椭圆同步同步练习


椭圆同步练习
一、选择题
1.直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 圆的离心率为 (A)

1 ,则该椭 4

1 2 3 1 (B) (C) (D) 3 2 3 4

2.椭圆

的右焦点为 F,直线 x=t 与椭圆相交于点 A,B,若△FAB 的周长等于 8 则 ) C. D.2

△FAB 的面积为( A.1 B.

3.椭圆 y + A.[

2

=1(0<m<1)上存在点 P 使得 PF1⊥PF2,则 m 的取值范围是( ,1) B.(0, ] C.[ ,1) D.(0, ]



4.已知点 F1、F2 分别是椭圆

的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直 )

线与椭圆交于 M、N 两点,若△M NF2 为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率 e 为( A. B. C. D.

5.已知 F1 , F2 分别是椭圆 C :

? 3? x2 y 2 A 1, ? ? 1 a ? b ? 0 的左 , 右焦点 , 点 ? ? ? ? 2 ? ? 在椭圆 a 2 b2 ? ?

C 上, AF1 ? AF2 ? 4 , 则椭圆 C 的离心率是
(A)

1 2

(B)

5 4

(C)

2 3

(D)

3 2

6.直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (0 ? b ? 5) 的一个顶点.则该椭圆的离心率为 5 b2
(C)

(A)

1 5

(B)

2 5

5 5

(D)

2 5 5

7.F1,F2 为椭圆 长为 16,椭圆的离心率 A. B.

的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB,若△AF1B 的周

,则椭圆的方程是( C.

) D.

1

8.设 F1,F2 分别是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F2 的直线交椭 ) D.

圆于 P,Q 两点,若∠F1PQ=60°,|PF1|=|PQ|,则椭圆的离心率为( A. B. C.

9.设圆锥曲线 r 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 r 上存在点 P 满足|PF1|:|F1F2|: |PF2|=4:3:2,则曲线 r 的离心率等于( A. B. 或2 C. ) 2 D.

10.设椭圆 C: 方程为( A. ) B.

的左焦点为(﹣2,0),离心率为 ,则 C 的标准

C.

D.

11、已知双曲线的顶点为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,双曲线的右焦点与椭圆短轴的两个 5 4


顶点构成正三角形,则双曲线的离心率为( A. 2 2 B. 2 3 C.

3 2

D.2

12.已知点 P 是椭圆 Г :

=1(a>b>0)上的一点,F1、F2 为椭圆的左、
2

右焦点,若∠F1PF2=60°,且△PF1F2 的面积为 13.已知 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) 为椭圆

a ,则椭圆的离心率是



x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点,点 P 在椭圆上,且 a 2 b2
.

?PF1 F2 的面积为

2 2 b ,则 cos ?F1PF2 ? 2

14.若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为 5 ,最大值为 15 ,则该椭圆的短轴长 为 .

15.如图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线交椭圆于 a 2 b2

3 P , Q 两点,且 PQ ? PF1 ,若 | PQ |? | PF1 | ,则椭圆的离心率 e ? 4

2

y P F1 O F2 Q x

16.椭圆 C: 则椭圆的短轴长为

+ .

=1(a>b>0)的右焦点为(2,0),且点(2,3)在椭圆上,

x2 y 2 ? ? 1 的左,右顶点分别为 A, A? ,线段 CD 是垂直于椭圆长轴的 17.如图所示,椭圆 9 4
弦,连接 AC , DA? 相交于点 P ,则点 P 的轨迹方程为____________.

18、已知椭圆 C:
椭圆 C 的方程; .

的右顶点 A(2,0),且过点



x2 y 2 18.)已知椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 4, a b
0 点 M 是椭圆 C 上一点,满足 ?F 1MF 2 ? 60 ,且 S ?F1MF ?

4 3 . 3

(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P(0, 2) 分别作直线 PA, PB 交椭圆 C 于 A, B 两点,设直线 PA, PB 的斜率分别 为 k1 , k2 ,且 k1 ? k2 ? 4 ,求证:直线 AB 过定点.

19.已知椭圆 半径的圆与直线 x﹣y+ 点.求椭圆 C 的方程;

的离心率为

,以原点为圆心,椭圆的短半轴为

=0 相切,过点 P(4,0)的直线 L 与椭圆 C 相交于 A、B 两

3

20.给定椭圆 C:

=1(a>b>0),称圆 x +y =a +b 为椭圆 C 的“伴随圆”,已知

2

2

2

2

椭圆 C 的短轴长为 2,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;



(Ⅱ)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,与其“伴随圆”交于 C,D 两点,当|CD|= 时,求△AOB 面积的最大值.

