江苏省南京市、盐城市2015届高三第一次模拟考试 数学 Word版含答案


南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.设集合 M ? ?2,0, x? ,集合 N ? ?0,1 ? ,若 N ? M ,则 x ? 答案:1 2.若复数 z ? 答案:-1 3.在一次射箭比赛中,某运动员 5 次射箭的环数依次是 9,10,9, 7,10 ,则该组数据的方 差是 答案: ▲ . ▲ .

a?i (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a ? i



.

6 5

4.甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2 ,甲、乙下和棋的概率为 0.5 ,则乙获胜的 概率为 ▲ . 答案: 0.3 解读:为了体现新的《考试说明》 ,此题选择了互斥事件,选材于课本中的习题。 5.若双曲线 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 a ? ▲ .

答案:

2 2
▲ .

6.运行如图所示的程序后,输出的结果为 答案:42 解读:此题的答案容易错为 22。

? 2x ? y ? 0 ? x? y 7.若变量 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 的最大值为 ? x?0 ?



.

i←1 S←0 While i<8 i←i + 3 S←2? i + S End While Print S END 第 6 题图

答案:8 8.若一个圆锥的底面半径为 1 ,侧面积是底面积的 2 倍,则该圆锥的体积为 答案:



.

3? 3

9.若函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

)(? ? 0) 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

图象关于点 ( x0 ,0) 成中心对称, x0 ? [0, 答案:

?
2

? ,且该函数 2

] ,则 x0 ?



.

5? 12

10.若实数 x , y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1,则 答案:4

x2 ? y 2 的最小值为 x? y



.

-1-

11. 设向量 a ? (sin 2? , cos ? ) ,b ? (cos ? ,1) , 则 “ a//b ” 是 “ tan ? ?

1 ” 成立的 2





件 (选填“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分也不必要”) . 答案:必要不充分 12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 设直线 y ? ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 交于 A, B 两点,O 为坐标原点,若圆上一点 C 满足 OC ? 答案: 10
x 13.已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [?2, 2] 上 的 奇 函 数 , 当 x ? (0, 2] 时 , f ( x )? 2 ? , 1 函数

5 3 OA ? OB ,则 r ? 4 4



.

g ( x) ? x2 ? 2x ? m . 如果对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则实 数 m 的取值范围是 ▲ . 答案: [?5, ?2]
14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) ,若数列 ?a2n?1? 单调 递减,数列 ?a2 n ? 单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ▲ .

? ?2n ? 1 , n为奇数 ? ( ?2) n ? 1 ? 3 答案: ( 说明:本答案也可以写成 ? ) n 3 ? 2 ? 1 , n为偶数 ? ? 3

二、解答题: 15.在平面直角坐标系 xOy 中,设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于 点 P( x1 , y1 ) , 将射线 OP 绕坐标原点 O 按逆时针方向旋转 记 f (? ) ? y1 ? y2 . (1)求函数 f (? ) 的值域; (2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,
Q α O P x

? 后与单位圆交于点 Q( x2 , y2 ) . 2
y

2 , c ? 1 ,求 b . ? 解: (1)由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? ) ? cos ? , ………4 分 2 ? 所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) , ………………6 分 4 ? ? ? 3? ? ?( 0 , ) ? ? ?( , ) 因 为 , 所 以 2 4 4 4

若 f (C) ? 2 ,且 a ?

第 15 题图





f (? ? )


.

(

1

,

……………… 2 ] 8分

2 ) 因 为 ,

C?

?
4

f (C ) ? 2 sin( ? C ) ? 2 4

?





C ?( 0 , , ) 所 以 2

?

………………10 分

-2-

2 在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,即 1 ? 2 ? b ? 2 2 ?
2 2 2

2 b, 2

解 b ? 1. 分 (说明:第(2)小题用正弦定理处理的,类似给分) 16.(本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O, E 分别为 B 1 D, AB 的中点. (1)求证: OE // 平面 BCC1B1 ; (2)求证:平面 B1DC ? 平面 B1DE . 证明(1) :连接 BC1 ,设 BC1

得 ………………14

D1 A1 O D

C1 B1

B1C ? F ,连接 OF , ………2 分
1 DC , A 2

C E B

因为 O,F 分别是 B1D 与 B1C 的中点,所以 OF // DC ,且 OF ? 又 E 为 AB 中点,所以 EB // DC ,且 EB ?

