定积分的简单应用


天天回眸
? 2 1? 1.已知函数f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? 1, a ? R在区间? ? , ? ?内是减函数, ? 3 3? 则a的取值范围是 a ? 2 .

2.? ( 2 x ? 3 ? 3 ? 2 x )dx ?
?3

3

45

.

3.? (x ? a)(b ? x)dx(b ? a) ?
a

b

? a ? b?
8

2

?

.

4.已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对 任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有
2 ln g (t ) 1 ? ? 5 ln t 2

4.已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对 任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有
4.解: (Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 ? 0, ??? .
1 1 f ?( x) ? 2 x ln x ? x ? 2 x(ln x ? ) ,令 f ?( x) ? 0 ? x ? . 2 e

2 ln g (t ) 1 ? ? 5 ln t 2

当 x变化时,f ?( x), f ( x)的变化情况如下表:
x
f ?( x ) f ( x) ?

? 1 ? ? 0, ? e? ?

1 e

? 1 ? , ?? ? ? ? e ?

?

0 极小值
? 1 ? ? 1

?
?

所以函数 f ( x)的单调递减区间是 ? 0, ? , 单调递增区间是 ? , ?? ? e? ? ? e ?

?

4.已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对 任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有
2 ln g (t ) 1 ? ? 5 ln t 2

(Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 1时,f ( x) ? 0. 设 t ? 0, 令h( x) ? f ( x) ? t, x ??1, ???. 由(Ⅰ)知, h( x)在区间?1,+??内单调递增. 而且 h(1) ? ?t ? 0, h(et ) ? t (e2t ?1) ? 0. 故存在唯一的 x ??1, ??? , 使得t ? f (s)成立.

4.已知函数 f ( x) ? x2 ln x . (Ⅱ) 证明: 对 任意的 t>0, 存在唯一的 s, 使 t ? f ( s ) . (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有
2 ln g (t ) 1 ? ? 5 ln t 2

(Ⅲ)证明:因为 s ? g (t ),由 (Ⅱ)知, t ? f (s), 且s ? 1,从而
ln g (t ) ln s ln s ln s u ? ? ? ? , ln t ln f (s) ln ? s 2 ln s ? 2ln s ? ln ln s 2u ? ln u

其中 u ? ln s ? 0 ,要使 ?

2 5

ln g (t ) 1 u ? 成立,只需0 ? ln u ? . ln t 2 2

当 t ? e2时,若s ? g (t ) ? e,则由f (s)的单调性,有t ? f (s) ? f (e) ? e2 , 矛盾,所以
s ? e,即u ? 1, 从而 ln u ? 0成立.
? u) ? u)=0,得u ? 2. (u) ? ln u ? (u ? 1).F ( ? ? ,由F ( 另一方面,令 F u 2 1 u 1 2

当 1 ? u ? 2时,F ?(u) ? 0;当u ? 2时,F ?(u) ? 0. 故对 u ? 1, F (u) ? F (2) ? 0. 因此 ln u ? 成立. 综上,当 t ? e2时,有 ?
u 2 2 5 ln g (t ) 1 ? . ln t 2

1.7 定积分的简单应用
我们已经看到, 定积分可以用来计算曲边 梯形的面积, 求变速运动物体的位移事实上 . , 定积分有着广泛的应用下面我们介绍定积分 . 的一些简单应用.

新知初探
1.定积分在几何中的应用

连续 且 从几何上看,如果在区间[a, b]上函数 f(x)________
b 恒有 f ( x ) ≥ 0 ______________,那么定积分? f(x)dx 表示直线 x= a, x ? a

y=f(x) 所围成的 ___________ 曲边梯形 = b(a≠ b),y= 0 和曲线 __________
的面积.

