高考数学-数列求和的方法总结(有答案)


专题十、数列与极限(三)
数列求和的方法
数列求和的常用方法有: (1)公式法; (2)错位相减法; (3)裂项相消法; (4)倒序相加 法; (5)分组求和法; (6)周期法。 1.公式法: 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用 等差、等比数列的前 n 项和的公式来求解。

①等差数列求和公式:

Sn ?

n ? a1 ? an ? n ? n ? 1? ? na1 ? d 2 2 ;

? na1 ? q ? 1? ? S n ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q ? 1 n ? q ? 1? ? 1 ? q 1? q ? ②等比数列求和公式: ;
③常见数列的前 n 项和:1 ? 2 ? 3 ? ……+n=

n(n ? 1) 2 ,1+3+5+??+(2n-1)= n , 2
2

n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1) ? 3 3 3 3 1 ? 2 ? 3 ? ……+n = , 1 ? 2 ? 3 ? ……+n = ? 等。 6 ? 2 ? ?
2 2 2 2

2.错位相减法: 若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到, 即数列是一个 “差比数列” , 则采用错位相减法。错位相减法的求解步骤:①在等式两边同时乘以“差比”数列中等比数列 的公比 q ;②将两个等式相减;③利用等比数列的前 n 项和的公式求和。 3.裂项相消法: 把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差,在求和时一些正 负项相互抵消,于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和,这一求和方法称为裂项相消法。该

? c ? ? ? an an ?1 ? ? 方法适用于类似 的数列,其中 ?an ? 是各项不为零的等差数列,c 为常数。用裂项相消
法求和,需要掌握一些常见的裂项方法:

1 1 1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? ? n ? n ? 1? n n ? 1 n?n ? k ? k ? n n ? k ? ① ,特别地当 k ? 1 时, ;


1 4n ? 1
2

?

1 1 1 1 ? ( ? ); (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1



1 1 ? n?k ? n k

?

n ? k ? n ,特别地当 k ? 1 时,

?

1 ? n ?1 ? n 。 n ?1 ? n

1

4.倒序相加法: 观察求和代数式,一般有 f ( x) ? f (1 ? x) ? c 或者 f ( x) ? f ( ) ? c ,可采用正序写和与倒 序写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法,类似于 等差数列的前 n 项和的公式的推导方法。 5.分组求和法: 若将数列适当拆开,可分为几个等差、等比数列或常见的数列,然后分别求和,再将求出 的和合并即可。 6.周期法:如果数列为周期数列,求和时可用周期法,难点是发现数列的周期性。 例 1.若数列{an}是正项数列,且 a1 ? a2 ? ? ? ? an ? n ? 3n ,求
2

1 x

a a1 a2 ? ? ? ? ? 2017 的值。 2 3 2018

解:因为数列{an}是正项数列,且 所以 所以①-②得, 则: 所以 例 2.已知 an ? (2n ? 1) ? 2 例 3.
2 n ?1

=n2+3n,(n∈N*)?①

=(n-1)2+3n-3,?② =2n+2,可得 ,

=4(n+1), =4(2+3+4+?(n+1))= ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. =2n2+6n.

1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7

?

1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)

例 4.已知函数 f ? x ? ?

2x ?1? ,求 f ? ?? 2x ? 2 ? 10 ?
?8? f ? ?? ? 10 ?

? 2? f ? ?? ? 10 ? ?5? ? f ? ?? ? 10 ?

?8? ? f ? ?? ? 10 ? ? 5? f ? ? ?1 ? 10 ?

?9? f ? ? 的值。 ? 10 ?

解: f ?

?1? ?? ? 10 ?

?9? ? 2? f ? ? ? f ? ?? ? 10 ? ? 10 ?

?1? ? 2? 令S ? f ? ? ? f ? ? ? ? 10 ? ? 10 ? ?9? 则S ? f ? ? ? ? 10 ? ?8? f ? ?? ? 10 ?

?8? ?9? ? f ? ?? f ? ? ? 10 ? ? 10 ? ? 2? ? f ? ?? ? 10 ? ?1? f? ? ? 10 ?

两式相加得: 2S ? 9 ? ? f ?

? ?1? ?? ? ? 10 ?

9 ? 9 ?? f ? ? ? ? 9 ,所以 S ? . 2 ? 10 ? ?

2

例 5.求和: S n ? 2 ? 3 ? 5 解: S n ? 2 ? 3 ? 5

?

