江苏省南通中学高二数学暑假作业01


江苏省南通中学 2013-2014 学年度暑假作业 高二数学 01 数学 I
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入的相应答题线上. ) 1. 设全集 U=R, 集合 A= x | x 2 ? 2 x ? 0 , B ? ?x | x ? 1? , 则集合 A ? UB ? 2.已知 i 是虚数单位,则

?

?



{x | 0 ? x ? 1}

1 ? 2i 等于 2?i

. ?i

3.某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取一个容 量为 200 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为 .64 4.右边的程序语句运行后,输出的 S 为 .17 5.在△ ABC 中,∠ A=45o,∠ C=105o,BC= 2 ,则 AC 的长度为 6. 已知向量 a= (-2, 2) , b= (5, k) . 若|la+b|不超过 5, 则 k 的取值范围是 .1 .

[? 6 , 2 ]
7.已知 P:|x-a|<4;q: (x-2) (3-x)>0,若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围 为 . [?1, 6]

?x ? 0 ? 8.已知变量 x,y 满足约束条件 ? y ? 0 ,表示平面区域 M,若-4≤a≤t 时,动直线 x+y=a 所经过 ?y ? x ? 4 ?
的平面区域 M 的面积为 7.则 t=
2 2

.2

9.已知圆 Cl: ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 1 ,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x-y-l =0 对称,则圆 C2 的方程 为 . ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 1
2 2

10.等差数列{an}的公差为-2,且 a1,a3,a4 成等比数列,则 a20=__ 11.如图,过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 L 交抛物线于点 A、B,交 其 准 线 于 点 C , 若 |BC|=2|BF| , 且 |AF|=3 , 则 此 抛 物 线 的 方 程 为 . y ? 3x
2

. ?30

12 .设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) .若 f ( x) ? f ? ( x) 是奇函数,则

??



? 6

13.定义一个对应法则 f:P(rn,n)→ p? (m,2|n|) .现有直角坐标平面内的点 A(-2,6)与点 B(6,-2) ,点 M 是线段 AB 上的动点,按定义的对应法则 f:M→M'.当点 M 在线段 AB 上 从点 A 开始运动到点 B 时,点 M 的对应点 M'经过的路线的长度为 .8 5

14.已知关于 x 的函数 y=

(1 ? t) x ? t 2 (f∈ R)的定义域为 D,存在区间[a,b] ? D,f(x)的值域 x


也是[a,b].当 t 变化时,b-a 的最大值=

2 3 3

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin x, ?1) ,向量 n ? ( 3 cos x, ) ,函数 f ( x) ? (m ? n) · m。 (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ )若不等式 f(x)-t=0 在 x ? [

1 2

? ?

, ] 上有解,求实数 t 的取值范围. 4 2

16.已知 lg(3x)+lg y=lg(x+y+1). (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值. x>0, ? ? 解 由 lg(3x)+lg y=l g(x+y+1),得?y>0, ? ?3xy=x+y+1. (1)∵x>0,y>0, ∴3xy=x+y+1≥2 xy+1. ∴3xy-2 xy-1≥0. 即 3( xy)2-2 xy-1≥0. ∴(3 xy+1)( xy-1)≥0. ∴ xy≥1.∴xy≥1.

当且仅当 x=y=1 时,等号成立. ∴xy 的最小值为 1. (2)∵x>0,y>0,

?x+y?2. ∴x+y+1=3xy≤3· ? 2 ?
∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0 . ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0. ∴x+y≥2. 当且仅当 x=y=1 时取等号,[来源 ∴x+y 的最小值为 2. 17. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥ 底面 ABCD, AD⊥ AB, CD∥ AB, AB ? 2 AD ? 2 , CD ? 3 , 直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60° ,点 M、N 分别是 PA,PB 的中点. (1)求证:MN∥ 平面 PCD; (2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形; (3)求证: DN ? 平面 PCB . 17.证明: (1)因为点 M,N 分别是 PA,PB 的中点,所以 MN∥ AB.…………………2 分 因为 CD∥ AB,所以 MN∥ CD. 又 CD ? 平面 PCD, MN ? 平面 PCD,所以 MN∥ 平面 PCD. ……4 分 (2)因为 AD⊥ AB,CD∥ AB,所以 CD⊥AD, 又因为 PD⊥ 底面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, 所以 CD⊥PD,又 AD

PD ? D ,所以 CD⊥平面 PAD.……………6 分

因为 MD ? 平面 PAD,所以 CD⊥MD, 所以四边形 MNCD 是直角梯形.……………………………………8 分 (3)因为 PD⊥ 底面 ABCD,所以∠PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角,从而∠PAD=

60 .