做一做 1. (2012· 高考湖北卷)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则 它与 x 轴所围图形的面积为( )

2π 4 A. B. 5 3 3 π C. D. 2 2 解析:选 B.由图象可知二次函数的表达式为 f(x)= 1- x2,∴ S= 1 3 1 1 4 1 2 = (1- )-(- 1+ )= . ? ?-1 (1- x )dx= (x-3x ) 3 3 3

2.定积分在物理中的应用 (1)做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函 数 v= v(t)(v(t)≥ 0)在时间区间 [a, b]上的定积分,即
v(t)dt ? ? s= ____________. a
b

(2)一物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物 体沿着与 F 相同的方向移动了 s(单位:m),则力 F 所做的 W=Fs ;而若是变力所做的功, W 等于其力函数 功为 _________
W= ? ?a F(x)dx F(x)在位移区间 [a, b]上的定积分,即 ______________.
b

做一做 2.(1)一物体的下落速度为 v(t)= 9.8t+ 6.5(单位: m/s), 则下 落后第二个 4 秒内经过的路程是 ________. (2)如果 1 N 能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,所 耗费的功为 ________.
解析: (1)s=? ? (9.8t+ 6.5)dt
4 8

9.8 2 ? =? t + 6.5t? ? 2 = (4.9× 82+ 6.5× 8)- (4.9× 42+ 6.5× 4) = 261.2(m).

(2)设 F(x)= kx,当 F=1 时, x= 0.01 m, F? x? 则 k= = 100, x
0.06 2 W= ? 100 x d x = 50 x ? 0

= 0.18(J).

答案:(1)261.2 m

(2)0.18 J

数学经典
经典一 例1 不分割型图形的面积计算

求两抛物线y=8-x2,y=x2所围成的图形的面积.
2 2

【解】 作出曲线 y= 8- x , y= x 的草图,所求面积为图 中阴影部分的面积.
2 ? y = 8 - x ? 解方程组? , 2 ?y= x ?

得交点的横坐标为 x1=-2 及 x2= 2. 因此, 所求图形的面积为 S=? x)
3

?-2

2

1 (8- x )dx-? x dx= (8x- ?-2 3
2 2 2

1 3 - x 3

64 = . 3

【名师点评】

(1)求不分割图形面积的步骤为:画图形;

求交点(以确定积分上下限);用定积分表示再计算.
(2)一般原则上函数-下函数作被积函数.

跟踪训练 1.求下列图形的面积. (1)由y=-x2与y=x-2围成图形的面积是________. (2)由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形面积为________.
? ?y= x- 2, 解析: (1)如图,由? 得交点 A(- 2,- 4), 2 ? y=- x , ?

B(1,- 1). ∴围成图形 (阴影部分 )面积为

S=? ?

1 -2

(- x - x+ 2)dx

2

1 3 1 2 9 = (- x - x + 2x) = . 3 2 2 2 ? y = x ? 2 (2)由? 得交点 O (0,0) , A (1,1) ,∴由曲线 y = x , y= 3 ?y= x ? x3 围成的封闭图形的面积为 1 3 1 4? 1 ? ? ?0 (x - x )dx=?3x -4x ? =12.
1 2 3

9 1 答案: (1) (2) 2 12

经典二 分割型图型面积的计算

例2
面积.
【解】

求抛物线 y2=2x 和直线 y=-x+4 所围成的图形的
2 ? ?y = 2x, 解方程组? ? ?y=- x+ 4,

得交点坐标为 A(2,2)和

B(8,- 4). 法一:选 x 为积分变量,变化区间为 [0,8],将图形分割成 两部分 (如图 ),则面积为 S= S1+ S2= 2?2 2xdx+ ?8 ( 2x- x+ 4)dx

?0

?2

= 18.

法二:选 y 作积分变量,则 y 的变化区间为[-4,2],如图 得所求的面积为 2 y 1 2 1 3? ? 2 ?4-y- ? S=? ? dy=?4y-2y -6y ? =18. 2 ? ?
-4

【名师点评】

(1)若图形的边界由关于x的多个函数构成,可

用分割法求面积. (2)若图形的边界可看作关于y的两个函数组成时,可选y为积

分变量,同时更改积分上、下限.

跟踪训练 2.计算由直线 y= 6- x, 曲线 y= 8x以及 x 轴所围图形 的面积.
解:作出直线 y= 6- x,曲线 y= 8x的草图,所求面积 为图中阴影部分的面积.

?y= 6- x, 解方程组? 得直线 y= 6- x ?y= 8x,
与曲线 y= 8x交点的坐标为 (2,4), 直线 y= 6- x 与 x 轴的交点坐标为 (6,0).

