chap1 随机事件及其概率


概率论与数理统计
主讲:穆静静 系部:数理系 Tel:13938661978

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课程内容
? 概率论部分
随机事件及其概率 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 大数定律和中心极限定理

? 数理统计部分
基本概念 参数估计 假设检验 方差分析与回归分析
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本学科的 ABC
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关. 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博

中的一些问题;17世纪中叶,法国数学家B. 帕
斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法,研究了较复杂 的赌博问题, 解决了“ 合理

分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
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对客观世界中随机现象的分析产生了概率
论;使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠

基人是瑞士数学家J.伯努利;而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后. 第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
整理和分析带有随机性的数据,以对所考察的 问题作出推断或预测,直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
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统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识,如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数

学等等,但关系最密切的是概率论,故可以这 样说:概率论是数理统计学的基础,数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科,并无从属关系.

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本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及

所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制

及预测都与《概率论》紧密相关;
2. 产品的抽样验收,新研制的药品能 否在临床中应用,均要用到《假设检验》;
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3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》; 4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》; 5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》; 6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间

序列分析》方法非常有用;
7. 研究化学反应的时变率,要以《马尔

可夫过程》 来描述;
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8. 生物学中研究 群体的增长问题时, 提出了生灭型《随机模型》,传染病流行问

题要用到多变量非线性《生灭过程》;
9. 许多服务系统,如电话通信、船舶

装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
水库调度、购物排队、红绿灯转换等,都

可用一类概率模型来描述,其涉及到 的知
识就是 《排队论》.

目前, 概率统计理论进入其他自然科学
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领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经 济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率 统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说对了: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大
多数在实质上只是概率的问题.” 英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾

对概率论大加赞美:“ 概率论是生活真正
的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那

么我们就寸步难行, 无所作为. ”
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第一章 随机事件及其概率
确定性现象 随机现象 ——

? 每次发生前不能预言出现什么结果; ? 每次发生后出现的结果不止一个; ? 在相同的条件下进行大量观察或试
验时,出现的结果有一定的规律性 —— 称之为统计规律性.
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§1.1 随机事件及其运算
基本术语 随机试验 ——对某事物特征进行观察, 若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示

? 可在相同的条件下重复进行
? 试验结果不止一个,但能明确所有的结果 ? 试验前不能预知出现哪种结果
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E1 : 投一枚硬币3次,观察正面出现的次数

E 2 : 观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数
E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度

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样本点—— 随机试验E 的每一个可能的 结果称为样本点(或基本事件) 常记为? ,

基本事件 —— 仅由一个样本点组成的子集 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件.
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果 组成的集合称为样本空间,记为?
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例1 给出一组随机试验及相应的样本空间
E1 : 投一枚硬币3次,观察正面出现的次数

?1 ? {0,1, 2,3}
?2 ? {0,1, 2,3,?, N}

有限样本空间

E 2 : 观察总机每天9:00~10:00接到的电话次数

E3 : 观察某地区每天的最高温度与最低温度

?3 ? {( x, y) T1 ? x ? y ? T2}
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无限样本空间
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其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度

随机事件 —— ?的子集, 记为 A ,B ,…
它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
例:E : 投一颗筛子,观察出现的点数。

? ? {1, 2,3, 4, 5, 6} A ? {掷出奇数点} ? {1,3, 5}
B ? {掷出点数大于4} ? {5, 6}

随机事件发生 —— 组成随机事件的一个样 本点发生
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必然事件——全体样本点组成的事件,记 为?, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为? ,每次试验必定不发生的事件.

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事件的关系和运算
文氏图 ( Venn diagram )
? A

随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
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1. 事件的包含

A ? B —— A 包含于B
? 事件 A 发生必 导致事件 B 发生
?

A

B

2. 事件的相等

A ? B ? A ? B且B ? A
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3. 事件的并(和)
A ? B或A ? B

—— A 与B 的和事件
A ? B发生

A

?

A? B

B

?事件 A与事件B 至 少有一个发生
A1,A2, ???, An 的和事件 —— ? Ai A1,A2, ???, An , ??? 的和事件 —— ? Ai
i ?1
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n

i ?1

?

4. 事件的交(积)
A ? B或AB —— A 与B 的积事件
A B

?

A ? B发生

A? B

?事件 A与事件B 同时 发生

A1,A2, ???, An 的积事件 ——

? Ai
i ?1 ? i ?1
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n

A1,A2, ???, An , ???的积事件 —— ? Ai
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5. 事件的差
—— A 与B 的差事件
A ? B发生

A? B

A A B

?

A? B

? 事件 A 发生,但 事件 B 不发生

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6. 事件的互斥(互不相容)
AB ? ? —— A 与B 互斥
? A、 B不可能同
?

A

B

时发生
A1,A2, ???, An两两互斥

? Ai Aj ? ?, i ? j, i, j ? 1,2,?, n
A1,A2, ???, An , ???两两互斥

? Ai Aj ? ?, i ? j , i, j ? 1,2,?
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7. 事件的对立

AB ? ? , A ? B ? ?
—— A 与B 互相对立 ? 每次试验 A、 B中

B? A
A

?

有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件), 记为 B ? A 注意:“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念
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8. 完备事件组 则称 A1 , A2 ,?, An 为完备事件组 或称 A1 , A2 ,?, An 为 ? 的一个划分
A1
A2
?

若 A1 , A2 ,?, An两两互斥,且 ? ? ? Ai
i ?1

n

An

A3
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?

An?1
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运算律

事件 运算

对应

集合 运算

? 吸收律 A ? ? ? ?

A?? ? A A ? ( AB) ? A
? 重余律 A ? A ? 幂等律 ? 差化积
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?

A?? ? A A?? ? ? A ? ( A ? B) ? A

A? A ? A

A? A ? A
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A ? B ? AB ? A ? ( AB)

? 交换律 A ? B ? B ? A

AB ? BA

? 结合律 ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) ( AB)C ? A( BC )

? 分配律 ( A ? B) ? C ? ( A ? C ) ? ( B ? C )

A ? ( BC ) ? ( A ? B)( A ? C )
? 反演律 A ? B ? A B

AB ? A ? B

?A ??A
i i ?1 i ?1
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n

n

i

?A ??A
i i ?1 i ?1
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n

n

i

运算顺序: 逆交并差,括号优先

分配律
B A C

图 示

A ? ( BC) ( A ? B)( A ? C )

B

A

C
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例2 用图示法简化 ( A ? B)(A ? B ) . AB ? ? A ( A ? B) B

红色 区域

?


