2015年高频考点测试卷 重庆卷 高中数学(理)答案与解析


2015 年高频考点测试卷 重庆卷 高中数学(理)
答案与解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1. (5 分)设全集 I=R,集合 A={y|y=x2﹣2}.B={x|y=log2(3﹣x)},则 CIA∩B 等于( A.{x|﹣2≤x<3} B.{x|x≤﹣2} C.{x|x<3} D.{x|x<﹣2} )

考点: 补集及其运算;交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据 A={y|y=x2﹣2},B={x|y=log2(3﹣x)},分别求出 A,B 集合,再求出 CIA,进而求出 CIA∩B. 解答: 解:A={y|y=x2﹣2}=[﹣2,+∝) ,则 CIA=(﹣∝,﹣2) . B={x|y=log2(3﹣x)}=(﹣∝,3) , 所以 CIA∩B=(﹣∝,﹣2) . 故选 D 点评: 本题考查了集合的基本运算以及补集的意义,属于基础题型. 2. (5 分)向量 A. B. ,且 ∥ ,则锐角 α 的余弦值为( C. D. )

考点: 同角三角函数间的基本关系;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据平行向量满足的条件列出关系式,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值即可. 解答: 解:∵ =( ,tanα ) , =(cosα ,1) , ∥ , ∴cosα tanα =sinα = , ∵α 为锐角, ∴cosα = 故选 D 点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,以及平行向量与共线向量,熟练掌握基本关系是解本题的 关键. 3. (5 分) A.﹣15 的展开式中的常数项是( B.15 ) C.﹣30 D.30 = .

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,结合二项展开式的通项公式,可得 12﹣3r=0,则 r=4,将 r=4 代入二项展开式计算可 得答案.

解答: 解:根据题意,有 Tr+1=(﹣1)rC6r(x2)6﹣rx﹣r=(﹣1)rC6rx12﹣3r, 要求常数项,必有 12﹣3r=0,则 r=4, 故常数项为(﹣1)4C64=15, 故选择 B. 点评: 本题考查二项式定理的应用,应该牢记二项展开式的通项公式. 4. (5 分)在等差数列{an}中每一项均不为 0,若 a1+a2+…+a2013=ta1007,则 t=( A.2011 B.2012 C.2013 )

D.2014

考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接写出等差数列的前 n 项和公式,把 a1+a2013 换为 2a1007 即可得到答案. 解答: 解:因为数列{an}是等差数列,所以 a1+a2+…+a2013= 又 a1+a2+…+a2013=ta1007, 所以 t=2013. 故选 C. 点评: 本题考查了等差数列的前 n 项和,考查了等差数列的性质,含奇数项的等差数列的前 n 项和等于中 间项的乘以项数,是基础题. 5. (5 分)采用系统抽样方法从 1000 人中抽取 50 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,…,1000, 适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 8.抽到的 50 人中,编号落入区间[1,400]的 人做问卷 A,编号落入区间[401,750]的人做问卷 B,其余的人做问卷 C.则抽到的人中,做问卷 C 的人 数为( A.12 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意可得抽到的号码构成以 8 为首项、以 20 为公差的等差数列,求得此等差数列的通项公式为 an,由 751≤an≤1000 求得正整数 n 的个数,即为所求. 解答: 解:由 1000÷50=20,故由题意可得抽到的号码构成以 8 为首项、以 20 为公差的等差数列, 且此等差数列的通项公式为 an=8+(n﹣1)20=20n﹣12. 由 751≤20n﹣12≤1000 解得 38.2≤n≤50.6. 再由 n 为正整数可得 39≤n≤50,且 n∈Z, 故做问卷 C 的人数为 12, 故选 A. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,系统抽样的定义和方法,属于基础题. 6. (5 分)在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是( A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 ) D.正三角形 ) B.13 C.14 D.15 .

考点: 两角和与差的正弦函数. 分析: 根据三角形三个内角和为 180°,把角 C 变化为 A+B,用两角和的正弦公式展开移项合并,公式逆 用,得 sin(B﹣A)=0,因为角是三角形的内角,所以两角相等,得到三角形是等腰三角形. 解答: 解:由 2sinAcosB=sinC 知 2sinAcosB=sin(A+B) , ∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB. ∴cosAsinB﹣sinAcosB=0. ∴sin(B﹣A)=0, ∵A 和 B 是三角形的内角, ∴B=A. 故选 B 点评: 在三角形内会有一大部分题目出现,应用时要抓住三角形内角和是 180°,就有一部分题目用诱导公 式变形,对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式,必须在复杂的式子中学会辨认公式应用 公式. 7. (5 分) 若函数 f(x) 的导数为 f′(x)=﹣x(x+1) ,则函数 f(logax) (0<a<1) 的单调减区间为( A.[﹣1,0] B. C. D. )

