2.2 直接证明与间接证明


2.2

直接证明与间接证明

我们知道 合情推理所得结论的正 , 确性 是需要证明的这正是数学区别于其他 , 科学的显著特点.数学结论的正确性必 须通过逻辑推理的方式加以证明.本节 我们将学习两类基本的 证明方法 : 直接 证明与间接证明 .

2.2.1

综合法和分析法

综合法和分析法是直接证明中最基本的 , 两种方 法, 也是解决数学问题时常 用的思维方式 .

1

综合法

在数证明中我们经常从已知条件和 , 某些数学定 义、公理、定理等出发通过推理推导出所要的 , 结论, 例如 : 已知a, b ? 0, 求证a b ? c ? b c ? a 2 2 证明 因为 b ? c ? 2 bc , a ? 0 ,
2 2 2

?

?

?

2

? ? 4abc.

所以 a b ? c
2

?

2

? ? 2 abc .

又c

2

? a

2

? 2 ac , b ? 0 , 所以 b c
2

?

2

? a

2

? ? 2 abc .

因此 a b ? c
2

?

? ? b ?c

2

?a

2

? ? 4 abc .

一般地 , 利用已知条件和某些数 定理等 , 经过一系列的推理论证 要证明的结论成立

学定义、公理、 , 最后推导出所
综合法

, 这种证明方法叫做

?synthetica

l method

?.

综合法 又叫顺推证法或由因导 , 果法 .
用P表示已知条件、已有的 定义、公理、定理 等, Q 表示所要证明的结论 则综合法可用框图 , 表示为:

P ? Q1

Q1 ? Q2 Q2 ? Q3

???

Qn ? Q

1 在ΔABC中, 三个内角 A,B, C对应的边分别为 a, b, c, 且A,B, C成等差数列, a, b, c成等比数列, 求证 ΔABC为等边三角形.
分析 将A,B, C成等差数列转化为符号语言就是 , 2B ? A ? C; A,B, C为ΔABC的内角这是个隐含条 ,

件,明确表示出来是 ? B ? C ? π; A a,b, c成等比数列转化为符号语言就是 ? ac. , b 此时, 如果能把角和边统一起来, 那么就可以进一
2

步寻找角和边之间的关系 , 进而判断三角形的形 状, 余弦定理正好满足要求.于是, 可以用余弦定理 为工具进行证明.

证明

由 A , B , C 成等差数列

, 有 2B ? A ? C .



因为 A , B , C 为 Δ ABC 的内角 , 所以 A ? B ? C ? π . π 由 ① ②, 得 B ? . 3 2 由 a , b , c 成等比数列 , 有 b ? ac .
由余弦定理及 ? a ? c
2 2


③ ④

③ , 可得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ac cos B
2 2

? ac .
? ac ? ac , 即 ?a ? c ? ? 0 ,
2

再由 ④, 得 a ? c

因此 a ? c .从而有 A ? C .
由② ③ ⑤ 得 , A ? B ? C ?


π 3 .所以 Δ ABC 是等边三角形 .

解决数学问题时往往先作语言转换如把文字语言 , , 转换成符号语言或把符号语言转换成图 , 形语言等 . 还要通过细致的分析把其中的隐含条件明显 , 表示 出来.

2.分析法
证明数学命题时还经常从要证明的结论 出发, , Q 反推回去 寻求保证Q成立的条件 即使Q成立的 , , 充分条件P1,为了证明P1成立, 再去寻求P1成立的 充分条件P2 ;为了证明P2成立, 再去寻求P2成立的 充分条件P3 ? ? ? ? ? ? 直到找到一个明显成立 的条件

?已知条件、定理、定义 、公理等?为止.
a?b 例如, 基本不等式 ? 2 就用了上述方法 . ab ?a ? 0, b ? 0 ?的证明

要证

a?b

?

ab , 只需证

a ? b ? 2 ab ,

2 只需证 a ? b ? 2 ab ? 0 , 只需证

由于

?

a ?

b ? 0 显然成立 , 因此原不等式成立
, 逐步寻求使它成立 , 直到最后 , 把要证明的结论归结为 (已知条件、定理、定义

?

?

a ?

b ? 0. .
判 、

?

一般地 , 从要证明的结论出发 的充分条件

定一个明显成立的条件

公理等 )为止 .这种证方法叫做 method ).

分析法 ( analytical

分析法 又叫逆推证法或执果索 , 因法 .
用 Q 表示要证明的结论 , 则分析法可用框图表示 为:

Q ? P1

P1 ? P 2

P2 ? P3

???