A

(A? B)
A
B

黄色 区域

?
? ( A ? B)(A ? B ) ? A
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?
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例3 化简事件

( AB ? C ) AC

解 原式 ? AB ? C ? AC ? ABC ? AC

? ( A ? B)C ? AC

? AC ? BC ? AC
? A(C ? C) ? BC

? A? ? BC ? A ? BC
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例4 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系

A ,B ,C 都不发生——

ABC ? A ? B ? C
A ,B ,C 不都发生——

ABC ? A? B ?C
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例5 设 A, B, C 为三个事件,试用A, B, C 表示下列事件。

(1) A 发生而 B 与 C 都不发生; AB C 或 A ? B ? C
(2) A 与B 都发生而C 不发生;
ABC 或 AB ? C (3) A, B, C 都发生; ABC
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(4) A, B, C 恰有一个发生;
ABC ? ABC ? ABC

(5) A, B, C 中至少有一个发生; A? B ?C 或
AB C ? ABC ? A BC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC

(6) A, B, C 中不多于两个发生;
ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ? A B C


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ABC
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(7) A, B 至少有一个发生而 C 不发生;
( A ? B)C

或 AB C ? ABC ? ABC (8) A, B, C 恰有两个发生;
ABC ? ABC ? ABC

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问题
在一次乒乓球比赛中设立奖金1千 元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部 奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了 3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因 必须中止比赛.问这1000元应如何分配 才算公平?
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§1.2 概率的定义及计算
历史上概率的三次定义

① 古典定义

概率的最初定义

② 统计定义
③ 公理化定义

基于频率的定义

1930年后由前 苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出

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频率 定义1.1 设在相同的条件下,进行了 n 次 试验,若随机事件 A 在这n 次试验中发生了 nA nA 次,则称 f n ? 为事件 A 发生的 频率
n

记为 f n ( A)

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频率的性质
?

0 ? fn ( A) ? 1
f n (? ) ? 1

非负性 归一性

?

? 事件 A, B互斥,则

f n ( A ? B) ? f n ( A) ? f n ( B)
? lim f n ( A) ? P ( A)
n ??

可加性

可推广到有限个两两互斥事件的和事件
稳定性
某一定数
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频率稳定性的实例
蒲丰( Buffon )投币
投一枚硬币观察正面向上的次数

n = 4040, nA =2048,
皮尔森( Pearson ) 投币 n = 12000, nA =6019,

f n( A ) = 0.5069
f n( A) = 0.5016 f n( A ) = 0.5005
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n = 24000, nA =12012,
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频率的应用
第五章指出:当试验次数较大时有

事件发生 的概 率

?

事件发生 的频 率

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近百年世界重大地震
“重大”的标准
时间 1905.04.04 1906.08.17 1917.01.20 1920.12.16 1923.09.01 1935.05.30
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① 震级 7 级左右

② 死亡 5000人以上

地点 克什米尔地区 智利瓦尔帕莱索港地区 印度尼西亚巴厘岛 中国甘肃 日本关东地区 巴基斯坦基达地区

级别 死亡 8.0 8.4 88 万 2 1.5 万 10 万 14.2 万 5 万

8.6 7.9 7.5
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时间
1948.06.28 1970.01.05 1976.07.28 1978.09.16 1995.01.17 1999.08.17 2003.12.26 2004.12.26

地点
日本福井地区 中国云南 中国河北省唐山 伊朗塔巴斯镇地区 日本阪神工业区 土耳其伊兹米特市 伊朗克尔曼省 印尼苏门答腊岛附近海域

级别 死亡
7.3 7.7 7.8 7.9 7.2 7.4 6.8 9.0 0.51 万 1 万 24.2 1.5 0.6 万 1.7 万 3 万 15 万

世界每年发生大地震概率约为14%
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概率的定义
概率的 统计定义 在相同条件下重复进行的 n 次 试验中, 事件 A 发生的频率稳定地在某一

常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越 小, 则称 p 为事件 A 的概率, 记作 P(A). 对本定义的评价
优点:直观 易懂
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缺点:粗糙 不便 模糊 使用
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概率的 公理化定义
设 ? 是随机试验E 的样本空间,若能找到 一个法则,使得对于E 的每一事件 A 赋于一个 实数,记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率,这种 赋值满足下面的三条公理: ? 非负性:?A ? ?, P( A) ? 0 ? 归一性: P(?) ? 1
?? ? ? ? 可列可加性:P ? ? Ai ? ? ? P( Ai ) ? i ?1 ? i ?1
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其中 A1 , A2 ,? 为两两互斥事件,

概率的性质
性质1 P(?) ? 0 性质2 有限可加性: 设 A1 , A2 ,? An 两两互斥 n n ? ? P? ? Ai ? ? ? P( Ai ) ? i ?1 ? i?1 性质3 P( A) ? 1 ? P( A) ? P( A) ? 1 性质4 A ? B ? P( B ? A) ? P( B) ? P( A)

? P( A) ? P( B)
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? 对任意两个事件A, B, 有

P( B ? A) ? P( B) ? P( AB)
A AB B - AB B

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性质5 加法公式:对任意两个事件A, B, 有

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
推广: P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C ) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC )
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一般:
P(? Ai ) ? ? P( Ai ) ?
i ?1 i ?1 n n

1?i ? j ? n

? P( Ai Aj )
n ?1

?

?

1?i ? j ? k ? n

? P( Ai Aj Ak ) ? ? ? (?1)
n

n

P( A1 A2 ? An )

右端共有 2 ? 1 项.

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例:设事件 A, B 的概率分别为 1 3 ,1 2 , 在下列情况下分别求 P( BA) 的值。 (1) A, B互斥 (2) A ? B (3) P( AB) ? 1 8 解:(1) P( BA) ? P( B ? A) ? P ( B) ? 1 2 (2) P( BA) ? P( B ? A) ? P ( B) ? P ( A) ? 1 6

(3) P( BA) ? P( B ? A) ? P ( B) ? P ( AB)
? 1 2?1 8 ? 3 8
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例:设 A, B, C 为三事件,且 P( AC ) ? 1 8,
P( A) ? P( B) ? P(C ) ? 1 4, P( AB) ? P( BC ) ? 0,

求 A, B, C 中至少有一个发生的概率。 解:P( A ? B ? C ) ? P( A) ? P( B) ? P(C )
? P ( AB) ? P ( AC ) ? P( BC ) ? P( ABC )

1 1 5 ? ?3? ? 0 ? 4 8 8

注: P( ABC ) ? 0
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例1:某人外出旅游两天。据天气预报 第一天下雨的概率为0.6,第二天下雨 的概率为0.3,两天都下雨的概率为0.1, 试求: (1)第一天下雨而第二天不下雨的概率; (2)第一天不下雨而第二天下雨的概率; (3)至少有一天下雨的概率; (4)两天都不下雨的概率;
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(5)至少有一天不下雨的概率; 解:Ai ?{第i天下雨}; i=1,2 由题知
P ( A1 ) ? 0.6, P( A2 ) ? 0.3, P( A1 A2 ) ? 0.1,