法一:若选 x 为积分变量,所求图形的面积 S= S1+ S2=? ?
2 0

8xdx+ ? ? (6- x)dx
2

6

2 1 2? ? = 8× +?6x- x ? 3 2 16 ?? 1 1 16 40 2? 2 ?? ? = +??6× 6- × 6 ?-?6× 2- × 2 ?? = + 8= . 3 2 2 3 3 法二:若选 y 为积分变量,所求图形的面积为 1 2 4 S=? ?0 (6- y-8y )dy 1 2 1 3 = (6y- y - y ) 2 24 40 = . 3

经典三 变速直线运动的路程及位移的计算 例3 有一动点 P 沿 x 轴运动,在时间 t 的速度为 v(t)= 8t-2t2(速度的正方向与 x 轴正方向一致).求 (1)P 从原点出发,当 t=3 时,离开原点的路程; (2)当 t=5 时,P 点的位置; (3)从 t=0 到 t=5 时,点 P 经过的路程; (4)P 从原点出发,经过时间 t 后又返回原点时的 t 值. 【解】 (1)由 v(t)= 8t- 2t2≥ 0,得 0≤t≤ 4, 即当 0≤ t≤4 时,P 点向 x 轴正方向运动,t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动. 3 2 2 2 ? 故 t=3 时,点 P 离开原点的路程 s1=?0 (8t- 2t )dt= (4t - 3
t3 )|3 0 = 18.

(2)当 t= 5 时,点 P 离开原点的位移 s2=? ?0 (8t- 2t )dt= (4t
2

5

2

2 3 5 50 - t )|0 = . 3 3 50 ∴点 P 在 x 轴正方向上距离原点 处. 3 (3)从 t=0 到 t=5 时,点 P 经过的路程 s3 =? ?0 (8t- 2t )dt-? ?4 (8t- 2t )dt
2 2 4 5

23 4 23 5 2 = (4t - t )| 0-(4t - t )|4 = 26. 3 3
2

(4)依题意? ?0 (8t- 2t )dt= 0, 2 2 3 即 4t - t = 0, 3 解得 t=0 或 t= 6, t=0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况, t=6 是所求的值.
2

t

【名师点评】 对于变速直线运动有 (1)路程 s=? ?a |v(t)|dt, t∈ [a, b];(2)位移 s′=? ? v(t)dt, t∈ [a, b].
a b

b

跟踪训练 3.物体 A 以速度 v= 2t+ 1 在一直线上运动,在此直线上 与物体 A 出发的同时,物体 B 在物体 A 的正前方 6 m 处 以 v= 6 m/s 的均匀速度与 A 同向运动,问两物体何时相 遇?相遇时物体 A 走过的路程是多少? (时间单位为 s , 速 度单位为 m/s)

解:设 A 追上 B 时,所用的时间为 t0,依题意有 sA= sB + 6,即 (2t+ 1)dx= 6dx+ 6. 2 整理得 t2 + t = 6 t + 6 ,即 t 0 0 0 0 - 5t0- 6= 0. 解得 t0= 6(s),所以 sA= t2 0 + t0= 42(m).

经典四 例4

变力做功的计算 如图所示,一物体沿斜面在拉力 F 的作用下由 A 经 B、C 运动到 D,其中 AB=50 m,BC=40 m,CD=30 m, 1 ? ?4x+5 ?0≤x≤90? 变力 F=? (单位: N), 在 AB 段运动时 F ? ?20 ?90<x≤120? 与运动方向成 30° 角,在 BC 段运动时 F 与 运动方向成 45° ,在 CD 段 F 与运动方向相 同, 求物体由 A 运动到 D 所做的功. ( 3≈1.732, 2≈1.414, 精确到 1 J)

【解】 在 AB 段运动时 F 在运动方向上的分力 F1= Fcos 30° , 在 BC 段运动时 F 在运动方向上的分力 F2= Fcos 45° . 由变力做功公式得: 50?1 90?1 ? ? cos 45° W =∫0 ? x+ 5? cos 30° dx+ ? x + 5 dx+ 600= ? ? ? 4 50 4 3 ?1 2 2 ?1 2 1 125 ? ? x + 20x? + x + 20x? + 600 = 3+ ? ? 8 2 8 2 4 450 2+ 600≈ 1 723(J). 所以物体由 A 运动到 D 变力 F 所做的功为 1 723 J.

