且 loga2=1,∴a=2.
?g?x?+x+4,x<g?x? ? 8.(文)(2010· 天津文)设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=? ,则 f(x)的值 ?g?x?-x,x≥g?x? ?

域是(

) B.[0,+∞) 9 - ,0?∪(2,+∞) D.? ? 4 ?

9 - ,0?∪(1,+∞) A.? ? 4 ? 9 - ,+∞? C.? ? 4 ? [答案] D [解析]

2 ? ?x +x+2 ? 由题意可知 f(x)= 2 ?x -x-2 ?

x<-1或x>2 -1≤x≤2

1?2 7 1° 当 x<-1 或 x>2 时,f(x)=x2+x+2=? ?x+2? +4 由函数的图可得 f(x)∈(2,+∞). 1?2 9 2° 当-1≤x≤2 时,f(x)=x2-x-2=? ?x-2? -4, 1? 1 9 故当 x= 时,f(x)min=f? ?2?=-4, 2 当 x=-1 时,f(x)max=f(-1)=0, 9 - ,0?. ∴f(x)∈? ? 4 ? 9 - ,0?∪(2,+∞). 综上所述,该分段函数的值域为? ? 4 ? (理)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=
? ?log2?1-x? ? ? ?f?x-1?-f?x-2?

?x≤0? ?x>0?

,则 f(2010)的值为( B.0 D.2

)

A.-1 C .1 [答案] B

[解析] f(2010)=f(2009)-f(2008)=(f(2008)-f(2007))-f(2008)=-f(2007),同理 f(2007) =-f(2004),∴f(2010)=f(2004), ∴当 x>0 时,f(x)以 6 为周期进行循环, ∴f(2010)=f(0)=log21=0.
? ?a,若a≤b; 9.(文)对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下:a*b=? 函数 f(x)=log1(3x- ?b,若a>b 2 ?

2)*log2x 的值域为(

)

A.(-∞,0) C.(-∞,0] [答案] C

B.(0,+∞) D.[0,+∞)

?a,若a≤b, ? [解析] ∵a*b=? 而函数 f(x)=log1(3x-2)与 log2x 的大致 ?b,若a>b. 2 ?

图象如右图所示, ∴f(x)的值域为(-∞,0]. 1?x (理)定义 max{a、 b、 c}表示 a、 b、 c 三个数中的最大值, f(x)=max{? x-2, log2x(x>0)}, ?2? , 则 f(x)的最小值所在范围是( A.(-∞,-1) C.(0,1) [答案] C 1?x 1?x [解析] 在同一坐标系中画出函数 y=? y=x-2 与 y=log2x 的图象, y=? ?2? , ?2? 与 y=log2x 图象的交点为 A(x1,y1),y=x-2 与 y=log2x 图象的交点为 B(x2,y2),则由 f(x)的定义知,当 1?x x≤x1 时,f(x)=? ?2? ,当 x1<x<x2 时,f(x)=log2x,当 x≥x2 时,f(x)=x-2, ∴f(x)的最小值在 A 点取得,∵0<y1<1,故选 C. ) B.(-1,0) D.(1,3)

10.(文)(2010· 江西吉安一中)如图,已知四边形 ABCD 在映射 f:(x,y)→(x+1,2y)作用下 的象集为四边形 A1B1C1D1,若四边形 A1B1C1D1 的面积是 12,则四边形 ABCD 的面积是 ( )

A.9 C .6 3

B.6 D.12

[答案] B [解析] 本题考察阅读理解能力,由映射 f 的定义知,在 f 作用下点(x,y)变为(x+1,2y), ∴在 f 作用下|A1C1|=|AC|,|B1D1|=2|BD|,且 A1、C1 仍在 x 轴上,B1、D1 仍在 y 轴上,故 SABCD 1 1 1 1 = |AC|· |BD|= |A1C1|· |B1D1|= SA1B1C1D1=6,故选 B. 2 2 2 2
?x +bx+c ? (理)设函数 f(x)=? ?2 x>0 ?
2

x≤0

,若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)

=x 的解的个数为( A.1 C .3 [答案] C

) B.2 D.4

[解析] 解法 1:当 x≤0 时,f(x)=x2+bx+c. ∵f(-4)=f(0),f(-2)=-2,
2 ? ? ?-4?+c=c ??-4? +b· ?b=4 ? ∴ ,解得? , 2 ??-2? +b· ? ?-2?+c=-2 ? ?c=2

? ?x +4x+2 ∴f(x)=? ?2 x>0 ?

2

x≤0



当 x≤0 时,由 f(x)=x 得,x2+4x+2=x, 解得 x=-2,或 x=-1; 当 x>0 时,由 f(x)=x 得,x=2, ∴方程 f(x)=x 有 3 个解. 解法 2:由 f(-4)=f(0)且 f(-2)=-2 可得,f(x)=x2+bx+c 的对称轴是 x=-2,且顶点 为(-2,-2),于是可得到 f(x)的简图如图所示.方程 f(x)=x 的解的个数就是函数图象 y=f(x) 与 y=x 的图象的交点的个数,所以有 3 个解. 二、填空题 11.(文)(2010· 北京东城区)函数 y= x+1+lg(2-x)的定义域是________. [答案] [-1,2)
?x+1≥0 ? [解析] 由? 得,-1≤x<2. ? ?2-x>0

(理)函数 f(x)= x+ 4-x的最大值与最小值的比值为________. [答案] 2

? ?x≥0 [解析] ∵? , ∴0≤x≤4, f 2(x)=4+2 x?4-x?≤4+[x+(4-x)]=8, 且 f 2(x)≥4, ?4-x≥0 ?

∵f(x)≥0,∴2≤f(x)≤2 2,故所求比值为 2.

x x π [点评] (1)可用导数求解;(2)∵0≤x≤4,∴0≤ ≤1,故可令 =sin2θ(0≤θ≤ )转化为三 4 4 2 角函数求解. cosx-1 12.函数 y= x∈[0,π]的值域为________. sinx-2 4? [答案] ? ?0,3? [解析] 函数表示点(sinα,cosα)与点(2,1)连线斜率.而点(sinα, 4 cosα)α∈[0,π]表示单位圆右半部分,由几何意义,知 y∈[0, ]. 3 13.(2010· 湖南湘潭市)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均 为整数的点称为整点,如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈N*)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整 点函数,有下列函数 ①f(x)=sin2x ②g(x)=x3 ④φ(x)=lnx. 其中是一阶整点函数的是________.(写出所有正确结论的序号) [答案] ①④ [解析] 其中①只过(0,0)点,④只过(1,0)点;②过(0,1),(1,1),(2,8)等,③过(0,1),(-1,3) 等. f?2? f?3? f?2012? 14.(文)若 f(a+b)=f(a)· f(b)且 f(1)=1,则 + +?+ =________. f?1? f?2? f?2011? [答案] 2011 f?a+1? [解析] 令 b=1,则 =f(1)=1, f?a? ∴ f?2? f?3? f?2012? + +?+ =2011. f?1? f?2? f?2011? 1?x ③h(x)=? ?3?

(理)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③方程 f(x)=0 至多有两个实根. 上述三个命题中所有的正确命题的序号为________. [答案] ①② [解析] ①f(x)=x|x|+c
2 ? ?x +c,x≥0 =? 2 , ?-x +c,x<0 ?

如右图与 x 轴只有一个交点.

所以方程 f(x)=0 只有一个实数根正确. ②c=0 时,f(x)=x|x|+bx 显然是奇函数.
?x2+bx,x≥0 ? ③当 c=0,b<0 时,f(x)=x|x|+bx=? 2 ?-x +bx,x<0 ?

如右图方程 f(x)=0 可以有三个实数根. 综上所述,正确命题的序号为①②. 三、解答题 15.(文)(2010· 深圳九校)某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注 水 60 吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t 小时内供水总量为 120 6t吨,(0≤t≤24). (1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2)若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问在一天的 24 小时内,有 几小时出现供水紧张现象. [解析] (1)设 t 小时后蓄水池中的水量为 y 吨, 则 y=400+60t-120 6t(0≤t≤24) 令 6t=x,则 x2=6t 且 0≤x≤12, ∴y=400+10x2-120x=10(x-6)2+40(0≤x≤12); ∴当 x=6,即 t=6 时,ymin=40, 即从供水开始到第 6 小时时,蓄水池水量最少,只有 40 吨. (2)依题意 400+10x2-120x<80, 得 x2-12x+32<0, 8 32 解得 4<x<8,即 4< 6t<8,∴ <t< ; 3 3 ∵ 32 8 - =8,∴每天约有 8 小时供水紧张. 3 3

(理)某物流公司购买了一块长 AM=30 米,宽 AN=20 米的矩 形地块 AMPN,规划建设占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地 方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对角线 MN 上,B、D 分别 在边 AM、AN 上,假设 AB 长度为 x 米. (1)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米,AB 长度应在什么范围内? (2)若规划建设的仓库是高度与 AB 长度相同的长方体形建筑,问 AB 长度为多少时仓库的 库容最大?(墙体及楼板所占空间忽略不计) DC ND x 20-AD [解析] (1)依题意得三角形 NDC 与三角形 NAM 相似,所以 = ,即 = , AM NA 30 20 2 AD=20- x, 3

2 矩形 ABCD 的面积为 S=20x- x2 3

(0<x<30),

要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米, 2 即 20x- x2≥144, 3 化简得 x2-30x+216≤0,解得 12≤x≤18. 所以 AB 长度应在[12,18]内. 2 (2)仓库体积为 V=20x2- x3(0<x<30), 3 V′=40x-2x2=0 得 x=0 或 x=20, 当 0<x<20 时,V′>0,当 20<x<30 时 V′<0, 所以 x=20 时,V 取最大值 8000 3 m, 3

即 AB 长度为 20 米时仓库的库容最大. 16.(2010· 皖南八校联考)对定义域分别是 Df,Dg 的函数 y=f(x),y=g(x),规定: f?x?g?x?,当x∈Df且x∈Dg, ? ? 函数 h(x)=?f?x?,当x∈Df且x?Dg, ? ?g?x?,当x∈Dg且x?Df. 1 (1)若函数 f(x)= ,g(x)=x2,写出函数 h(x)的解析式; x-1 (2)求问题(1)中函数 h(x)的值域; (3)若 g(x)=f(x+α),其中 α 是常数,且 α∈[0,π],请设计一个定义域为 R 的函数 y=f(x), 及一个 α 的值,使得 h(x)=cos4x,并予以证明. [解析] (1)由定义知, x ? ?x-1,x∈?-∞,1?∪?1,+∞?, h(x)=? ?1,x=1. ? 1 (2)由(1)知,当 x≠1 时,h(x)=x-1+ +2, x-1 则当 x>1 时,有 h(x)≥4(当且仅当 x=2 时,取“=”); 当 x<1 时,有 h(x)≤0(当且仅当 x=0 时,取“=”). 则函数 h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞). π (3)可取 f(x)=sin2x+cos2x,α= ,则 g(x)=f(x+α)=cos2x-sin2x, 4 于是 h(x)=f(x)f(x+α)=cos4x. π (或取 f(x)=1+ 2sin2x,α= ,则 g(x)=f(x+α)=1- 2sin2x.于是 h(x)=f(x)f(x+α) = 2 cos4x).
2

[点评] 本题中(1)、(2)问不难求解,关键是读懂 h(x)的定义,第(3)问是一个开放性问题, 乍一看可能觉得无从下手, 但细加观察不难发现, cos4x=cos22x-sin22x=(cos2x+sin2x)(cos2x -sin2x)积式的一个因式取作 f(x),只要能够找到 α,使 f(x+α)等于另一个因式也就找到了 f(x) 和 g(x). 17.(文)某种商品在 30 天内每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系如图所示:

该商品在 30 天内日销售量 Q(件)与时间 t(天)之间的关系如表所示: 第t天 Q(件) 5 35 15 25 20 20 30 10

(1)根据提供的图象,写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式; (2)在所给直角坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(t,Q)的对应点,并确定日销售 量 Q 与时间 t 的一个函数关系式;

(3)求该商品的日销售金额的最大值,并指出日销售金额最大的一天是 30 天中的第几天? (日销售金额=每件的销售价格×日销售量)
?t+20 ?0<t<25,t∈N*? ? [解析] (1)P=? * ?-t+100 ?25≤t≤30,t∈N ? ?

(2)图略,Q=40-t(t∈N*) (3)设日销售金额为 y(元),
2 ? ?-t +20t+800 ? 则 y= 2 ?t -140t+4000 ?

?0<t<25,t∈N*? ?25≤t≤30,t∈N*?

2 * ? ?-?t-10? +900 ?0<t<25,t∈N ? =? 2 * ??t-70? -900 ?25≤t≤30,t∈N ? ?

若 0<t<25(t∈N*), 则当 t=10 时,ymax=900; 若 25≤t≤30(t∈N*),

则当 t=25 时,ymax=1125. 由 1125>900,知 ymax=1125, ∴这种商品日销售金额的最大值为 1125 元,30 天中的第 25 天的日销售金额最大. (理)(2010· 广东六校)某西部山区的某种特产由于运输的原因,长期只能在当地销售,当地 1 政府通过投资对该项特产的销售进行扶持,已知每投入 x 万元,可获得纯利润 P=- (x- 160 40)2+100 万元(已扣除投资,下同),当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销 售,其规划方案为:在未来 10 年内对该项目每年都投入 60 万元的销售投资,其中在前 5 年 中,每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路,公路 5 年建成,通车前该特产只能 在当地销售;公路通车后的 5 年中,该特产既在本地销售,也在外地销售,在外地销售的投 159 119 资收益为:每投入 x 万元,可获纯利润 Q=- (60-x)2+ · (60-x)万元,问仅从这 10 年 160 2 的累积利润看,该规划方案是否可行? 1 [解析] 在实施规划前,由题设 P=- (x-40)2+100(万元),知每年只需投入 40 万, 160 即可获得最大利润 100 万元,则 10 年的总利润为 W1=100×10=1000(万元) 1 实施规划后的前 5 年中,由题设 P=- (x-40)2+100 知,每年投入 30 万元时,有最 160 大利润 Pmax= 795 (万元) 8

795 3975 前 5 年的利润和为 ×5= (万元) 8 8 设在公路通车的后 5 年中,每年用 x 万元投资于本地的销售,而剩下的(60-x)万元用于 外地区的销售投资, 则其总利润为 W2=[- 1 159 119 (x-40)2+100]×5+(- x2+ x)×5=-5(x-30)2+4950. 160 160 2

当 x=30 时,W2=4950(万元)为最大值, 3975 从而 10 年的总利润为 +4950(万元). 8 ∵ 3975 +4950>1000, 8

∴该规划方案有极大实施价值.