21.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:

+y =1 的右顶点是 A、上顶点是 B.

2

(1)求以 AB 为直径的圆 E 的标准方程; (2)过点 D(0,2)且斜率为 k(k>0)的直线 l 交曲线 C 于两点 M,N 且 O 为坐标原点,求直线 l 的方程. ? =0,其中

22.已知椭圆 C: A、B 两点,|AB|=2.

+

=1(a>b>0)的离心率为

,椭圆 C 与 y 轴交于

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 P 是椭圆 C 上的动点,且直线 PA,PB 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,是否 存在点 P,使得以 MN 为直径的圆经过点(2,0)?若存在,求出点 P 的横坐标;若不存 在,说明理由.

24.已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(- (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

,0),F2(

,0),且椭圆 C 过点 P(3,2).

(Ⅱ)与直线 OP 平行的直线交椭圆 C 于 A,B 两点,求△PAB 面积的最大值. 25. 已知动点 M 到定点 F1(﹣2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 (I)求动点 M 轨迹 C 的方程; (II)设 N(0,2),过点 P(﹣1,﹣2)作直线 l,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、NB 的斜率分别为 k1、k2,证明:kl+k2 为定值. .

4

试卷答案
1.B

试题分析:如图,在椭圆中, OF ? c, OB ? b, OD ?

1 1 ? 2b ? b 4 2 ,

在 Rt?OFB 中, | OF | ? | OB |?| BF | ? | OD | ,且 a 2 ? b2 ? c2 ,代入解得

a 2 ? 4c2 ,所以椭圆的离心率为: e ?
y

1 ,故选 B. 2

D F

B O x

2.C

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】F .设直线 x=t 与 x 轴相交于点 D(t,0),由于△FAB 的周 ,0).解

长等于 8,可得|AB|+|AF|+|BF|=8=4×a,因此直线 x=t 经过左焦点(﹣ 出即可得出. 【解答】解:F .

设直线 x=t 与 x 轴相交于点 D(t,0), ∵△FAB 的周长等于 8,∴|AB|+|AF|+|BF|=8=4×2, 因此直线 x=t 经过左焦点(﹣ 把 x=﹣ ∴|AB|=1. ∴△FAB 的面积= 故选:C. 3.B = , ,0). = ,解得 y= .

代入椭圆方程可得:y2=1﹣

【考点】椭圆的简单性质.

5

【分析】由已知得短轴顶点 B 与焦点 F1,F1 所成角∠F1BF2≥90°,从而 ≥m,由此能求出 m 的取值范围. 【解答】解:∵椭圆 y +
2

=1(0<m<1)上存在点 P 使得 PF1⊥PF2,

∴短轴顶点 B 与焦点 F1,F1 所成角∠F1BF2≥90°, ∴ ≥m, .

由 0<m<1,解得 0<m≤ 故选:B. 4.C

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】把 x=﹣c 代入椭圆 ,解得 y=± .由于△MNF2 为等腰

直角三角形,可得

=2c,由离心率公式化简整理即可得出.

【解答】解:把 x=﹣c 代入椭圆方程



解得 y=±



∵△MNF2 为等腰直角三角形, ∴ 由 e= =2c,即 a2﹣c2=2ac, ,化为 e2+2e﹣1=0,0<e<1. .

解得 e=﹣1+ 故选 C. 5.D

6.D 椭圆 x 2

5

?

y2 (0 ? b ? 5) 的一个焦点在 x 轴上, a ? 5 ? 1 b2

c a 2 ? b2 2 5 x ? 2 y ? 2 ? 0 中,令 x ? 0 得 y ? 1 ,∴ b ? 1 ,∴ e ? ? ? a a 5
7.D
6

【考点】椭圆的标准方程. 【专题】计算题. 【分析】由椭圆得定义,△AF1B 的周长=4a,求出 a,再求出 c,最后计算出 b.