…………………………9 分

在 Rt △ PDA 中, AD ? 2 , PD ? 6 , PA ? 2 2 , MD ? 2 . 在 直 角 梯 形 MNCD 中 ,
MN ? 1



ND ? 3



CD ? 3



CN ? MD 2 ? (CD ? MN ) 2 ? 6 ,

从而 DN 2 ? CN 2 ? CD 2 ,所以 DN⊥CN.

…………………………11 分

在 Rt △ PDB 中,PD= DB= 6 , N 是 PB 的中点,则 DN⊥PB.……13 分 又因为 PB

CN ? N ,所以 DN ? 平面 PCB .

…………………14 分

18.(本小题满分 16 分) 一位幼儿园老师给班上 k ( k ? 3) 个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为 a0 ,就先从别 处抓 2 块糖加入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第一个小朋友;再从别处抓 2 块糖加入盒中, 2

1 然后把盒内糖果的 分给第二个小朋友;…,以后她总是在分给一个小朋友后,就从别处抓 2 块 3
糖放入盒中,然后把盒内糖果的

1 分给第 n( n ? 1,2,3, n ?1

k ) 个小朋友.如果设分给第 n 个小

朋友后(未加入 2 块糖果前)盒内剩下的糖果数为 an . (1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时,分别求 a1 , a2 , a3 ; (2)请用 an ?1 表示 an ;令 bn ? ( n ? 1)an ,求数列 {bn } 的通项公式; (3) 是否存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,如果存在,请求 出所有的 k 和 a0 ,如果不存在,请说明理由.

1 ?a0 ? 2? ? 7 , 2 1 1 a2 ? ?a1 ? 2 ? ? ?a1 ? 2 ? ? 6 , a3 ? ?a2 ? 2 ? ? ?a2 ? 2 ? ? 6 .……3 分 3 4 1 (2)由题意知: an ? ?an ?1 ? 2 ? ? ?an ?1 ? 2? ? n ?an ?1 ? 2? ,……6 分 n ?1 n ?1
解: (1)当 k ? 3 , a0 ? 12 时, a1 ? ?a0 ? 2 ? ? 即 ?n ? 1?an ? n?an ?1 ? 2 ? ? nan ?1 ? 2n , ? bn ? ( n ? 1)an ,? bn ? bn ?1 ? 2n, ……7 分

? bn ? bn ?1 ? 2n, bn ?1 ? bn ?2 ? 2n ? 2, b1 ? b0 ? 2.
累加得 bn ? b0 ?

?2 ? 2n ? n ? n?n ? 1? ,……9 分
2

又 b0 ? a0 ,? bn ? n?n ? 1? ? a0 .……10 分

(3)由 bn ? n?n ? 1? ? a0 ,得 an ? n ?

a0 ,……12 分 n ?1

若存在正整数 k ( k ? 3) 和非负整数 a0 ,使得数列 {an } ( n ? k ) 成等差数列,

则 a1 ? a3 ? 2a2 ,……14 分

即 (1 ? a0 ) ? 3 ?

1 2

a0 ? a ? ? 2 ? 2 ? 0 ? ? a0 ? 0 ,……15 分 4 3? ?

当 a0 ? 0 时, an ? n ,对任意正整数 k ( k ? 3) ,有 {an } ( n ? k ) 成等差数列. ……16 分 [注:如果验证 a0 , a1 , a2 不能成等差数列,不扣分] 【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法;考查反证法;考查递推思想;考查推理论证能力; 考查阅读理解能力、 建模能力、 应用数学解决问题能力. 本题还可以设计: 如果班上有 5 名小朋友, 每个小朋友都分到糖果,求 a0 的最小值. 19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 O 的中心在原点,长轴在 x 轴上,右顶点 A(2,0) 到右焦点的距离与它到右准线的距 离之比为

3 1 . 不过 A 点的动直线 y ? x ? m 交椭圆 O 于 P,Q 两点. 2 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)证明 P,Q 两点的横坐标的平方和为定值; (3)过点 A,P,Q 的动圆记为圆 C,动圆 C 过不同于 A 的定点,请求出该定点坐标. 19.解: (1)设椭圆的标准方程为

3 x2 y2 .……2 分 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? .由题意得 a ? 2, e ? 2 2 a b
? 椭圆的标准方程为

? c ? 3 , b ? 1 , ……2 分
(2)证明:设点 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ) 将y?

x2 ? y 2 ? 1 .……4 分 4

1 1 x ? m 带入椭圆,化简得: x 2 ? 2mx ? 2(m 2 ? 1) ? 0 ○ 2
2 x1 x2 ? 2( m 2 ? 1) ,……6 分 ? x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 ,

? x1 ? x2 ? ?2m,

?P,Q 两点的横坐标的平方和为定值 4.……7 分
2 2 (3)(法一)设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,则圆心为( ?