(1)第一天下雨而第二天不下雨的概率;
P ( A1 A2 ) ? P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ? A1 A2 )

? P( A1 ) ? P( A1 A2 ) ? 0.6 ? 0.1 ? 0.5

(2)第一天不下雨而第二天下雨的概率;
P ( A1 A2 ) ? P( A2 ? A1 ) ? P( A2 ) ? P( A1 A2 ) ? 0.2
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(3)至少有一天下雨的概率;
P ( A1 ? A2) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A1 A2 )

? 0.6 ? 0.3 ? 0.1 ? 0.8

(4)两天都不下雨的概率;
P ( A1 A2 ) ? P ( A ? A ) ? 1 ? P( A1 ? A2 ) ? 0.2 1 2

(5)至少有一天不下雨的概率;
P ( A ? A ) ?P ( A A ) ?1 ? P( A1 A2 ) ? 0.9 1 2 1 2
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例 2: 某地发行 A, B, C 三种报纸,已知在 市民中订阅 A 报的有45%,订阅 B 报的 有35%,订阅 C 报的有30%,同时订阅A 及 B 报的有10%,同时订阅 A 及 C 报的有 8%,同时订阅 B 及C 报的有5%,三种都 订的有3%,试求下列事件的概率。 (1)只订 A 报。 (2)只订 A 报及 B报。 (5)恰好订两种报纸。 (6)恰好订一种报纸。
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解: 设 A, B, C 分别表示订 A 报,订 B 报, 订 C 报的事件,由题意知,
P ( A) ? 0.45, P ( B ) ? 0.35, P (C ) ? 0.3, P ( AB) ? 0.1, P ( AC ) ? 0.08, P ( BC ) ? 0.05, P ( ABC ) ? 0.03, B (1)只订 A 报。 A C
P( AB C ) ? P( A) ? P( AB) ? P( AC ) ? P( ABC )
? 0.45 ? 0.1 ? 0.08 ? 0.03 ? 0.3
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(2)只订 A 报及 B 报。
P( AB C ) ? P ( AB) ? P( ABC )
? 0.1 ? 0.03 ? 0.07

A

B

C

(5)恰好订两种报纸。
P ( AB C ? ABC ? ABC )
? P( AB) ? P( BC ) ? P ( AC ) ? 3P ( ABC ) ? 0.1 ? 0.08 ? 0.05 ? 3 ? 0.03 ? 0.14

P(AB C ? ABC ? A BC) ? P( AB C ) ? P( ABC ) ? P( A BC )
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(6)恰好订一种报纸。

古典(等可能)概型
设 随机试验E 具有下列特点: 概率的 ? 基本事件的个数有限 古典定义 ? 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型 古典概型中概率的计算: 记 则
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n ? ?中包含的基本事件总数
k ? 组成 A的基本事件个数

P( A) ? k / n
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排列组合有关知识复习
加法原理:完成一件事情有n 类方法,第 i 类
方法中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情 n 共有 m

?
i ?1

i

种不同的方法

乘法原理:完成一件事情有n 个步骤,第 i 个
步骤中有 mi 种具体的方法,则完成这件事情 n 共有 m

?
i ?1

i

种不同的方法
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排列 从 n 个不同的元素中取出 m 个 (不放
回地)按一定的次序排成一排不同的 排法种数共有

P ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)
m n

全排列

P ? n!
n n

可重复排列

从 n 个不同的元素中可重复地 m 取出 m 个排成一排, 不同的排法种数有n .

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组合 从 n 个不同的元素中取出 m 个(不放
回地)组成一组, 不同的分法共有
n! C ? m !( n ? m )!
m n

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例3:一只口袋中装有5只乒乓球,其中 3只是白色的,2只是黄色的。现从袋 中取球两次,每次1只,取出后不放回, 试求: (1)两只球都是白色的概率。

(2)两只球颜色不同的概率。
(3)至少有一只白球的概率。

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解:设 A ?{两只球都是白色的} B ?{两只球颜色不同} C ?{至少有一只白球}
思路一:编号 基本事件数 n ? P52 ? 5 ? 4 ? 20
2 n ? A包含的基本事件数 A P3 ? 3 ? 2 ? 6

B包含的基本事件数 nB ? P P ? P P ? 12 C包含的基本事件数 nC ? nA ? nB ? 18
1 1 3 2 1 1 2 3
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6 3 12 6 18 9 P ( A) ? ? P( B) ? ? P (C ) ? ? 20 10 20 10 20 10

思路二:不编号,一起拿 2 n ? 基本事件数 C5 ? 10 A包含的基本事件数 nA ? C ? 3 1 1 n ? B包含的基本事件数 B C3C2 ? 6 C包含的基本事件数 nC ? nA ? nB ? 9
2 3
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例4:袋中有a只白球,b只红球,依次将 球一只只摸出,取出后不放回。求第k 次摸出白球的概率是多少? 解:A ?{第k次摸出白球}
思路一:
PP P ( A) ? P
1 a ? b ?1 a a ? b ?1 a?b a?b

PP ? P

1 k ?1 a a ? b ?1 k a?b

a ? a?b

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例4:袋中有a只白球,b只红球,依次将 球一只只摸出,取出后不放回。求第k 次摸出白球的概率是多少? 解:A ?{第k次摸出白球} 思路二:观察第k次摸出球的结果
? ? ??1 , ?2 ,??a ,??a?b ? A ? ??1 , ?2 ,??a ?
a P( A) ? a?b

结论:抽签不分先后
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例5:某批产品有a件正品,b件次品。 从中用放回和不放回两种抽样方式抽取 n件产品,问其中恰有k (k ? n) 件次品的 概率是多少? 解: (1) 不放回抽样
C C P? C
n? k k a b n a?b

称超几何分布

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例5:某批产品有a件正品,b件次品。 从中用放回和不放回两种抽样方式抽取 n件产品,问其中恰有k (k ? n) 件次品的 概率是多少? (2) 放回抽样 每次抽取均有a+b种取法,故
P?
C a
k n n? k k

b

(a ? b)n

a b ?C ( a ? b )n ? k ( a ? b )k
k n

n? k k

二项分布
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? a ? ?C ? ? a ? b ? ?
k n

n? k

? b ? ?a?b? ? ?
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k

例6 设有 n 个颜色不同的球, 每个球都
等可能地落入 N 个盒子中(n ? N ), 设
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率: A={某指定的一个盒子没有球} ; B={某指定的 n个盒子中各有一球}; C={恰有 n 个盒子中各有一球}; D={某指定的一个盒子恰有 m 个球( m ? k ) } F={至少有两个球在同一盒子中}; G={每个盒子至多有一个球}.
67
2017/2/23

解: n ? N 则 mA ? ( N ?1)n
n

mB ? n!

