江西省新余一中2013届高三第七次模拟考试文科数学试卷


?1? ?3? 若实数 x0 是函数 f ? x ? 的一个零点,那么下列不等式中,不可能成立的是 ...
A. x0 <a B. x0 >b C. x0 < c

5、已知 f ? x ? ? ? ? ? log 3 x ,实数 a、b、c 满足 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? c ? <0,且 0<a<b<c, ( D )

x

D. x0 >c

6、已知偶函数 f (x) 在 R 上的任一取值都 有导数,且 f ' (1) ? 1, f ( x ? 2) ? f ( x ? 2), 则曲线 ( D ) A.2 B.-2 C.1 D.-1 7、某几何体的三视图如图所示,当 a ? b 取最大值时,这个几何体的体积为( D )

y ? f (x) 在 x ? ?5 处的切线的斜率为

1 2 1 C. D. 3 3 2 8、 定义: 关于 x 的不等式 | x ? A |? B 的解集叫 A 的 B 邻域.已知 a ? b ? 2 的
A. B.

1 6

a ? b 邻域为区间 ( ?2,8) , 其中 a、b 分别为椭圆
2

x2 y2 ? ? 1 的长半轴和短 a2 b2

半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线 y ? 4 5 x 的焦点重合,则椭圆的方程为 ( B. )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ?1 A. 8 3 9 4 x2 y2 ? ?1 D. 16 9
9、已知函数 f ? x ? ? 1 ? x ?

x2 y2 ? ?1 C. 9 8

x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ??? 设 F ? x ? ? f ? x ? 4 ? ,且函数 F(x) 2 3 4 2013
)

2 2 的零点均在区间 ? a, b ? ? a ? b, a, b ? Z ? 内,圆 x ? y ? b ? a 的面积的最小值是 ( A

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A. ?

B. 2?

C. 3?

D. 4?

10、点 P 的底边长为 2 3 ,高为 2 的 正三棱柱表面上的动点,MN 是该棱柱内切球的一条 直径,则 PM ? PN 取值范围是 (C ) A.[0,2] B.[0,3] C.[0,4] D.[—2,2] 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11、若直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与直线 2 x ? my ? 6 ? 0 互相垂直,则实数 m 的值为 12、 已知等差数列 {an } 的公差和首项都不等于 0, a2 , a4 , a8 成等比数列, 且 则 3

???? ???? ?

1

a1 ? a5 ? a9 ? a2 ? a3

?x ? y ? 4 ? 13、已知点 P 的坐标 ( x, y )满足 ? y ? x ,过点 P 的直线 l 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 14 相交于 ?x ? 1 ?
A、B 两点,则 AB 的最小值为 4 14、对于定义域和值域均为 [0,1] 的函数 f ( x) ,定义 f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,?, (1)设 f ( x) ? x , x ? ?0,1? 则 f 的 2 阶周期点的个数是______2_____;
2

f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ,n=1,2,3,?.满足 f n ( x) ? x 的点称为 f 的 n 阶周期点.

1 ? 2x x ? [0, ] ? ? 2 则 f 的 阶周期点的个数是__ _4_______ . (2)设 f ( x) ? ? 2 1 ?2 ? 2 x x ? [ ,1] ? ? 2 ? ? 15、给出以下五个命题: ①点 ( , 0)为函数f ( x) ? tan(2 x ? ) 的一个对称中心 8 4 ? ②设回时直线方程为 y ? 2 ? 2.5 x ,当变量 x 增加一个单位时,y 大约减少 2.5 个单位 ③命题“在△ABC 中,若 sin A ? sin B , 则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题 x x ④对于命题 p: “ ? 0 ”则 ?p “ ? 0” x ?1 x ?1 ⑤设 平面?及两直线l, m , m ? ? ,则“ l // m ”是 “ l // ? ” 成 立的充分不必要条件.
不正确的是 ④⑤ 三、解答题(本大题共计 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16、 (本小题满分 12 分)我校某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到 不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题.