【解答】解:由椭圆的定义,4a=16,a=4,又 e= =

,∴c=2

,∴b2=a2﹣c2=4,

则椭圆的方程是 故选 D 【点评】本题考查椭圆标准方程求解、简单几何性质.属于基础题. 8.D

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设|PF1|=t,则由∠F1PQ=60°,|PF1|=|PQ|,推出 PQ|=t,|F1Q|=t,且 F2 为 PQ 的 中点,根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a 用 t 表示,根据等边三角形的高,求出 2c 用 t 表 示,再由椭圆的离心率公式 e= 【解答】解:设|PF1|=t, ∵|PF1|=|PQ|,∠F1PQ=60°, ∴|PQ|=t,|F1Q|=t, 由△F1PQ 为等边三角形,得|F1P|=|F1Q|, 由对称性可知,PQ 垂直于 x 轴, F2 为 PQ 的中点,|PF2|= ∴|F1F2|= , ,即 2c= , = t, ,即可得到答案.

由椭圆定义:|PF1|+|PF2|=2a,即 2a=t

∴椭圆的离心率为:e=

=

=



故选 D.

7

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质,离心率的求法,考查了学生对椭圆定义的理解 和运用. 9.A

【考点】圆锥曲线的共同特征. 【专题】计算题;压轴题.

8

【分析】根据题意可设出|PF1|,|F1F2|和|PF2|,然后分曲线为椭圆和双曲线两种情况,分 别利用定义表示出 a 和 c,则离心率可得. 【解答】解:依题意设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t, 若曲线为椭圆则 2a=|PF1|+|PF2|=6t,c= 则 e= = , t t

若曲线为双曲线则,2a=4t﹣2t=2t,a=t,c= ∴e= 故选 A =

【点评】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.关键是利用圆锥曲线的定义来解决. 10.A

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由已知可得 c=2,且

,求出 a 后结合隐含条件求得 b,则椭圆方程可求.

【解答】解:由题意知,c=2,且 ∴a=4, 又 a2=b2+c2, ∴b2=a2﹣c2=16﹣4=12. ∴C 的标准方程为 故选:A. .



【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,是基础的计算题.

11. B

9

考点:双曲线和椭圆的几何性质 12.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由∠F1PF2=60°,△PF1F2 的面积为 a2,可得|PF1|?|PF2|.再根据椭圆的定

义可得|PF1|+|PF2|=2a,利用余弦定理得到 a,c 的关系,即可求出椭圆的离心率. 【解答】解:由∠F1PF2=60°,△PF1F2 的面积为 F1PF2= |PF1|?|PF2|= a,
2

a ,可得

2

|PF1|?|PF2|?sin∠

∴|PF1|?|PF2|=a2. 再根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a. 再利用余弦定理可得 4c2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|?cos60°=(|PF1|+|PF2|)2﹣ 3PF1?PF2=4a2﹣3a2, 求得 a=2c,∴e= 故答案为: 13. . = .

1 . 3

试题分析:设 PF 1 F2 中,由椭圆的定义可知, m ? n ? 2 a ,应 1 ? m, PF 2 ? n ,在 ?PF 用余弦定理可得, cos?F1 PF2 ?

m 2 ? n 2 ? 4c 2 2b 2 ,即 m n ? ,又因为 2m n 1 ? cos?F1 PF2

?PF1 F2 的面积为

2 2 b ,所以 2

1 1 2b 2 b2 S ? mnsin ?F1 PF2 ? ? sin ?F1 PF2 ? sin ?F1 PF2 ? 2 2 1 ? cos?F1 PF2 1 ? cos?F1 PF2
2 2 b ,所以可得 1 ? cos?F1 PF2 ? 2 sin ?F1 PF2 ,再由 2

cos2 ?F1 PF2 ? sin 2 ?F1 PF2 ? 1 可得 cos ?F1PF2 ?
考点:1、椭圆的定义;2、焦点三角形的面积问题.

1 1 ,故应填 . 3 3

【思路点睛】本题主要考查了椭圆的定义和焦点三角形的面积问题,涉及余弦定理和同角

10

三角函数的基本关系,渗透着转化的数学思想,属中档题.其解题的一般思路为:首先根据 已知条件并运用余弦定理即可得 m n ? 可得出所求的答案即可. 14.

2b 2 ,然后代入三角形的面积公式,即 1 ? cos?F1 PF2

10 3

【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. 【试题分析】椭圆上到焦点的距离最大和最小的点为椭圆长轴的两个端点,所以

a ? c ? 5, a ? c ? 15 ,所以 a ? 10, c ? 5, 2b ? 2 a 2 ? c 2 ? 10 3 ,故答案为 10 3 .
15.