从而 OF // EB, OF ? EB ,即四边形 OEBF 是平行四边形, 所以 OE // BF , 又 OE ? 面 BCC1B1 , BF ? 面 BCC1B1 , 所以 OE // 面 BCC1B1 . 所以 BC1 ? DC , 又 BC1 ? B1C ,且 DC, B1C ? 面 B1DC , DC 所以 BC1 ? 面 B1DC ,…………12 分 而 BC1 // OE ,所以 OE ? 面 B1DC ,又 OE ? 面 B1DE , 所以面 B1DC ? 面 B1DE . ………14 分 A1 ……………8 分 ………… 10 分 A D1 ……………6 分 A1

1 DC , 2

第 16 题图

D1 B1 O D E B F

C1

(2)因为 DC ? 面 BCC1B1 , BC1 ? 面 BCC1B1 ,

C

B1C ? C ,

C1 B1

y B

x2 y 2 17.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右 a b 准线方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2
的直线 l 经过点 A ,且点 F 到直线 l 的距离为

D A
O


F

l A x

C

2 5 . 5

B E P 第 16 题图

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P 三点共线时,试确定直线 l 的斜率. 解 :( 1 ) 由 题 意 知 , 直 线

第 17 题图

l

的 方 程 为

y ? 2 (? x

a ) 即 ,

2x ?

y ? 2 a, ?0
右 焦 点

……………2 分

?

F





线

l









2c ? 2a 5

?

2 5 5



? a ? c ? 1,

……………4 分

又椭圆 C 的右准线为 x ? 4 ,即

a2 a2 ? 4 ,所以 c ? ,将此代入上式解得 a ? 2, c ? 1 , c 4

-3-

? b2 ? 3 , 椭 ? 2 2 x y ? ? 1; 4 3



C









……………6 分 , 3 ) F (1, 0) ,

( 2 ) 由 ( 1 ) 知 B( 0 ,

? 直 线 BF 的 方 程 为

y ? ? 3( x ?1) ,

……………8 分

8 ? ? y ? ? 3( x ? 1) x? ? ? 5 ? ?x ? 0 ? 联 立 方 程 组 ? x2 y2 , 解 得 ? 或 ? ( 舍 ), 即 ?1 ?y ? 3 ? ? ? ?y ? 3 3 3 ?4 ? 5 ? 8 3 3 , P( ? , ) …………12 分 5 5 l 直 线 的 斜 率 ?

k?

0 ? (?

3 3 ) 5 ?3 3. 8 2 2? 5

……………14 分

其他方法: 方法二 : 由( 1 )知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) ,由题

A(2, 0) , 显 然 直 线 l 的 斜 率 存 在 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? k( x ? 2 ), 联 立 方 程 组

? 2k ? 3 ?x ? ? 3 3 3 k? 3 ? ? y ? ? 3( x ? 1) ,解得 ? ,代入椭圆解得:k ? 或k ? ? ,又由题意知, ? 2 2 y ? k ( x ? 2) ? ? 3 k ? ?y ? ? k? 3 ?

3 3 ? 3k . ? 0 得 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所以 k ? 2 k? 3 方法三:由题 A(2, 0) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立方 ? y ? k ( x ? 2) 16k 2 ? 2 2 2 2 程组 ? x 2 y 2 ,得 ? 4k ? 3? x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 , xA ? xP ? , 2 4 k ? 3 ? ? 1 ? ?4 3 ?12k 16k 2 8k 2 ? 6 ? 2 ? 所以 xP ? , yP ? ,当 B, F , P 三点共线时有, kBP ? kBF , 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?12k ? 3 2 3 3 3 ? 3 ? 3k 即 4k ?23 ,解得 k ? 或k ? ? ,又由题意知, y ? ? ?0得 8k ? 6 2 2 1 k? 3 4k 2 ? 3 3 3 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所以 k ? . 2

y?

18.某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆,其 设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示:曲

y B C

-4F A 第 18 题-甲

·E
O 第 18 题-乙

D

x

线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E (0, t )( 0 ? t ? 25 ,单位:米) ;曲线 BC 是 抛物线 y ? ?ax2 ? 50(a ? 0) 的一部分; CD ? AD ,且 CD 恰好等于圆 E 的半径. 假定 拟建体育馆的高 OB ? 50 米. (1)若要求 CD ? 30 米, AD ? 24 5 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; (3)若 a ?

1 ,求 AD 的最大值. 25

(参考公式:若 f ( x) ? 解 : (
2

a ? x ,则 f ?( x) ? ?

2 2

1





1 ) 2 a?x CD ? 50 ? t ? 30
…………… 2 分







t ? 20 .
所 以 解

此时圆 E : x ? ( y ? 20) ? 30 ,令 y ? 0 ,得 AO ? 10 5 ,

O D ? A? D 2 ? A4 O 5 ?1 0 2 中, y ? ?a x 5 ?0 ( a ?0 )
1 . 49

将 4点 5 ? 5, 1 C(14 5,30) 代 入 得 ………

a?