第2章

第2节

一、选择题 1.已知 f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且 f(a)· f(b)<0,则 f(x)=0 在[a,b]内( A.至少有一实数根 C.没有实数根 [答案] D [解析] ∵函数 f(x)在[a,b]上是单调减函数, 又 f(a),f(b)异号.∴f(x)在[a,b]内有且仅有一个零点,故选 D. 1 1 + 2.(2010· 北京文)给定函数①y=x ,②y=log (x+1),③y=|x-1|,④y=2x 1,其中在区 2 2 间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A.①② C.③④ [答案] B 1 1 1 [解析] 易知 y=x 在(0,1)递增,故排除 A、D 选项;又 y=log (x+1)的图象是由 y=log 2 2 2 1 x 的图象向左平移一个单位得到的,其单调性与 y=log x 相同为递减的,所以②符合题意,故 2 选 B. 1 1 1 3.(2010· 济南市模拟)设 y1=0.4 ,y2=0.5 ,y3=0.5 ,则( 3 3 4 A.y3<y2<y1 C.y2<y3<y1 [答案] B
1 1 [解析] ∵y=0.5x 为减函数,∴0.53<0.5 , 4 1

)

B.至多有一实数根 D.有唯一实数根

) B.②③ D.①④

)

B.y1<y2<y3 D.y1<y3<y2

∵y=x3在第一象限内是增函数,
1 1

∴0.43<0.53,∴y1<y2<y3,故选 B.
??a-2?x-1 ? 4.(2010· 广州市)已知函数? ?logax x>1 ?

x≤1

,若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实

数 a 的取值范围为( A.(1,2) C.(2,3] [答案] C

) B.(2,3) D.(2,+∞)

[解析] ∵f(x)在 R 上单调增, a>1 ? ? ∴?a-2>0 , ? ??a-2?×1-1≤loga1 ∴2<a≤3,故选 C. 5.(文)(2010· 山东济宁)若函数 f(x)=x2+2x+alnx 在(0,1)上单调递减,则实数 a 的取值范 围是( ) B.a≤0 D.a≤-4

A.a≥0 C.a≥-4 [答案] D

[解析] ∵函数 f(x)=x2+2x+alnx 在(0,1)上单调递减,∴当 x∈(0,1)时,f ′(x)=2x+2+
2 a 2x +2x+a = ≤0,∴g(x)=2x2+2x+a≤0 在 x∈(0,1)时恒成立, x x

∴g(0)≤0,g(1)≤0,即 a≤-4. π π? (理)已知函数 y=tanωx 在? ?-2,2?内是减函数,则 ω 的取值范围是( A.0<ω≤1 C.ω≥1 [答案] B π π? [解析] ∵tanωx 在? ?-2,2?上是减函数, π π ∴ω<0.当- <x< 时,有 2 2 π πω πω π - ≤ <ωx<- ≤ , 2 2 2 2 ω≥- ? 2 ?2 π ∴? π - ω≤ 2 2 ? ?ω<0 π π ,∴-1≤ω<0. B.-1≤ω<0 D.ω≤-1 )

6.(2010· 天津文)设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( A.a<c<b C.a<b<c [答案] D B.b<c<a D.b<a<c

)

[解析] ∵1>log54>log53>0,∴log53>(log53)2>0,而 log45>1,∴c>a>b. 7.若 f(x)=x3-6ax 的单调递减区间是(-2,2),则 a 的取值范围是( A.(-∞,0] B.[-2,2] )

C.{2} [答案] C [解析] f ′(x)=3x2-6a,

D.[2,+∞)

若 a≤0,则 f ′(x)≥0,∴f(x)单调增,排除 A; 若 a>0,则由 f ′(x)=0 得 x=± 2a,当 x<- 2a和 x> 2a时,f ′(x)>0,f(x)单调增,当 - 2a<x< 2a时,f(x)单调减, ∴f(x)的单调减区间为(- 2a, 2a),从而 2a=2, ∴a=2. [点评] f(x)的单调递减区间是(-2,2)和 f(x)在(-2,2)上单调递减是不同的,应加以区分. 1 1 8. (文)定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0, +∞)上是增函数, 若 f( )=0, 则适合不等式 f(log 3 27 x)>0 的 x 的取值范围是( A.(3,+∞) C.(0,+∞) [答案] D 1 [解析] ∵定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f( )=0,则由 f(log 1 x)>0, 3 27 1 1 1 得|log 1 x|> ,即 log 1 x> 或 log 1 x<- .选 D. 3 3 3 27 27 27 (理)(2010· 南充市)已知函数 f(x)图象的两条对称轴 x=0 和 x=1,且在 x∈[-1,0]上 f(x)单 调递增,设 a=f(3),b=f( 2),c=f(2),则 a、b、c 的大小关系是( A.a>b>c C.b>c>a [答案] D [解析] ∵f(x)在[-1,0]上单调增,f(x)的图象关于直线 x=0 对称, ∴f(x)在[0,1]上单调减;又 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, ∴f(x)在[1,2]上单调增,在[2,3]上单调减. 由对称性 f(3)=f(-1)=f(1)<f( 2)<f(2), 即 a<b<c.
?x2+4x,x≥0, ? 9. (2009· 天津高考)已知函数 f(x)=? 若 f(2-a2)>f(a), 则实数 a 的取值范 2 ? 4 x - x , x < 0. ?

) 1 B.(0, ) 3 1 D.(0, )∪(3,+∞) 3

)

B.a>c>b D.c>b>a

围是(

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2)

C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) [答案] C [解析] ∵x≥0 时,f(x)=x2+4x=(x+2)2-4 单调递增,且 f(x)≥0;当 x<0 时,f(x)=4x -x2=-(x-2)2+4 单调递增,且 f(x)<0,∴f(x)在 R 上单调递增,由 f(2-a2)>f(a)得 2-a2>a, ∴-2<a<1. 10.(2010· 泉州模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0, 则函数 f(x)在[a,b]上有( A.最小值 f(a) B.最大值 f(b) C.最小值 f(b) D.最大值 f? [答案] C [解析] 令 x=y=0 得,f(0)=0, 令 y=-x 得,f(0)=f(x)+f(-x), ∴f(-x)=-f(x). 对任意 x1,x2∈R 且 x1<x2, , f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2)>0,∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[a,b]上最小值为 f(b). 二、填空题 b 1 11. (2010· 重庆中学)已知函数 f(x)=ax+ -4(a, b 为常数), f(lg2)=0, 则 f(lg )=________. x 2 [答案] -8 b [解析] 令 φ(x)=ax+ ,则 φ(x)为奇函数,f(x)=φ(x)-4, x ∵f(lg2)=φ(lg2)-4=0,∴φ(lg2)=4, 1 ∴f(lg )=f(-lg2)=φ(-lg2)-4 2 =-φ(lg2)-4=-8. 12.偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,且 f(x)在[-2,k]上的最大值点与最小值点横坐 标之差为 3,则 k=________. [答案] 3 [解析] ∵偶函数 f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在[0,+∞)上单调递增. a+b? ? 2 ? )

因此,若 k≤0,则 k-(-2)=k+2<3,若 k>0,∵f(x)在[-2,0]上单调减在[0,-k]上单调 增,∴最小值为 f(0),又在[-2,k]上最大值点与最小值点横坐标之差为 3,∴k-0=3,即 k =3. ax-1 13.函数 f(x)= 在(-∞,-3)上是减函数,则 a 的取值范围是________. x+3 1? [答案] ? ?-∞,-3? 3a+1 1 [解析] ∵f(x)=a- 在(-∞,-3)上是减函数,∴3a+1<0,∴a<- . 3 x+3 14.(2010· 江苏无锡市调研)设 a(0<a<1)是给定的常数,f(x)是 R 上的奇函数,且在(0,+ 1? ∞)上是增函数,若 f? ?2?=0,f(logat)>0,则 t 的取值范围是______. [答案] (1, 1 )∪(0, a) a

1? [解析] f(logat)>0,即 f(logat)>f? ?2?, 1 ∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,∴logat> , 2 ∵0<a<1,∴0<t< a. 1? ?1? 又 f(x)为奇函数,∴f? ?-2?=-f?2?=0, 1? ∴f(logat)>0 又可化为 f(logat)>f? ?-2?, ∵奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 1 ∴f(x)在(-∞,0)上为增函数,∴0>logat>- , 2 ∵0<a<1,∴1<t< 1 , a 1 . a

综上知,0<t< a或 1<t< 三、解答题

15.(2010· 北京市东城区)已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值集合. [解析] (1)要使 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)有意义,则
?x+1>0 ? ? ,解得-1<x<1. ? ?1-x>0

故所求定义域为{x|-1<x<1}.

(2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数, x+1 所以 f(x)>0? >1. 1-x 解得 0<x<1. 所以使 f(x)>0 的 x 的取值集合是{x|0<x<1}. 1-mx 16.(2010· 北京东城区)已知函数 f(x)=loga 是奇函数(a>0,a≠1). x-1 (1)求 m 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若当 x∈(1,a-2)时,f(x)的值域为(1,+∞),求实数 a 的值. [解析] (1)依题意,f(-x)=-f(x),即 f(x)+f(-x)=0,即 loga ∴ 1-mx 1+mx · =1,∴(1-m2)x2=0 恒成立, x-1 -x-1 1-mx 1+mx +loga =0, x-1 -x-1

∴1-m2=0,∴m=-1 或 m=1(不合题意,舍去) 1+x 当 m=-1 时,由 >0 得,x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),此即函数 f(x)的定义域, x-1 又有 f(-x)=-f(x), ∴m=-1 是符合题意的解. 1+x (2)∵f(x)=loga , x-1 x-1?1+x? ∴f ′(x)= ? ?′logae x+1?x-1? = x-1 ?x-1?-?x+1? 2logae · logae= x+1 ?x-1?2 1-x2

①若 a>1,则 logae>0 当 x∈(1,+∞)时,1-x2<0,∴f ′(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减, 即(1,+∞)是 f(x)的单调递减区间; 由奇函数的性质知,(-∞,-1)是 f(x)的单调递减区间. ②若 0<a<1,则 logae<0 当 x∈(1,+∞)时,1-x2<0,∴f ′(x)>0, ∴(1,+∞)是 f(x)的单调递增区间;由奇函数的性质知,(-∞,-1)是 f(x)的单调递增区 间. 1+x 2 (3)令 t= =1+ ,则 t 为 x 的减函数 x-1 x-1

∵x∈(1,a-2), 2 2 ∴t∈?1+a-3,+∞?且 a>3,要使 f(x)的值域为(1,+∞),需 loga?1+a-3?=1,解得 a

?

?

?

?

=2+ 3. 1- a 17.(2010· 山东文)已知函数 f(x)=lnx-ax+ -1(a∈R). x (1)当 a=-1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当 a≤ 时,讨论 f(x)的单调性. 2 2 [解析] (1)a=-1 时,f(x)=lnx+x+ -1,x∈(0,+∞). x x2+x-2 f ′(x)= ,x∈(0,+∞), x2 因此 f ′(2)=1, 即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 1. 又 f(2)=ln2+2, 所以 y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln2+2)=x-2, 即 x-y+ln2=0. 1-a (2)因为 f(x)=lnx-ax+ -1, x a-1 ax2-x+1-a 1 所以 f ′(x)= -a+ 2 =- x∈(0,+∞). x x x2 令 g(x)=ax2-x+1-a, ①当 a=0 时,g(x)=1-x,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,g(x)>0,f ′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; 1 ②当 a≠0 时,f ′(x)=a(x-1)[x-( -1)], a 1 (ⅰ)当 a= 时,g(x)≥0 恒成立,f ′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 (ⅱ)当 0<a< 时, -1>1>0, 2 a x∈(0,1)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; 1 x∈(1, -1)时,g(x)<0,此时 f ′(x)>0,f(x)单调递增; a 1 x∈( -1,+∞)时,g(x)>0,此时 f ′(x)<0,f(x)单调递减; a 1 ③当 a<0 时, -1<0, a

x∈(0,1)时,g(x)>0,有 f ′(x)<0,f(x)单调递减 x∈(1,+∞)时,g(x)<0,有 f ′(x)>0,f(x)单调递增. 综上所述: 当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,(1,+∞)上单调递增; 1 当 a= 时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2 1 1 1 当 0<a< 时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1, -1)上单调递增,在( -1,+∞)上单调递 2 a a 减. 注:分类讨论时要做到不重不漏,层次清楚.

第2章

第3节

一、选择题 1.(文)下列函数,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( A.y=x+x3(x∈R) B.y=3x(x∈R) C.y=-log2x(x>0,x∈R) 1 D.y=- (x∈R,x≠0) x [答案] A [解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称,排除 C,若 x=0 在定义域内,则 应有 f(0)=0,排除 B;又函数在定义域内单调递增,排除 D,故选 A. (理)下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是( A.f(x)=sinx 1 - C.f(x)= (ax+a x) 2 [答案] D 2-x 1 - [解析] y=sinx 与 y=ln 为奇函数,而 y= (ax+a x)为偶函数,y=-|x+1|是非奇非 2 2+x 偶函数.y=sinx 在[-1,1]上为增函数.故选 D. 2.(2010· 安徽理,4)若 f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数,且满足 f(1)=1,f(2)=2,则 f(3)- f(4)=( ) B.1 B.f(x)=-|x+1| 2-x D.f(x)=ln 2+x ) )

A.-1

C.-2 [答案] A

D.2

[解析] f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1,故选 A. 3.(2010· 河北唐山)已知 f(x)与 g(x)分别是定义在 R 上奇函数与偶函数,若 f(x)+g(x)= log2(x2+x+2),则 f(1)等于( 1 A.- 2 C .1 [答案] B
? ?f?1?+g?1?=2 [解析] 由条件知,? , ? ?f?-1?+g?-1?=1

) 1 B. 2 3 D. 2

∵f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.
? ?f?1?+g?1?=2 1 ∴? ,∴f(1)= . 2 ?g?1?-f?1?=1 ?

4.(文)(2010· 北京崇文区)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并满足 f(x+2)=- 1≤x≤2 时,f(x)=x-2,则 f(6.5)=( A.4.5 C.0.5 [答案] D ) B.-4.5 D.-0.5

1 ,当 f?x?