5 3

5 3 ?3? 由 PQ ? PF1 , | PQ |? | PF1 | ,得: | QF1 |? | PF1 |2 ? | PQ |2 ? 1 ? ? ? | PF1 |? | PF1 | , 4 4 ?4?
由椭圆的定义 PF 1 ? QF2 ? 2a ,知 PF 1 ? PQ ? QF 1 ? 4a ,于是 1 ? PF2 ? 2a , QF
? 3 5? ?1 ? ? ? | PF1 |? 4a ,解得 | PF 1 |? 4 4? ?
2 2 2

2

4 4 2 a ,故 | PF2 |? 2a ? a ? a .由勾股定理得 3 3 3
2 2

5 c2 5 ? 4a ? ? 2a ? . | PF1 | ? | PF2 | ?| F1F2 | ,从而 ? ? ? ? ? ? 4c 2 ,化简得 2 ? ,故离心率 e ? 3 9 ? 3 ? ? 3 ? a
16.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用已知条件求出椭圆的方程,即可得到结果. 【解答】解:椭圆 C: 在椭圆上, 可得 c=2, 2a= =8,可得 a=4, b2=a2﹣c2=12,可得 b=2 椭圆的短轴长为:4 故答案为:4 .
11

+

=1(a>b>0)的右焦点为(2,0),且点(2,3)

, .

【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用,考查计算能力. 17.

x2 y 2 ? ?1 9 4

故填:

x2 y 2 ? ?1. 9 4

考点:1.轨迹方程;2.椭圆方程. 【方法点睛】本题考查了交轨法求轨迹方程,属于中档题型,首先根据 C 和 D 两点的坐 标,表示直线 AC 和 A?D ,然后两个方程消参后就是交点 P 的轨迹方程,消参多选择的方 法多采用代入消参,或四则消参,比如两个式子相加,相减,或相除,相乘,再根据点在 抛物线上,得到轨迹方程.

x2 y 2 ? ? 1 ;(2) (?1, ?2) 18.(1) 8 4
试题分析:(1)设|MF1|=m,|MF2|=n,利用余弦定理,结合三角形的面积公式,可求 a, 结合 c,可求 b,即可求椭圆 C 的方程;(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,代入椭圆方 程,利用韦达定理,结合 k1+k2=4,可得 m=k-2,即可证明直线 AB 过定点,利用△≥0,求 出直线 AB 的斜率 k 的取值范围. 试题解析:(1)在 ?F 1MF 2 中,设 F 1M ? y1 , F 2 M ? y2 ,由余弦定理得
2 4c2 ? y12 ? y2 ? 2 y1 y2 cos600 ,

即 4c2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? 2 y1 y2 cos600 ,即 4c2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 3 y1 y2 , 得 3 y1 y2 ? 4b2 又因为 S?F1MF2 ?

16 1 4 3 2 , y1 y2 ? ,b ? 4 , y1 y2 sin 600 ? 3 2 3

2 2 2 又 2c ? 4 ,所以 a ? b ? c ? 8 ,所以所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

12

(2)显然直线 AB 的斜率 k 存在,设直线方程为 y ? kx ? m , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由?

? y ? kx ? m ?x ? 2 y ? 8
2 2

得 x2 ? 2(kx ? m)2 ? 8 ,即 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 ,

? ? (4km)2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m2 ? 8) ? 0 ,
x1 ? x2 ? ?4km 2(m2 ? 4) , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

由 k1 ? k2 ? 4 得,

y1 ? 2 y2 ? 2 ? ? 4 ,又 y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , x1 x2



kx1 ? m ? 2 kx2 ? m ? 2 (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? ? 4 , 2k ? ? 4, x1 x2 x1 x2

? ?4km ? (m ? 2) ? ? 2 ? ? 2k ? 1 ? ? 4 ? m ? k ? 2 , 2k ? 2(m 2 ? 4) 2k 2 ? 1
那么 y ? kx ? m ? y ? kx ? k ? 2 ? y ? k ( x ? 1) ? 2 , 则直线 AB 过定点 (?1, ?2) 考点:椭圆的简单性质;余弦定理 19.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程. 【分析】(1)根据离心率为 ﹣y+ ,可得 a2= b2,根据椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x

=0 相切,可求 b 的值,从而可得椭圆的方程;

(2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 PB 的方程代入椭圆方程,利用韦达定理,及向 量的数量积公式,即可确定 【解答】解:(1)由题意知 e= a2= b2 =0 相切 = 的取值范围. ,∴e2= = = ,即

又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线 x﹣y+ ∴b= 故椭圆的方程为 = ,∴a2=4,b2=3,

(2)由题意知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x﹣4).
13

疳直线方程 y=k(x﹣4)代入椭圆方程可得:(3+4k )x ﹣32k x+64k ﹣12=0 由△>0 得:1024k ﹣4(3+4k )(64k ﹣12)>0,解得 k <
4 2 2 2

2

2

2

2

设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1+x2= ∴

,x1x2=

∵ ∴ ∴ 20.