(1)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数; (2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90,100]之间的概率. 解: (1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为 2,
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频率为 0.008×10=0.08

全班人数

2 =25 0.08

所以分数在[80,90)之间的频数为 25-2-7-10-2=4????3 分 (2)分数在[50,60)之间的总分数为 56+58=114 分数在[60,70)之间的总分数为 60×7+2+3+3+5+6+8+9=456 分数在[70,80)之间的总分数为 70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747 分数在[80,90)之间的总分数为 85×4=340 分数在[90,100]之间的总分数为 95+98= 193 所以,该班的平均分数为

114 ? 456 ? 747 ? 340 ? 193 ? 74 ?????5 分 25

估计平均分数时,以下解法也给分:

2 7 =0.08 分数在[60,70)之间的频率为 =0.28 25 25 10 4 分数在[70,80)之间的频率为 =0.40 分数在[80,90)之间的频率为 =0.16 25 25 2 分数在[90,100]之间的频率为 =0.08 所以该班的平均分数约为 55×0.08+65×0.28+75× 25
分数在[50,60)之间的频率为 0.40+85×0.16+95×0.08 =73 .8 所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为

4 ÷10=0.016??????8 分 25

(3)将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6, 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为 (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) (1,6) , (2,3) , (2,4)(2,5)(2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6) , , , , , , , , ,共 15 个. 其中, 至少有一份在[90,100]之间的基本事件有 9 个, 故至少有一份分数在[90,100]之间的 概率是

9 =0.6? 15

17、 (本小题满分 12 分)已知 ABCD 是矩形,AD=2AB,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点, PA⊥平面 ABCD. (Ⅰ)求证:DF⊥平面 PAF; (Ⅱ)在棱 PA 上找一点 G, EG∥平面 PFD, PA=AB=4 时, 使 当 求四面体 E-GFD 的体积. (Ⅰ)证明:在矩形 ABCD 中,因为 AD=2AB,点 F 是 BC 的 中点,

所以 FD ? 平面 PAF

????6分

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再过 H 作 HG // PD 交 PA 于 G ,所以 GH

// 平面 PFD ,且 AG ?

1 PA ???10分 4

所以平面 EHQ // 平面 PFD ,所以 EG // 平面 PFD , G 点即为所求. 因为 PA ? AB ? 4 ,则 S ?EFD

? 32 ? S ?AED ? S ?EBF ? S ?FCD ? 12 ,AG=1
??????12分

?? ? 18、 (本小题满分 12 分)已知向量 m ? ( 3 sin 2 x, cos 2 x), n ? (cos 2 x, ? cos 2 x) . ?? ? 1 7? 5? 3 (1)若 x ? ( , ) , m ? n ? ? ? , 求 cos 4x ; 24 12 2 5 2 (2)设 ?ABC 的三边 a, b, c 满足 b ? ac ,且边 b 所对应的角的大小为 x ,若关于 x 的方程 ?? ? 1 m ? n ? ? k 有且仅有一个实数根,求 k 的 值. 2 ?? ? ?? 1 ? 【解】 (1) m ? n ? sin ? 4 x ? ? ? ?????4 分 6? 2 ?
由条件有 ? ? 4 x ?

?VE ? FDG ? VG ? EFD ? 4

?
6

?

?? ? ? ? ? 3?4 3 3? ,故 cos 4 x ? cos ?? 4 x ? ? ? ? ? ?????6 分 2 6 ? 6? 10 ??
, 又 b 2 ? ac , 从 而

( 2 ) 由 余 弦 定 理 有 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos x

ac(1 ? 2 cos x) ? a 2 ? c 2 ? 2ac 1 ? ?? ? cos x ? ? x ? ? 0, ? ?????8 分 2 ? 3? ? ? 7? 1 由此可得 ? ? 4 x ? ? ,结合图象可得 m ? 1 或 ? .?????12 分 6 6 6 2 19、 (本小题满分 12 分)设正项数列 {an }的前项和S n , 若{an }和{ S n } 都是等差数列,且
公差相等, (1)求 {an } 的通项公式; (2)若 a1 , a2 , a5 恰为等比数列{bn }的前三项, 记数列 c n ?

1 1 数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , 求证 ? Tn ? 1 2 log 3 4bn ?1 ? log 3 4bn ? 2
n(n ? 1)d d 2 d ,即 S n ? n ? (a1 ? )n , 2 2 2

解:设 ?an ? 的公差为 d ,则 sn ? na1 ? 由 sn 是等差数列得到: S n ?

d 2 d n ? (a1 ? )n ? dn ? q 2 2
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d ? ?a1 ? 2 ? 0 (或= ? ??2 分, ) ? d ? s ? n ? n 2 ?