得到一个明显 成立的条件

如图 2.2 ? 1 所示 , SA ^ 平面 ABC, AB ^ BC, 过A作SB 的垂线 , 垂足为 E , 过E作SC的 垂线, 垂足为 F.求证 AF ^ SC.

S

2

F E
A B 图 2 .2 ? 1
C

分析

本例所给的已知条件

中 垂直条件较多我们不容易 , ,

确定如何在证明中使用 它们 ,因而用综合法比 较困难这时,可以从结论出发逐步反推 寻求使 . , , 当前命题成立的充分条 . 件
在立体几何中通常可以把证明两条直 , 线互相垂直 的问题,转化为证明直线与平面 垂直的问题 .

S

在本例中,可以考虑 证AF ^ 平面SBC或 证SC ^ 平面AEF.要 证AF ^ 平面SBC,需 要证AF ^ SB, AF ^ BC成立;要证SC ^ 平
A B 图 2 .2 ? 1
C

F E

面AEF,需要证SC ^ AE, SC ^ EF成立.
而已知条件 过E作SC的垂线 垂足为F(转化 " , 为符号语言就是 EF ^ SC)"已经满足了 SC ^ 平面 AEF 所需要的两个条件中的 一个,因此 可以朝证明 SC ^ 平面AEF这个方向努力 .

证明

要证 AF ^ SC

只需证 SC ^ 平面 AEF ,
只需证 AE ^ SC (因为 ),

S

F E
A B 图 2 .2 ? 1
C

只需证 AE ^ 平面 SBC ,
只需证 AE ^ BC (因为 ),

只需证 BC ^ 平面 SAB ,

只需证 BC ^ SA (因为

),

由 SA ^ 平面 ABC 可知 , 上式成立 .所以 , AF ^ SC .

思考

请对综合法与分析法进 行比较 说出 ,

它们各自的特点 .回顾以往的数学学习 , 说说 你对这两种证明方法的 新认识 .

事实上 在解决问题时 我们经常把综合法 , , 和分析法结合起来使用 根据条件结构特 : 点去转化结论 得到中间结论 ; 根据结论 , Q 的结构特点去转化条件得到中间结论P. , 若由P 可以推出Q 成立, 就可以证明结论 成立.下面来看一个例子 .

3

已知? , ? ? k? ?

?
2

?k ? Z ?, 且
① ②
2

sin ? ? cos? ? 2 sin ? , sin ? ? cos? ? sin ? ,
2

求证 :
分析

1 ? tan ?
2

1 ? tan ?
2

?

1 ? tan ? 2?1 ? tan ? ?
2

.

比较已知条件和结论发现结论中没有出 ,

现角θ,因此第一步工作可以从 已知条件中消去 . θ 观察已知条件的结论特 , 发现其中蕴含数量关 点 系?sin θ ? cos θ ? ? 2 sin θ cos θ ? 1 于是,由 ① ? 2 ,
2 2

? ② 得4 sin α ? 2 sin β ? 1.
2 2

把4 sin α ? 2 sin β ? 1 与结论相比较 发现 ,
2 2

角相同, 但函数名称不同于是尝试转化结 , 论 : 统 一 函 数 名称 ,即 把正切函数化为正

?余 ?弦函数.把结论转化为 cos
1 2

2

α ? sin α ?
2 2

?cos

2

β ? sin β ,再与 sin α ? sin β ? 1 4
2 2 2 2

?

比较, 发现只要把cos α ? sin α ?
2

1 2

(cos β

2

? sin β) 中的角的余弦转化为正 , 就能达 弦 到目的 .
证明 因为?sin θ ? cos θ ? ? 2 sin θ cos θ ? 1 所以 ,
2 2 2

把 ① ② 代入上式,可得4 sin α ? 2 sin β ? 1.



另一方面, 要证
2

1 ? tan α
2

1 ? tan α
2

?

1 ? tan β
2

2 1 ? tan β
2
2 2

?

?

.

1? 即证 1?

sin α cos α ? 2 sin α cos α
2
2 2

1?

sin β cos β
2

? sin β ? ? 2? 1 ? 2 ? cos β ? ? ?
2

.

即证 cos α ? sin α ? 即证1 ? 2 sin α ?
2
2

1 2

?cos

2

β ? sin β ,
2

?

1 2
2

?1 ? 2 sin β?,
2

即证4 sin α ? 2 sin β ? 1.

由于上式与③ 相同 ,于是问题得证.

用 P 表示已知条件定义、定 等 , 用 Q 表示要证明的结论 程可用框图表示为 :

理、公理 , 则上述过

P ? P1 P1 ? P2
Pn?1 ? Pn ? Qm?1 ? Qm

Q ? Q1
Q1 ? Q2

???

???


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