1 1 [解析] ∵f(x+2)=- ,∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=- =f(x),∴f(x)周期为 4,∴ f?x? f?x+2? f(6.5)=f(6.5-8)=f(-1.5)=f(1.5)=1.5-2=-0.5. (理)(2010· 山东日照)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 且 f(x+2)=f(x), 若 f(x)在[-1,0] 上是减函数,则 f(x)在[2,3]上是( A.增函数 C.先增后减的函数 [答案] A [解析] 由 f(x+2)=f(x)得出周期 T=2, ∵f(x)在[-1,0]上为减函数, ) B.减函数 D.先减后增的函数

又 f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,1]上为增函数,从而 f(x)在[2,3]上为增函数. 5.(2010· 辽宁锦州)已知函数 f(x)是定义在区间[-a,a](a>0)上的奇函数,且存在最大值

与最小值.若 g(x)=f(x)+2,则 g(x)的最大值与最小值之和为( A.0 C .4 [答案] C B.2 D.不能确定

)

[解析] ∵f(x)是定义在[-a,a]上的奇函数,∴f(x)的最大值与最小值之和为 0,又 g(x) =f(x)+2 是将 f(x)的图象向上平移 2 个单位得到的,故 g(x)的最大值与最小值比 f(x)的最大值 与最小值都大 2,故其和为 4. 2?x 6.定义两种运算:a?b= a2-b2,a⊕b=|a-b|,则函数 f(x)= ( ?x⊕2?-2 A.是偶函数 B.是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B 4-x2 [解析] f(x)= , |x-2|-2 ∵x2≤4,∴-2≤x≤2, 又∵x≠0,∴x∈[-2,0)∪(0,2]. 则 f(x)= 4-x2 , -x )

f(x)+f(-x)=0,故选 B. 7.已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设 a=f(log47), 1 b=f(log 3),c=f(0.20.6),则 a、b、c 的大小关系是( 2 A.c<b<a C.b<a<c [答案] C [解析] 由题意知 f(x)=f(|x|). 1 ∵log47=log2 7>1,|log 3|=log23>log2 7,0<0.20.6<1, 2 1 ∴|log 3|>|log47|>|0.20.6|. 2 又∵f(x)在(-∞,0]上是增函数,且 f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数. ∴b<a<c.故选 C. B.b<c<a D.a<b<c )

1+f?x? 8.已知函数 f(x)满足:f(1)=2,f(x+1)= ,则 f(2011)等于( 1-f?x? A.2 1 C.- 2 [答案] C B.-3 1 D. 3

)

1 1 [解析] 由条件知,f(2)=-3,f(3)=- ,f(4)= ,f(5)=f(1)=2,故 f(x+4)=f(x) (x∈ 2 3 N*). ∴f(x)的周期为 4, 1 故 f(2011)=f(3)=- . 2 [点评] 严格推证如下: 1+f?x+1? 1 f(x+2)= =- , 1-f?x+1? f?x? ∴f(x+4)=f[(x+2)+2]=f(x).即 f(x)周期为 4. 故 f(4k+x)=f(x),(x∈N*,k∈N*), 2 9.设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(

?

?

)

A.(-1,0) C.(-∞,0) [答案] A

B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

[解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴a=-1. x+1 ∴f(x)=lg ,由 f(x)<0 得 1-x x+1 0< <1,∴-1<x<0,故选 A. 1-x 2-x 10.(文)(09· 全国Ⅱ)函数 y=log2 的图象( 2+x A.关于原点对称 B.关于直线 y=-x 对称 C.关于 y 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 [答案] A 2-x 2-x 2-x [解析] 首先由 >0 得,-2<x<2,其次令 f(x)=log2 ,则 f(x)+f(-x)=log2 + 2+x 2+x 2+x 2+x log2 =log21=0.故 f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故选 A. 2-x )

x (理)函数 y= ,x∈(-π,0)∪(0,π)的图象可能是下列图象中的( sinx

)

[答案] C [解析] ∵y= x 是偶函数,排除 A, sinx 2 >2,排除 D, sin2

当 x=2 时,y=

π 6 π π 当 x= 时,y= = >1,排除 B,故选 C. 6 π 3 sin 6 二、填空题
? ?x<0? ?sinπx 11 11 - ?+f? ?的值为________. 11.(文)已知 f(x)=? ,则 f? 6 6? ? ? ? ?f?x-1?-1 ?x>0? ?

[答案] -2 11? ?5? ? 1? [解析] f? ? 6 ?=f?6?-1=f?-6?-2 π? 5 =sin? ?-6?-2=-2, 11? π 1 ? 11π? f? ?- 6 ?=sin?- 6 ?=sin6=2,∴原式=-2. 1 (理)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称, 则 f(1)+f(2)+f(3) 2 +f(4)+f(5)=________. [答案] 0 1 [解析] ∵f(x)的图象关于直线 x= 对称, 2 1 ? ?1 ? ∴f? ?2+x?=f?2-x?,对任意 x∈R 都成立, ∴f(x)=f(1-x),又 f(x)为奇函数,

∴f(x)=-f(-x)=-f(1+x) =f(-1-x)=f(2+x), ∴周期 T=2 ∴f(0)=f(2)=f(4)=0 1 又 f(1)与 f(0)关于 x= 对称 2 ∴f(1)=0 ∴f(3)=f(5)=0 填 0. 12. (2010· 深圳中学)已知函数 y=f(x)是偶函数, y=g(x)是奇函数, 它们的定义域都是[-π, f?x? π],且它们在 x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式 <0 的解集是________. g?x?

π ? ?π ? [答案] ? ?-3,0?∪?3,π? [解析] 依据偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称,先补全 f(x)、g(x) 的图象, ∵
?f?x?<0 ?f?x?>0 ? ? f?x? <0,∴? ,或? ,观察两函数的图象,其中一个在 x 轴上方,一个在 x g?x? ?g?x?>0 ?g?x?<0 ? ?

π π 轴下方的,即满足要求,∴- <x<0 或 <x<π. 3 3 13.(文)若 f(x)是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x=2 对称,且当 x∈(-2,2)时, f(x)=-x2+1.则 f(-5)=________. [答案] 0 [解析] 由题意知 f(-5)=f(5)=f(2+3)=f(2-3)=f(-1)=-(-1)2+1=0. (理)已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当-1≤x≤1 时,f(x)=a,当 x≥1 时,f(x)=(x +b)2,则 f(-3)+f(5)=________. [答案] 12 [解析] ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0, ∵-1≤x≤1 时,f(x)=a,∴a=0. ∴f(1)=(1+b)2=0,∴b=-1. ∴当 x≤-1 时,-x≥1,f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2, ∵f(x)为奇函数,∴f(x)=-(x+1)2,

-?x+1? x≤-1 ? ? ∴f(x)=?0 -1≤x≤1 ? ??x-1?2 x≥1 ∴f(-3)+f(5)=-(-3+1)2+(5-1)2=12. [点评] 求得 b=-1 后,可直接由奇函数的性质得 f(-3)+f(5)=-f(3)+f(5)=-(3-1)2 +(5-1)2=12. 2x 14.(文)(2010· 山东枣庄模拟)若 f(x)=lg?1+x+a?(a∈R)是奇函数,则 a=________.

2

?

?

[答案] -1 2x [解析] ∵f(x)=lg?1+x+a?是奇函数,

?

?

∴f(-x)+f(x)=0 恒成立, 2x ?-2x+a? 即 lg?1+x+a?+lg? ? ? ? ?1-x ? 2x 2x =lg?1+x+a??x-1+a?=0.

?

??

?

2x 2x ∴?1+x+a??x-1+a?=1,

?

??

?

∴(a2+4a+3)x2-(a2-1)=0, ∵上式对定义内的任意 x 都成立,
?a2+4a+3=0 ? ∴? 2 ,∴a=-1. ?a -1=0 ?

[点评] ①可以先将真数通分,再利用 f(-x)=-f(x)恒成立求解,运算过程稍简单些. ?a+2?x+a ②如果利用奇函数定义域的特点考虑, 则问题变得比较简单. f(x)=lg 为奇函数, 1+ x a 显然 x=-1 不在 f(x)的定义域内,故 x=1 也不在 f(x)的定义域内,令 x=- =1,得 a= a+2 -1.故平时解题中要多思少算,培养观察、分析、捕捉信息的能力. a (理)(2010· 吉林长春质检)已知函数 f(x)=lg?-1+2+x?为奇函数,则使不等式 f(x)<-1 成

?

?

立的 x 的取值范围是________. [答案] 18 <x<2 11

a a [解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)+f(x)=0 恒成立,∴lg?-1+2-x?+lg?-1+2+x?

?

?

?

?

a a =lg?-1+2-x??-1+2+x?=0,

?

??

?

a a ∴?-1+2-x??-1+2+x?=1,

?

??

?

4-a ∵a≠0,∴ 2 =0,∴a=4, x -4 4 2-x ∴f(x)=lg?-1+2+x?=lg , ? ? x+2 2-x 由 f(x)<-1 得,lg <-1, 2+x 2-x 1 2-x ∴0< < ,由 >0 得,-2<x<2, 2+x 10 2+x 由 2-x 1 18 18 < 得,x<-2 或 x> ,∴ <x<2. 11 11 2+x 10

三、解答题 15.(2010· 杭州外国语学校)已知 f(x)=x2+bx+c 为偶函数,曲线 y=f(x)过点(2,5),g(x)= (x+a)f(x). (1)若曲线 y=g(x)有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x=-1 时函数 y=g(x)取得极值,且方程 g(x)+b=0 有三个不同的实数解,求实 数 b 的取值范围. [解析] (1)由 f(x)为偶函数知 b=0, 又 f(2)=5,得 c=1,∴f(x)=x2+1. ∴g(x)=(x+a)(x2+1)=x3+ax2+x+a, 因为曲线 y=g(x)有斜率为 0 的切线, 所以 g′(x)=3x2+2ax+1=0 有实数解. ∴Δ=4a2-12≥0,解得 a≥ 3或 a≤- 3. (2)由题意得 g′(-1)=0,得 a=2. ∴g(x)=x3+2x2+x+2, g′(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1). 1 令 g′(x)=0,得 x1=-1,x2=- . 3 1 1 ∵当 x∈(-∞,-1)时,g′(x)>0,当 x∈(-1,- )时,g′(x)<0,当 x∈(- ,+∞)时, 3 3 g′(x)>0, 1 ∴g(x)在 x=-1 处取得极大值,在 x=- 处取得极小值. 3 1 50 50 又∵g(-1)=2,g(- )= ,且方程 g(x)+b=0 即 g(x)=-b 有三个不同的实数解,∴ 3 27 27 <-b<2,

50 解得-2<b<- . 27 16. (2010· 揭阳模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x). 当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2011). [分析] 由 f(x+2)=-f(x)可得 f(x+4)与 f(x)关系,由 f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求 f(x)在[-2,0]上的解析式,进而可得 f(x)在[2,4]上的解析式. [解析] (1)∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2, 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2, ∴f(x)=x2+2x. 又当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4) =x2-6x+8. 从而求得 x∈[2,4]时, f(x)=x2-6x+8. (3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1. 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=?=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)= 0. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2011)=0. 17.(文)已知函数 f(x)=1- (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)的值域; (3)当 x∈(0,1]时,tf(x)≥2x-2 恒成立,求实数 t 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,即 f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0. 4 (a>0 且 a≠1)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数. 2ax+a

即 1-

4 =0, 2×a0+a

解得 a=2. 2x-1 1+y (2)∵y= x ,∴2x= , 2 +1 1-y 1+y 由 2x>0 知 >0, 1-y ∴-1<y<1,即 f(x)的值域为(-1,1). t· 2x-t x (3)不等式 tf(x)≥2x-2 即为 x ≥2 -2. 2 +1 即:(2x)2-(t+1)· 2x+t-2≤0.设 2x=u, ∵x∈(0,1],∴u∈(1,2]. ∵u∈(1,2]时 u2-(t+1)· u+t-2≤0 恒成立.
?12-?t+1?×1+t-2≤0 ? ∴? 2 ,解得 t≥0. ?2 -?t+1?×2+t-2≤0 ? ?f?x? x>0 ? (理)设函数 f(x)=ax2+bx+c(a、b、c 为实数,且 a≠0),F(x)=? . ?-f?x? x<0 ?

(1)若 f(-1)=0,曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3),且在点(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴, 求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-1,1]时,g(x)=kx-f(x)是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)为偶函数,证明 F(m)+F(n)>0. [解析] (1)因为 f(x)=ax2+bx+c,所以 f ′(x)=2ax+b. 又曲线 y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线垂直于 y 轴,故 f ′(-1)=0, 即-2a+b=0,因此 b=2a.① 因为 f(-1)=0,所以 b=a+c.② 又因为曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3), 所以 c=2a+3.③ 解由①,②,③组成的方程组得,a=-3,b=-6,c=-3. 从而 f(x)=-3x2-6x-3.
2 ? x>0 ?-3?x+1? 所以 F(x)=? . 2 ?3?x+1? x<0 ?

(2)由(1)知 f(x)=-3x2-6x-3, 所以 g(x)=kx-f(x)=3x2+(k+6)x+3. 由 g(x)在[-1,1]上是单调函数知: - k+6 k+6 ≤-1 或- ≥1,得 k≤-12 或 k≥0. 6 6

(3)因为 f(x)是偶函数,可知 b=0. 因此 f(x)=ax2+c. 又因为 mn<0,m+n>0, 可知 m,n 异号. 若 m>0,则 n<0. 则 F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am2+c-an2-c =a(m+n)(m-n)>0. 若 m<0,则 n>0. 同理可得 F(m)+F(n)>0. 综上可知 F(m)+F(n)>0.