( N ? 1) n P( A) ? Nn mB n! P( B) ? ? n n N
n CN n! P(C ) ? n N

mC ? C n!
n N

mD ? C ( N ?1)
m n
n

n?m

m Cn ( N ? 1)n?m P( D) ? Nn
n N n ? CN n! P( F ) ? ? 1 ? P(C ) n N

mF ? N ? C n!
n N

mG ? C n!
n N
68

P(G) ? P(C )
2017/2/23

“分房模型”可应用于很多类似场合 人 人 “球” 信 可 视为 钥匙 男舞伴 房子 生日 “盒子” 信封 相应 门锁 视为 女舞伴

?
69

?
2017/2/23

例7 “分房模型”的应用 生物系二年级有 n 个人,求至少有两 人生日相同(设为事件A ) 的概率.

解: 本问题中的人可被视为“球”,365天为 365只“盒子”
A 为 n 个人的生日均不相同,这相当于

每个盒子至多有一个球. 由例4(6)
P ( A) ?
n C 365 ? n!

若 n = 64,? P( A) ? 0.997.
70
2017/2/23

365

n

? P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ?

n C 365 ? n!

365

n

.

例8 在0,1,2,3, ? ,9中不重复地任取四个数, 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.

解: 设 A为“能排成首位非零的四位偶数” 4 n? ? P10 ? 5040.
1 四位偶数的末位为偶数, 故有C5 种可能

而前三位数有P 种取法,由于首位为零的四 1 2 C 位数有 4 P 8 种取法,所以有利于A发生的取 1 3 1 2 法共有 nA ? C5 P9 ? C4 P8 ? 2296 种.

3 9

?
71

2296 41 P ( A) ? ? 5040 90

2017/2/23

多组组合 把 n 个元素分成 m 个不同的组
(组编号), 各组分别有 k1 , k2 ,?, km 个元 素, k1 ? k2 ? ? ? km ? n ,不同的分法共有

C C

k1 n

k2 n?k1

?C 种。

kn kn

72

2017/2/23

例9: 将15 名同学(含3 名女同学), 平均分成 三组. 求 (1) 每组有1 名女同学(设为事件A)的概率; (2) 3 名女同学同组(设为事件B)的概率
解:
( 1) ( 2)

n? ? C C C
5 15 5 10 4 12 4 8 4 4

5 5 1 1 1 3 2 1

nA ? C C C C C C

nB ? C C C C
1 2 5 3 12 10

5 5

25 P( A) ? 91 6 P( B) ? 91
2017/2/23

73

计算古典概率注意事项
1o 明确所作的试验是等可能概型,有时需 设计符合问题要求的随机试验, 使其成为 等可能概型.

2o 同一题的样本空间的基本事件总数 n? 随试验设计的不同而不同, 如 例3不放回 试验的两种不同设计. 一般 n? 越小越好.
3o 计算古典概率时须注意应用概率计算 的有关公式, 将复杂问题简单化. 如例7.
74
2017/2/23

小概率事件 —— 若P(A) ? 0.01 , 则称A为小概率事件.
小概率原理 —— ( 即实际推断原理 ) 一次试验中小概率事件一般是不 会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件.
75
2017/2/23

例10 区长办公室某一周内曾接待过9次来 访, 这些来访都是周三或周日进行的,是否 可以断定接待时间是有规定的?
解: 假定办公室每天都接待,则
P( 9次来访都在周三、日) =
29 79

= 0.0000127

这是小概率事件,一般在一次试验中不会发 发生. 现居然发生了, 故可认为假定不成立, 从而推断接待时间是有规定的.
76
2017/2/23

几何概型 (等可能概型的推广)
例11 某人的表停了,他打开收音机听电台 报时,已知电台是整点报时的,问他等待 报时的时间短于十分钟的概率
10分钟
9点 10点

10 1 P( A) ? ? 60 6
77
2017/2/23

几何概型
设样本空间为有限区域 ?, 若样本点 落入 ? 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为

G的测度 P( A) ? ? 的测度
78
2017/2/23

例12 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内 独立随机地到达码头. 若两船到达后需在 码头停留的时间分别是 1 小时与 2 小 时, 试求在一昼夜内,任一船到达时,需 要等 待空出码头的概率. 解 设船1 到达码头的瞬时为 x , 0 ? x < 24 船2 到达码头的瞬时为 y , 0 ? y < 24 设事件 A 表示任一船到达码头时需要等待 空出码头
79
2017/2/23

? ? {( x, y ) 0 ? x ? 24,0 ? y ? 24} A ? {( x, y) ( x, y) ? ? ,
0 ? y ? x ? 1, 0 ? x ? y ? 2}
y 24 y=x

S? ? 24 1 2 2 S A ? ?23 ? 22 ? 2 SA P ( A) ? 1 ? ? 0.1207 S?
2

24
80

x
2017/2/23

用几何概型可以回答我们“概率为 1 的事件为什么不一定发生?”这一问题.
Y

1 0 1 x

如图,设试验E 为“ 随机地向 长为 边 1 的正方形内投点” 事件A 为“点投在黄、蓝两个三角形内” 求 P ( A)

1 S黄三角形 ? S蓝三角形 1? 1 ? 1 ? 2 2 P( A) ? ? ?1 S正方形 1?1

由于点可能投在正方形的对角线上, 所以
事件A未必一定发生.
81
2017/2/23

§1.3 条件概率
条件概率
在事件B已发生的条件下事件A发生的 条件概率。记为 P?A B?
例 某工厂有职工500人,男女各占一半,男 女职工中技术优秀的分别为40人和10人。 现从中任选一名职工,试问: (1)该职工为技术优秀的概率是多少? (2)已知选出的是女职工,她为技术优秀 的概率是多少?
82
2017/2/23

解:设 A 表示选出的职工为技术优秀职工; B 表示选出的是女职工.
50 1 P? A ? ? ? 500 10

10 1 P?A B ? ? ? 250 25

P( AB) ? P( B)
83

10 500 250 500

1 ? 25
2017/2/23

从而有

1 P( AB) P?A B ? ? ? 25 P( B)
定义 称
P( AB) P( B)

设A、B为两个事件, P ( B ) > 0 , 则 为事件 B 发生的条件下事件 A 发

生的条件概率,记为 P( AB) P( A | B) ? P( B)
84
2017/2/23

条件概率具有概率的性质,即:
? 非负性 ? 归一性 ? 可列可加性
P( A B) ? 0
P(? B) ? 1
?? ? ? ? P? ? ? Ai B ? ? ? P?Ai B ? ? i ?1 ? i ?1