考点: 利用导数研究函数的单调性;导数的运算. 专题: 计算题. 分析: 先利用复合函数求导法则求导,再令其小于等于 0,解不等式即可 解答: 解:令函数 g(x)=f(logax) 因为 f′(x)=﹣x(x+1) ,根据复合函数求导法则:g′(x)=[﹣logax(logax+1)]× 令 g′(x)=[﹣logax(logax+1)]× ∵0<a<1,∴lna<0 又∵x>0,即解:logax(logax+1)≤0 得:﹣1≤logax≤0∴ 即函数大单调减区间为[1, ] 故选 C. 点评: 本题的考点是函数的单调性与导数的关系,主要考查复合函数求导法则,考查利用导数求函数的单 调区间,属于基础题. 8. (5 分)如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出 的 y 值相等,则这样的 x 值有( ) ≤0

A.1 个 考点: 选择结构.

B.2 个

C.3 个

D.4 个

专题: 阅读型;分类讨论. 分析: 由已知的程序框图,我们可得该程序的功能是计算并输出分段函数 y= 的值,结

合输入的 x 值与输出的 y 值相等,我们分类讨论后,即可得到结论. 解答: 解:由题意得该程序的功能是

计算并输出分段函数 y=

的值

又∵输入的 x 值与输出的 y 值相等 当 x≤2 时,x=x2,解得 x=0,或 x=1 当 2<x≤5 时,x=2x﹣4,解得 x=4 当 x>5 时,x= ,解得 x=±1(舍去) 故满足条件的 x 值共有 3 个 故选 C 点评: 本题考查的知识点是选择结构,其中分析出函数的功能,将问题转化为分段函数函数值问题,是解 答本题的关键. 9. (5 分)已知正数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1,则 A.2 B.4 C. 的最小值为( ) D.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 1=x2+y2+ z2+ z2≥4 , 从而有 2xyz2≤ , 当且仅当 x=y= z 取等

号.即可求出答案. 解答: 解:∵正数 x,y,z 满足 x2+y2+z2=1, ∴1=x2+y2+ z2+ z2≥4 ∴ ∴x2?y2? ≤ , z 取等号. ≤ ,

∴2xyz2≤ ,当且仅当 x=y= 则 故选 B. 的最小值为 4,

点评: 本小题主要考查基本不等式的应用、 配凑法等基础知识, 考查运算求解能力, 考查化归与转化思想. 属 于基础题.

10. (5 分)过双曲线



=1(a>0,b>0)的左焦点 F(﹣c,0) (c>0) ,作倾斜角为 = ( +1 + ) ,且 ? =0 则双曲线的离心率为( C. D. )

的直线 FE

交该双曲线右支于点 P,若 A.

B.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 判断出 E 为 PF 的中点,据双曲线的特点知原点 O 为两焦点的中点;利用中位线的性质,求出 PF′ 的长度及判断出 PF′垂直于 PF;通过勾股定理得到 a,c 的关系,求出双曲线的离心率. 解答: 解:在 Rt△PFF′中,OE= OF= c. ∵ = ( + ) ,

∴E 为 PF 的中点,令右焦点为 F′,则 O 为 FF′的中点, 则 PF′=2OE=c, ∵ ? =0, ∴OE⊥PF ∴PF′⊥PF ∵PF﹣PF′=2a ∴PF=PF′+2a=2a+c 在 Rt△PFF′中,PF2+PF′2=FF′2 即(2a+c)2+c2=4c2 ?所以离心率 e= = 故选 B. +1.

点评: 本小题主要考查双曲线的简单性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转 化思想,在圆锥曲线中,求离心率关键就是求三参数 a,b,c 的关系,属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11. (5 分)在复平面内,复数 (a∈R)对应的点位于虚轴上,则 a= 0 .

考点: 复数代数形式的混合运算. 分析: 复数对应的点位于虚轴上,就是说复数的实部为 0,并且虚部不为 0,从而得到答案. 解答: 解: 故答案为:0 点评: 本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内的点是一一对应关系,复数分类,是基础题. 12. (5 分)某四面体的三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是 . ,复数 (a∈R)对应的点位于虚轴上,所以 a=0

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;作图题. 分析: 由三视图还原得到原几何体,分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数,求出直角三角形的面 积作和即可. 解答: 解:由三视图可得原几何体如图,

该几何体的高 PO=2,底面 ABC 为边长为 2 的等腰直角三角形, 所以,该几何体中,直角三角形是底面 ABC 和侧面 PBC. 事实上,∵PO⊥底面 ABC,∴平面 PAC⊥底面 ABC, 而 BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC,∴BC⊥AC. PC= . . . 所以,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是 故答案为 . .

