福建省福州市八县2013-2014学年高二上学期期末考试(数学文)


福建省福州市八县 2013-2014 学年高二上学期期末考试(数学文) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要 求)
2 1. 抛物线 x ? ?

1 y 的准线方程是( 4
B . x ? ?1

) C. y ?

A. x ? 1

1 16

D. y ? ? )

1 16

2. 设 M ? {a 2 }, N ? ? 1,4? ,则“ a ? ?2 ”是“ M ? N ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

3.曲线 f ?x ? ? x 3 ? x ? 2 在 p0 处的切线平行于直线 y ? 4 x ? 1 ,则 p0 点的坐标为( A. (1, 0) B. (2,8) C. (1, 0) 和 (?1, ?4) )
2

D.

(2,8) 和 (?1, ?4)

4.下列有关命题的说法正确的是(
2

A. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” B. 命题“若 x=y,则 x =y ”的逆否命题是假命题 C. 命题“若 a +b ≠0,则 a,b 全不为 0”为真命题 D. 命题“若α ≠β ” ,则 cosα ≠cosβ ”的逆命题为真命题 5.下列求导正确的是( A. y ? ) B. y ? 2 x ,则 y? ? 2 x ln 2 ;
x
2 2 2 2

1 1 ,则 y ? ? 2 ; x x
x

C. y ? e ? cos x ,则 y? ? e ? (? sin x) ;

D. y ?

x sin x ? x cos x ,则 y ? ? sin x (sin x) 2


6.函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是( A.5,15 B.5, ? 4 C.5, ? 15

D.5, ? 16 )

7.已知函数 f(x)的导函数 f ?? x ? 的图像如左图所示,那么函数 f ?x ? 的图像最有可能的是(

8.设椭圆的两个焦点分别为 F1 、F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若 ?F 1PF 2 为等腰直角三角
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形,则椭圆的离心率是( A.

) C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 2 )

2 2

B. 2 ? 1

9.若函数 y ? x 3 ? ax2 ? 4 在区间 ?0,2? 内是单调递减函数,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 3 B. a ? 3 C.

a?3

D. 0 ? a ? 3

10.已知 P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1 , F2 分别是双曲线 9 a2
) D.3 )

的左、右焦点,若 PF 1 ? 3 ,则 PF2 ? ( A.7 B.6
2

C.5

11. 若命题“ ?x0 ? R ,使 ax0 ? x0 ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 a 的取值范围是( A.

a??

1 4

B. a ? ?

1 4

C.

a??

1 4

D.

a??

1 4

12.设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? xf ?( x) ? 0 ,且 f (1) ?0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的 解集为( ) B. (-1,0)∪(0,1) D. (- ? ,-1)∪(0,1)

A. (-1,0)∪(1,+ ? ) C. (- ? ,-1)∪(1,+ ? )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.函数 y ? 1 ? 3x ? x 3 的极小值等于________. 14. 若方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则实数 k 的取值范围是________. 4 k

2 15. 已知“ x ? x ? 2 ? 0 ” 是“ 2 x ? p ? 0 ”的必要条件,则实数 p 的取值范围是__________.

16.已知 A(0,?5), B(0,5) , 若曲线 C 上存在点 M , 使 | MA | ? | MB |? 8 , 则称曲线 C 为 “含特点曲线” . 给 出下列四条曲线: ① x ? y ? 17
2 2



x2 y2 ? ?1 16 9



x2 y2 ? ?1 9 16

2 ④y ?

32 x 3

其中为“含特点曲线”的是______. (写出所有“含特点曲线”的序号) 三、解答题(本大题 6 小题,17—21 题每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分。解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知双曲线 E: ?

x2 m

y2 ? 1 . (1)若 m ? 4 ,求双曲线 E 的焦点坐标、顶点坐标和 5

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渐近线方程;(2)若双曲线 E 的离心率 e ? (

6 , 2 ) ,求实数 m 的取值范围. 2

18.(本小题满分 12 分) 设函数 f ?x? ? 2 x 3 ? 3?a ? 1?x 2 ? 6ax ? 8 ,其中 a ? R .已知 f ?x ? 在 x ? 3 处取 得极值. (1)求 f ?x ? 的解析式; (2)求 f ?x ? 在点 A(1,16)处的切线方程.

19.(本小题满分 12 分)
2 2 已知命题 p: “ x ? [?2,? 2 ] 时, x ? a ? 0 恒成立” ; 命题 q: “方程 x ? (a ? 3) x ? a ? 0 无实数

根”. 若“ p ? q ” 是假命题,且“ p ? q ”是真命题,求实数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)已知定点 F (1,0) 和定直线 l:x ? ?1 ,动圆 P 过定点 F 且与定直线 l 相切,动圆 圆心 P 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)若过点 F (1,0) 的一条直线 m 与曲线 C 交

于不同的两点 A, B ,且 AB ? 8 ,求直线 m 的方程.
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21. (本题满分 12 分) 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆 C , 它的中心在原点, 左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为 D(2,0) . (Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 设不过原点的直线 l :y ? x ? m 与椭圆 C 交于 A, B 两点. ① 求实数 m 的取值范围;

② 求实数 m 取何值时 △ AOB 的面积最大, △ AOB 面积的最大值是多少?

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax2 ? 2ax ? 1 (I)当 a ? ?

?a ? R ?.

3 时,求函数 f(x)的单调递增区间; 8

(Ⅱ) 当 a ? 0 时,函数 g ( x) ? f ( x) ? 3 ? 2ax 在区间 ?1,2? 上存在实数 x ,使得 g ?x ? ? 0 成立,求实 数 a 的取值范围.

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