? P(B1 ? B2 A) ? P(B1 A) ? P(B2 A) ? P(B1B2 A) ? P( B A) ? 1 ? P( B A)

? P(B1 ? B2 A) ? P(B1 A) ? P(B1B2 A)
85
2017/2/23

条件概率的计算方法
(1) 古 典 概 型 可用缩减样本空间法 ( 2) 其 他 概 型 用定义与有关公式

86

2017/2/23

例1 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率 为0.8, 能用1500小时的概率为0.4 , 求已用 1000小时的灯泡能用到1500小时的概率 解 令 A 灯泡能用到1000小时 B 灯泡能用到1500小时 所求概率为 P( AB) P( B) 0.4 1 P ? B A? ? ? ? ? P( A) P( A) 0.8 2

B? A
87

§1.3 条件 概率

2017/2/23

乘法公式 利用条件概率求积事件的概率即乘法公式

P( AB) ? P( A) P?B A? ( P( A) ? 0) P( AB) ? P( B) P? A B ? ( P( B) ? 0)
推广

P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P? A2 A1 ?? P? An A1 A2 ? An?1 ? ( P( A1 A2 ? An?1 ) ? 0)
88
2017/2/23

例3:一只口袋中装有5只乒乓球,其中 3只是白色的,2只是黄色的。现从袋 中取球两次,每次1只,取出后不放回, 试求: (1)两只球都是白色的概率。

(2)两只球颜色不同的概率。
(3)至少有一只白球的概率。

89

2017/2/23

例2 盒中装有5个产品, 其中3个合格品,2个 次品, 从中不放回地取产品, 每次1个, 求 (1)取两次,两次都取得合格品的概率; (2)取两次,第二次取得合格品的概率; (3)取三次,第三次才取得合格品的概率; (4)取两次,已知第二次取得合格品,求 第一次取得的是次品的概率.

3 2 3 (1) P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 A1 ) ? ? ? 5 4 10
90
2017/2/23

解 令 Ai 为第 i 次取到合格品

(2) P( A2 ) ? P( A1 A2 ? A1 A2 ) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 A2 )
2 3 3 2 3 ? ? ? ? ? 5 4 5 4 5

直接解更简单 P( A2 ) ? 3 / 5

(3) P( A1 A2 A3 ) ? P? A1 ?P?A2 A1 ?P? A3 A1 A2 ?
2 1 3 1 ? ? ? ? 5 4 3 10

P( A1 A2 ) P( A2 ) ? P( A1 A2 ) (4) P? A1 A2 ? ? ? P( A2 ) P( A2 )

? 1?
91

3 10 3 5

? 0.5
2017/2/23

例4 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B两 两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效 的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概 率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有 效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个 报警设备有效的概率. 解 设事件 A, B 分别表示设备A, B 有效 已知 P? A? ? 0.92 P? B ? ? 0.93 求
92

P?B A ? ? 0.85 P? A ? B?

§1.3 条件 概率

2017/2/23





P( B) ? P( AB) P?B A ? ? 1 ? P( A)



0.93 ? P( AB) 0.85 ? 0.08

P( AB) ? 0.862

故 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( AB) ? 0.92 ? 0.93 ? 0.862 ? 0.988 解法二
P A ? B ? P( A B ) ? P( A ) ? P( B A ) ? P( A ) ? ?1 ? P( B A )?

?

?

? 0.08 ? ?1 ? 0.85? ? 0.012

P( A ? B) ? 0.988
93

§1.3 条件 概率

2017/2/23

复习

古典概型

P( A) ? k / n

G的测度 几何概型 P( A) ? ? 的测度 P ( AB ) 条件概率 P?B A? ? P( A) P( AB) ? P( A) P?B A? ( P( A) ? 0) 乘法公式 P( AB) ? P( B) P? A B ? ( P( B) ? 0)
P ( A1 A2 ? An ) ? P ( A1 ) P ? A2 A1 ?? P ? An A1 A2 ? An?1 ?
94
2017/2/23

条件概率具有概率的性质,即:
? 非负性 ? 归一性 ? 可列可加性
P( A B) ? 0
P(? B) ? 1
?? ? ? ? P? ? ? Ai B ? ? ? P?Ai B ? ? i ?1 ? i ?1

? P(B1 ? B2 A) ? P(B1 A) ? P(B2 A) ? P(B1B2 A) ? P( B A) ? 1 ? P( B A)

? P(B1 ? B2 A) ? P(B1 A) ? P(B1B2 A)
95
2017/2/23

例3 有三个箱子,分别编号为1,2,3,1号箱装
有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球,3 号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱,从 中任意摸出一球,求取得红球的概率。

解 记 Ai={球取自i号箱},

i=1,2,3; B ={取得红球}。

1

2

3

B发生总是伴随着A1,A2,A3 之一同时发生, 即 且 B= A1B+A2B+A3B, A1B、A2B、A3B两两互斥。
P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
96

运用加法公式得

§1.3 条件 概率

2017/2/23

P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)
? P ( A1 ) P ( B |A1 ) ? P ( A2 ) P ( B |A2 ) ? P ( A3 ) P ( B |A3 ),

?
对求和中的每一项 运用乘法公式得

? P ( A ) P ( B|A ),
i ?1 i i

3

代入数据计算得:P(B)=8/15

将此例中所用的方法推广到一般的情形,就 得到在概率计算中常用的全概率公式。
97

§1.3 条件 概率

2017/2/23

全概率公式
设B1,B2,…,Bn是两两互斥的事件,且P(Bi)>0, i=1,2,…,n, 另有一事件A,它总是与B1,B2,…,Bn 之一 同时发生,则 n

P( A) ? ? P( Bi ) P( A|Bi )
i ?1

“全部”概率P(A)可分成许多“部分”概率 之 P ? ABi ? 和。 它的理论和实用意义在于: 在较复杂情况下,直接计算P(A)不容易, 但总可以 适当地构造一组两两互斥的Bi ,使A伴随着某个Bi的出 现而出现,且各P ? ABi ?容易计算。可用所有 P ? ABi ? 之 和计算P(A)。
98

§1.3 条件 概率

2017/2/23

我们还可以从另一个角度去理解 全概率公式。 某一事件 A的发生有各种可能的原因 Bi (i=1,2,…,n) ,如果 A 是由原因 Bi 所引起,则 A发生的概率是 P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi) 每一原因都可能导致A发生,故 A发生的概率是各原因引起A发生概 率的总和,即全概率公式。

