抛物线单元讲义


抛物线专题复习讲义及练习
★知识梳理★
1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ( p ? 0 ):
标准方程 图形
y 2 ? 2 px


y 2 ? ?2 px


x 2 ? 2 py
y


x 2 ? ?2 py


y

y

y

x O

x O

x O
O

x

焦点

F( x??

p ,0) 2 p 2

F (? x? p 2

p ,0) 2

F (0, y??

p ) 2

F (0,?
y? p 2

p ) 2

准线

p 2

范围 对称轴 顶点 离心率

x ? 0, y ? R

x ? 0, y ? R

x ? R, y ? 0

x ? R, y ? 0

x轴
(0,0)

y轴

e ?1

2.抛物线的焦半径、焦点弦 ① y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦半径 PF ? x ? P ; x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦半径 PF ? y ? P ; 2 2 ② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为 2p. ③ AB 为抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点弦,则 x A xB ?

p2 2 , y A yB ? ? p , | AB | = xA ? xB ? p 4

★重难点突破★
重点:掌握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能通过方程研 究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题 1:抛物线 y=4 x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( A.
2

)

17 16

B.

15 16

C.

7 8

D. 0



2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题 2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线的条数有

问题 3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

★热点考点题型探析★
考点 1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 [例 1 ]已知点 P 在抛物线 y = 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点 距离之和的最小值为
2

【新题导练】 1.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P ( x1,y1 ),P ( x2,y2 ) , P ( x3,y3 ) 在抛 1 2 3 物线上,且 | P F | 、 | P F | 、 | P3 F | 成等差数列, 则有 1 2 A. x1 ? x2 ? x3 C. x1 ? x3 ? 2x2 B. y1 ? y2 ? y3 D. y1 ? y3 ? 2y2
2





2. 已知点 A(3,4), F 是抛物线 y ? 8x 的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MA ? MF 最小时, M 点坐标是 A. (0, 0) B. (3, 2 6 ) C. ( 2, 4) ( )

D. (3, ? 2 6 )

考点 2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 [例 2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程: (1)过点(-3,2) (2)焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上



【新题导练】 3.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 p 的值 3

4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5; ⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 能使这抛物线方程为 y =10x 的条件是____________.(要求填写合适条件的序号) 5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 Y 轴的交点,A 为抛物线上一 点,且 | AM |? 17,| AF |? 3 ,求此抛物线的方程
2

考点 3 抛物线的几何性质 题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证 [例 3 ]设 A、B 为抛物线 y 点坐标为__________.
2

? 2 px 上的点,且 ?AOB ? 90? (O 为原点),则直线 AB 必过的定

【新题导练】 6. 若直线 ax ? y ? 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,则实数 a ?
2

7.过抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点 A、 B,若 A、 在抛物线准线上的射影为 A1 , B1 , B 则 ?A1 FB1 ? A. 45
?

( B. 60
?

)

C. 90

?

D.

120?



基础巩固训练 1.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于

a2 ? 2a ? 4(a ? R) ,则这样的直线( )
A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1 条或 2 条 D.不存在

2.在平面直角坐标系 xOy 中, 若抛物线 x2 ? 4 y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为 5, 则点 P 的纵坐标为 ( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

3.两个正数 a、b 的等差中项是 的焦点坐标为( ) A. (0, ? )

9 2 ,一个等比中项是 2 5 ,且 a ? b, 则抛物线 y ? (b ? a) x 2

1 4

B. (0, )

1 4

C. ( ? , 0)

1 2

D. ( ? , 0)

1 4

5、抛物线 y ? 4x的焦点为 , 准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于 60°的 F
2

直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A,AB⊥l,垂足为 B,则四边形 ABEF 的面积等 于( ) A. 3 3 B. 4 3 C. 6 3 D. 8 3

6、设 O 是坐标原点, F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x 轴正向
2

??? ?

的夹角为 60 ,则 OA 为

?

??? ?






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