人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数单元测试题(含参考答案)
诺成教育
高一数学单元测试题 第二章《基本初等函数》
姓名 一．选择题． （每小题 5 分，共 50 分） n a 1． m ? 0 ， ? 0 ， ? 0 且 a ? 1 ， 若 则下列等式中正确的是
1
得分 ( )
A． ( a ) ? a
m n
m?n
B． a m ?
1 a
m
4
C． lo g a m ? lo g a n ? lo g a ( m ? n )
D． m n ? ( m n ) 3
3 4 4
2． 函数 y ? lo g a (3 x ? 2 ) ? 2 的图象必过定点 A． (1, 2 ) B． ( 2 , 2 ) C． ( 2 , 3)
2 2
( D． ( , 2 )
3 2
)
3． 已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 ( 2 ,
) ， f () 则 4
1 2
的值为
（
）
A． 1
0 ,) 4． x ? (1 若
B． 2 ， 则下列结论正确的是
1 1
C．
D． 8 （
1 1 x
）
x
A． 2 ? lg x ? x 2
x
B． 2 ? x 2 ? lg x
x
C． x 2 ? 2 ? lg x
D．lg x ? x 2 ? 2 （
5． 函数 y ? lo g ( x ? 2 ) (5 ? x ) 的定义域是 A． (3, 4 ) B． ( 2 , 5 ) C． ( 2, 3) ? (3, 5) D． ( ? ? , 2 ) ? (5, ? ? )
）
6．某商品价格前两年每年提高 1 0 % ，后两年每年降低 1 0 % ，则四年后的价格与原来价格比 较， 变化的情况是 （ ） A．减少 1 .9 9 % B．增加 1.99% C．减少 4 % D．不增不减 7． 10 若0 A． 0
a
5? 1 , 0
2
b
?
， 2a ? b ? 则 C． 2
x 2
（ D． 3 （ C．既奇且偶函数 D．非奇非偶函数 （ D． ( ? ? , 0 )
）
B． 1
x
8．函数 f ( x ) ? lg (1 0 ? 1) ? A．奇函数
2
是
）
B．偶函数
9． 函数 y ? lo g a ( x ? 2 x ) (0 ? a ? 1) 的单调递增区间是 A． (1, ? ? ) B． ( 2 , ? ? ) C． ( ? ? ,1)
）
10． y ? lo g 2 ( 2 ? a x ) ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [0 ,1] 上是 x 的减函数， a 的取值范围是 （ 若 则 A． (0 ,1) B． ( 0 , 2 ) C． (1, 2 )
1
）
D． [ 2, ? ? )
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二．填空题．(每小题 5 分，共 25 分) 11．计算： lo g 4 2 7 ? lo g 5 8 ? lo g 9 6 2 5 ? 12．已知函数 f ( x ) ? ?
( ? lo g 3 x， x > 0 ) ? 2 ， ( x ? 0)
x
．
1
,则 f [ f ( )] ?
3
．
13．若 f ( x ) ? a ln ( x ? 1 ? x ) ? b x ? 2 ，且 f ( 2 ) ? 5 ，则 f ( ? 2 ) ?
2 3
． ．
14． 若函数 f ( x ) ? lo g a x (0 ? a ? 1) 在区间 [ a , 2 a ] 上的最大值是最小值的 3 倍， a = 则 15．已知 0 ? a ? 1 ，给出下列四个关于自变量 x 的函数：
1
① y ? lo g x a ，② y ? lo g a x ， ③ y ? (lo g 1 x )
2
a
3
④ y ? (lo g 1 x ) 2 ．
a
其中在定义域内是增函数的有 三．解答题（6 小题，共 75 分） 16．(12 分)计算下列各式的值：
4
．
（Ⅰ） ( 3 2 ?
3 ) ? (2 ?
6
2)3 ? 4 ? (
16 49
?
1 2
)
?
4
2 ?8
0 .2 5
．
（Ⅱ） ln ( e e ) ? lo g 2 (lo g 3 8 1) ? 2
1 ? lo g 2 3
?
lo g lo g 9
3
2 ? 2 lo g 3 5 ? 1 3 lo g 3 1 2 5
1 4
．
17． 12 分）已知函数方程 x ? 8 x ? 4 ? 0 的两根为 x1 、 x 2 （ x1 ? x 2 ） （ ．
2
2
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（Ⅰ）求 x1
?2
? x2
?2
的值；
（Ⅱ）求 x1
?
1 2
? x2
?
1 2
的值．
18．(共 12 分)（Ⅰ）解不等式 a
2 x ?1
1 x?2 ? ( ) a
(a ? 0且 a ? 1) ．
（Ⅱ） 设集合 S ? { x | lo g 2 ( x ? 2 ) ? 2} ， 集合 T ? { y | y ? ( ) ? 1, x ? ? 2} 求 S ? T ，S ? T ．
x
1
2
19． 12 分） 设函数 （
1 4
? 2 f (x) ? ? ? lo g 4 x
?x
x ?1 x ?1
．
（Ⅰ）求方程 f ( x ) ?