99

§1.3 条件 概率

2017/2/23

由此可以形象地把全概率公式看成是 “由原因推结果”,每个原因对结果的发 生有一定的“作用”,即结果发生的可能 性与各种原因的“作用”大小有关。全概 率公式表达了因果之间的关系 。 B3

B1 B2

B5
B6 B8
§1.3 条件 概率

A B4 B7

诸Bi是原因 A是结果

100

2017/2/23

全概率公式
n

P( A) ? ? P( Bi ) P( A|Bi )
i ?1

101

2017/2/23

例3 有朋友自远方来,他乘火车、轮船、汽 车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4 已知他乘火车、轮船、汽车来的话迟到的概 率分别为1/4、1/3、1/12,而乘飞机不会迟到 (1)求他迟到的概率; 解 Bi={此人乘第i种交通工具来}; 设A={他迟到了}; 由题知,
P ( B1 ) ? 0.3, P( B2 ) ? 0.2, P ( B3 ) ? 0.1, P( B4 ) ? 0.4,

P( A B1 ) ? 1 4, P( A B2 ) ? 1 3, P( A B3 ) ? 1 12,
102

P( A B4 ) ? 0,
2017/2/23

P ( B1 ) ? 0.3, P( B2 ) ? 0.2, P ( B3 ) ? 0.1, P( B4 ) ? 0.4,

P( A B1 ) ? 1 4, P( A B2 ) ? 1 3, P( A B3 ) ? 1 12, P( A B4 ) ? 0,

P ( A) ? ? P ( Bi ) P ( A |Bi ),
i ?1

4

1 1 1 3 ? 0.3 ? ? 0.2 ? ? 0.1 ? ? 0.4 ? 0 ? 4 3 12 20

(2)已知他迟到了,试问他是乘火车来的 概率是多少?
P( B1 A ) ? P ( AB1 ) ? P ( A)

P ( B1 ) P ( A |B1 ) |B ) ? P (B )P ( A
i ?1 i i 4

,

103

2017/2/23

P( B1 A ) ? P ( AB1 ) ? P ( A)

P ( B1 ) P ( A |B1 ) |B ) ? P (B )P ( A
i ?1 i i 4

,

1 0.3 ? 4 ? 1 1 1 0.3 ? ? 0.2 ? ? 0.1 ? ? 0.4 ? 0 4 3 12

104

2017/2/23

B1 AB1 A AB2 B2
n n i ?1 i ?1

Bn
ABn

?B ? ?
i i ?1

n

Bi B j ? ?
A ? ? ABi
n i ?1

?

( ABi )( AB j ) ? ?

P( A) ? ? P( ABi ) ? ? P( Bi ) ? P( A Bi )
P( Bk
105

全概率公式
Bayes公式
2017/2/23

P( Bk ) P( A Bk ) P( ABk ) A) ? ? n P( A) ? P( Bi ) P( A Bi )
i ?1

全概率公式

P( A) ? ? P( Bi ) P( A|Bi )
i ?1

n

贝叶斯公式
P ( Bk P ( Bk ) P ( A Bk ) P ( ABk ) A) ? ? n P ( A) ? P ( Bi ) P ( A Bi )
i ?1
2017/2/23

106

称 P( Bi ) 为先验概率,它是由以往的经验 得到的,它是事件 A 的原因 称 P(Bi A) i ? 0,1,2,3,4 为后验概率,它是

得到了信息 — A 发生, 再对导致 A 发生的 原因发生的可能性大小重新加以修正

107

2017/2/23

例4 由于随机干扰, 在无线电通讯中发出信 号“ ? ”, 收到信号“? ”,“不清”,“ — ” 的概率 别为0.7, 0.2, 0.1; 发出信号“ — ”,收到信号 “? ”,“不清”,“— ”的概率分别为0.0, 0.1, 0.9. 已知在发出的信号中, “ ? ”和“ — ”出现的概 率分别为0.6 和 0.4 , 试分析, 当收到信号 “不清”时, 原发信号为“ ? ”还是“ — ”的概 哪个大? 解 设原发信号为“ ? ” 为事件 B1 原发信号为“ — ”为事件 收到信号“不清” 为事件 A
108
2017/2/23

已知: A ? B1 ? B2 , B1B2 ? ?
P( B1 ) ? 0.6, P( B2 ) ? 0.4
P( A B1 ) ? 0.2, P( A B2 ) ? 0.1 P( A) ? P( B1 ) P( A B1 ) ? P( B2 ) P( A B2 )

? 0.16 P( B1 ) P( A B1 ) 3 P( B1 A) ? ? , P( A) 4
P( B2 ) P( A B2 ) 1 P( B2 A) ? ? P( A) 4

可见, 当收到信号“不清”时, 原发信号为 “ ? ”的可能性大
109
2017/2/23

公 Bayes式

110

2017/2/23

应用举例 —— 肠癌普查
Ai 表示第 i 次检查为阳性,事件B 设事件
表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下:
P( Ai B ) ? P( Ai B ) ? 0.95, 且 P( B) ? 0.005

某患者首次检查反应为阳性, 试判断该

患者是否已患肠癌? 若三次检查反应均为
阳性呢?
111
2017/2/23

由Bayes 公式得

P( B A1 ) ?

P( B) P( A1 B)

P( B) P( A1 B) ? P( B) P( A1 B) 0.005 ? 0.95 ? 0.005 ? 0.95 ? 0.995 ? 0.05
? 0.087 .

首次检查反应为阳性 患肠癌的概率并不大
112
2017/2/23

小结
条件概率 乘法公式

P( AB) P ? B A? ? P( A)

P( AB) ? P( A) P?B A? ( P( A) ? 0) P( AB) ? P( B) P? A B ? ( P( B) ? 0)
P( A) ? ? P( Bi ) P( A|Bi )
i ?1 n

全概率公式 贝叶斯公式
113

P ( Bk A) ?