… 4分 ( 2 )因为圆 E 的半径为 50 ? t ,所以 CD ? 50 ? t ,在 y ? ?ax2 ? 50 中令 y ? 50 ? t ,得

OD ?
则 立, 所以 故 由

t , a
题 意 知

F ?D 5

0?

t t? a

t ? (0, 25] 对 7? 5





………… 8 分

25 25 1 25 恒成立,而当 t ? ,即 t ? 25 时, t ? 取最小值 10, ? t? a t t t

1 ? 10 a
1 . 100



解 ………… 10 分



a?

( 3 )当 a ?

1 2 2 2 时, OD ? 5 t ,又圆 E 的方程为 x ? ( y ? t) ? (50 ? t ) ,令 y ? 0 ,得 25 x ? ?10 25? t ,所以 AO ? 10 25 ? t ,
而 , ………… D



A ? (
12 分 又 因 为

)?

f ?(t ? )

2 1 ?5 ( ? ? 2 ? 5t t

5 (? t ? 2 5t ) ? 2t ?5 t

, 令

2

) f ?(t ? )

0 , 得

t ? 5 , ………… 14 分 当 t ? (0,5) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增;当 t ? (5, 25) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递
减,从而当 t ? 5 时, f (t ) 取最大值为 25 5 .

-5-

AD 的 最 大 值 为 答 : 当 t ?5 米 时 , 米. …………16 分 (说明:本题还可以运用三角换元,或线性规划等方法解决,类似给分)
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

25

5

19. 设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列, 其前 n 项和为 Sn , 若 a1a5 ? 64 ,S5 ? S3 ? 48 . (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证: “ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这 三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件; (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ?

? anb1

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 个元素,试求 ? ? an ?
的取值范围. 解: (1) 又
2 数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a3 ? 64 ,? a3 ? 8 ,

S5 ? S3 ? 48
n?3



?a4 ? a5 ? 8q2 ? 8q ? 48



?q ? 2



? an ? 8 ? 2

?2 ;
n

………… 4 分

(2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 ,
m ? k ?1 ? ?1 ?2 ? ? l ? k ?1 , ?4 ? ?2 ?m ? k ? 1 ?? . ………… 6 分 ?l ? k ? 3 ②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ? 2 m ? 5 ? 2 k ? 2 l ,? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 ,左边为偶数,等式不成

立, ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, 得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 立. …………8 分 (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1, l ? k ? 3 , 综 合 ① ② ③ , 等差数列, 所以充分性也成立. 综 合 ( 立.
1 2 3















则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1 , ak ?3 ,即 5ak , 2ak ,8ak ,调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成









) , 原 …………10 分







(3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? 即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ?

? anb1 ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,
(*) ? 2n b1 ? 3? 2n?1 ? 4n ? 6 , (**) ? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 ,
4 n 1 ? 2 3

? 当 n ? 2 时, 21bn?1 ? 22 bn?2 ? 23 bn?3 ?

? 2 n1 b ? 3 2? ? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,
?bn ? 2n ? 1 .………14 分

则(**)式两边同乘以 2,得 2 bn?1 ?2 bn?2 ?2 bn? 3 ?

(***) 8 ? n 4 ? ,

2 又 当 n ? 1 时 , 2b1 ? 3 ? 2 ? 1 0 即 b1 ? 1 , 适 合 bn ? 2n ? 1(n ? 2) , ?, 2

-6-

?

bn 2n ? 1 b b 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n?1 ? , an 2 an an?1 2 2 2n bn bn?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? an an?1 a2 a1
? n ? 3 时,


bn bn?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 ? an ?