点评: 本题考查了由三视图还原原图形,考查了学生的空间想象能力和思维能力,考查了三角形的面积, 是基础题. 13. (5 分)用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,…,9 的 9 个小正方形(如下表) ,使得任 意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符 合条件的所有涂法共有 108 种. 1 4 7 2 5 8 3 6 9

考点: 排列、组合的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 当 1,5,9,为其中一种颜色时,2,6 共有 4 种可能,其中 2 种 2,6 是涂相同颜色,各有 2 种可 能共 6 种可能.4,8 及 7,与 2,6 及 3,一样有 6 种可能并且与 2,6,3,颜色无关,当 1,5, 9 换其他的颜色时也是相同的情况,相乘得到结果. 解答: 解:首先看图形中的 1,5,9,有 3 种可能, 当 1,5,9,为其中一种颜色时, 2,6 共有 4 种可能,其中 2 种 2,6 是涂相同颜色,各有 2 种可能共 6 种可能. 4,8 及 7,与 2,6 及 3,一样有 6 种可能并且与 2,6,3,颜色无关. 当 1,5,9 换其他的颜色时也是相同的情况 符合条件的所有涂法共有 3×6×6=108 种, 故答案为:108 点评: 本题是一个排列组合的应用,考查分别计数原理,考查分类原理,是一个限制元素比较多的题目,

解题时注意分类,做到不重不漏,本题是一个中档题.

14. (5 分)在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为(3, 点)的面积为 3 . 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 应用题;压轴题;选作题;转化思想. 分析: 首先由极坐标与直角坐标系转换公式 坐标,再在直角坐标系下求三角形的面积. 解答: 解:由极坐标与直角坐标系转换公式 又 A、B 的极坐标分别为(3, 可得到 A,B 的直角坐标分别为 O 的坐标不变,则可求的△AOB 的面积为 3. 故答案为 3. ) , (4, ) , ,

) , (4,

) ,则△AOB(其中 O 为极

, 把点 A、 B 的极坐标转化为直角

点评: 此题主要考查极坐标与直角坐标系的转化公式的记忆与应用,有一定的计算量,在做题时需要很好 的理解题意以便解答. 15.若不等式|x+1|+|x﹣m|<6 的解集为空集,则实数 m 的取值范围为 (﹣∞,﹣7]∪[5,+∞) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用绝对值不等式的几何意义,求解即可. 解答: 解:因为不等式|x+1|+|x﹣m|<6 的解集为空集, 由绝对值的几何意义可知 |m+1|≥6,解得 m∈(﹣∞,﹣7]∪[5,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣7]∪[5,+∞) . 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,绝对值的几何意义,考查计算能力. 四.解答题.(本大题 6 个小题,共 75 分.各题解答必须答在答题卷上相应题目指定位置) 16. (13 分)已知向量 =(sin(ω x+φ ) ,2) , =(1,cos(ω x+φ ) ) ,ω >0,0<φ < .函数 f(x)

=( + )?( ﹣ ) ,若 y=f(x)的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为 1,且过点 M(1, ) . (Ⅰ)求函数 f(x)的表达式; (Ⅱ)当﹣1≤x≤1 时,求函数 f(x)的单调区间.

解答: 解: (1)f(x)=( + )?( ﹣ )= =﹣cos(2ω x+2φ )+3 由题意得周期 T= =4,故 ω = …(3 分)

=sin2(ω x+φ )+4﹣1﹣cos2(ω x+φ ) ,

又图象过点 M(1, ) ,所以 =3﹣cos( 即 sin2φ = ,而 0<φ < ∴f(x)=3﹣cos( x+ ,所以 2φ = )…(7 分) ≤ x+ ≤

+2φ )…(5 分)

(2)当﹣1≤x≤1 时,﹣ ∴当﹣ 当 0≤ ≤ x+ x+ ≤

≤0 时,即 x∈[﹣1,﹣ ]时,f(x)是减函数…(10 分) 时,即 x∈[﹣ ,1]时,f(x)是增函数

∴函数 f(x)的单调减区间是[﹣1,﹣ ],单调增区间是[﹣ ,1] …(13 分)