P ( Bk ) P ( A Bk )

? P (B ) P ( A B )
i ?1 i i
2017/2/23

n

§1.4 事件的独立性
事件的独立性

例1 已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中 有放回地取球两次,每次取1球. 设第 i 次 取得白球为事件 Ai ( i =1, 2 ) . 求
P( A1 ) , P( A2 ) ,

P( A2 A1 ) ,

P ( A2 A1 ) ,

解 P( A1 ) ? 3 / 8 ? P( A2 ) ,

P( A2 A1 ) ? 3 / 8 ,

P( A2 A1 ) ? 3 / 8,

P( A2 A1 ) ? P( A2 ) ? P( A2 A1 )
114
2017/2/23

事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影 响可视为事件A1与A2相互独立

P( A1 A2 ) ? (3 / 8) ? P( A1 )P( A2 A1 ) ? P( A1 ) P( A2 )
2

定义 设 A , B 为两事件,若

P( AB) ? P( A) P( B)
则称事件A与事件B相互独立
115
2017/2/23

两事件相互独立的性质
? 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的 ?若

P( A) ? 0, 则P( B) ? P( B A)

若 P( B) ? 0, 则P( A) ? P( A B)
?若

P( A) ? 0, P( B) ? 0,

则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和 “事件 A 与 事件 B 互斥” 不能同时成立
116
2017/2/23

? 四对事件 A, B; A, B ; A, B; A, B

任何一对相互独立,则其它三对也相互独立

117

2017/2/23

A

B

如图 P(AB)=0, 而P(A) ≠0, P(B) ≠0。 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)。 故 A与B不独立。

即: 若A、B互斥,且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立。 反之,若A与B独立,且P(A)>0, P(B)>0, P(AB) =P(A)P(B) >0, 则A 、B不互斥。
118

§1.4 事件的独立性

2017/2/23

前面我们看到独立与互斥的区别和联系, 请练习: 设A、B为互斥事件,且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中,正确的是:
1. P(B|A)>0, 3. P(A|B)=0, 2. P(A|B)=P(A), 4. P(AB)=P(A)P(B)。

设A、B为独立事件,且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中,错误的是: 1. P(B|A)>0, 2. P(A|B)=P(A), 3. P(A|B)=0 , 4.P(AB)=P(A)P(B)。
119

§1.4 事件的独立性

2017/2/23

定义

三事件 A, B, C 相互独立 是指下面的关系式同时成立:
P( AB ) ? P( A) P( B) P( AC ) ? P( A) P(C ) P( BC ) ? P( B) P(C )
(1)

P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) (2)

注:1) 关系式(1) (2)不能互相推出
2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立

A, B, C 相互独立
120

A, B, C 两两独立
2017/2/23

例2 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下 1 R W Y 2 R W 3 R W 4 R 5 W 6 7 8

Y

Y

Y

将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面 出现的颜色。 R 红色 设事件 W 白色 Y 黄色
121
2017/2/23



3 1 P( RW ) ? , P(WY ) ? P( RY ) ? 8 8
1 P ( RWY ) ? ? P( R) P(W ) P(Y ) 8

4 1 P( R) ? P(W ) ? P(Y ) ? ? 8 2



P( RW ) ? P( R) P(W )
P (WY ) ? P (W ) P (Y ) P ( RY ) ? P ( R ) P (Y )

本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)
122
2017/2/23

例3 随机投掷编号为 1 与 2 的两个骰子 事件 A 表示1号骰子向上一面出现奇数 B 表示2号骰子向上一面出现奇数 C 表示两骰子出现的点数之和为奇数

P( A) ? P( B) ? P(C) ? 1/ 2 P( AB) ? P( BC) ? P(CA) ? 1 / 4 ? P( A) P( B) ? P( B) P(C ) ? P(C ) P( A) 但 P( ABC ) ? 0 ? 1 / 8 ? P( A) P( B) P(C )
则 本例说明 不能由 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立
123
2017/2/23

定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立

P( Ai Aj ) ? P( Ai ) P( Aj ), 1 ? i ? j ? n
P( Ai Aj Ak ) ? P( Ai ) P( Aj ) P( Ak ), 1 ? i ? j ? k ? n

??????????????? P( A1 A2 ? An ) ? P( A1 ) P( A2 )? P( An )
常由实际问题的意义 判断事件的独立性
124
2017/2/23

例4 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件 A 与 B ? C 也相互独立 证

? ?P( B) ? P(C ) ? P( BC )?

P?A(B ? C)? ? P(B ? C) ? P? A(B ? C)?

? ?P( AB ) ? P( AC ) ? P( ABC )?

? P( A )?P( B) ? P(C ) ? P( BC )?
? P( A ) P( B ? C)
125
2017/2/23

复习 全概率公式 贝叶斯公式

P( A) ? ? P( Bi ) P( A|Bi )
i ?1

n

P ( Bk A) ?

P ( Bk ) P ( A Bk )

? P (B ) P ( A B )
i ?1 i i

n

独立性 A与B独立

? P( AB) ? P( A) P( B)

?A与B ; B与A ; A与B 独立; ? P ( A) ? P ( A B) ? P ( A B)
P ( B) ? P ( B A) ? P ( B A)
2017/2/23

126

命题
? 若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立,将这

n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.

127

2017/2/23

应用举例 —— 肠癌普查
Ai 表示第 i 次检查为阳性,事件B 设事件
表示被查者患肠癌,已知肠镜检查效果如下:
P( Ai B ) ? P( Ai B ) ? 0.95, 且 P( B) ? 0.005

某患者首次检查反应为阳性, 试判断该

患者是否已患肠癌? 若三次检查反应均为
阳性呢?
128
2017/2/23

由Bayes 公式得

P( B A1 ) ?

P( B) P( A1 B)

P( B) P( A1 B) ? P( B) P( A1 B) 0.005 ? 0.95 ? 0.005 ? 0.95 ? 0.995 ? 0.05
? 0.087 .

首次检查反应为阳性 患肠癌的概率并不大
129
2017/2/23

P( B A1 A2 )
? P( B) P( A1 A2 B) P( B) P( A1 A2 B) ? P( B) P( A1 A2 B)

?

P( B) P( A1 B) P( A2 B) P( B) P( A1 B) P( A2 B) ? P( B) P( A1 B) P( A2 B)
2

0.005? 0.95 ? ? 0.6446 2 2 0.005? 0.95 ? 0.995? 0.05

接连两次检查为阳性 患肠癌的可能性过半
130
2017/2/23

两次检查反应均为阳性,还不能断 定患者已患肠癌.
0.005? 0.95 P( B A1 A2 A3 ) ? 3 3 0.005? 0.95 ? 0.995? 0.05
3

? 0.9718
连续三次检查为阳性 几乎可断定已患肠癌
131
2017/2/23

复习 全概率公式 贝叶斯公式

P( A) ? ? P( Bi ) P( A|Bi )
i ?1

n

P ( Bk A) ?

P ( Bk ) P ( A Bk )

? P (B ) P ( A B )
i ?1 i i

n

独立性 A与B独立

? P( AB) ? P( A) P( B)

?A与B ; B与A ; A与B 独立; ? P ( A) ? P ( A B) ? P ( A B)
P ( B) ? P ( B A) ? P ( B A)
2017/2/23

132

命题
? 若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立,将这

n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.