b3 5 b1 1 b2 3 b4 7 ? ? ? ? , , , , a2 4 a4 16 a1 2 a3 8 7 1 ? ?? ? . ……………16 分 16 2 20.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? mx ? n . (1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . ① 若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n 的值; ② 当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围; 1 nx (2)设函数 r ( x) ? ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r ( x) ? 1 . ? f ( x) g ( x) 解: (1)由题意,得 h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (e x ? mx ? n)? ? e x ? m , x?0 所 以 函 数 在 处 的 切 线 斜 率 h( x ) k ? 1? m , ……………2 分 又 h(0) ? 1 ? n ,所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , ( 1 代 , 将 点 入 0 , ) 得 m?n ? 2. ……………4 分 1 x (2)方法一:当 n ? 0 ,可得 h?( x) ? (e x ? mx)? ? e x ? m ,因为 x ? ?1 ,所以 e ? , e 1 x ①当 m ? 时, h?( x) ? e ? m ? 0 ,函数 h( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,而 h(0) ? 1 , e 1 1 h( ? ? 1 ?)m ? m?? 所 以 只 需 , 0 解 得 , 从 而 e e 1 1 ? ?m? . ……………6 分 e e 1 x ②当 m ? 时,由 h?( x) ? e ? m ? 0 ,解得 x ? ln m ? (?1, ??) , e 当 x ? (?1,ln m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x)
单调递增. 所以函数 h( x) 在 (?1, ??) 上有最小值为 h(ln m) ? m ? m ln m , 令 m ? m ln m ? 0 ,解得 m ? e ,所以 综 上

1 ?m?e. e
所 述 ……………10 分 ,

1 m ? [ ? , e) . e
方法二:当 n ? 0 , e ? mx ①当 x ? 0 时,显然不成立;
x

-7-

x ex ex e x x ? e x e ? x ? 1? , 令y? , 则 y? ? , 当 ?1 ? x ? 0 ? x x x2 x2 ex ex 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调递减,0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调递减, 当 x ? 1 时, x x 1 1 ex y? ? 0 ,函数 y ? 单调递增,又 y x ??1 ? ? , y x?1 ? e ,由题意知 m ? [? , e) . e e x n x 1 nx 1 1 4x m (3)由题意, r ( x) ? , ? ? x? ? x? n e f ( x) g ( x) e x ? 4 x? m 1 4x ? 1 等价于 ex (3x ? 4) ? x ? 4 ? 0 , 而 r ( x) ? x ? e x?4

m? ②当 x ? ?1 且 x ? 0 时,



F ( x) ? ex (3x ? 4) ? x ? 4 ,
……12 分 则 F (0) ? 0 ,且 F ?( x) ? e x (3x ?1) ? 1 , F ?(0) ? 0 , 令 G( x) ? F ?( x) ,则 G?( x) ? ex (3x ? 2) ,

………

x?0 , 所 以 G?( x ? , ) 0 ……………14 分 所以导数 F ?( x) 在 [0, ??) 上单调递增,于是 F ?( x) ? F ?(0) ? 0 , F ( x) [0, ??) 从 而 函 数 在 上 单 调 递 增 , 即 F( ? x) ?F ( ) 0 . 0 ……………16 分


附加题答案
21. A、 (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,已知点 P 为 Rt ?ABC 的斜边 AB 的延长线上一点,且 PC 与 Rt ?ABC 的外接圆相切,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D ,若 PA ? 18 , PC ? 6 ,求线段 CD 的长.
2

C

A

D

B P

解:由切割线定理,得 PC ? PA ? PB ,解得 PB ? 2 , 所以 AB ? 16 ,即 Rt ?ABC 的外接圆半径 r ? 8 ,……5 分 记 Rt ?ABC 外接圆的圆心为 O ,连 OC ,则 OC ? PC , 在 Rt ?POC 中 , 由 面 积 法 得 OC ? PC ? PO ? CD

第 21-A 题图







CD ?

24 . 5

………………10 分

B、 (选修 4—2:矩阵与变换)

? 2 2? ? ? ? 2 2 ? 的变换下所得曲线的方程. 求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M ? ? ? 2 2? ? ? ? 2 2 ? 解:设 P( x, y ) 是所求曲线上的任一点,它在已知直线上的对应点为 Q( x?, y?) ,

-8-



? ? ? ? ? ? ?

2 x? ? 2 2 x? ? 2

2 y? ? x 2 2 y? ? y 2







? ? x? ? ? ? ? y? ? ? ?

2 ( x ? y) 2 , 2 ( y ? x) 2
代入 x? ? y? ? 1 ? 0 中,得 化 简 可 得

………………5 分

2 2 ( x ? y) ? ( y ? x) ? 1 ? 0 , 2 2
所 求 曲 线 方 程 为 ………………10 分

x?

2 . 2

C、 (选修 4—4:坐标系与参数方程)

) ? 1 的距离. 3 s 为 普 通 方 程 为 x2 ? y 2 ? 2x ? 0 , 圆 心 为 解 : 将 圆 ? ? 2 c ?o 化 (1, 0) , ………………4 分
又 2 ? sin(? ? 所 故 以 所 求

在极坐标系中,求圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 2 ? sin(? ?

?

?