第2章

第4节

一、选择题 1.(2010· 陕西文)下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y) =f(x)f(y)”的是( A.幂函数 C.指数函数 [答案] C [解析] ∵(x+y)α≠xα· yα,loga(x+y)≠logax+logay,ax y=ax· ay,cos(x+y) =cosxcosy-


) B.对数函数 D.余弦函数

sinxsiny≠cosxcosy,∴选 C. 2.(2010· 南充市)若 A={x∈Z|2≤22 x<8},B={x∈R||x-1|>1},则 A∩(?RB)的元素个数


为(

) A.0 C .2 [答案] C [解析] 由 2≤22 x<8 得,1≤2-x<3,


B.1 D.3

∴-1<x≤1,∵x∈Z,∴x=0 或 1,∴A={0,1}; 由|x-1|>1 得,x>2 或 x<0, ∴B={x|x>2 或 x<0},∴?RB={x|0≤x≤2}, ∴A∩?UB={0,1}. 1?0.5 3. (文)(2010· 北京崇文区)设 a=? b=0.30.5, c=log0.30.2, 则 a、 b、 c 的大小关系是( ?2? , )

A.a>b>c C.b<a<c [答案] C

B.a<b<c D.a<c<b

1 [解析] y=x0.5 在(0,+∞)上是增函数,1> >0.3,∴1>a>b, 2 又 y=log0.3x 在(0,+∞)上为减函数, ∴log0.30.2>log0.30.3=1,即 c>1,∴b<a<c. (理)(2010· 重庆诊断)设 0<b<a<1,则下列不等式成立的是( A.ab<b2<1 1 1?a ?1?b B. <? < 2 ?2? ?2? C.a2<ab<1 1 1 D.log b<log a<0 2 2 [答案] B [解析] 依题意得 ab-b2=b(a-b)>0,∴ab>b2,因此 A 不正确;同理可知 C 不正确;由 1?x 1 ?1?a ?1?b ?1?0 ?1?b ?1?a ?1?1 函数 y=? ?2? 在 R 上是减函数得,当 0<b<a<1 时,有?2? >?2? >?2? >?2? ,即2<?2? <?2? ,因 此 B 正确;同理可知 D 不正确.综上所述,选 B. 1 1 1 1 1 [点评] 可利用 a, b 取值的任意性取特值检验, 令 b= , a= 可得, > > , ∴a2>ab>b2, 4 2 4 8 16 11 11 1 1 排除 A、C;log =2,log =1,∴log b>log a,排除 D,故选 B. 24 22 2 2 4.(文)(2010· 泰安质检)某钢厂的年产量由 1990 年的 40 万吨增加到 2000 年的 50 万吨, 如果按照这样的年增长率计算,则该钢厂 2010 年的年产量约为( A.60 万吨 C.63 万吨 [答案] C 5 [解析] 设年增长率为 x,则由题意知 40(1+x)10=50,∴(1+x)10= ,∴2010 年的年产量 4 5?2 250 为 40(1+x)20=40×? ?4? = 4 ≈63 万吨. (理)(2010· 安徽安庆联考)如图是一个算法的程序框图,当输入 x 的值为 3 时,输出 y 的结 1 果恰好为 ,则?处的关系式是( 3 ) B.61 万吨 D.64 万吨 ) )

A.y=log9x C.y=3
-x

B.y=3x 1 D.y=x 3

[答案] B [解析] 输入 x=3≤0 不成立,故 x=3-2=1,1≤0 不成立,故 x=1-2=-1,-1≤0 成 1 立,执行?后输出 y= ,故选 B. 3 5.(2010· 安徽理,6)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( )

[答案] D b [解析] 若 a<0,则只能是 A 或 B 选项,A 中- <0,∴b<0,从而 c>0 与 A 图不符;B 2a b 中- >0,∴b>0,∴c<0 与 B 图也不符;若 a>0,则抛物线开口向上,只能是 C 或 D 选项, 2a b 则当 b>0 时,有 c>0 与 C、D 不符.当 b<0 时,有 c<0,此时- >0,且 f(0)=c<0,故选 D. 2a 6.(文)(2010· 山东理,4)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x+2x+b(b 为 常数),则 f(-1)=( A.3 C.-1 [答案] D [解析] ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即 0=20+b,∴b=-1,故 f(1)=2+2-1=3,∴f(- 1)=-f(1)=-3. ) B.1 D.-3

(理)(2010· 辽宁省实验中学)已知函数 f(x)=2x-1,对于满足 0<x1<x2<2 的任意实数 x1,x2, 给出下列结论: (1)(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0; (2)x2f(x1)<x1f(x2); (3)f(x2)-f(x1)>x2-x1; f?x1?+f?x2? ?x1+x2? (4) >f 2 ? 2 ?. 其中正确结论的序号是( A.(1)(2) C.(2)(4) [答案] C [解析] ∵f(x)为增函数,x1<x2,∴f(x1)<f(x2), ∴(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,故(1)错; 排除 A、B;A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是 f(x)=2x-1 在(0,2)上任意两点,则 kAB= f?x2?-f?x1? 不总大于 1,故(3)错,排除 D,选 C. x2-x1 ) B.(1)(3) D.(3)(4)

7.(文)(2010· 重庆南开中学)已知 f(x)=ax,g(x)=bx,当 f(x1)=g(x2)=3 时,x1>x2,则 a 与 b 的大小关系不可能成立 的是( ..... A.b>a>1 C.0<a<b<1 [答案] D [解析] ∵f(x1)=g(x2)=3,∴ax1=bx2=3, ∴x1=loga3,x2=logb3, 当 b>1>a>0 时,x1<0,x2>0 不满足 x1>x2. 1 1 (理)(2010· 辽宁文,10)设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=( a b A. 10 C.20 [答案] A [解析] ∵2a=5b=m ∴a=log2m b=log5m 1 1 1 1 ∴ + = + a b log2m log5m =logm2+logm5=logm10=2 ∴m= 10 选 A. B.10 D.100 ) ) B.a>1>b>0 D.b>1>a>0

8.(文)(2010· 吉林市质检、上海松江市模拟)若函数 f(x)=(k-1)ax-a x(a>0 且 a≠1)在 R


上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是(

)

[答案] A [解析] ∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,∴k=2,f(x)=ax-a x,


又 f(x)为减函数,∴0<a<1, ∴g(x)=loga(x+2)的图象为 A. (理)(2010· 烟台中英文学校质检、海淀期中)在同一坐标系中画出函数 y=logax,y=ax,y =x+a 的图象,可能正确的是( [答案] D [解析] 对于 A,y=x+a 中,0<a<1,故 y=logax 单减,与图象不符,排除 A;对于 B、 C 由 y=x+a 知,a>1,∴y=logax 单调增,与图象不符,排除 B、C,因此选 D. 9. (2010· 深圳市调研)已知所有的点 An(n, an)(n∈N*)都在函数 y=ax(a>0, a≠1)的图象上, 则 a3+a7 与 2a5 的大小关系是( A.a3+a7>2a5 B.a3+a7<2a5 C.a3+a7=2a5 D.a3+a7 与 2a5 的大小关系与 a 的值有关 [答案] A [解析] 因为所有的点 An(n,an)(n∈N*)都在函数 y=ax(a>0,a≠1)的图象上,所以有 an =an,故 a3+a7=a3+a7,由基本不等式得:a3+a7>2 a3· a7=2 a10=2a5,∴a3+a7>2a5(因为 a>0,a≠1,从而基本不等式的等号不成立),故选 A. 10.(文)(2010· 青岛市质检)过原点的直线与函数 y=2x 的图象交于 A,B 两点,过 B 作 y 轴的垂线交函数 y=4x 的图象于点 C,若直线 AC 平行于 y 轴,则点 A 的坐标是( A.(1,2) B.(2,4) ) ) )

1 C.( , 2) 2 D.(0,1) [答案] A [解析] 设 A(x0,y0),则 y0=2x0,由条件知 C(x0,4x0),∴yB= 4x0=22x0,∴B(2x0,22x0),∵直线 AB 过原点, 22x0 2x0 ∴kOA=kOB,∴ = ,∴x0=1,∴A(1,2). 2x0 x0 1 + (理)(2010· 湖南八校联考)已知函数 f(x)=log (4x-2x 1+1)的值 2 域是[0,+∞),则它的定义域可以是( A.(0,1] B.(0,1) C.(-∞,1] D.(-∞,0] [答案] A 1 + + [解析] 由题意知,log (4x-2x 1+1)≥0,则有 0<4x-2x 1+1≤1,解得 x≤1 且 x≠0,排 2 除 C、D.经检验,当 x∈(0,1]时,f(x)的值域是[0,+∞).故选 A. 1 + [点评] 由函数 f(x)的值域为[0,+∞)知,令 u=4x-2x 1+1,则 log u≥0,∴0<u≤1, 2 而 u=(2x-1)2, ∴x≤1 且 x≠0, 而当 x=1 时, u=1, 当 x=0 时, u=0, 故 0<x≤1 时, 0<u≤1, 因此集合{x|x≤1 且 x≠0}的所有包含{x|0<x≤1}的子集都可以取作该函数的定义域. 二、填空题 1?x ? ?? x∈[-1,0] 1 ? log3 ?=________. 11.(文)已知函数 f(x)=? 3? ,则 f? 2 ? ? ? ?3x x∈?0,1] [答案] 2 1 [解析] ∵-1<log3 <0, 2 1? 1 1 1- ∴f(log3 )=? log =(3log3 ) 1=2. 2 ?3? 32 2
?21 x ? (理)(2010· 北京东城区)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? ?f?x-1?-f?x-2? ?


)

x≤0 x>0

,则

f(-1)=______,f(33)=________. [答案] 4,-2 [解析] f(-1)=21
-(-1)

=4,f(33)=f(32)-f(31)=f(31)-f(30)-f(31)=-f(30),同理 f(30)

=-f(27),∴f(33)=f(27),∴f(33)=f(3)=-f(0)=-2. 12.(文)(2010· 常德市检测)定义区间[x1,x2]的长度为 x2-x1,已知函数 f(x)=3|x|的定义域 为[a,b],值域为[1,9],则区间[a,b]的长度的最大值为________,最小值为________. [答案] 4 2 [解析] 由 3|x|=1 得 x=0,由 3|x|=9 得 x=± 2,故 f(x)=3|x|的值域为[1,9]时,其定义域可 以为[0,2],[-2,0],[-2,2]及[-2,m],0≤m≤2 或[n,2],-2≤n≤0 都可以,故区间[a,b] 的最大长度为 4,最小长度为 2. (理)(2010· 柳州市模考)已知?2x-

?

21 2?9 的展开式的第 7 项为 ,则 x 的值为________. 4 2?

1 [答案] - 3

?- [解析] T7=C96(2x)3· ?
1 ∴3x=-1,∴x=- . 3

2?6 21 x 21 = ×8 = , 2 4 2?

1?x ? ?? x≤1 1 ? 13.已知函数 f(x)=? 2? ,则 f(x)≤ 的解集为________. 2 ? ?log2?x-1? x>1 [答案] [1, 2+1] 1 [解析] 由 f(x)≤ 得, 2 1?x 1 1 ? ? ?? ?log2?x-1?≤2 ≤ 2 ? ? 2 或? , ? ? ? ?x>1 ?x≤1 ∴x=1 或 1<x≤ 2+1, ∴1≤x≤ 2+1,故解集为[1, 2+1]. 1?x 1 14.函数 f(x)的定义由程序框图给出,程序运行时,输入 h(x)=? ?2? ,φ(x)=log2x,则 f(2) +f(4)的值为________.

15 [答案] - 16 [解析] 由程序框图知
? ?φ?x? h?x?>φ?x? f(x)=? , ?h?x? h?x?≤φ?x? ?

1? ?1?1 2 ?1?=-1,∴f?1?=-1, ∵h? = = , φ ?2? ?2?2 2 ?2? ?2? 1 1 ∵h(4)= ,φ(4)=2,∴f(4)= , 16 16 1? 1 15 ∴f? ?2?+f(4)=-1+16=-16. 三、解答题 2x 15.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数. [解析] (1)∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0, 又当 x∈(-1,0)时,-x∈(0,1), 2 x 2x ∴f(-x)= -x = , 4 +1 1+4x


∵f(-x)=-f(x),∴f(x)=-

2x , 1+4x

∴f(x)在(-1,1)上的解析式为

? 2 f(x)=? - 4 +1 ?0 x=0
x x x

2x 4 +1

x∈?0,1? x∈?-1,0? .

2x (2)当 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 设 0<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)= = 2x1 2x2 - 4x1+1 4x2+1

?2x2-2x1??2x1+x2-1? , ?4x1+1??4x2+1?

∵0<x1<x2<1,∴2x2-2x1>0,2x1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 故 f(x)在(0,1)上是减函数. 16.已知关于 x 的方程 9x-2×3x+(3k-1)=0 有两个实数根,求实数 k 的取值范围. [解析] 令 3x=t, 则方程化为 t2-2t+(3t-1)=0,① 要使原方程有两个实数根,方程①必须有两个正根 Δ=?-2? -4?3k-1?≥0 ? ? 所以?t1t2=3k-1>0 ? ?t1+t2=2>0 1 2 解得 <k≤ . 3 3 [点评] ∵t=3x>0, ∴原方程有两个实数根 x1、 x2, 则对应的方程①应有两个正根 t1=3x1, t2=3x2,而不是两个任意实数根. 17.(文)(2010· 辽宁省锦州市通考)已知函数 f(x)=m· 2x+t 的图象经过点 A(1,1),B(2,3)及 C(n,Sn),Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)求 an 及 Sn; (2)若数列{cn}满足 cn=6nan-n,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. [解析] (1)∵函数 f(x)=m· 2x+t 的图象经过点 A、B,
?2m+t=1 ?m=1 ? ? ∴? ,∴? ,∴f(x)=2x-1, ? ? 4 m + t = 3 t =- 1 ? ?
2

∴Sn=2n-1,∴an=2n 1.


(2)cn=3n· 2n-n,Tn=c1+c2+?+cn=3×(1×2+2×22+3×23+?+n· 2n)-(1+2+?+ n), 令 Pn=1×2+2×22+?+n· 2n① 则 2Pn=1×22+2×23+?+n· 2n 1②


①-②得-Pn=2+22+?+2n-n· 2n =

+1

2×?2n-1? + + + -n· 2n 1=2n 1-2-n· 2n 1, 2-1

∴Pn=(n-1)2n 1+2,


n?n+1? + ∴Tn=3(n-1)2n 1+6- . 2 (理)(2010· 浙江台州模拟)定义在 D 上的函数 f(x), 如果满足: 对任意 x∈D, 存在常数 M>0, 都有|f(x)|≤M 成立,则称 f(x)是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f(x)的上界.