【名师点评】

解决变力做功注意以下两个方面:

(1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来,这是关键的 一步. (2)根据变力做功的公式将其转化为求定积分的问题.

跟踪训练 4.设有一根长 25 cm 的弹簧,若加以 100 N 的力,则弹簧伸 长到 30 cm,又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量 成正比,求使弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 所做的功.

解:设 x 表示弹簧伸长的量(单位:m), F(x)表示加在弹簧上的力 (单位: N). 由题意 F(x)= kx, 且当 x= 0.05 m 时, F(0.05)= 100 N,即 0.05k= 100, ∴ k= 2 000, ∴ F(x)= 2 000x. ∴将弹簧由 25 cm 伸长到 40 cm 时所做的功为 0.15 2 0.15 W= ∫0 2 000xdx= 1 000x |0 = 22.5(J).

方法感悟
1.定积分可以用来计算曲边梯形的面积,某些曲边梯形的面 积可以表示成几个曲边梯形面积的和或差的形式,因此也可 以用定积分来计算. 2.求变速直线运动的路程, 要先求得速度的正负区间, 路程是 位移的绝对值之和 .若在区间 [a, c]上 v(t)≥ 0,在区间[c, b] 上 v(t)< 0, 则路程 s=? v(t)dt-? v(t)dt, 位移 s′=? ?a v? t? dt.

?a

c

?c

b

b

3.由变力做功问题,先求出变力 F(x)的表达式,还要明确位 移起始位置和终止位置,然后利用公式 W=? ? F(x)dx 求出变
a b

力 F(x)所做的功.

精彩推荐典例展示
规范解答 例4 与曲线的切线有关的面积问题
(本题满分 12 分)在曲线 y= x (x≥ 0)上某一点 A 处
2

1 作一切线使之与曲线以及 x 轴所围成的面积为 ,试求:切 12 点 A 的坐标以及在切点 A 的切线方程.
【解】 如图,设切点 A(x0,y0 ),由 y′= 2x,过点 A 的切 线方程为 y- y0= 2x0(x- x0 ),即 y= 2x0 x- x2 0, x0 x0 令 y= 0,得 x= ,即 C( , 0), 2 2 2分

设由曲线和过点 A 的切线与 x 轴围成图形的面积为 S, 则 S= S 曲边 △ AOB- S△ ABC, 5 分 1 3 1 3 ∵S 曲边△ AOB= x dx= x = x 0, 3 3 x0 2 1 3 1 1 S△ ABC= |BC|· | AB|= (x0 - )· x0 = x0 . 2 2 2 4 1 3 1 3 1 3 ∴ S= x0 - x 0= x0 . 9分 3 4 12 1 1 3 1 由 S= 得 x0 = .所以 x0= 1, 12 12 12
2

从而切点为 A(1,1),切线方程为 2x- y- 1= 0.

12 分

抓关键
1

促规范

设切点,写出切线方程,是为表示面积创造条件.

2 借助定积分表示曲边梯形的面积是解答本题的关键. ? 3 写出切点的坐标和切线的方程,步骤方完整. ?

跟踪训练 1 ? 5.曲线 C: y= 2x - 3x - 2x+ 1,点 P? , 0? ?,求过 P 的 2
3 2

切线 l 与 C 围成的图形的面积.
解:设切点 A(x0, y0 ),则 y′= 6x2 0 - 6x0- 2, 2 2 切线 l: y- [2x3 0 - 3x0 - 2x0+ 1]=(6x0 - 6x0- 2)( x- x0 )过点 1 ? P ? , 0? . ? 2 1 3 2 2 ? ? ∴- [2x0- 3x0 - 2x0+ 1]= (6x0 - 6x0- 2)· - x ?2 0 ?,

化简得 x0 (4x2 0 - 6x0+ 3)= 0, ∴ x0= 0, y0= 1, A(0,1). ∴切线 l 的方程为 y- 1=- 2(x- 0), ∴ 2x+ y- 1= 0, 3 3 2 ? ? ? x= , ?y= 2x - 3x - 2x+ 1, 2 ∴? ?? ?y= 1- 2x, ? ? ?y=- 2, 作出图形如下,∴ S=
2 3

3 ? 即 B? ,- 2? . ? 2

27 (3x - 2x )dx= . 32


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