的取值范围是

【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 【分析】(Ⅰ)由题意得,根据离心率公式以及 b=1,知 a2=3,由此能求出椭圆 C 的方 程. (Ⅱ)分类讨论,当 CD⊥x 轴时,当 CD 与 x 轴不垂直时,设直线 CD 的方程为 y=kx+m,则 韦达定理以及弦长公式和基本不等式求出弦长的最大值,由此能求出△AOB 的面积取最大 值. 【解答】解:(Ⅰ)由题意得,e2= 又∵b=1,∴a2=3, ∴椭圆 C 的方程为 +y2=1, =1﹣ = ,

(Ⅱ)“伴随圆”的方程为 x2+y2=4, ①当 CD⊥x 轴时,由|CD|= ,得|AB|= . .

②当 CD 与 x 轴不垂直时,由|CD|= 设直线 CD 的方程为 y=kx+m,则由

,得圆心 O 到 CD 的距离为 = ,得 m2= (k2+1),

14

设 A(x1,y1),B(x2,y2),由

,得(3k +1)x +6kmx+3m ﹣3=0.

2

2

2

∴x1+x2=

,x1x2=



当 k≠0 时,|AB|2=(1+k2)(x1﹣x2)2, =(1+k )[
2



],

=



=3+



=3+



≤3+

=4, ,即 k=± 时等号成立,此时|AB|=2.

当且仅当 9k2= 当 k=0 时,|AB|=

,综上所述:|AB|max=2, = .

此时△AOB 的面积取最大值 S=|AB|max× 21.

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】(1)求出圆心与半径,即可求以 AB 为直径的圆 E 的标准方程; (2)直线 l:y=kx+2 联立 C 整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,利用向量知识及韦达定理,求 出 k,即可求直线 l 的方程. 【解答】解:(1)依题意点 A(2,0)、B(0,1) 故线段 AB 的中点 E(1, ), 所求圆 E 的半径 r= ,

故圆 E 的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣ )2= (2)依题意,直线 l:y=kx+2 联立 C 整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
15

此时△=16(4k ﹣3)>0,又 k>0,故 k> 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2=﹣

2

. ,x1x2=

?

=x1x2+y1y2=2k(x1+x2)+(1+k2)x1x2+4=

=0,

由 k>0 得 k=2 故所求直线 l 的方程是 y=2x+2. 22.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式,以及 a,b,c 的关系,计算即可得到所求椭圆方 程; (Ⅱ)设 P(m,n),可得 +n =1,可得 A(0,1),B(0,﹣1),设 M(4,s),
2

N(4,t),运用三点共线的条件:斜率相等,求得 M,N 的坐标,再由直径所对的圆周角 为直角,运用垂直的条件:斜率之积为﹣1,计算即可求得 m,检验即可判断是否存在. 【解答】解:(Ⅰ)由题意可得 e= 又 a ﹣c =1,解得 a=2,c= 即有椭圆的方程为
2 2 2

=

,2b=2,即 b=1,



+y =1; +n2=1,

(Ⅱ)设 P(m,n),可得
2

即有 n =1﹣



由题意可得 A(0,1),B(0,﹣1),设 M(4,s),N(4,t), 由 P,A,M 共线可得,kPA=kMA,即为 可得 s=1+ , = , = ,

由 P,B,N 共线可得,kPB=kNB,即为 可得 s= ﹣1.

假设存在点 P,使得以 MN 为直径的圆经过点 Q(2,0).

16

可得 QM⊥QN,即有 即有[1+
2 2

?