?1?x+?1?x. 已知函数 f(x)=1+a· ?2? ?4?
(1)当 a=1 时,求函数 f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数 f(x)在(-∞,0)上是否为有 界函数,请说明理由; (2)若函数 f(x)在[0,+∞)上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围. 1?x ?1?x [解析] (1)当 a=1 时,f(x)=1+? ?2? +?4? . 因为 f(x)在(-∞,0)上递减,所以 f(x)>f(0)=3, 即 f(x)在(-∞,0)上的值域为(3,+∞).故不存在常数 M>0,使|f(x)|≤M 成立. 所以函数 f(x)在(-∞,0)上不是有界函数. (2)由题意知,|f(x)|≤3 在[0,+∞)上恒成立. 1?x ?1?x≤2-?1?x, ∴-3≤f(x)≤3,即-4-? ?4? ≤a· ?2? ?4? 1?x 1?x ∴-4· 2x-? 2x-? ?2? ≤a≤2· ?2? 在[0,+∞)上恒成立, 1 1 设 2x=t,h(t)=-4t- ,p(t)=2t- , t t 由 x∈[0,+∞)得 t≥1, 设 1≤t1<t2,h(t1)-h(t2)= p(t1)-p(t2)= ?t2-t1??4t1t2-1? >0 t1t2

?t1-t2??2t1t2+1? <0 t1t2

所以 h(t)在[1,+∞)上递减,p(t)在[1,+∞)上递增, h(t)在[1,+∞)上的最大值为 h(1)=-5,p(t)在[1,+∞)上的最小值为 p(1)=1, 所以实数 a 的取值范围为[-5,1].

第2章

第5节

一、选择题 1.(2010· 重庆南开中学)函数 y=lg(x+1)的反函数的图象为( )

[答案] D [解析] 解法 1:∵函数 y=lg(x+1)的图象过点(0,0),故反函数过点(0,0),排除 A、B、C, 选 D. 解法 2:函数 y=lg(x+1)的反函数为 y=10x-1,故选 D. 2.(2010· 浙江杭州质检)使“lgm<1”成立的一个充分不必要条件是( A.m∈(0,+∞) B.m∈{1,2} C.0<m<10 D.m<1 [答案] B [解析] 由 lgm<1 得,0<m<10,∴当 m∈{1,2}时,lgm<1 成立,但 lgm<1 成立时,不一 定有 m∈{1,2},故选 B. [点评] 使命题 p 成立的集合为 A,使命题 q 成立的集合为 B,若 A?B,则 p 是 q 的充分 不必要条件,本题中{1,2}?{m|0<m<10},∴m∈{1,2}是 lgm<1 成立的充分不必要条件. 3.(2010· 江西文)若函数 y= A.1 B.-1 C .± 1 D.任意实数 [答案] B ax a a [解析] 由题意知,函数 y= 的反函数与其是同一函数,∵x=1 时,y= ,∴x= 时, 2 2 1+x a2 y= =1,解得 a=-1 或 2,结合选项知选 B. 2+a -x ax x ax [点评] ①可以先求出 y= 的反函数 y= ,即 y= 与函数 y= 是同一函 1+x a-x -a+x 1+x ax 的图象关于直线 y=x 的对称,则 a 为( 1+x ) )

数,比较系数知 a=-1(或由

x ax = 恒成立求得 a=-1). a-x 1+x

②如果不是选择题,上面求得 a=-1 或 2 后,还要继续检验来确定 a 的取值. 4.(文)若 x∈(e A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a [答案] C [解析] ∵x∈(e
-1, -1,

1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则(

)

1),∴-1<lnx<0

∵b-a=2lnx-lnx=lnx<0,∴b<a.① ∵a-c=lnx-ln3x=lnx(1-lnx)(1+lnx)<0,∴a<c② 由①②得:b<a<c. 1 (理)(2010· 全国Ⅰ理,8)设 a=log32,b=ln2,c=5- ,则( 2 A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a [答案] C 1 1 [解析] a=log32= ,b=ln2= ,而 log23>log2e>1,所以 a<b, log23 log2e 1 1 c=5- = ,而 5>2=log24>log23,所以 c<a,综上 c<a<b. 2 5 a-2-x 5.已知 f(x)=log2 的是奇函数,则 a 的值为( x-a A.-1 B .1 C .± 1 D.a∈R [答案] B a-2-x [解析] 由 >0 得,a-2<x<a, x-a ∵f(x)为奇函数,∴a-2=-a?a=1. 经验证可知: a=1 时,f(x)是奇函数,∴a=1 为所求. ) )

6.(2010· 上海大同中学模考)如果一个点是一个指数函数的图象与一个同底的对数函数图 象的公共点,那么称这个点为“世博点”.在下面的五个点 M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2), 1 G(2, )中,“世博点”的个数为( 2 A.0 个 B .1 个 C .2 个 D.3 个 [答案] B [解析] 设两函数分别为 y=ax 与 y=logax 把五个点的坐标分别代入可知只有 Q 点适合, 故选 B.
? ?f?x? x>0 7.(文)(2010· 广东佛山顺德区质检)已知函数 y=? 是偶函数,f(x)=logax 对应 ?g?x? x<0 ?

)

的图象如右图所示,则 g(x)=( A.2x 1 B.log (-x) 2 C.log2(-x) D.-log2(-x) [答案] C

)

[解析] ∵f(x)=logax 的图象过点(2,1),∴loga2=1,∴a=2,即 f(x)=log2x,设 h(x)=
?f?x? x>0 ? ? , 当 x<0 时, -x>0, ∴h(-x)=f(-x)=log2(-x), 又 h(x)为偶函数, ∴h(-x)=h(x), ?g?x? x<0 ?

∴当 x<0 时,h(x)=log2(-x),即 g(x)=log2(-x). (理)如果函数 y=a ( )
-x

(a>0,且 a≠1)是减函数,那么函数 f(x)=loga

1 的图象大致是 x+1

[答案] C [解析] 由函数 y=a 1 loga(x+1)=log (x+1). a 1 函数 f(x)的图象可以看做由函数 y=log x 的图象向左平移 1 个单位的长度得到,∴f(x)是 a 减函数. 8.(2010· 佛山质检)已知函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3) C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) [答案] B [解析] 因为 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以 a>1,f(1)<f(2)<f(3).又函数 f(x) =loga|x|为偶函数,所以 f(2)=f(-2),所以 f(1)<f(-2)<f(3).故选 B. 9.(2010· 江西师大附中、临川一中联考)已知函数 f(x)满足 f(x)=f(4-x),且当 x>2 时,f(x) 1 是增函数,若 a=f(1.20.9),b=f(0.91.2),c=f(log 9),则 a、b、c 的大小关系为( 3 A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.a<b<c [答案] D [解析] 由已知得函数 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,故 f(x)在(-∞,2)上是减函数,∵ 1 log 9=-2<0<0.91.2<0.90=1.20<1.20.9<2,∴a<b<c,选 D. 3 ) )
-x

1 1 (a>0,且 a≠1)是减函数,知 a>1,∴0< <1,f(x)=loga =- a x+1

10.(文)已知函数 y=f(x)满足:①对任意实数 x,有 f(2+x)=f(2-x);②对任意 2≤x1<x2, f?x1?-f?x2? 1 都有 >0.则 a=f(2log24),b=f(log 4),c=f(1)的大小关系是( 2 x1-x2 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b [答案] D [解析] ∵f(2+x)=f(2-x),∴f(x)=f(4-x), 1 ∴b=f(log 4)=f(-2)=f(6),c=f(1)=f(3),a=f(2log24)=f(4). 2 f?x1?-f?x2? 又对任意 2≤x1<x2,都有 >0, x1-x2 ∴f(x)在[2,+∞)上为增函数, ∴f(3)<f(4)<f(6),即 c<a<b. 1 ? (理)(2010· 青岛一中)若函数 f(x)=loga(x3-ax)(a>0,a≠1)在区间? ?-2,0?上单调递增,则 a 的取值范围是( 1 A.[ ,1) 4 3 B.[ ,1) 4 9 C.( ,+∞) 4 9 D.(1, ) 4 [答案] B [解析] 设 u(x)=x3-ax,由复合函数的单调性,可分 0<a<1 和 a>1 两种情况讨论: 1 1 ①当 0<a<1 时,u(x)=x3-ax 在(- ,0)上单调递减,即 u′(x)=3x2-a≤0 在(- ,0)上 2 2 恒成立, 3 3 ∴a≥ ,∴ ≤a<1; 4 4 1 1 ②当 a>1 时,u(x)=x3-ax 在(- ,0)上单调递增,即 u′(x)=3x2-a≥0 在(- ,0)上恒 2 2 成立, ∴a≤0,∴a 无解. 3 综上可知 ≤a<1,故选 B. 4 ) )

二、填空题 2 4 11.(文)已知 a = 3 9 [答案] 3 2 4 [解析] 解法 1:∵a = 3 9 (a>0), 2 (a>0),则 log a=________. 3

4 2 2 1 2 ∴loga = ,∴loga = ,∴log a=3. 9 3 3 3 3 2?x 2 解法 2:设 log a=x,则 a=? ?3? , 3

?2?x?2 4 ∴? ??3? ?3=9,
2?2 ?2?2 2 即? ?3?3x=?3? ,∴3x=2,∴x=3. (理)(2010· 上海松江区模拟)方程 lgx+lg(x+3)=1 的解是 x=________. [答案] 2 x>0 x>0 ? ? ? ? [解析] 方程化为?x+3>0 ,∴?x>-3 , ? ? ?x?x+3?=10 ?x=2或-5 ∴x=2.
x ? ?2 ? 12.(文)(2010· 北京延庆县模考)已知 f(x)= ?log81x ?


x∈?-∞,1]

1 ,则满足 f(x)= 的 x 值 4 x∈?1,+∞?

为______. [答案] 3 x≤1 ? ? 1 [解析] 由 f(x)= 得,? -x 1 4 ?2 =4 ? ∴x=3. (理)设 a>1,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a2]满足方程 logax +logay=c,这时 a 的取值的集合为________. [答案] {2} ac [解析] 依题意得 y= , x ac 当 x∈[a,2a]时,y= 单调减, x x>1 ? ? 或? 1 , ?log81x=4 ?

?1ac-1=a ? ∴?2 ,∴c=3,a2=2a,又 a>1,所以 a=2. -1 c 2 ?a =a ?

13.(2010· 重庆南开中学)不等式|1+log2x|>2 的解集是________. 1 [答案] (0, )∪(2,+∞) 8 [解析] 不等式化为 1+log2x>2 或 1+log2x<-2, ∴log2x>1 或 log2x<-3, 1 ∴x>2 或 0<x< . 8 1 1 14. (2010· 安徽江南十校联考)已知实数 a, b 满足 log a=log b, 下列五个关系式: ①a>b>1, 2 3 ②0<b<a<1,③b>a>1,④0<a<b<1,⑤a=b.其中不可能成立的关系式有________(填序号). [答案] ①④ [解析] 当 a=b=1 时,显然满足题意. 故⑤a=b 有可能成立;当 a≠1 且 b≠1 时, 1 1 lga lgb 根据 log a=log b 得 = , 2 3 1 1 lg lg 2 3 1 lg 2 11 因此 lga= lgb=(log )lgb=log32· lgb. 1 32 lg 3 ∵0<log32<1,∴0<lga<lgb,或 lgb<lga<0,故③b>a>1 和②0<b<a<1 有可能成立.故填① ④. [点评] 函数关系问题借助函数图象来解决常能起到事半功倍的功效,本题若在同一坐标 1 1 系中画出函数 y=log x 与 y=log x 的图象(由对数函数在 x>1、0<a<1 时底大图低的特点,草 2 3 图很容易画出), 作垂直于 y 轴的直线与两图象交点的纵坐标相等可知, 在 l1 状态下, 0<b<a<1, 在 l2 状态下,b>a>1,在 x 轴上,a=b=1,故可知②③⑤都有可能.

三、解答题 15.(文)已知函数 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1). (1)证明函数 f(x)的图象在 y 轴的一侧; (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是 f(x)图象上两点,证明直线 AB 的斜率大于 0. [解析] (1)由 ax-1>0,得 ax>1.

当 a>1 时,解得 x>0,此时 f(x)的图象在 y 轴右侧; 当 0<a<1 时,解得 x<0,此时 f(x)的图象在 y 轴左侧. ∴对 a>0 且 a≠1 的任意实数 a,f(x)的图象总在 y 轴一侧. (2)①当 a>1 时,x>0,由 0<x1<x2 得,1<ax1<ax2, ax2-1 ∴0<ax1-1<ax2-1,即 >1. ax1-1 ∴f(x2)-f(x1)=loga(ax2-1)-loga(ax1-1) ax2-1 =loga >0. ax1-1 直线 AB 的斜率 kAB= f?x2?-f?x1? >0. x2-x1

②当 0<a<1 时,由 x1<x2<0 得, ax1>ax2>1,f(x2)-f(x1)>0. 同上可得 kAB>0. (理)(2010· 石狮质检)已知函数 f(x)=loga(3-ax). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围. (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1?如果 存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. [解析] (1)由题意,3-ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立,∵a>0 且 a≠1, 3 ∴g(x)=3-ax 在[0,2]上是减函数,从而 g(2)=3-2a>0 得 a< .∴a 的取值范围为(0,1)∪ 2

?1,3?. ? 2?
(2)假设存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为 1. 由题设 f(1)=1,即 loga(3-a)=1, 3 3 3 3- x?, ∴a= , 此时 f(x)=log ? 函数 f(x)没有意义, 故这样的实数 a 不存在. 2 ? 当 x=2 时, 2 2? 16.(文)已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明点 C、D 和原点 O 在同一直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. [分析] (1)证明三点在同一条直线上,只须证明 kOC=kOD; (2)解方程组得 x1,x2,代入解析式即可求解. [解析] (1)设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2, 由题设知 x1>1,x2>1, 则点 A、B 的纵坐标分别为 log8x1、log8x2.

因为 A、B 在过点 O 的直线上, log8x1 log8x2 所以 = (*) x1 x2 点 C、 D 的坐标分别为(x1, log2x1)、 (x2, log2x2), 由于 log2x1= log2x1 3log8x1 OC 的斜率为 k1= = , x1 x1 log2x2 3log8x1 OD 的斜率为 k2= = , x2 x1 由此可知 k1=k2,即 O、C、D 在同一直线上. (2)由于 BC 平行于 x 轴,知 log2x1=log8x2, 1 即得 log2x1= log2x2,∴x2=x13, 3 代入(*)得,x13log8x1=3x1log8x1, 由于 x1>1,知 log8x1≠0,故 x13=3x1, ∵x1>1,∴x1= 3, 于是点 A 的坐标为( 3,log8 3). (理)函数 y=logax(x>1,a>1)图象上有 A、B、C 三点,横坐标分别为 m,m+2,m+4. (1)求△ABC 的面积 S=f(m); (2)判断 S=f(m)的单调性和值域. [解析] (1)首先作出 y=logax(x>1,a>1)的图象,如图所示. 过 A、B、C 分别向 x 轴作垂线,垂足为 A1、B1、C1,则 S△ABC=S 梯形 AA1B1B+S 梯形 BB1C1C-S 梯形 AA1C1C 1 1 1 = [logam+loga(m +2)]×2+ [loga(m+2)+loga(m+4)]×2- 2 2 2 [logam+loga(m+4)]×4 =2loga(m+2)-logam-loga(m+4) ?m+2?2 =loga . m?m+4? 又 logam>0,∴m>1. ?m+2?2 故 S=f(m)=loga (m>1). m?m+4? ?m+2?2 (2)由 f(m)=loga m?m+4? 4 =loga?1+m?m+4??, log8x1 =3log8x1, log2x2=3log8x2, log82

?

