高中数学3-2第4课时空间向量与空间距离精品课件同步导学新人教A版选修


? 第4课时

空间向量与空间距离

? 1.理解点到平面的距离的概念. ? 2.能灵活运用向量方法求各种空间距离. ? 3.体会向量法在求空间距离中的作用.

? 1.两点间的距离,点到平面的距离.(重点)

? 2.线面距离、面面距离向点面距离的转化.(难点)

? 有一道数学竞赛题:

? 在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1
中,以顶点A为端点的三条棱长都等于1,且两 两夹角都是60°,求顶点C1到平行四边形ABCD 的距离.同学甲的解题思路是:因为A1C1∥平面ABCD,故C1 与A1到平行四边形的距离相等,过A1作平面ABCD的垂线,垂

足为O,使问题转化为求A1O的长度.同学乙的解题思路是:
直接求C1C的长度,即C1C=A1A=1.你认为哪个同学的解题思 路正确?为什么?

? 空间中的距离

1.在空间直角坐标系中,已知点A(2,3,4),B(-2,1,0), C(1,1,1),那么点C到线段AB中点的距离是( A.1 C.2 B. 3 D. 5 )

解析: 线段AB中点D的坐标为(0,2,2), → |= ?0-1?2+?2-1?2+?2-1?2= 3. |CD

答案: B

2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点 A到平面A1BC的距离为( 3 A. 4 3 3 C. 4 ) 3 B. 2 D. 3

解析: 利用等体积转化法VA-A1BC=VA1-ABC 3 计算得d= 2 ,故选B.

? 答案:

B

? 3 .已知平面 α 的一个法向量 n = ( - 2 ,- 2,1) ,点 A( -
1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为________.
→· |PA n| |1×?-2?+2×?-2?+?-4?×1| 解析: d= = |n| ?-2?2+?-2?2+12 10 =3.

10 答案: 3

? 4.已知正方形 ABCD的边长为 1,PD⊥平面ABCD,且PD
=1,E,F分别为AB,BC的中点. ? (1)求点D到平面PEF的距离; ? (2)求直线AC到平面PEF的距离. ? 解析: ? (1)建立以D为坐标原点,DA,DC,DP分别为x轴,y轴,z 轴的空间直角坐标系,如图所示.

则P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),
? ?1 ? 1 ? E?1,2,0?,F?2,1,0?, ? ? ? ? ? 1 1 ? ? ? 1 → =?- , ,0?,PE → =?1, ,-1?, EF 2 ? 2 2 ? ? ?

设平面PEF的法向量n=(x,y,z), → =0,且n· → =0, 则n· EF PE
? 1 1 ? 1 所以?-2x+2y=0,?x+2y-z=0. ? ?

令x=2,则y=2,z=3, 所以n=(2,2,3), →· |DE n| 所以点D到平面PEF的距离为d= |n| |2+1| 3 = = 17, 17 4+4+9 3 因此,点D到平面PEF的距离为 17. 17

? ? 1 → =?0, ,0?,所以点A到平面PEF的距离为 (2)因为AE 2 ? ?

→· |AE n| 1 17 d= |n| = = 17 , 17 17 所以AC到平面PEF的距离为 . 17

?

如 图 所 示 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , AB = AC = 1 ,

∠ACD = 90°,将它沿对角线 AC折起,使 AB 与 CD 成 60°角 ,求B、D间的距离.

→· → =0. [规范作答] ∵∠ACD=90° ,∴AC CD →· → =0.2分 同理AC BA ∵AB与CD成60° 角, → ,CD → 〉=60° ∴〈BA 或120° .4分 → =BA → +AC → +CD → ,6分 又BD →· → =|BA → |2+|AC → |2+|CD → |2+2BA →· → +2BA →· → ∴BD BD AC CD →· → +2AC CD → ,CD → 〉8分 =3+2×1×1×cos〈BA

→ ,CD → 〉=60° → 2=4,|BD → |=2, 当〈BA 时,BD → ,CD → 〉=120° → |= 2.10分 当〈BA 时,BD2=2,|BD ∴B、D两点间的距离为2或 2.12分

?

[题后感悟]

求空间中两点间距离的主要方法

? (1)建立空间直角坐标系,求出两点的坐标,代入两点间距 离公式求解; ? (2)将以两点为端点的向量用基向量表示,再求此向量

? 1.如图,在60°的二面角的棱上,有A, B两点,线段 AC ,BD分别在二面角的两个面内,且都垂直于AB,已知AB=

4,AC=6,BD=8,求CD的长度.

