2016-2017学年人教A版选修2-2 2.1.1 合情推理课件(35张)


第二章 推理与证明

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2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理

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【课标要求】 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理. 2.了解合情推理在数学发现中的作用. 【核心扫描】

1.对合情推理含义的理解.(重点)
2.能利用归纳和类比进行简单的推理.(重点)

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自学导引 1.归纳推理和类比推理

(1)归纳推理:由某类事物的 部分对象具有某些特征,推出该类
事物的 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括 出 一般结论 的推理.简言之,归纳推理是由部分到整体,由个 别到一般的推理. (2)类比推理:由两类对象具有某些 类似 特征和其中一类对象

的某些 已知特征 .推出另一类对象也具有这些特征.简言之,
类比推理是由特殊到特殊的推理.
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想一想:归纳推理和类比推理的结论一定正确吗? 提示 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围,其前提和结

论之间的联系不是必然性的,而是或然性的,结论不一定正 确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被

研究中的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一
定可靠.

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2.合情推理
(1)定义 归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过 观察 、 分析 、 比较 、 联想 ,再进行 归纳 、 类比 ,然后提出 猜想 的推理,

我们把它们统称为合情推理.

(2)合情推理的过程

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想一想:由合情推理得到的结论可靠吗? 提示 一般来说,由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,

未必可靠,例如,费马猜想就被数学家欧拉推翻了.

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名师点睛

1.归纳推理
(1)归纳推理的特点 ①归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论,该 结论超越了前提所包含的范围. ②归纳出的结论具有猜测性质,是否属实,还需逻辑证明和实

践检验,即结论不一定可靠.
③归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜 想可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问 题.
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(2)归纳推理的步骤

①归纳对有限资料进行观察、分析,发现某些相同性质.一般地,
如果归纳的个别情况越多越具有代表性,那么推广的一般性命题 就越可能为真. ②猜想:在以上基础上提出带有规律性的结论. ③检验:检验猜想.

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2.类比推理 (1)类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性. ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确

的命题.
(2)类比推理的特点 ①类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的 事物的属性,以旧认识为基础,类比出新结果.

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②类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.如

果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那
么类比得出的命题越可靠. ③类比的结果是猜测性的,不一定正确.但它却具有发现的功 能.

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(3)类比推理的适用前提 ①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致 性,关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来,再由一类对

象具有的特性去推断另一类对象也可能具有此类特性.
②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象.

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题型一 归纳推理的应用

【例1】 观察如图所示的“三角数阵”
1????第1行 2 2????第2行 3 4 4 7 7 3????第3行 4????第4行

5 11 14 11 5????第5行
…………
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记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N*),请仔细观察上述“三角数阵” 的特征,完成下列各题:

(1) 第 6 行 的 6 个 数 依 次 为 ________ 、 ________ 、 ________ 、
________、________、________; (2)依次写出a2、a3、a4、a5; (3)归纳出an+1与an的关系式.

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[思路探索] (1)观察数阵,总结规律:除首末两数外,每行的数等 于它上一行肩膀上的两数之和,得出(1)的结果.

(2)由数阵可直接写出答案.
(3)写出a3-a2,a4-a3,a5-a4,从而归纳出(3)的结论.

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由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行

的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.
(1)6,16,25,25,16,6 (2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11 (3)∵a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4 由此归纳:an+1=an+n.

对于数阵问题的解决方法,既要清楚每行、每列数的特
征,又要对上、下行,左、右列间的关系进行研究,找到规律, 问题即可迎刃而解.

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【变式 1】 根据下列条件,写出数列中的前 4 项,并归纳猜想它 的通项公式. (1)a1=3,an+1=2an+1; 1 (2)a1=a,an+1= ; 2-an (3)对一切的 n∈N*,an>0,且 2 Sn=an+1.

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解 (1)由已知可得 a1=3=22-1, a2=2a1+1=2×3+1=7=23-1, a3=2a2+1=2×7+1=15=24-1, a4=2a3+1=2×15+1=31=25-1. 猜想 an=2n 1-1,n∈N*.


(2)由已知可得 a1=a, 2-a 3-2a 1 1 1 1 a2= = ,a3= = ,a4= = . 2-a1 2-a 2-a2 3-2a 2-a3 4-3a ?n-1?-?n-2?a 猜想 an= (n∈N*). n-?n-1?a
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(3)∵2 Sn=an+1,∴2 S1=a1+1,即 2 a1=a1+1, ∴a1=1.又 2 S2=a2+1, ∴2 a1+a2=a2+1,∴a2 2-2a2-3=0. ∵对一切的 n∈N*,an>0, ∴a2=3. 同理可求得 a3=5,a4=7, 猜想出 an=2n-1(n∈N*).