?

4 ∵1+ 在(1,+∞)上为减函数, m?m+4?

又 a>1,故 f(m)在(1,+∞)上为减函数. 下面求值域,∵m>1, ∴m(m+4)=m2+4m=(m+2)2-4>5, 4 1 4 9 则 0< < ,从而有 1<1+ < . 5 m?m+4? m?m+4? 5 4 9 又 a>1,∴0<loga?1+m?m+4??<loga , 5 ? ? 9 9 即 0<f(m)<loga ,故 f(m)的值域为(0,loga ). 5 5 17.(2010· 杭州冲刺)已知函数 f(x)=ln(ex+a)(a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数 g(x) =λf(x)+sinx 是区间[-1,1]上的减函数. (1)求 g(x)在 x∈[-1,1]上的最大值; (2)若 g(x)≤t2+λt+1 对?x∈[-1,1]及 λ∈(-∞,-1]恒成立,求 t 的取值范围; lnx (3)(理)讨论关于 x 的方程 =x2-2ex+m 的根的个数. f?x? [解析] (1)f(x)=ln(ex+a)是奇函数, 则 ln(e x+a)=-ln(ex+a)恒成立.


∴(e x+a)(ex+a)=1.


1+ae x+aex+a2=1,∴a(ex+e x+a)=0,∴a=0.
- -

又∵g(x)在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)max=g(-1)=-λ-sin1. (2)只需-λ-sin1≤t2+λt+1 在 λ∈(-∞,-1]上恒成立,∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0 在 λ ∈(-∞,-1]上恒成立. 令 h(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1(λ≤-1),则
? ?t+1≤0 ? , 2 ? ?-t-1+t +sin1+1≥0 ? ?t≤-1 ∴? 2 , ?t -t+sin1≥0 ?

∵Δ=(-1)2-4sin1<0, ∴t2-t+sin1≥0 恒成立,∴t≤-1. (3)(理)由(1)知 f(x)=x, lnx ∴方程为 =x2-2ex+m, x lnx 令 f1(x)= ,f2(x)=x2-2ex+m, x

1-lnx ∵f ′1(x)= 2 , x 当 x∈(0,e)时,f ′1(x)≥0,∴f1(x)在(0,e]上为增函数; x∈[e,+∞)时,f ′1(x)≤0,∴f1(x)在[0,e)上为减函数. 1 ∴当 x=e 时,f1(x)max=f1(e)= . e 而 f2(x)=(x-e)2+m-e2, ∴函数 f1(x)、f2(x)在同一坐标系的大致图象如图所示, 1 ∴①当 m-e2> , e 1 即 m>e2+ 时,方程无解. e 1 1 ②当 m-e2= ,即 m=e2+ 时,方程有一个根. e e 1 1 ③当 m-e2< ,即 m<e2+ 时,方程有两个根. e e

第2章

第6节

一、选择题 1 1 1 ? ? 1.(文)设 α∈?-2,-1,-2,3,2,1,2,3?,则使 y=xα 为奇函数且在(0,+∞)上单
? ?

调递减的 α 值的个数为( A.1 C .3 [答案] A

) B.2 D.4

[解析] 由 f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴α<0 1 1 1 - - y=x 2= 2是偶函数,y=x- = ,在定义域(0,+∞)上是非奇非偶函数,y=x 1 是奇 x 2 x 函数,∴α=-1,∴选 A. (理)幂函数 y=x
-1

及直线 y=x,y=1,x=1 将平面直角坐标系的第一象限分在八个“区

1 域”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),那么幂函数 y=x 的图象经过的“区域” 2 是( )

A.⑧,③ C.⑥,① [答案] D

B.⑦,③ D.⑤,①

2.(09· 福建)下列函数中,与函数 y= A.f(x)=lnx C.f(x)=|x| [答案] A [解析] ∵y=

1 有相同定义域的是( x

)

1 B.f(x)= x D.f(x)=ex

1 的定义域为(0,+∞).故选 A. x )

3.(文)(09· 安徽)设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是(

[答案] C [解析] 解法一:当 x>b 时,y>0,由数轴穿根法可知,从右上向左下穿,奇次穿过偶次 不穿可知,只有 C 正确,故选 C. 解法二:∵y=(x-a)2(x-b),a<b,∴x>b 时,y>0,排除 A、B;a<x<b 时,y<0,排除 D, 故选 C. 1 (理)(2010· 山东日照一中)函数 y=ln 的大致图象为( |2x-3| )

[答案] A 3 3 3 [解析] 易知 2x-3≠0,即 x≠ ,排除 C,D 项.当 x> 时,函数为减函数,当 x< 时, 2 2 2 函数为增函数,所以选 A.
? ?4x-4 4.函数 f(x)=? 2 ?x -4x+3 ?

x≤1 x>1 C.2

的图象和函数 g(x)=log2x 的图象的交点个数是( D .1

)

A.4 [答案] B

B.3

[解析] 由图象易知有 3 个交点.

5.(文)(2010· 浙江宁波十校)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器 中水面的高度 h 随时间 t 变化的图象可能是( )

[答案] B

[解析] 由三视图可知,该几何体为倒立的圆锥,故随时间 t 的增加,容器中水面的高度 增加的越来越缓慢,即曲线切线的斜率在逐渐变小,故选 B. (理)(2010· 东营质检)函数 y=|x|与 y= x2+1在同一坐标系的图象为( )

[答案] A [解析] 由 y= x2+1得,y2-x2=1(y≥1),它表示焦点在 y 轴上的等轴双曲线的上支, 它以 y=± x 的其渐近线,故选 A. 6.(2010· 山东泰安质检)定义在 R 上的函数 y=f(x+1)的图象如图所示,它在定义域上是 减函数,给出如下命题:

①f(0)=1; ②f(-1)=1; ③若 x>0, 则 f(x)<0; ④若 x<0, 则 f(x)>1.其中正确的命题是( A.②③ C.②④ [答案] B [解析] 将函数 y=f(x+1)的图象向右平移 1 个单位得到 y=f(x)的图象. B.①④ D.①③

)

∵在 y=f(x+1)的图象上,当 x<-1 时,f(x)>1,∴在 y=f(x)的图象上,当 x<0 时,f(x)>1, ∵y=f(x+1)的图象过点(-1,1),∴f(0)=1,故选 B. 7.(2010· 温州十校联考)函数 f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则 b-a 的最小值 为( ) A.2 1 C. 3 2 B. 3 D.1

[答案] B [解析] 由题可知函数 f(x)=|log3x|在区间[a, b]上的值域为[0,1], 当 f(x)=0 时 x=1, 当 f(x) 1 1 1 =1 时 x=3 或 ,所以要使值域为[0,1],定义域可以为[ ,3],[1,3],[ ,1],所以 b-a 的最 3 3 3 2 小值为 .故选 B. 3 8.(2010· 湖南理,8)有 min{a,b}表示 a,b 两数中的最小值,若函数 f(x)=min{|x|,|x+ 1 t|}的图象关于直线 x=- 对称,则 t 的值为( 2 A.-2 C.-1 [答案] D 1 [解析] 如图,要使 f(x)=min{|x|,|x+t|}的图象关于直线 x=- 对称,则 t=1. 2 B.2 D.1 )

9.若函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象分别如图,则 f(x)· g(x)的图象可能是(

)

[答案] C [解析] 由 f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,可知 f(x)· g(x)为奇函数,x∈(-3,0)时,f(x)>0, g(x)>0,所以 f(x)g(x)>0,故选 C. x x 10.(文)(2010· 山东济南、芜湖十二中)函数 y= · a (a>1)的图象的基本形状是( |x| )

[答案] A [解析] 当 x>0 时,y=ax(a>1)为增函数,当 x<0 时,y=-ax(a>1),为减函数,故选 A. ax+b (理)(2010· 山东省实验中学)设函数 f(x)= 2 的图象如图,则 a、b、c 满足( x +c )

A.a>b>c C.b>a>c [答案] D

B.a>c>b D.b>c>a

[解析] f(x)的图象关于 y 轴对称,∴a=0,∵y=x2+c 在(0,+∞)上单增,又 f(x)= b 在(0,+∞)上单减,且 f(x)定义域为 R,∴b>0,c>0,又 f(0)= >1,∴b>c,故选 D. c 二、填空题

b x +c
2

1? ?1? 11 . ( 文 )(2010· 通州市模拟 ) 已知幂函数 y = f(x) 的图象经过点 ? ?2,2? ,则 f ?2? 的值为 ________. [答案] 2 1? [解析] 设 f(x)=xα,∵f(x)图象过点? ?2,2?, 1 ∴ =2α,∴α=-1, 2 1? ?1?-1 - ∴f(x)=x 1,∴f? ?2?=?2? =2. 1? (理)(2010· 芜湖十二中)幂函数 y=f(x)的图象经过点? ?-2,-8?,则满足 f(x)=27 的 x 的值 是______. [答案] 1 3

1? [解析] ∵f(x)=xα 过点? ?-2,-8?, 1 ∴(-2)α=- ,∴α=-3. 8 1 - 由 f(x)=27 得,x 3=27,∴x= . 3 1?x-2 12.函数 y=x3 与 y=? ?2? 的图象交点为(x0,y0),x0 所在区间是(a,b),a、b 为相邻的 整数,则 a+b=______. [答案] 3 1?x-2 [解析] ∵y1=x3 单调增,y2=? ?2? 单调减,当 x=1 时,y1=1,y2=2,y1<y2;当 x=2 时,y1=8,y2=1,y1>y2,∴两函数图象交点坐标 x0∈(1,2),故 a=1,b=2,a+b=3. ax+2 13.若 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是________. x+2 [答案] a>1 ax+2 a?x+2?+2?1-a? [解析] f(x)= = x+2 x+2 = 2?1-a? +a. x+2

∵f(x)在(-2,+∞)上为增函数, ∴1-a<0,即 a>1. 14.(2010· 常德市调研)设 P 表示使幂函数 y=xc2-5c+6 在(0,+∞)上是增函数的 c 的集 合;Q 表示不等式|x-1|+|x-2c|>1 对任意 x∈R 恒成立的 c 的集合,则 P∩Q=________. [答案] (-∞,0)∪(1,2)∪(3,+∞) [解析] ∵幂函数 y=xc2-5c+6 在(0,+∞)上是增函数,∴c2-5c+6>0, 即 P=(-∞,2)∪(3,+∞), 又不等式|x-1|+|x-2c|>1 对任意 x∈R 恒成立, ∴|2c-1|>1,∴c>1 或 c<0, 即 Q=(-∞,0)∪(1,+∞), ∴P∩Q=(-∞,0)∪(1,2)∪(3,+∞). 三、解答题 1 1 1 1 x -x- x +x- 3 3 3 3 15.已知函数 f(x)= ,g(x)= . 5 5 (1)证明 f(x)是奇函数,并求其单调区间; (2)分别计算 f(4)-5f(2)g(2)和 f(9)-5f(3)g(3)的值,并由此概括一个涉及函数 f(x),g(x)的 对所有非零实数 x 都成立的不等式,并证明.

[解析] (1)证明:因为 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 1 1 1 1 ?-x? -?-x?- x -x- 3 3 3 3 又 f(-x)= =- =-f(x), 5 5 所以 f(x)是奇函数. 1 1 1 1 x 1-x- 1 x 2-x- 2 3 3 3 3 1 1 1 设 x1<x2,x1,x2∈(0,+∞),则 f(x1)-f(x2)= - = (x 1-x 1)(1+ 5 5 5 3 3 1 1 1 x 1· x 3 32 ),

1 1 1 因为 x 1-x 2<0,1+ >0, 3 3 1 1 x 1· x 3 32 所以 f(x1)-f(x2)<0.故 f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.又因为 f(x)是奇函数,所以 f(x) 在(-∞,0)上也是单调递增函数,即 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞). (2)经过计算可得 f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,由此可得对所有非零实数 x 都成 立的一个等式是 f(x2)-5f(x)g(x)=0.证明如下: 2 2 1 1 1 1 x -x- x -x- x +x- 3 3 3 3 3 3 1 2 2 1 2 2 f(x2)-5f(x)g(x)= -5· · = (x -x- )- (x -x- )=0. 5 5 5 5 3 3 5 3 3 16.(文)(北京丰台)已知函数 g(x)=(a-2)x(x>-1),函数 f(x)=ln(1+x)+bx 的图象如图所 示.

(1)求 b 的值; (2)求函数 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间. 1 [解析] (1)f ′(x)= +b, 1+x 由题图可知 f ′(-0.5)=0?b=-2. (2)F(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-2x-(a-2)x 1 =ln(1+x)-ax.F′(x)= -a. 1+x 1 令 F′(x)= -a>0,因为 x+1>0,所以 ax<1-a. 1+x 1 当 a>0 时,F′(x)>0?-1<x< -1, a 1 ? ?1 ? 故函数 F(x)的单调增区间是? ?-1,a-1?,单调减区间是?a-1,+∞?.

当 a≤0 时,F′(x)>0 在(-1,+∞)上恒成立,故函数 F(x)的单调增区间是(-1,+∞); 综上所述: 1 ? ?1 ? 当 a>0 时,函数 F(x)的单调增区间是? ?-1,a-1?,单调减区间是?a-1,+∞?.当 a≤0 时,函数 F(x)的单调增区间是(-1,+∞). (理)(2010· 山东滨州质检)已知幂函数 f(x)的图象过点( 2,2)且幂函数 g(x)=xm2-m-2(m ∈Z)的图象与 x 轴、y 轴都无公共点,且关于 y 轴对称. (1)求 f(x),g(x)的解析式; (2)当 x 为何值时①f(x)>g(x);②f(x)=g(x); ③f(x)<g(x). [解析] (1)设 f(x)=xα,∵f(x)的图象过点( 2,2), ∴2=( 2)α,∴α=2,∴f(x)=x2; 又 g(x)=xm2-m-2 的图象与 x 轴、y 轴都无公共点, ∴m2-m-2≤0,∴-1≤m≤2. ∵m∈Z,∴m=0 或± 1 或 2,当 m=0 或 1 时,g(x)=x 当 m=-1 或 2 时,y=x0 也满足,故 g(x)=x
-2 -2

是偶函数,图象关于 y 轴对称,

或 g(x)=x0.