D 2

,?

E 2

),

PQ 中点 M( ? m, 圆心( ?

m 3 ), PQ 的垂直平分线的方程为: y ? ?2 x ? m , ……8 分 2 2

E 3 D E 3 2 ,……9 分 ,? )满足 y ? ?2 x ? m ,所以 ? ? D? m○ 2 2 2 2 2

圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 ○ 3 ,……10 分 圆过 P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y 2 ) , 则 ?

? x12 ? y12 ? Dx1 ? Ey1 ? F ? 0,
2 2 ? x2 ? y2 ? Dx2 ? Ey2 ? F ? 0,

两式相加得:

x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 2 ? Dx1 ? Dx2 ? Ey1 ? Ey 2 ? 2 F ? 0,

x1 ? x2 ? (1 ?
2 2

x1 4

2

) ? (1 ?

x2 4

2

) ? D ( x1 ? x2 ) ? E ( y1 ? y 2 ) ? 2 F ? 0 ,……11 分

y1 ? y2 ? m ,
因为动直线 y ?

4 .……12 分 ? 5 ? 2mD ? mE ? 2 F ? 0 ○

1 2

x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 ,
3( m ? 1) 4 , E? 3 2 m? 3 2 , 3 5 F ? ? m ? , ……13 分 2 2

由○ 2 ○ 3 ○ 4 解得: D ?

3 3 3 5 x ? ( m ? )y ? m ? ? 0 , 4 2 2 2 2 3 3 5 3 3 3 整理得: ( x 2 ? y 2 ? x ? y ? ) ? m ( x ? y ? ) ? 0 ,……14 分 4 2 2 4 2 2
代入圆的方程为: x 2 ? y 2 ?
3 3 5 ? 2 x ? y 2 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2 所以: ? ……15 分 3 3 3 ? x ? y ? ? 0, ? ? 4 2 2

3( m ? 1)

? x ? 0, ? x ? 2, 解得: ? 或? (舍). ? y ? 1, ? y ? 0

所以圆过定点(0,1).……16 分
2 2 (法二) 设圆的一般方程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,将 y ?

1 x ? m 代入的圆的方程: 2

5 2 ? E? 5 .……8 分 x ? ? m ? D ? ? x ? m 2 ? mE ? F ? 0 ○ 4 2? ?

1 2m 2( m 2 ? 1) , ……11 分 ? ? 2 5 E m ? mE ? F m?D? 4 2 圆过定点(2,0),所以 4 ? 2 D ? F ? 0 , ……12 分
方程○ 1 与方程○ 5 为同解方程. 因为动直线 y ? 解得: D ?

1 x ? m 与椭圆 C 交与 P,Q(均不与 A 点重合)所以 m ? ?1 . 2

3( m ? 1) 3 3 3 5 , E ? m ? , F ? ? m ? ,……13 分 (以下相同) 4 2 2 2 2 【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系;考查定点定值问题;考 查运算求解能力和推理论证能力.
20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f(x)=ax2+1,g(x)=x3+bx,其中 a>0,b>0. (Ⅰ )若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点 P(2,c)处有相同的切线(P 为切点) , 求 a,b 的值; (Ⅱ )令 h(x)=f(x)+g(x) ,若函数 h(x)的单调递减区间为[ ? (1)函数 h(x)在区间(一∞,-1]上的最大值 M(a) ; (2)若|h(x)|≤3,在 x∈ [-2,0]上恒成立,求 a 的取值范围。

a b ,? ],求: 2 3

数学Ⅱ
21.(1) 选修 4-2:矩阵与变换(本小题满分 10 分) 已知, 点 A 在变换 T: ? ? ? ? ?? ? ?

? x? ? y?

? x? ? ?y ?

?x ? 2 y? 作用后, 再绕原点逆时针旋转 90o, 得到点、 B. 若 ? y ? ?

点 B 的坐标为(-3,4) ,求点 A 的坐标.

(2) 选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 已知在极坐标系下,圆 C:p= 2cos( ? ?

?
2

)与直线 l: ? sin( ? ?

?
4

)= 2 ,点 M 为圆 C

上的动点.求点 M 到直线 l 距离的最大值.

22. (本小题满分 10 分) 某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数 分钟,经统计以往 100 位顾客办理业务所需的时间(t) ,结果如下:

类别 顾客数(人) 时间 t(分钟/人)

A类 20 2

B类 30 3

C类 40 4

D类 10 6

注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ )求银行工作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位顾客的业务的概率; (Ⅱ )用 X 表示至第 4 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

23. (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x +1nx. 2
n n n ?

(Ⅰ )求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; (Ⅱ )设 g(x)=f(x) ,求证: [ g ( x)] ? g ( x ) ? 2 ? 2(n ? N ) .


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