湖北省宜昌市第一中学2015届高三5月第三次模拟考试文科数学试题


绝密★启用前

湖北省宜昌市第一中学 2015 届高三 5 月第三次模拟考试

数学(文史类)
本试卷共 4 页,共 22 题。满分 150 分,考试用时 120 分钟。

★祝考试顺利★
注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置,用统一提供的 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂 黑。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.在复平面内,复数 (A) (?1,1)

2i 对应的点的坐标是( ) 1? i (B) (?1, ?1) (C) (1, ?1)

(D)

(1,1)

2.设 A, B 为两个不相等的集合,条件 p : x ? ( A ? B) , 条件 q : x ? ( A ? B) ,则 p 是 q 的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)充要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 开始 3.已知 a ? 2log3 2 , b ? log 1 2 , c ? 2
4
? 1 3

,则 a , b, c

S ?0

的大小关系是( (A) a ? b ? c (C) c ? a ? b

) (B) c ? b ? a (D) a ? c ? b

K ?1



K ? 10?
4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序, 则输出的 K 和 S 值分别为( ) (A) 9 ,
否 输出

4 9

6 (C) 13 , 13

5 11 7 (D) 15 , 15
(B) 11 ,

S?S?

1 K ( K ? 2)

K,S
结束

K ? K ?2

5.甲、乙两名同学在 5 次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示,设 x1 , x 2 分别表示甲、乙 两名同学测试成绩的平均数,s1 ,s 2 分别表示甲、 乙两名同学测试成绩的标准差, 则有 ( (A) x1 ? x2 , s1 ? s2 (C) x1 ? x2 , s1 ? s2 (B) x1 ? x2 , s1 ? s2 (D) x1 ? x2 , s1 ? s2 6 8 8 甲 6 2 7 8 乙 6 3 8 6 7 )

6.已知函数 y ? a ? sin bx ( b ? 0 且 b ? 1 )的图象如图所示,那么函数 y ? logb ( x ? a) 的图 象可能是( )
y 2 1 π 2π

O

x

y
1

y
1

y
1
1 2

y
1

O
-1

1

2

3

4

x

-2

-1

O
-1

x

-2

-1 -1

O 1

2

x

O
-1

1 2

3

4

x

(A)

(B)

(C)

(D)

7.已知双曲线 ax ? by ? 1( a ? 0, b ? 0 )的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 ,它的一个焦点
2 2

在抛物线 y ? ?4 x 的准线上,则双曲线的方程为(
2



2 2 (A) 4 x ? 12 y ? 1 (B) 4 x ?
2

4 2 4 y ? 1 (C) 12 x2 ? 4 y 2 ? 1 (D) x 2 ? 4 y 2 ? 1 3 3

8.已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 cos?x (? ? 0 ) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 数的区间为( (A) ( ? ) (B) ( ?

?
2



?
6

个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 y ? g ( x) 是减函

, ) (C) (0, ) (D) ( , ) 3 3 4 3 4 4 9.在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心 C 在 l
上.若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为( (A) [0, )

?

, 0)

? ?

?

? ?

12 ) (C) (1,3) (D) [1,3] 5 10.已知函数 f ( x) ? mx ? x ?1 (m ? 0) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 的解集中的整数恰有 3 个,则实数 m 的取值范围为( ) 4 3 3 3 (A) 0 ? m ? 1 (B) ? m ? (C) 1 ? m ? (D) ? m ? 2 3 2 2 2
(B) (0,

12 ] 5

第Ⅱ卷

(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,请将答案填在答题卡对应题号的位置 上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。

, 11.已知集合 M ? ??11 ? , N ? ?x

? 1 ? ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? ,则 M ? N ? ____________. ? 2 ?

12.某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体 800 名学生中抽取 50 名学生进行体能测 试.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号,若从 1~16 中随机抽取 1 个数的结果是抽到了 7, 则在编号为 33~48 的这 16 个学生中抽取的一名学生其编号应该是 . 13.若向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ? 1 , 则 a ? b 的值为______.

r r

?

?

? ?

r r

14.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为________.

15.在平面区域 ?

?0 ? x ? 2 内任取一点 P ( x, y ) ,若 ( x, y ) 满足 ?0 ? y ? 2

1 x ? y ? b 的概率大于 ,则 b 的取值范围是___________. 8
16.如图,我们知道,圆环也可看作线段 AB 绕圆心 O 旋转一周所形成的平面图形,又圆环的 R?r 面积 S ? ? ( R 2 ? r 2 ) ? ( R ? r ) ? 2? ? .所以,圆环的面积等于是以线段 AB ? R ? r 为宽, 2

R ? r 为长 2 的矩形面积.请将上述想法拓展到空间,并解决下列问题:若将
以 AB 中点绕圆心 O 旋转一周所形成的圆的周长 2? ? 平 面 区 域 M ? {( x, y) | ( x ? d )2 ? y 2 ? r 2}(其中0 ? r ? d) 绕 y 轴 旋转一周,则所形成的旋转体的体积是 (结果用 d , r 表示) .