的解．
（Ⅱ）求不等式 f ( x ) ? 2 的解集．
20． 13 分）设函数 f ( x ) ? lo g 2 ( 4 x ) ? lo g 2 ( 2 x ) 的定义域为 [ , 4 ] , （
4
3
1
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（Ⅰ）若 t ? log
2
x ,求 t 的取值范围；
（Ⅱ）求 y ? f ( x ) 的最大值与最小值，并求出最值时对应的 x 的值．
21． （14 分）已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? （Ⅰ）求 b 的值； （Ⅱ）证明函数 f ? x ? 在 R 上是减函数；
?2 ? b
x
2
x ?1
?2
是奇函数．
（Ⅲ）若对任意的 t ? R ，不等式 f ( t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 恒成立，求 k 的取值范围．
2 2
4
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参考答案
一．选择题 题号 答案 二．填空题． 11． 9 ． 三．解答题： 16． （Ⅰ） 解：原式 ? 4 ? 2 7 ? 2 ? 7 ? 2 ? 1 0 1 ． ． （Ⅱ）解：原式 ?
3 2 ? 2 ? 2?3? lo g 3 ( 4 ? 2 5 ) lo g 3 ( 1 2 ? 1 5 ) ? 3 2 ? 2 ? 2?3? 2 ? 15 2
1 D
2 A
3 C
4 B
5 C
6 A
7 B
8 B
9 D
10 C
12．
1 2
．
13． 1 ．
14．
2 4
．
15． ③，④．
．
17． 解：由条件得： x1 ? 4 ? 2 3 ， x 2 ? 4 ? 2 3 ． （Ⅰ） x1
?2
? x2
?2
? (
1 x1
?
1 x2
)(
1 x1
?
1 x2
)?
( x1 ? x 2 )( x 2 ? x1 ) ( x1 x 2 )
2
?
8? 4 3 16
? 2 3 ．
（Ⅱ） x1
?
1 2
? x2
?
1 2
?
1 4?2 3
?
1 4?2 3
?
1 3 ?1
?
1 3 ?1
?1．
18．解： （Ⅰ）原不等式可化为： a
2 x ?1
? a
2? x
．
当 a ? 1 时， 2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1 ．原不等式解集为 (1, ? ? ) ． 当 a ? 1 时， 2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1 ．原不等式解集为 ( ? ? ,1) ． （Ⅱ）由题设得： S ? { x | 0 ? x ? 2 ? 4} ? ( ? 2, 2 ] , T ? { y | ? 1 ? y ? ( )
2 1
?2
? 1} ? ( ? 1, 3] ．
∴ S ? T ? ( ? 1, 2 ] ， S ? T ? ( ? 2, 3] ．
?x ?1 ? f (x) ? ? ? ?x 1 4 ?2 ? 4 ? 1
1 4
19．解： （Ⅰ）
?x ? 1 ? （无解）或 ? 1 ? x ? ? lo g 4 x ? ? 4
2 ．
∴方程 f ( x ) ?
的解为 x ?
?x ?1 ?2
?x
2 ．
?x ? 1 ?x ?1 ? ? 或? ． ? x ? 16 ? lo g x 4 ? 2 ? x ? ?1
?x ?1
（Ⅱ） f ( x ) ? 2 ? ?
? 2
或?
? ? 1 ? x ? 1 或1 ? x ? 1 6 即 ? 1 ? x ? 1 6 ．
5
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∴不等式 f ( x ) ? 2 的解集为： [ ? 1,1 6 ] ． 20．解： （Ⅰ） t 的取值范围为区间 [lo g 2
1 4 , lo g 2 4 ] ? [ ? 2 , 2 ] ．
（Ⅱ）记 y ? f ( x ) ? (lo g 2 x ? 2 )(lo g 2 x ? 1) ? ( t ? 2 )( t ? 1) ? g ( t ) ∵ y ? g (t ) ? (t ?
3 2 ) ?
2
(?2 ? t ? 2) ．
, 2 ] 是增函数
1 4
在区间 [ ? 2 , ?
? 3 2
3 2
] 是减函数，在区间 [ ?
3 2
∴当 t ? lo g 2 x ? ?
3 2
即x ? 2
2
?
2 4
时， y ? f ( x ) 有最小值 f (
2 4
) ? g (?
3 2
)? ?
1 4
；
当 t ? lo g 2 x ? 2 即 x ? 2 ? 4 时， y ? f ( x ) 有最大值 f ( 4 ) ? g ( 2 ) ? 1 2 ． 21．解： （Ⅰ）∵ f ? x ? 是奇函数，所以 f ( 0 ) ? （Ⅱ）由（1）知 f ( x ) ? ?
2 ?1
x
1? b 4
? 0 ? b ? 1 (经检验符合题设) ．
2 ( 2 ? 1)
x
．对 ? x1 , x 2 ? R ，当 x1 ? x 2 时，总有
2
x2
? 2
x1
? 0, ( 2
x1
? 1)( 2
x2
? 1) ? 0 ．
x1 x1
∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ．
1 2
?(
2 2
?1 ?1
?
2 2
x2 x2
?1 ?1
)?
1
?
2
x1
x2
?2
x1
2 (2
? 1)( 2
x2
? 1)
? 0，
∴函数 f ? x ? 在 R 上是减函数． （Ⅲ）∵函数 f ( x ) 是奇函数且在 R 上是减函数， ∴ f (t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 ? f (t ? 2 t ) ? ? f ( 2 t ? k ) ? f ( k ? 2 t ) ．
2 2 2 2 2
? t ? 2 t ? k ? 2 t ? k ? 3 t ? 2 t ? 3( t ?
2 2 2
1 3
) ?
2
1 3
． （*）
对于 ? t ? R （*）成立 ? k ? ? ∴ k 的取值范围是 ( ? ? , ? ) ．
3 1
1 3
．
6