d 1 且 d ? 2a1 ? 0 ,所以 d ? ,?? 4 分, 2 2 d 1 1 1 2n ? 1 所以: a1 ? ? ??5 分, an ? ? (n ? 1) ? ? ??6 分 2 4 4 2 4 1 3 9 (2)由 b1 ? a1 ? , b2 ? a2 ? , b3 ? a5 ? ,得到:等比数列 {bn } 的公比 q ? 3 , 4 4 4 1 n ?1 所以: bn ? ? 3 , ??8 分 4 1 1 1 1 所以 cn ? ??10 分 ? ? ? n n ?1 log 3 3 ? log 3 3 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ?? 易证 ? Tn ? 1 ??12 分 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? 2 2 3 n n ?1 n ?1 2 2a 2 20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ? ?x. x (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值. (2)若 a ? 0 ,求 f ( x) 的最小值 g (a ) ; ?4 (3)在(Ⅱ)上求证: g (a ) ? ?e .
则d ? 解 : Ⅰ ) f (x) 的 定 义 域 为 x x ? 0 , f ?( x) ? (

?

?

f ?(1) ? ?2 ,
所以 2a 2 ? a ? 3 ? 0 解得 a ? ?1 或 a ?

a 2a 2 ? ? 1, ( x ? 0) , 根 据 题 意 有 x x2

3 . ????????????4 分 2 a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? a )( x ? 2a ) ? , ( x ? 0) (Ⅱ) f ?( x) ? ? 2 ? 1 ? x x x2 x2 当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a )( x ? 2a ) ? 0 ,解得 x ? a , 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a )( x ? 2a ) ? 0 ,解得 0 ? x ? a , 所以函数 f (x) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ?a,?? ? 上单调递增; ???????8 分 (Ⅲ)由(2)知,当 a>0, f (x) 的最小值为 g (a ) ? f (a ) ? a ln a ? 3a, g ?(a ) ? ln a ? 4 令 g ?(a ) ? ln a ? 4 ? 0 g ?( a ) ? ln a ? 4 ? 0, a ? e?4
当 a ? e , g (a )单调递增,当a ? e , g (a )单调递减 ???????13 分 21、 (本小题满分 14 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆 ? 的方程为
?4 ?4

g (a )的最小值为g (e ?4 ) ? ?e ?4 。 ? g (a ) ? ?e ?4

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), 它的离心率为 ,一个焦点是(-1,0),过直线 x ? 4 上一点引椭圆 ? 2 a b 2
的两条切线,切点分别是 A、B. (1)求椭圆 ? 的方程; (2)若在椭圆 ?

x2 y 2 xx y y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的点 ( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 .求 2 a b a b
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证:直线 AB 恒过定点 C, 并求出定点 C 的坐标;

(3)是否存在实数 ? ,使得求证: AC ? BC ? ? AC ? BC (点 C 为直线 AB 恒过的定点). 若存在 ? ,请求出,若不存在请说明理由
2 2 解: (I)设椭圆方程为 x 2 ? y2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的焦点是 ? ?1, 0 ? ,故 c ? 1 ,又 c ? 1 ,所以

a

b

a

2

a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,所以所求的椭圆 ? 方程为

x y ? ? 1 . ?????????4 分 4 3 (II)设切点坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ? 4,t ? ,则切线方程分别为

2

2

x1 x y1 y xx y y t t ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,又两切线均过点 M,即 x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 ,即点 A,B 4 3 4 3 3 3 t t t 的坐标都适合方程 x ? y ? 1 ,故直线 AB 的方程是 x ? y ? 1 ,显然直线 x ? y ? 1 恒过 3 3 3 C ?1, 0 ? .?????????????8 分 点(1,0) ,故直线 AB 恒过定点

(III)将直线 AB 的方程 x ? ? t y ? 1 ,代入椭圆方程,得
3

? t2 ? ? t ? 3 ? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 , 3 3 ? ? ? ? 所以 y1 ? y2 ? 2 6t , y1 y2 ? 2?27 ,不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0 , t ? 12 t ? 12
2

AC ?

? x1 ? 1?

2

2 ? t2 ? t 2 ? 9 ,同理 BC ? ? t ? 9 y ,????12 分 ? y12 ? ? ? 1? y12 ? y1 2 3 3 ?9 ?

所以 1 ? 1 ?
AC BC

?1 1 ? y ? y1 3 3 ?? ? ? ? ? 2 ?? ? 2 2 2 t ? 9 ? y1 y2 ? t ? 9 y1 y2 t ?9 3
2

? y2 ? y1 ?
y1 y2

2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? t ? 12 ? t 2 ? 12 1 144t 2 ? 9 ? 144 4 , ? ?? ? ? ? ? ?27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 t 2 ? 12 即 AC ? BC ? 4 AC ? BC ,???????????14 分 3 3

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