?1

? ? ? 4 ? 3? 5 ? ? ?6 ? 3? 5 ? ?
?2 ?3 ?2 ?3

? ? 2n ? 3 ? 5? n ?

?

?1

? ? ? 4 ? 3? 5 ? ? ?6 ? 3? 5 ? ?
? 5? n ?

? ? 2n ? 3 ? 5? n ?

? ?2 ? 4 ? 6 ?

? 2n ? ? 3 ? 5?1 ? 5?2 ? 5?3 ?

n 1? ?1? ? ?1 ? ? ? ? n 5? 3 ? ?1? ? ? ?5? ? ? ? n ? n ? 1? ? 3 ? ? n 2 ? n ? ?1 ? ? ? ? 1 4? ? ?5? ? ? 1? 5

例 6.在数列{an}中, a1 ? ?2,an ?1 ?

1 ? an ,求 a2012 和 S2017. 1 ? an

解:由 得 ,

, ,a4=3,a5=-2,

?,由上可知,数列{an}中的项以 4 为周期周期出现. 则 a2012=a4+502×4=a4=3,S2017=3516/6.

变式训练: 1.(2013 全国)已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ?

3 ?1 ? 3?10 ?
项、公差及前 n 项和。 解:设该数列公差为 d ,前 n 项和为 sn ,由已知,可得

4 ,则 ?an ? 的前 10 项和等于_____ 3

2.(2013 四川)在等差数列 {an } 中, a2 ? a1 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a3 的等比中项,求数列 {an } 的首

2a1 ? 2d ? 8, ? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? d ?? a1 ? 8d ? . 所以 a1 ? d ? 4, d ? d ? 3a1 ? ? 0 ,
2

解得 a1 ? 4, d ? 0 ,或 a1 ? 1, d ? 3 ,即数列 ?an ? 的首相为 4,公差为 0,或首相为 1,公差为 3. 所以数列的前 n 项和 sn ? 4n 或 sn ? 3.求和: S n

3n 2 ? n 2

? x ? 2 x 2 ? 3x3 ?

? nx n ? x ? 0, x ? 1?

4.数列 ?an ? 满足 an ? 5.数列 ?an ? 满足 an ?

2n ? 1 ,则其前 n 项和为_________ 2n

1 n ? n ?1

,则其前 n 项和为_________

3

6.数列{an}满足 a1 ?

1 1 1 1 3 2 ? ? ? ??? , 则m ? 的整数部分是 ( an ?1 ? an ? an ? 1 , a1 a2 a3 a9 2 0 2
D.0



A.3 B.2 C.1 解:由题设知,an+1-1=an(an-1),

,∴ 通过累加,得 = 由 an+1-an=(an-1)2≥0,即 an+1≥an,由 得 a3= .∴a2010≥a2009≥a2008≥a3>2,∴ ,得 , , =2.



∴1<m<2,所以 m 的整数部分为 1.故选 C. 7.已知数列{an}的前 n 项和为 S n , an ? 则 S2016=__________________ 解:an= = ( ∴S2016= (1﹣ +…+ ( = (1﹣ = (1﹣ = [1﹣( + =

1 , ( n ? 1 ? n )( n ? 1 ? n ? 1)( n ? n ? 1)

﹣ )+ ( ﹣ ﹣ )

) . ﹣ ) + ﹣ +…+ ﹣ ) )+ ( ﹣ )

)]= .

=



故答案为:

8.求和: S n ? ? a ? 1? ? a ? 2 ? a ? 3 ?
2 3

?

? ?

?

? ? an ? n?

9.求值: S ? 答案:5

12 22 32 ? ? ? 12 ? 102 22 ? 92 32 ? 82

?

102 102 ? 12

4

10.已知函数 f ( x) ? 值。答案:2016.5

x2 1 1 1 ,求 f (1) ? f (2) ? ? ? ? ? f (2017 ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? ? ? f ( )的 2 2 3 2017 x ?1

1 ? 2an ,0 ? an ? ? 3 ? 2 11.数列{an}满足 an+1= ? ,若 a1= ,求 a2014 和 S2017. 5 ?2a ? 1, 1 ? a ? 1 n n ? 2 ?
解:∵a1= ,∴a2=2a1-1= ,

∴a3=2a2= ,a4=2a3= ,∴a5=2a4-1= . ∴an+4=an,∴a2014=a4×503+2=a2= ,S2017=1008.6

5


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