1 3 ) ? 1 ,即 2 ? ( sin ? ? cos ? ) ? 1 , 3 2 2
直 线 的 圆 的 心 普 到 直 通 线 方 的 程 距 为 离

3x ? y ? ? , 1
d? 3 ?1 . 2
: 当

0

………………8 分

………………10 分

D、解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 4 . 解

x ? ?1















? x ? 1 ? ?2x ?

4 ,





?

当 ?1 ? x ? 2 时 , 不 等 式 化 为 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ?1 ? x ? 2 ; ………………6 分 x?2 时 , 不 等 式 化 为 x ?1? x ? 2 ? 4 当 5 2? x? ; ………………9 分 2 所 以 原 不 等 式 的 解

3 2

x ?

1; ?

?

………………3 分 , , 解 解 得 得





3 5 (? , ) . 2 2
22. (本小题满分 10 分)

………………10 分
A1 C1

如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , 动点 P 满足 CP ? ?CC1 (? ? 0) ,当 ? ? (1)求棱 CC1 的长;
A -9B

1 时, AB1 ? BP . 2

B1

P

C

第 22 题图

? ,求 ? 的值. 3 解: (1)以点 A 为坐标原点, AB, AC, AA1 分别为 x, y , z 轴,
(2)若二面角 B1 ? AB ? P 的大小为 建立空间直角坐标系, 设 CC1 ? m ,则 B1 (3,0, m) , B(3, 0, 0) , P(0, 4, ? m) , 所 以

A

1

?( B

3

,,

m

PB ? (3, ? 0 ,4, ??m) )



………………2 分 AB ? (3,0,0) , 1 1 当 ? ? 时,有 AB1 ? PB ? (3, 0, m) ? (3, ?4, ? m) ? 0 2 2 解 得 , 即 棱 m?3 2 CC1







3 2.
? AB?n1 ? 0 ? ? ? PB?n1 ? 0

………………4 分

(2)设平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 则由 ? ,得 ?

?3x ? 0 ? ? ?x ? 0 ,即 ? , ? ? ?3x ? 4 y ? 3 2? z ? 0 ?4 y ? 3 2? z ? 0

令 z ?1 , 则 y ? ?

3 2? , 所 以 平 面 PAB 的 一 个 法 向 量 为 4

3 2? ,1) ,………………6 分 4 又平面 ABB1 与 y 轴垂直,所以平面 ABB1 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) , ? 因二面角 B1 ? AB ? P 的平面角的大小为 , 3 n1 ? (0, ?
所 以

cos n1 , n2 ?

1 ? 2

3 2? 4 3 2? 2 ( ) ?1 4 ?







? ?0







2 6 . ………………10 分 9 * 23.设集合 S ? ?1,2,3,L , n? (n ? N , n ? 2) , A, B 是 S 的两个非空子集,且满足集合 A 中

??

的最大数小于集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对 ( A, B) 的个数为 P n. (1)求 P2 , P 3 的值; 解: (1) 当 n ? 2 时, 即 S ? ?1,2? , 此时 A ? ?1? , 所以 P B ? ?2? , 2 ?1, 2分 当 n ? 3 时,即 S ? ?1,2,3? ,若 A ? ?1? ,则 B ? ?2? ,或 B ? ?3? ,或 B ? ?2,3? ; 若 (2)求 P n 的表达式. ………………

A ? ?2?



A ? ?1,2?





B ? ?3?







P 3 ? 5.

………………4 分

(2)当集合 A 中的最大元素为“ k ”时,集合 A 的其余元素可在 1, 2, ( 包 含 不 取 ), 所 以 集 合 A 共 有 C
0 k ?1

, k ? 1 中任取若干个
? 1 k? ? Ckk? ?1 2 种1 情

?C

1 k? 1

? Ck ? ? 1
2

- 10 -

况, ………………6 分 此时, 集合 B 的元素只能在 k ? 1, k ? 2, , n 中任取若干个 (至少取 1 个) , 所以集合 B 共
n ?k n ?k ? Cn ?1 种情况, ?k ? 2 所以,当集合 A 中的最大元素为“ k ”时, 集 合 对 共 有 ( A, B) 1 2 3 有 Cn ?k ? Cn?k ? Cn?k ?

2k ?1

?(

n?

2 ?k

1

?

1?

n1

)

对, 当 k 依次取 1, 2,3, 求

………………8 分 , n ? 1 时,可分别得到集合对 ( A, B) 的个数, 和 可
n ?2

得 ………………10 分

P n ? (n ?1) ? 2

n?1

? (2 ? 2 ? 2 ? L ? 2
0 1 2

) ? (n ? 2) ? 2

n?1

?1 .

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