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题型二 类比推理的应用 【例2】 如图所示,在△ABC中,射影定理可表示

为a=b·cos C+c·cos B,其中a,b,c分别为角
A,B,C的对边,类比上述定理,写出对空间 四面体性质的猜想. [思路探索]

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如右图所示,在四面体 PABC 中,设 S1,S2,S3,S 分别表示

△PAB, △PBC, △PCA, △ABC 的面积, α, β, γ 依次表示面 PAB, 面 PBC,面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小. 我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为 S = S1· cos α+S2· cos β+S3· cos γ

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(1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要,选择 适当的类比对象,可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方 面入手.由平面中的相关结论可以类比得到空间中的相关结论. (2)平面图形与空间图形类比

平面图形 空间图形 点 线 线 面 边长 面积 面积 体积 线线角 二面角 三角形 四面体
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【 变 式 2 】 若 数列 {an}(n ∈ N*) 是等 差数列 , 则有 数 列 bn = a1+a2+a3+?+an (n∈N*)也是等差数列. 类比上述性质, 相 n 应地有,若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且 cn>0,则数列 dn =________(n∈N*)也是等比数列. 解析 由等差、等比数列的性质易知,等差数列、等比数列 在运算上具有相似性. 等差与等比类比是和与积、 倍与乘方、 商与开方的类比.由此猜想 dn= c1c2c3?cn. 答案 n c1c2c3?cn
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n

题型三 平面图形与空间图形的类比
【例3】 三角形与四面体有下列相似性质: (1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形;四面 体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形. (2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段 的两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角 形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图

形.
通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质填 写下表:
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三角形
三角形的两边之和大于第三边

四面体

三角形的中位线的长等于第三边长的一
半,且平行于第三边 三角形的三条内角平分线交于一点,且这 个点是三角形内切圆的圆心

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三角形和四面体分别是平面图形和空间图形,三角形

的边对应四面体的面,即平面的线类比到空间为面.三角形的中
位线对应四面体的中位面,三角形的内角对应四面体的二面角, 三角形的内切圆对应四面体的内切球.

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[规范解答] 三角形
三角形的两边之和大于第三边

四面体
四面体的三个面的面积之 和大于第四个面的面积 四面体的中位面的面积等 于第四个面的面积的,且 中位面平行于第四个面

三角形的中位线的长等于第三边

长的一半,且平行于第三边

三角形的三条内角平分线交于一 四面体的六个二面角的平

点,且这个点是三角形内切圆的 分面交于一点,且这个点
圆心 是四面体内切球的球心
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【题后反思】 将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立 体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比,是解决和处 理立体几何问题的重要方法.

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【变式3】 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性
质,可推出正四面体的下列哪些性质,你认为比较恰当的是 ( ).

①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个 面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;③

各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都
相等. A.① B.①② C.①②③ D.③

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解析

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知

特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,叫类比推理,上 述三个结论均符合推理结论,故均正确. 答案 C

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方法技巧 数形结合思想在合情推理中的应用 本节关于数形结合思想的考查主要是利用图形归纳、类比一 般规律,从而作出猜想.

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【示例】 如图所示是树形图,第一层是一条与水平线垂直的线段,

长度为1;第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成
135°角的线段,长度为其一半;第三层按第二层的方法在每 一条线段的前端生成两条线段;重复前面的作法作图至第n 层.设树形图的第n层的最高点到水平线的距离为第n层树形 图的高度.

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(1)求第三层及第四层树形图的高度 H3、H4; (2)求第 n 层树形图的高度 Hn. [思路分析] 求出前 4 层的竖直高度,找出规律,进行猜想. 解 (1)设题中树形图中新生出的各层高度所构成的数列为 {an},

1 2 1 1 2 则 a1=1,a2=2× 2 ,a3=22,a4=23·2 ,所以第三层树形图的 5+ 2 高度为 H3=a1+a2+a3= ,第四层树形图的高度为 H4=a1 4 20+5 2 +a2+a3+a4= 16 .

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an+2 1 (2)易知 = (n∈N*),所以树形图中新生出的第 n 层高度 an= an 4 1 ? ? n -1?n为奇数?, 2 ? ? ? 1 × 2?n为偶数?. n -1 ? 2 2 ? 所以当 n 为奇数时,第 n 层树形图的高度为
?1?n+1? ?1?n-1? 4? 2? ? ? ? ? ? ? Hn=3?1-? ? + 1 - ? ? ?; 3 4 4 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

当 n 为偶数时,第 n 层树形图的高度为
?1?n? ?1?n? 4? 2? ? ? ? Hn=3?1-?4?2?+ 3 ?1-?4?2? . ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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方法点评 仔细观察所给图形的规律, 可以发现奇数层偶数层均有 规律可寻,各个击破问题便迎刃而解.

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