17 . 若 函 数 y ? f ( x) 在 定 义 域 内 给 定 区 间 ? a, b? 上 存 在 x0 ( a ? x0 ? b ) ,满足

f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 ? a, b? 上的“平均值函数” , x0 是它的一个均值 b?a 点.例如 y ? x 是 ? ?2, 2? 上的“平均值函数” , 0 就是它的均值点. f ( x0 ) ?
(1)若函数 f ( x) ? x ? mx ? 1是 ??1,1? 上的“平均值函数” ,则实数 m 的取值范围是
2



(2)若 f ( x) ? ln x 是区间 ? a, b? ( b ? a ? 1 )上的“平均值函数” , x0 是它的一个均值点, 则 ln x0 与

1 的大小关系是 ab



三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本小题满分 12 分) 已知点 A ? 3, 4 ? ,C ? 2,0 ? ,点 O 为坐标原点,点 B 在第二象 限,且 OB ? 3 ,记 ?AOC ? ? . (1)求 sin 2? 的值; (2)若 AB ? 7 ,求 ?BOC 的面积. 19.(本小题满分 12 分) 在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a7 ? ?23, a3 ? a8 ? ?29 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?an ? bn ? 是首项为 1,公比为 c 的等比数列,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 20.(本小题满分 13 分) 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是直角梯
P

1 AD ,PA ? 2 底面 ABCD ,过 BC 的平面交 PD 于 M ,交 PA 于 N ( M 与 D 不重合) . (1)求证: MN // BC ; PM (2)如果 BM ? AC ,求此时 的值. PD
形,BC // AD , AB ? AD , AB ? BC ?
B

N

M

A C

D

21.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 2 2 已知离心率为 的椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 是圆 ( x ?1) ? y ? 1 的圆心,过 a b 2
椭圆上的动点 P 作圆的两条切线分别交 y 轴于 M , N 两点. (1)求椭圆的方程; (2)求线段 MN 长的最大值,并求此时点 P 的坐标. 22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? e (ln x ? a) , e 是自然对数的底数, e ? 2.718 ? ? ? , a ? R 且为常数.
x

(1)若 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的斜率为 2e ,求 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在区间 [ln 2 , ln 3] 上为单调函数,求 a 的取值范围.

宜昌一中 2015 年高考全真模拟
数学(文史类)(参考答案)
A 卷:
题号 答案 B 卷: 题号 答案 11. {?1} 15.(1,+∞) 1 A 1 C 2 C 2 B 12.39 3 D 3 D 13. ?
2 2

4 B 4 A

5 B 5 B 14.

6 D 6 D

7 D 7 D

8 D 8 D

9 A 9 A

10 B 10 B

1 2

1 3
(2) ln x0 ?

.16. 2? r d

17.(1) (0,2)

1 ab

18

?2a1+7d=-23, ?a1=-1, ? ? 19.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则由题意可得? 解得? ? ? ?2a1+9d=-29, ?d=-3.

所以数列{an}的通项公式为 an=-3n+2. (2)∵数列{an+bn}是首项为 1,公比为 c 的等比数列, n-1 n-1 ∴an+bn=c ,即-3n+2+bn=c , n-1 ∴bn=3n-2+c . ∴Sn=[1+4+7+?+(3n-2)]+(1+c+c +?+c
2

n-1

)=

n(3n-1)
2

+(1+c+c +?+

2

cn-1).
当 c=1 时,Sn= 当 c≠1 时,Sn=

n(3n-1)
2

3n +n +n= ; 2

2

n(3n-1) 1-cn + . 2 1-c

20.证明: (1)因为梯形 ABCD ,且 BC // AD , 又因为 BC ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD , 所以 BC // 平面 PAD . 因为平面 BCNM ? 平面 PAD = MN , 所以 MN // BC . (2)过 M 作 MK / / PA 交 AD 于 K ,连结 BK . 因为 PA ? 底面 ABCD , 所以 MK ? 底面 ABCD . 所以 MK ? AC . 又因为 BM ? AC , BM ? MK ? M , 所以 AC ? 平面 BMK , 所以 AC ? BK . 由(Ⅱ)知 AC ? CD , 所以在平面 ABCD 中可得 BCDK 是平行四边形. 所以 BC ? DK ? AK , 因为 K 是 AD 中点, 所以 M 为 PD 中点.
A B C K D M P