133

2017/2/23

例5 甲、乙、丙三个射手独立地射击同一 目标,他们射中的概率分别为0.7,0.8,0.9 求在一次射击中(每人射一次)目标被击中的 概率。 解: 设 A1 , A2 , A3 分别表示甲,乙,丙击中目标的 事件,D表示目标被击中的事件,则有
P ( A1 ) ? 0.7 P ( A2 ) ? 0.8 P ( A3 ) ? 0.9
D ? A1 ? A2 ? A3 P( D) ? P( A1 ? A2 ? A3 )
134
2017/2/23

P ( A1 ) ? 0.7

P ( A2 ) ? 0.8

P ( A3 ) ? 0.9

P( D) ? P( A1 ? A2 ? A3 )

? 1 ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
? 1 ? ? (1 ? P ( Ai ))
i ?1 3

? 1 ? (1 ? 0.7)(1 ? 0.8)(1 ? 0.9) ? 0.994
135
2017/2/23

利用独立事件的性质 计算其并事件的概率 若 A1, A2, …, An 相互独立, 则
P(? Ai ) ? P( A1 ? A2 ? ? ? An )
i ?1 n

? 1? P( A1 ? A2 ??? An ) n ? 1 ? P( A1 A2 ? An ) ? 1 ? ? P( Ai )
? 1 ? ? (1 ? P( Ai ))
i ?1 n
i ?1

P(? Ai ) ? 1 ? ? (1 ? P( Ai ))
i ?1
i ?1
136
2017/2/23

n

n

特别,当 P( Ai ) ? p ,则

P(? Ai ) ? 1 ? (1 ? p)
i ?1

n

n

137

2017/2/23

例6

系统的可靠性问题 (教材P.40例5)

一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠度 系统由元件组成,常见的元件连接方式: 串联
1 1
2

并联
2
138
2017/2/23

设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示, 比较两系统的可靠性.

S 1:

A1 B1

A2

B2

P(S1 ) ? P( A1 A2 ) ? P( B1B2 ) ? P( A1 A2 B1B2 )

? 2 p ? p ? p (2 ? p )
2 4 2 2
139
2017/2/23

S2:

A1 B1

A2

S2 ?
B2

( A1 ? B1 )( A2 ? B2 )

P(S2 ) ? P( A1 ? B1 ) P( A2 ? B2 )
? ? P ( A1 ) ? P ( B1 ) ? P ( A1 ) P ( B1 )?
2 2
2

? 2p ? p

?

2 2

?

? p (2 ? p) ? p 2 (2 ? p 2 ) ? P(S1 ) .
注 利用导数可证, 当 p ? ( 0 , 1) 时, 恒有
f ( p) ? (2 ? p) ? (2 ? p ) ? 0
2 2
140
2017/2/23

引例 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求 (1) 前两次取白球后两次取红球概率. (2)其中恰有2个白球的概率.
解 (1)记第 i 次取得白球为事件 Ai,则
3 P ( Ai ) ? 5

Ai之间相互独立
2 2

所求事件为 A1 A2 A3 A4
? 3? ? 2? P ( A1 A2 A3 A4 ) ? ? ? ? ? ? 0.0576 ? 5? ? 5?
141
2017/2/23

(2)4次摸球事件中A 发生2次的事件

A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
? 3? P( B) ? C ? ? ?5?
2 4 2

A1 A2 A3 A4
? 2? . ? ? ? 0.3456 ?5?
2

思考:4次摸球事件中A 发生1次的概率 如何计算呢?三次呢?
142
2017/2/23

伯努利试验概型
n 重伯努利 (Bernoulli) 试验概型: 试验可重复 n 次 每次试验只有两个可能的结果: A, A 且 P( A) ? p, 0 ? p ? 1 每次试验的结果与其他次试验无关—— 称为这 n 次试验是相互独立的 n重Bernoulli试验中事件 A 出现 k 次的概率 记为
143

Pn ( k )
2017/2/23

一般地,若

P( A) ? p, 0 ? p ? 1

n重Bernoulli试验中事件A 出现 k 次的概率
n? k p Pn (k ) ? C (1 ? p)

k n

k

k ? 0,1, 2,?, n

144

2017/2/23

例7 一大楼装有5个同类型的独立供水设备, 调查表明,在任一时刻t,每个设备被使用的 概率为0.1,问在同一时刻 (1)恰有2个设备被使用的概率是多少? (2)至少有3个设备被使用的概率是多少? (4)至少有1个设备被使用的概率是多少? 解: 同一时刻对5个设备的观察可视为5重 伯努利试验,
p ? 0.1, 1 ? p ? 0.9
145
2017/2/23

(1)恰有2个设备被使用的概率是多少?
2 2 3 p1 ? P (2) ? C5 (0.1) (0.9) ? 0.0729. 5

(2)至少有3个设备被使用的概率是多少?

p2 ? P 5 (3) ? P 5 (4) ? P 5 (5) ?

?C
k ?3

5

k 5

(0.1) (0.9)

k

5? k

? 0.00856.

(4)至少有1个设备被使用的概率是多少?

1 ? (0.9) ? 0.40951 p4 ? 1 ? P 5 (0) ?
5
146
2017/2/23

例8 八门炮同时独立地向一目标各射击一 发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目 标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为 0.6, 求目标被击毁的概率. 解 设 i 门炮击中目标为事件Ai, i=2~8, 设目 标被击毁为事件B, 各炮命中概率 p = 0.6, 则
P( B) ? P(? Ai ) ? ? P( Ai ) ? ? P8 (i) ? 1 ? ? P8 (i)
i ?2 8 8 8 1 i ?2 i ?2 i ?0

? 1 ? ? C 0.6 0.4
i ?0 i 8 i
147

1

8 ?i

? 0.9914
2017/2/23

伯努利
Jacob Bernoulli 1654-1705

瑞士数学家

概率论的奠基人
148
2017/2/23

伯努利 (Jacob Bernoulli )简介
伯努利家属祖孙三代出过十多位 数学家. 这在世界数学史上绝无仅有. 伯努利幼年遵从父亲意见学神学, 当读了 R ? 笛卡尔的书后,顿受启发,兴 趣转向数学. 1694年,首次给出直角坐标和极坐 标下的曲率半径公式,同年关于双纽线 性质的论文,使伯努利双纽线应此得名.
149
2017/2/23

1695年提出著名的伯努利方程

dx / dy ? p( x) y ? q( x) y

n

此外对对数螺线深有研究, 发现 对数螺线经过各种变换后, 结果还是 对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余, 遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上, 并附以颂词:

纵使变化,依然故我
150
2017/2/23

1713年出版的巨著《推测术》,是 组合数学及概率史的一件大事.书中给 出的伯努利数、伯努利方程、伯努利 分布等, 有很多应用, 还有伯努利定理, 这是大数定律的最早形式.

151

2017/2/23


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25.1随机事件与概率
数学:3.1.1《随机事件的概率》课件(新人教A版必修3)
《随机事件的概率》PPT课件(市高效课堂讲课比赛一等奖)
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