考点: 余弦函数的单调性;数量积的坐标表达式;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论;转化思想;综合法. 分析: (Ⅰ)首先由向量运算以及三角恒等变换化简 f(x)=( + )?( ﹣ )=﹣cos(2ω x+2φ )+3, 再由 y=f (x) 的图象的一个对称中心与它相邻的一个对称轴之间的距离为 1 判断出函数的周期是 4, 由周期公式求得 ω ,再由图象过点 M(1, ) ,代入求得 φ ,即得函数 f(x)的表达式. (Ⅱ)当﹣1≤x≤1 时,代入求得相位的取值范围结合余弦函数的单调性求函数 f(x)的单调区间. 点评: 本题考查余弦函数的单调性,求解本题的关键是进行正确的向量的坐标运算与三角恒等变换求出函 数的解析式,再根据余弦函数的单调性求出函数的单调区间. 17. (13 分)设甲、乙、丙三人进行围棋比赛,每局两人参加,没有平局.在一局比赛中,甲胜乙的概率 为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的概率为 .比赛顺序为:首先由甲和乙进行第一局的比赛,再由获胜者 与未参加比赛的选手进行第二局的比赛,依此类推,在比赛中,有选手获胜满两局就取得比赛的胜利,比 赛结束. (1)求只进行了三局比赛,比赛就结束的概率; (2)记从比赛开始到比赛结束所需比赛的局数为 ξ,求 ξ 的概率分布列和数学期望 Eξ. 解答: 解: (1)由题意只进行三局比赛,即丙获胜比赛就结束, 故可得所求的概率为 (2)由题意可得 ξ =2,3,4,且 , 故 ξ 的分布列为: ξ 2 3 4 …(5 分) ,…(8 分) … (10 分)

P 故数学期望 …(13 分)

考点: 专题: 分析:

离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与方差. 概率与统计. (1)只进行三局比赛,即丙获胜比赛就结束,由互斥,独立事件的概率公式可得; (2)由题意可得 ξ =2,3,4,分别可得其概率,可得分布列,可得期望.

点评:

本题考查离散型随机变量及其分布列,以及数学期望的求解,属中档题. ,其中 e 为自然对数的底数.

18. (13 分)已知函数

(Ⅰ)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线与坐标轴围成的面积; (Ⅱ)若函数 f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e5,求 a 的值. 解答:

解: (Ⅰ) 当 a=2 时,

,…(3 分) , ,f(1)=﹣e,

所以曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 y=ex﹣2e,…(5 分) 切线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0) , (0,﹣2e) ,…(6 分) ∴所求面积为 .…(7 分)

(Ⅱ)因为函数 f(x)存在一个极大值点和一个极小值点, 所以,方程 x2﹣ax+a=0 在(0,+∞)内存在两个不等实根,…(8 分) 则 …(9 分)

所以 a>4.…(10 分) 设 x1,x2 为函数 f(x)的极大值点和极小值点, 则 x1+x2=a,x1x2=a,…(11 分) 因为 f(x1)f(x2)=e5, 所以 即 解得 a=5,此时 f(x)有两个极值点, 所以 a=5.…(14 分) ,…(12 分) , ,ea=e5,

考点: 函数在某点取得极值的条件;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;综合题. 分析: (I)首先对函数求导,代入所给的 a=2 的条件,得到曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线方程 为 y=ex﹣2e,做出切线与 x 轴、y 轴的交点坐标分别为(2,0) , (0,﹣2e) ,表示出三角形的面 积. (II)根据函数 f(x)存在一个极大值点和一个极小值点,得到方程 x2﹣ax+a=0 在(0,+∞)内 存在两个不等实根,根据根与系数的关系,求出 a 的范围,写出极值,根据极值的积做出结果. 点评: 本题看出利用导数求极值和极值存在的条件,本题解题的关键是利用极值存在的条件展开运算,注 意题目中出现的一元二次方程根与系数之间的关系. 19. (12 分) 如图, 四边形 ABCD 中, △ABC 为正三角形, AD=AB=2,BD=2 影落在△ABC 内. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 时,求二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值. ,AC 与 BD 交于 O 点. 将

△ABC 沿边 AC 折起,使 D 点至 P 点,已知 PO 与平面 ABCD 所成的角为 θ ,且 P 点在平面 ABCD 内的射

解答: 解: (1)证明:由题意,O 为 BD 的中点,则 AC⊥BD, 又 AC⊥PO,BD∩PO=O, 所以 AC⊥平面 PBD;…(3 分) (2)因为 AC⊥面 PBD,而 AC?面 ABCD,所以面 ABCD⊥面 PBD, 则 P 点在面 ABCD 上的射影点在交线 BD 上(即在射线 OD 上) , 所以 PO 与平面 ABCD 所成的角 .