=﹣1,即 st=﹣4. ][
2 2

﹣1]=﹣4,
2

化为﹣4m =16n ﹣(4﹣m) =16﹣4m ﹣(4﹣m) , 解得 m=0 或 8, 由 P,A,B 不重合,以及|m|<2,可得 P 不存在. 23.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】(Ⅰ)由题意可得 a=2,代入点 程; (Ⅱ)设过点 B(1,0)的直线 l 方程为:y=k(x﹣1),由 ,可得(4k1 +1)x ﹣8k1 x+4k1 ﹣4=0,由已知条件利用韦
2 2 2 2

,解方程可得椭圆方

达定理推导出直线 PB 的斜率 k2=﹣

,由此能证明 k?k′为定值﹣



【解答】解:(Ⅰ)由题意可得 a=2, a ﹣b =c , 解得 b=1, 即有椭圆方程为 +y =1;
2 2 2 2

+

=1,

(Ⅱ)证明:设过点 B(1,0)的直线 l 方程为:y=k1(x﹣1), 由 ,

可得:(4k12+1)x2﹣8k12x+4k12﹣4=0, 因为点 B(1,0)在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交, 即△>0 恒成立. 设点 E(x1,y1),F(x2,y2), 则 x1+x2= ,x1x2= .

因为直线 AE 的方程为:y=

(x﹣2),

17

直线 AF 的方程为:y=

(x﹣2),

令 x=3,得 M(3,

),N(3,

),

所以点 P 的坐标(3,



+

)).

直线 PB 的斜率为 k2=

=



+



=

?

=

?

=

?

=﹣

. 所以 k1?k2 为定值﹣ .

x2 y 2 ? ? 1 ;(Ⅱ)6. 24.(Ⅰ) 18 8
试题分析:(Ⅰ)由焦点坐标可知椭圆焦点在 x 轴,故可设出其方程.将点 P ? 3, 2 ? 代入椭
2 2 圆方程,同时 c ? 10 再结合 a ? b ? c ,解方程组可得 a , b 的值. (Ⅱ)由直线平行斜
2 2 2

率相等可设出直线 AB 的方程,代入椭圆方程消去 y 可得关于 x 的一元二次方程.根据题意 可知其判别式大于 0.同时由韦达定理可得两根之和,两根之积.由弦长公式可求得 AB ,因 为 AB ? OP ,所以点 O 到直线 AB 的距离和点 P 到直线 AB 的距离相等.由点到线的距离公 式可求得 O 到直线 AB 的距离,从而可表示出三角形面积,根据基本不等式可求得其最值.

18

试题解析:解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1, ? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

?a 2 ? b2 ? 10 2 ? ? a ? 18 ? 由题意可得 ? 9 解得 ? 2 , 4 ? ?b ? 8 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 18 8

?5 分

(Ⅱ)直线 OP 方程为 2 x ? 3 y ? 0 ,设直线 AB 方程为 2x ? 3 y ? t ? 0, ?t ? R, 且t ? 0? . 将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程并整理得 8 x ? 4tx ? t ? 72 ? 0 .
2 2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? .
2 2 2 当 ? ? 16t ? 32 t ? 72 ? 16 144 ? t ? 0 ,即 0 ? t ? 12 时,

?

?

?

?

t t 2 ? 72 有 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 2 8

所以 AB ?

t 13 144 ? t 2 , O 到直线 AB 的距离 d ? . ? 3 2 13

S?PAB

1 ? AB ? d ? 2

?144 ? t ? t
2

2

12

?144 ? t ? ? t ?
2

2

24

?6
?12 分

? ?PAB 面积的最大值为 6.
考点:1 椭圆的简单性质;2 直线与椭圆相交问题. 25. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)直接由椭圆的定义的动点 M 的轨迹方程;

(Ⅱ)分直线 l 的斜率存在和不存在两种情况讨论,斜率不存在时,直接求出 A,B 的坐 标,则 k1、k2 可求,求出 kl+k2=4,当斜率存在时,设出直线 l 的方程,和椭圆方程联立后 化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数关系得到 A,B 两点横坐标的和与积,写出斜率 的和后代入 A,B 两点的横坐标的和与积,整理后得到 kl+k2=4.从而证得答案.

【解答】(Ⅰ)解:由椭圆定义,可知点 M 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,以 椭圆. 由 c=2, ,得 b =a ﹣c =8﹣4=4.
2 2 2

为长轴长的

19

故曲线 C 的方程为 (Ⅱ)证明:如图,



当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y+2=k(x+1),



,得(1+2k )x +4k(k﹣2)x+2k ﹣8k=0.

2

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 从而 = = .



当直线 l 的斜率不存在时,得



得 kl+k2= 综上,恒有 kl+k2=4,为定值.

=4.

【点评】本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线和圆锥曲线的关系,考查了分类讨论的 数学思想方法,此类问题常用直线方程和圆锥曲线方程联立,利用一元二次方程的根与系 数关系求解,考查了学生的计算能力,属难题.

20


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