(2)若 g(x)=x0=1,则由 f(x)>g(x)得,x2>1, ∴x>1 或 x<-1. 故 x>1 或 x<-1 时,f(x)>g(x),x=± 1 时,f(x)=g(x),-1<x<0 或 0<x<1 时,f(x)<g(x). 1 - 若 g(x)=x 2,则由 f(x)>g(x)得,x2> 2,∴x4>1,∴x>1 或 x<-1,故当 x>1 或 x<-1 时, x 有 f(x)>g(x);当 x=± 1 时,f(x)=g(x);当-1<x<0 或 0<x<1 时,f(x)<g(x). 综上知, x>1 或 x<-1 时, f(x)>g(x); x=± 1 时, f(x)=g(x); -1<x<0 或 0<x<1 时, f(x)<g(x). 17.(文)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足 f(-1)=0,对任意实数 x,恒有 f(x) -x≥0,并且当 x∈(0,2)时,有 f(x)≤? (1)求 f(1)的值; (2)证明 a>0,c>0; (3)当 x∈[-1,1]时,函数 g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求证:m≤0 或 m≥1. [解析] (1)对 x∈R,f(x)-x≥0 恒成立, 当 x=1 时,f(1)≥1, 又∵1∈(0,2),由已知得 f(1)≤? ∴1≤f(1)≤1,∴f(1)=1. (2)证明:∵f(1)=1,f(-1)=0,∴a+b+c=1, 1+1?2 ? 2 ? =1, x+1?2 ? 2 ?.

1 1 a-b+c=0,∴b= .∴a+c= . 2 2 ∵f(x)-x≥0 对 x∈R 恒成立, 1 ∴ax2- x+c≥0 对 x∈R 恒成立, 2

? ?a>0 ? ? ∴? ,∴? 1 ?Δ≤0 ? ?ac≥ ?
∴c>0,故 a>0,c>0.

a>0



16

1 1 1 1 (3)证明:∵a+c= ,ac≥ ,由 a>0,c>0 及 a+c≥2 ac,得 ac≤ ,∴ac= ,当且 2 16 16 16 1 仅当 a=c= 时,取“=”. 4 1 1 1 ∴f(x)= x2+ x+ . 4 2 4 1 1 ? 1 1 2 ∴g(x)=f(x)-mx= x2+? ?2-m?x+4=4[x +(2-4m)x+1]. 4 ∵g(x)在[-1,1]上是单调函数, ∴2m-1≤-1 或 2m-1≥1,∴m≤0 或 m≥1. (理)如图所示,定义在区间 D 上的函数 f(x),如果满足:对?x∈D, ?常数 A,都有 f(x)≥A 成立,则称函数 f(x)在 D 上有下界,其中 A 称为 函数的下界. 48 (1)试判断函数 f(x)=x3+ 在(0, +∞)上是否有下界?并说明理由; x (2)已知某质点的运动方程为 S(t)=at-2 t+1,要使在 t∈[0,+∞)上的每一时刻,该质 1 点的瞬时速度是以 为下界的函数,求实数 a 的取值范围. 2 [分析] 第(1)问可以转化为求函数在指定区间上是否有最小值,若有最小值,此最小值就 是下界值;第(2)问转化为不等式恒成立的问题进行解决即可,也就是转化为最值来解决. 48 48 3 [解析] (1)由 f(x)=x3+ 得,f ′(x)=3x2- 2 = 2(x4-16), x x x 当 x∈(0,+∞)时,由 f ′(x)=0 得,x=2 是 f(x)的极小值点,也是惟一的极小值点,所 以 x∈(0,+∞)时,fmin(x)=f(2)=32, 48 即函数 f(x)=x3+ 在(0,+∞)上有下界,下界是 32. x (2)在 t∈[0,+∞)上的每一时刻,该质点的瞬时速度 v=S′(t)=a- 依题意得对?t∈[0,+∞)有 a- 1 1 ≥ , t+1 2 1 , t+1

即 a≥

1 1 3 + 对?t∈[0,+∞)恒成立.所以 a≥ . 2 2 t+1

第2章

第7节

一、选择题 2 1.(文)(2010· 北京市延庆县)函数 f(x)=lnx- 的零点所在的区间是( x A.(1,2) C.(e,3) [答案] B 2 [解析] ∵f(2)=ln2-1<0,f(e)=1- >0,故选 B. e (理)(2010· 北京东城区)若 f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)=0 的两个零点分别在区间(-1,0) 和区间(1,2)内,则 m 的取值范围是( 1 1? A.? ?-2,4? 1 1? C.? ?4,2? [答案] C 1 1 [解析] 由题意知,f(-1)· f(0)=(2m-1)· (2m+1)=4m2-1<0,∴- <m< ,又 f(1)· f(2)= 2 2 1 7 1 1 (4m-1)(8m-7)<0,∴ <m< ,∴ <m< . 4 8 4 2 2.(2010· 四川)函数 f(x)=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是( A.m=-2 C.m=-1 [答案] A m [解析] 由- =1 得,m=-2. 2
2 ? ?x +2x-3,x≤0, 3.(文)(2010· 福建理,4)函数 f(x)=? 的零点个数为( ?-2+lnx,x>0 ?

)

B.(2,e) D.(3,4)

) 1 1? B.? ?-4,2? 1 1? D.? ?4,2?

)

B.m=2 D.m=1

)

A.0 C .2 [答案] C

B.1 D.3

[解析] 令 x2+2x-3=0 得,x=-3 或 1 ∵x≤0,∴x=-3,令-2+lnx=0 得,lnx=2 ∴x=e2>0,故函数 f(x)有两个零点. (理)(2010· 福建省福州市)已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依 次为 a、b、c,则( A.a<b<c C.b<a<c [答案] B 1 1 [解析] 由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0,故 f(x)=2x+x 的零点 a∈(-1,0);∵g(2) 2 2 1? 1 1 ?1 ? =0,故 g(x)的零点 b=2;h? ?2?=-1+2=-2<0,h(1)=1>0,故 h(x)的零点 c∈?2,1?,因此, a<c<b. [点评] 求函数 f(x)的零点可直接令 f(x)=0 解方程;若 f(x)为分段函数,则要注意每段上 自变量的允许取值范围;若是讨论零点个数或比较零点的大小,常用单调性和图象辅助讨 论.请再练习下列两题:
? ?lnx+2x-6 ?x>0? ①(2010· 合肥市)函数 f(x)=? 的零点个数是( ?-x?x+1? ?x≤0? ?

) B.a<c<b D.c<a<b

)

A.0 [答案] D

B.1

C.2

D .3

[解析] 令-x(x+1)=0 得 x=0 或-1,满足 x≤0; 当 x>0 时,∵lnx 与 2x-6 都是增函数, ∴f(x)=lnx+2x-6(x>0)为增函数, ∵f(1)=-4<0,f(3)=ln3>0, ∴f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点, 故 f(x)共有 3 个零点. 1?x ②(2010· 吉林市质检)函数 f(x)=? ?2? -sinx 在区间[0,2π]上的零点个数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 [答案] B 1?x [解析] 在同一坐标系中作出函数 y=? ?2? 与 y=sinx 的图象,易知两函数图象在[0,2π]内 有两个交点. 4.(2010· 安徽江南十校联考)某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函 数是( ) )

|x| A.f(x)= x ex-e x C.f(x)= x -x e +e


1 1 B.f(x)= x + 2 -1 2 D.f(x)=lgsinx

[答案] C |x| [解析] 根据程序框图知输出的函数为奇函数,并且此函数存在零点.经验证:f(x)= 不 x ex-e x e x-ex 1 1 存在零点; f(x)= x + 不存在零点; f(x)= x -x的定义域为全体实数, 且 f(-x)= -x x= 2 -1 2 e +e e +e
- -

ex-e x -f(x),故此函数为奇函数,且令 f(x)= x -x=0,得 x=0,函数 f(x)存在零点;f(x)=lgsinx e +e


不具有奇偶性. 5.(文)(2010· 福州市质检)已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于任意 x≥0,都 有 f(x+2)=-f(x),且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(2009)+f(-2010)的值为( A.-2 C .1 [答案] C [解析] 依题意得,x≥0 时,有 f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即 x≥0 时,f(x)是以 4 为周期 的函数.因此,f(2009)+f(-2010)=f(2009)+f(2010)=f(1)+f(2),而 f(2)=-f(0)=-log2(0+ 1)=0,f(1)=log2(1+1)=1,故 f(2009)+f(-2010)=1,故选 C.
x ? ?2 -1 (理)(2010· 安徽合肥质检)已知函数 f(x)=? ?f?x-1?+1 ?

)

B.-1 D.2

?x≤0? ?x>0?

,把函数 g(x)=f(x)-x 的零 )

点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( n?n-1? A.an= (n∈N*) 2 B.an=n(n-1)(n∈N*) C.an=n-1(n∈N*)

D.an=2n-2(n∈N*) [答案] C [解析] 当 x≤0 时,f(x)=2x-1;当 0<x≤1 时,f(x)=f(x-1)+1=2x 1-1+1=2x 1;
- -

当 1<x≤2 时,f(x)=f(x-1)+1=f(x-2)+2=2x 2-1+2=2x 2+1;?
- -

∴当 x≤0 时,g(x)的零点为 x=0;当 0<x≤1 时,g(x)的零点为 x=1; 当 1<x≤2 时,g(x)的零点为 x=2;?当 n-1<x≤n(n∈N*)时,g(x)的零点为 n, 故 a1=0,a2=1,a3=2,?,an=n-1. 6.(文)(2010· 山东临沂)若 a,b 在区间[0, 3]上取值,则函数 f(x)= ax3+bx2+ax 在 R 上有两个相异极值点的概率是( 1 A. 2 C. 3 6 B. 3 3 3 6 )

D.1-

[答案] C [分析] ①f(x)在 R 上有两个相异极值点,即 f(x)在 R 上的变化规律为增→减→增(或减→ 增→减). 又 f(x)为三次函数, 故其导函数 f ′(x)为二次函数, f ′(x)=0 应有两不等实根, ∴Δ>0. ②凡涉及两个变量在实数区间内取值的概率问题,一般都可以通过把这两个变量看作坐 标平面内点的坐标转化为平面上的区域问题求解. [解析] 易得 f ′(x)=3ax2+2bx+a, 函数 f(x)=ax3+bx2+ax 在 R 上有两个相异极值点的 充要条件是 a≠0 且其导函数的判别式大于 0,即 a≠0 且 4b2-12a2>0,又 a,b 在区间[0, 3] 上取值,则 a>0,b> 3a,点(a,b)满足的区域如图中阴影部分所示,其中正方形区域的面积 为 3,阴影部分的面积为 3 3 ,故所求的概率是 . 2 6

(理)设 a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数 f(x)=x3+ax-b 在区间[1,2]上有零点的概率为 ( ) 1 A. 2 11 C. 16 [答案] C [解析] 因为 f(x)=x3+ax-b,所以 f ′(x)=3x2+a.因为 a∈{1,2,3,4},因此 f ′(x)>0,所 以函数 f(x)在区间[1,2]上为增函数.若存在零点,则
?f?1?=1+a-b≤0 ? ? ,解得 a+1≤b≤8+2a.因此能使函数在区间[1,2]上有零点的有:a ? ?f?2?=8+2a-b≥0

5 B. 8 3 D. 4

=1,2≤b≤10,故 b=2,b=4,b=8.a=2,3≤b≤12,故 b=4,b=8,b=12.a=3,4≤b≤14,

11 故 b=4,b=8,b=12.a=4,5≤b≤16,故 b=8,b=12.根据古典概型可得有零点的概率为 . 16 7.(文)(2010· 济南一中)如图,A、B、C、D 是四个采矿点,图中的直线和线段均表示公 路,四边形 ABQP、BCRQ、CDSR 近似于正方形,A、B、C、D 四个采矿点的采矿量之比为 6?2?3?4,且运矿费用与路程和采矿量的乘积成正比.现从 P、Q、R、S 中选一个中转站, 要使中转费用最少,则应选( )

A.P 点 C.R 点 [答案] B [解析]

B.Q 点 D.S 点

设图中每个小正方形的边长均为 1,A、B、C、D 四个采矿点的采矿量分别为

6a,2a,3a,4a(a>0),设 si(i=1,2,3,4)表示运矿费用的总和,则只需比较中转站在不同位置时 si(i =1,2,3,4)的大小.如果选在 P 点,s1=6a+2a×2+3a×3+4a×4=35a,如果选在 Q 点,s2 =6a×2+2a+3a×2+4a×3=32a,如果选在 R 处,s3=6a×4+2a×3+3a+4a×2=33a,如 果选在 S 处, s4=6a×4+2a×3+3a×2+4a=40a, 显然, 中转站选在 Q 点时, 中转费用最少. (理)(2010· 北京西城区抽检)某航空公司经营 A、B、C、D 这四个城市之间的客运业务.它 的部分机票价格如下:A—B 为 2000 元;A—C 为 1600 元;A—D 为 2500 元;B—C 为 1200 元;C—D 为 900 元.若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比,则 B—D 的机票价格为( )

(注:计算时视 A、B、C、D 四城市位于同一平面内) A.1000 元 C.1400 元 [答案] D [解析] 注意观察各地价格可以发现:A、C、D 三点共线,A、C、B 构成以 C 为顶点的 直角三角形,如图可知 BD=5×300=1500. B.1200 元 D.1500 元

[点评] 观察、分析、联想是重要的数学能力,要在学习过程中加强培养. 8.定义域为 D 的函数 f(x)同时满足条件:①常数 a,b 满足 a<b,区间[a,b]?D,②使 f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb](k∈N*),那么我们把 f(x)叫做[a,b]上的“k 级矩形”函数.函 数 f(x)=x3 是[a,b]上的“1 级矩形”函数,则满足条件的常数对(a,b)共有( )

A.1 对 C .3 对 [答案] C

B.2 对 D.4 对

[分析] 由“k 级矩形”函数的定义可知,f(x)=x3 的定义区间为[a,b]时,值域为[a,b], 可考虑应用 f(x)的单调性解决. [解析] ∵f(x)=x3 在[a,b]上单调递增, ∴f(x)的值域为[a3,b3]. 又∵f(x)=x3 在[a,b]上为“1 级矩形”函数,
3 ? ? ? ? ?a =a ?a=-1 ?a=0 ?a=-1 ? ∴ 3 ,解得? 或? 或? , ?b =b ? ? ?b=1 ? ?b=0 ?b=1 ?