以 O 为坐标原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴建空间直角坐标系. 则 因为 AC⊥面 PBD,所以面 PBD 的法向量 设面 PAB 的法向量 由 由 ,得 ,得 ①,又 ②, ,可得 x=z=3,故 …(12 分) ,又 , ,…(6 分) , ,…(8 分)

在①②中令

所以二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值

考点: 直线与平面垂直的判定;用空间向量求平面间的夹角. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ)利用线面垂直的判定定理,可证 AC⊥平面 PBD; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用 ,可得二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值.

点评: 本题考查线面垂直,考查面面角,考查向量知识的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 20. (12 分)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 ,且经过点 Q(1, ) .若分别过椭

圆的左右焦点 F1,F2 的动直线 l1、l2 相交于 P 点,与椭圆分别交于 A、B 与 C、D 不同四点,直线 OA、OB、 OC、OD 的斜率 k1、k2、k3、k4 满足 k1+k2=k3+k4. (1)求椭圆的方程; (2)是否存在定点 M、N,使得|PM|+|PN|为定值.若存在,求出 M、N 点坐标;若不存在,说明理由.

解答: 解: (1)设椭圆方程为 由题意得 ,

…(2 分) 解得

∴椭圆方程为

.…(3 分)

(2)当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0) .

当直线 l1、l2 斜率存在时,设斜率分别为 m1,m2. ∴l1 的方程为 y=m1(x+1) ,l2 的方程为 y=m2(x﹣1) . 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,

联立

,得到

,…(5 分)







同理 ∵

, = ,

. (*)…(8 分) , , .

又满足 k1+k2=k3+k4. ∴ =2m2﹣ ,

把(*)代入上式化为: 化为 m1m2=﹣2. 设点 P(x,y) ,则 化为 .



. (m1≠m2) .

, (x≠±1)…(10 分)

由当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0)也满足, ∴点 P 在椭圆上,则存在点 M、N 其坐标分别为(0,﹣1) 、 (0,1) ,使得|PM|+|PN|= …(12 分) 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设椭圆方程为 ,则由题意 解得即可; 为定值.

(2)当直线 l1 或 l2 斜率不存在时,P 点坐标为(﹣1,0)或(1,0) .当直线 l1、l2 斜率存在时, 设斜率分别为 m1,m2.可得 l1 的方程为 y=m1(x+1) ,l2 的方程为 y=m2(x﹣1) .设 A(x1,y1) , B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) ,与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系,再利用斜率计 算公式和已知即可得出 m1 与 m2 的关系,进而得出答案. 点评: 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得出根与系数的

关系、斜率计算公式等是解题的关键.

21. (12 分)已知各项均为正数的数列{an}满足: (1)求 an 的通项公式; (2)当 n≥2 时,求证: 解答: 解: (1)a1=2,a2=3,a3=4,猜测:an=n+1. 下用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,a1=1+1=2,猜想成立; ②假设当 n=k(k≥1)时猜想成立,即 ak=k+1, 由条件 ∴ 两式相减得: 则当 n=k+1 时, , ∴ak+1=k+2,即当 n=k+1 时,猜想也成立. 故对一切的 n∈N*,an=n+1 成立.…(5 分) (2)∵an=n+1,即证: 对 k=1,2,…,n﹣2,令 , 显然 1<x<x+k,0<lnx<ln(x+k) ,∴xlnx<(x+k)ln(x+k) , ∴ ,∴fk(x)在(1,+∞)上单调递减.…(7 分) . ,则 , , ,…(3 分) .



由 n﹣k≥2,得 fk(n﹣k)≤fk(2) ,即 ∴ln2lnn≤ln(2+k)ln(n﹣k) ,k=1,2,…,n﹣2. ∴ = = ≤ +…+ +…+ +…+

= 即

. .…(12 分)

考点: 数学归纳法;数列的求和;数列与不等式的综合. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)利用已知可得:a1=2,a2=3,a3=4,猜测:an=n+1.用数学归纳法证明即可; (2)由于 an=n+1,即证: k=1,2,…,n﹣2,令 ,利用导数可得 .对 ,因此 fk . 即

(x) 在 (1, +∞) 上单调递减. 由 n﹣k≥2, 得 fk (n﹣k) ≤fk (2) , 即 ln2lnn≤ln(2+k)ln(n﹣k) ,k=1,2,…,n﹣2.进而证明结论. 点评: 熟练掌握数学归纳法、构造函数法、利用导数研究函数的单调性等是解题的关键.


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