????4 分

PM 1 ? 2. 所以 PD
21.解: (1)∵圆(x﹣1) +y =1 的圆心是(1,0) , ∴椭圆 的右焦点 F(1,0) ,
2 2

?????13 分

∵椭圆的离心率是
2 2

,∴ . ...4 分

∴a =2,b =1,∴椭圆的方程是

(2)设 P(x0,y0) ,M(0,m) ,N(0,n) ,





,∴



直线 PM 的方程:



化简得(y0﹣m)x﹣x0y+x0m=0. 又圆心(1,0)到直线 PM 的距离为 1, ∴ ,

∴(y0﹣m) +x0 =(y0﹣m) +2x0m(y0﹣m)+x0 m , 2 化简得(x0﹣2)m +2y0m﹣x0=0, 2 同理有(x0﹣2)n +2y0n﹣x0=0. ∴ , ,

2

2

2

2 2



=



∵P(x0,y0)是椭圆上的点,∴







记 f'(x)<0; ∴f(x)在 ∴ 当

,则 时,f'(x)<0, 上单调递减,在 , 时,|MN|取得最大值 ,



时,

内也是单调递减,

此时点 P 位置是椭圆的左顶点 22.解析:⑴ f ( x) ? e (ln x ? a ?
/ x

...14 分

1 ) ??1 分 x 1 / 1 依题意, k ? f (1) ? e (ln 1 ? a ? ) ? 2e ,解得 a ? ?1 ??2 分 1 1 / x (2). f ( x) ? e (ln x ? a ? ) ,[ln 2 , ln 3] 是 y ? f ( x) 的一个单调区间当且仅当 f / ( x) x 1 在 [ln 2 , ln 3] 上恒大于等于零,或恒小于等于零,由 e x ? 0 ,作 h ( x ) ? ln x ? x
h / ( x) ? 1 1 1 1 ? 2 ,由 h / ( x) ? ? 2 ? 0 得 x ? 1 ??7 分 x x x x [ln 2 , 1) x 1
- ↘ 0 最小值

(1 , ln 3]
+ ↗

h / ( x)
h( x )
??9 分

h( x) 在 [ln 2 , ln 3] 上 的最 小值为 m ? 1 , 所以, 当且仅 当 a ? 1 时, y ? f ( x) 在

[ln 2 , ln 3] 上单调递增??11 分

下面比较 h(ln 2) 与 h(ln 3) 的大小 由 2 ? 3 ? e , 2 ? 3 ? e , ln 2 ?
3 2 3

2 3

2 ln 3 ? 1 以 及 h( x) 在 [ln 2 , 1) 上 单 调 递 减 得 3

2 h(ln 2) ? h( ln 3) ??12 分 3

2 2 1 h(ln 2) ? h(ln 3) ? h( ln 3) ? h(ln 3) ? ln ? ? 3 3 2 ln 3 2 ln 3 9 1 9 1 27 1 1 ln 3 ln ? (ln 3 ? ln ) 2 ? (ln ) 2 ? (ln 7) 2 ? (ln e 2 ) 2 ? 1 , 4 4 4 4 4 4 4 1 ∴ h(ln 2) ? h(ln 3) ,当且仅当 a ? ln ln 2 ? 时, y ? f ( x) 在 [ln 2 , ln 3] 上单调递 ln 2 1 , ? ?) ??14 分 减,综上所述, a 的取值范围为 (?? , 1] ? [ln ln 2 ? ln 2 ln 2 ? ln 3 2 ln 6 2 1 ) ?( ) ? 1 , 0 ? ln 2 ? ?1 , 以 及 ( 方 法 二 ) 由 ln 2 ln 3 ? ( 2 2 ln 3 1 1 h( x ) ? ln x ? 的单调性知, ln ln 2 ? ? ? ln ln 3 ? ln 3 ??12 分 x ln 2 1 / 2 1 2 1 2 1 由 (2 ln x ? x ? ) ? ? 1 ? ( ) ? ?(1 ? ) ? 0 知 , p ( x) ? 2 ln x ? x ? 单 调 递 x x x x x
减??13 分 由 ln 3 ? 1 得 2 ln ln 3 x ? ln 3 ?

1 ? ln 3 ln

9 4 ??13 分

1 1 ? p(1) ? 0 , ? ln ln 3 ? ln 3 ? ln ln 3 ? , ln 3 ln 3

ln ln 2 ?

1 1 1 ? ln ln 3 ? n l 2) ? h( n l 3) , , ∴ h( 当且仅当 a ? ln ln 2 ? 时,y ? f ( x) ln 2 ln 2 ln 3

在 [ln 2 , ln 3] 上单调递减, 综上所述,a 的取值范围为 (?? , 1] ? [ln ln 2 ? 14 分 ( “单调递增??11 分”以下,若直接写 a ? max?ln ln 2 ? 分)

1 , ? ?) ?? ln 2

? ?

1 1 ? , ln ln 3 ? ? ,再给 1 ln 2 ln 3 ?


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