故满足条件的常数对共有 3 对. [点评] 自定义题是近年来备受命题者青睐的题型,它能较好地考查学生对新知识的阅读 理解能力,而这恰是学生后续学习必须具备的能力,解决这类问题的关键是先仔细审题,弄 清“定义”的含义,把“定义”翻译为我们已掌握的数学知识.然后加以解决. 9.(文)(2010· 江苏南通九校)若 a>1,设函数 f(x)=ax+x-4 的零点为 m,g(x)=logax+x- 1 1 4 的零点为 n,则 + 的取值范围是( m n A.(3.5,+∞) C.(4,+∞) [答案] B 1 1 [分析] 欲求 + 的取值范围, 很容易联想到基本不等式, 于是需探讨 m、 n 之间的关系, m n 观察 f(x)与 g(x)的表达式,根据函数零点的意义,可以把题目中两个函数的零点和转化为指数 函数 y=ax 和对数函数 y=logax 与直线 y=-x+4 的交点的横坐标,因为指数函数 y=ax 和对 数函数 y=logax 互为反函数,故其图象关于直线 y=x 对称,又因直线 y=-x+4 垂直于直线 y=x,指数函数 y=ax 和对数函数 y=logax 与直线 y=-x+4 的交点的横坐标之和是直线 y=x 与 y=-x+4 的交点的横坐标的 2 倍,这样即可建立起 m,n 的数量关系式,进而利用基本不 等式求解即可. [解析] 令 ax+x-4=0 得 ax=-x+4,令 logax+x-4=0 得 logax=-x+4, 在同一坐标系中画出函数 y=ax,y=logax,y=-x+4 的图象,结合图形可知,n+m 为
? ?y=x 直线 y=x 与 y=-x+4 的交点的横坐标的 2 倍,由? ,解得 x=2,所以 n+m=4, ?y=-x+4 ?

)

B.(1,+∞) D.(4.5,+∞)

1 1? m n 1 1 ?1 1 ? 因为(n+m)? ?n+m?=1+1+ n +m≥4,又 n≠m,故(n+m)?n+m?>4,则n+m>1. (理)函数 f(x)=x2-ax+2b 的零点有两个,一个在区间(0,1)上,另一个在区间(1,2)上,则

2a+3b 的取值范围是( A.(2,9) C.(4,9) [答案] A

) B.(2,4) D.(4,17)

[解析] f(x)=x2-ax+2b, b>0 f?0?>0 ? ? ? ? 由题意知,?f?1?<0 ,∴?a-2b-1>0 , ? ? ?f?2?>0 ?a-b-2<0 二元一次不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示(不包括边界),

?a-2b-1=0 ? 由? ,解得 A(3,1), ?a-b-2=0 ? ?a-2b-1=0 ? 由? ,解得 B(1,0). ? ?b=0

令 z=2a+3b,则当直线 2a+3b=z 经过可行域内点 A 时,zmax=2×3+3×1=9,经过可 行域内点 B(1,0)时, zmin=2×1-3×0=2,故 z∈(2,9),选 A. 10.如图所示,为了测量该工件上面凹槽的圆弧半径 R,由于没有直接的测量工具,工人 用三个半径均为 r(r 相对 R 较小)的圆柱棒 O1、O2、O3 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通 过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒 O2 顶侧面的垂直深度 h,若 r=10mm,h=4mm,则 R 的值为( )

A.25mm

B.5mm

C.50mm [答案] C

D.15mm

[解析] 如图所示,在△O1O2H 中,O1O2=20, O2H=(r+h)-r=4.

∵O1H2=O1O22-O2H2=OO12-OH2 ∴202-42=R2-(R-4)2,∴R=50(mm). [点评] 致力于数学应用是新课标的重要指导思想,近几年高考在命题形式上与生活联系 更加密切,贴近实际.像函数模型、正余弦定理、导数(理:定积分)都会成为高考的重要出题 点,要加强复习. 二、填空题 11.(文)(2010· 辽宁锦州)用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]上的近似解,取区间中 点 x0=2.5,那么下一个有解区间为________. [答案] [2,2.5] 45 [解析] 令 f(x)=x3-2x-5,∵f(2)=-1<0,f(2.5)= >0,∴f(x)在区间[2,2.5]内有零点. 8 (理)设函数 f(x)=|x|x+bx+c,给出下列 4 个命题: ①b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实数根; ②c=0 时,y=f(x)是奇函数; ③y=f(x)的图象关于点(0,c)对称; ④函数 f(x)至多有 2 个零点. 上述命题中的所有正确命题的序号是________. [答案] ①②③ [解析] 当 b=0 时,f(x)=x|x|+c=0,结合图形知 f(x)=0 只有一个实数根,故①正确; 当 c=0 时,f(x)=x|x|+bx,f(-x)=-f(x),故 y=f(x)是奇函数,故②正确;y=f(x)的图象可由 奇函数 f(x)=x|x|+bx 向上或向下平移|c|而得到,y=f(x)的图象与 y 轴交点为(0,c),故函数 y =f(x)的图象关于点(0,c)对称,故③正确;方程|x|x-5x+6=0 有三个解-6、2、3,即三个零 点,故④错误.

12.(文)2005 年底,某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查,抽取 1000 户,按本地区确定的标准,情况如表: 高收入 中等收入 低收入

125 户

400 户

475 户

本地区在“十一五”规划中明确提出要缩小贫富差距,到 2010 年要实现一个美好的愿景 由右边圆图显示,则中等收入家庭的数量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量 在原有的基础要降低的百分比分别为________. [答案] 62.5% 57.9% 650-400 [解析] 中等收入原有 400 户,2010 年要变为 650 户,提高 =0.625,低收入原 400 有 475 户,2010 年要变为 1000×20%=200 户,需降低 475-200 ≈0.579. 475

(理)(2010· 揭阳市模拟)某农场,可以全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物,且产品 全部供应距农场 d(km)(d<200km)的中心城市,其产销资料如表:当距离 d 达到 n(km)以上时, 四种农作物中以全部种植稻米的经济效益最高.(经济效益=市场销售价值-生产成本-运输 成本),则 n 的值为________. 作物 项目 市场价格(元/kg) 生产成本(元/kg) 运输成本(元/kg· km) 单位面积相对产量(kg) [答案] 50 [解析] 设单位面积全部种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗的经济效益分别为 y1、y2、y3、y4, 则 y1=50-0.6d,y2=15-0.3d,y3=40-0.4d,y4=18-0.3d, 水果 8 3 0.06 10 蔬菜 3 2 0.02 15 稻米 2 1 0.01 40 甘蔗 1 0.4 0.01 30

y ≥y ? ?y ≥y 由? y ≥y ? ?d<200
3 3 1 2 3 4

?50≤d<200,故 n=50.

13.(文)(2010· 上海市嘉定区模考)已知函数 y=f(x)的定义域和值域都是[-1,1](其图象如 下图所示),函数 g(x)=sinx,x∈[-π,π].定义:当 f(x1)=0(x1∈[-1,1])且 g(x2)=x1(x2∈[-π, π])时,称 x2 是方程 f(g(x))=0 的一个实数根.则方程 f(g(x))=0 的所有不同实数根的个数是 ________.

[答案] 8 1? ? 1 ? ? 1? [解析] 由图知 f(x)在[-1,1]上有 4 个零点,分别位于区间? ?-1,-2?,?-2,0?,?0,2? 1? 1 和 ,1 内,当 f(x1)=0,x1∈? ?-1,-2?时,存在两个值 x2∈[-π,π],使 g(x2)=sinx2=x1,同 2 理在其它区间上也都有两个这样的 x2,故在[-π,π]上共有 8 个 x2,使 f[g(x2)]=0 成立. x-1 (理)对于函数 f(x)= ,设 f1(x)=f(x),f2(x)=f[f1(x)],f3(x)=f[f2(x)],?,fn+1(x)=f[fn(x)](n x+1 ∈N*,且 n≥2),若 x∈C(C 为复数集),则方程 f2010(x)=x 的解集是________. [答案] {i,-i} 2 2 [解析] f1(x)=1- ,f (x)=1- =1- x+1 2 f1?x?+1 x-1 =f(x). x+1 故{fn(x)}是周期为 4 的函数列. 1 ∴f2010(x)=f2(x)=- , x 1 故方程 f2010(x)=x 化为- =x,∴x=± i. x 14.(2010· 浙江金华十校联考)有一批材料可以建成 200m 长的围墙,如果用此批材料在一 边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示),则围 成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计). 1+x 1 =- ,f3(x)= ,f (x)=x,f5(x) 2 x 1-x 4 2- x+1 2



[答案] 2500m2 200-x 200-x 1 [解析] 设所围场地的长为 x, 则宽为 , 其中 0<x<200, 场地的面积为 x× ≤ 4 4 4

?x+200-x?2=2500m2,等号当且仅当 x=100 时成立. 2 ? ?
三、解答题 15.(2010· 山东烟台)设某市现有从事第二产业人员 100 万人,平均每人每年创造产值 a 万元(a 为正常数),现在决定从中分流 x 万人去加强第三产业.分流后,继续从事第二产业的 人员平均每人每年创造产值可增加 2x%(0<x<100).而分流出的从事第三产业的人员,平均每 人每年可创造产值 1.2a 万元. (1)若要保证第二产业的产值不减少,求 x 的取值范围; (2)在(1)的条件下,问应分流出多少人,才能使该市第二、三产业的总产值增加最多? [解析] (1)由题意得,
?0<x<100 ? ? , ??100-x??1+2x%?a≥100a ? ?0<x<100 ? ∴? 2 ,∴0<x≤50. ?x -50x≤0 ?

(2)设该市第二、 三产业的总产值增加 f(x)(0<x≤50)万元, 则 f(x)=(100-x)(1+2x%)a-100a +1.2ax a a =- (x2-110x)=- [(x-55)2-3025] 50 50 ∵x∈(0,50]时,f(x)单调递增, ∴x=50 时,f(x)max=60a 即应分流出 50 万人才能使该市第二、三产业的总产值增加最多. 16.(2010· 济南一中)2009 年,浙江吉利与褔特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议, 吉利计划投资 20 亿美元来发展该品牌.据专家预测,从 2009 年起,沃尔沃汽车的销售量每 年比上一年增加 10000 辆 (2009 年销售量为 20000 辆 ) ,销售利润每辆每年比上一年减少 10%(2009 年销售利润为 2 万美元/辆). (1)第 n 年的销售利润为多少? (2)求到 2013 年年底,浙江吉利能否实现盈利(即销售利润超过总投资,0.95≈0.59). [解析] (1)∵沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加 10000 辆, ∴沃尔沃汽车的销售量构成了首项为 20000,公差为 10000 的等差数列{an}.

∴an=10000+10000n. ∵沃尔沃汽车的销售利润按照每辆每年比上一年减少 10%,因此每辆汽车的销售利润构 成了首项为 2,公比为 1-10%的等比数列{bn}. ∴bn=2×0.9n 1.


第 n 年的销售利润记为 cn,则 cn=an· bn=(10000+10000n)×2×0.9n 1.


(2)设到 2013 年年底,浙江吉利盈利为 S,则 S=20000×2+30000×2×0.9+40000×2×0.92+50000×2×0.93+60000×2×0.94① 0 . 9S = 20000×2×0.9 + 30000×2×0.92 + 40000×2×0.93 + 50000×2×0.94 + 60000×2×0.95② ①-②得,0.1S=20000×2+20000×(0.9+0.92+0.93+0.94)-60000×2×0.95, 解得 S=10×(220000-320000×0.95)≈31.2×104>(20+1.5)×104. 所以到 2013 年年底,浙江吉利能实现盈利. 17.(文)甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权 向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润 x(元) 与年产量 t(吨)满足函数关系:x=2000 t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格). (1)将乙方的年利润 w(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)在乙方年产量为 t 吨时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(元),在 乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙 方要求的赔付价格 s 是多少? [解析] (1)因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为: w=2000 t-st(t≥0) 1000 2 10002 因为 w=2000 t-st=-s( t- )+ , s s 1000?2 所以当 t=? ? s ? 时,w 取得最大值. 1000?2 所以乙方取得最大利润的年产量 t=? ? s ? 吨 (2)设甲方净收入为 v 元,则 v=st-0.002t2, 1000?2 将 t=? ? s ? 代入上式,得到甲方纯收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式: 10002 2×1000 v= - , s s4
3 2 3 10002 8×1000 1000 ?8000-s ? 又 v′=- 2 + = , 5 5 s s s 3

令 v′=0 得 s=20.

当 s<20 时,v′>0; 当 s>20 时,v′<0. 所以 s=20 时,v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 s=20(元/吨)时,获最大纯收入. (理)某乡镇为了盘活资本,优化组合,决定引进资本拯救出现严重亏损的企业.长年在外 经商的王先生为了回报家乡,决定投资线路板厂和机械加工厂.王先生经过预算,如果引进 新技术在优化管理的情况下,线路板厂和机械加工厂可能的最大盈利率分别为 95%和 80%, 可能的最大亏损率分别为 30%和 10%。由于金融危机的影响,王先生决定最多出资 100 万元 引进新技术,要求确保可能的资金亏损不超过 18 万元.问王先生对线路板厂和机械加工厂各 投资多少万元,才能使可能的盈利最大? [分析] 这是一个实际生活中的最优化问题,可根据条件列出线性约束条件和目标函数, 画出可行域求解. [解析] 设王先生分别用 x 万元、y 万元投资线路板厂和机械加工厂两个项目,盈利为 z 万元. x+y≤100 ? ?0.3x+0.1y≤18 由题意知? x≥0 ? ?y≥0 目标函数 z=0.95x+0.8y 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域.



作直线 l0:0.95x+0.8y=0,作平行于直线 l0 的一组直线 l:0.95x+0.8y=z,z∈R,当直 线 l 经过可行域上的 M 点时,z 取最大值,这里 M 点是直线 x+y=100 和 0.3x+0.1y=18 的交 点.
? ?x+y=100 解方程组? 得 x=40,y=60 ?0.3x+0.y=18 ?

此时 z=0.95×40+0.8×60=86(万元). 所以当 x=40,y=60 时 z 取得最大值. 答:王先生用 40 万元投资线路板厂、60 万元投资机械加工厂,才能在确保亏损不超过

18 万元的前提下,使可能的盈利最大为 86 万元.


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