解析:

→ , AB → 〉=90° →1 , BD → 〉= 由题意知〈 CA ,〈 AB

→ ,BD → 〉=120° 90° ,〈CA . → |2=(CA → +AB → +BD → )2 |CD → |2+|AB → |2+|BD → |2+2CA →· → +2AB →· → +2CA →· → =|CA AB BD BD =62+42+82+2×6×8×cos 120° =68 → |=2 17. ∴|CD

?

已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 a ,求点 A 到截

面A1BD的距离.

? 方法三:等体积转化VA-A1BD=VB-AA1D

[解题过程] 方法一: 建立空间直角坐标系如图所示,则 A1(a,0,0), A(a,0,a),B(a,a,a),D(0,0,a), 设平面A1BD的法向量为n=(x,y, z),
? ? D→ B =0, ? n· ?ax+ay=0, 则? 即? ? ?ay+az=0, ? A1→ B =0, ? n·

? ?x=-y, ∴? ? ?z=-y,

令y=-1,则n=(1,-1,1), →· ∴AB n=(0,a,0)· (1,-1,1)=-a, →· |AB n| |-a| 3 ∴点A到平面A1BD的距离为d= = = a. |n| 3 3

方法二:

如图所示,由正方体的性质可得A1D=DB=BA1= 2a, ∴△A1BD是正三角形. 连接AC交BD于O,则BD⊥AC, 连接A1O,则A1O⊥BD, 又AC∩A1O=O,∴BD⊥平面A1AO,

又BD?平面A1BD,∴平面A1AO⊥平面A1BD,且平面 A1AO∩平面A1BD=A1O,作AH⊥A1O于H, 则AH⊥平面A1BD,故AH的长即为A到平面A1BD的距离, OA 3 在Rt△A1AO中,sin∠OA1A= = , OA1 3 3 在Rt△A1HA中,AH=AA1sin∠OA1A= 3 a, 3 即A到截面A1BD的距离为 a. 3

方法三:由题意知A1D=DB=BA1= 2a. 1 6 3 2 ∴S△A1BD=2× 2a× 2 a= 2 a 设点A到平面A1BD的距离为d. 由VA-A1BD=VB-AA1D得 1 1 3×S△A1BD×d=3×S△AA1D×AB 1 2×a×a×a 3 ∴d= = 3 a. 3 2 2a

?

[题后感悟]

(1)用向量法求点面距的方法与步骤(如本题

方法一):

?

(2)用距离线段求点到面的距离,要作出垂线段,常常要

添加辅助线,如本题中方法二; ? (3) 用等体积转化法求点到平面的距离,要注意转化顶点 后的体积较容易求,如本题中方法三.

? 2.已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别为AB、AD的 中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2.求点B到平面EFG的距离



解析:

方法一:如图所示,以C为原点,CB、CD、CG所

在直线分别为x、y、z轴建立空间直角 坐标系Cxyz, 由题意知C(0,0,0),A(4,4,0), B(4,0,0),D(0,4,0),E(4,2,0), F(2,4,0),G(0,0,2). → =(0,2,0), BF → =(-2,4,0), BG → =(-4,0,2), GE → =(4,2, BE → =(-2,2,0). -2),EF

→ ⊥平面GEF,垂足为M,则M、G、E、F四点共面, 设BM → =xBE → +yBF → +zBG →, 故存在实数x,y,z,使BM → =x(0,2,0)+y(-2,4,0)+z(-4,0,2) 即BM =(-2y-4z,2x+4y,2z). → ⊥GE → ,BM → ⊥EF →, 由BM⊥平面GEF,得BM →· → =0,BM →· → =0, 于是BM GE EF ?4,2,-2?=0, ??-2y-4z,2x+4y,2z?· ? ?-2,2,0?=0, 即??-2y-4z,2x+4y,2z?· ?x+y+z=1, ?

?x-5z=0, ? 即?x+3y+2z=0, ?x+y+z=1, ?

15 ? ?x= , ? 11 ? 7 解得?y=-11, ? ? 3 z=11. ? ?

2 2 6 → ∴BM=(-2y-4z,2x+4y,2z)=(11,11,11). → |= ∴|BM
?2? ?2? ?6? 2 11 2 2 ? ? +? ? +? ?2= 11 , ?11? ?11? ?11?

2 11 即点B到平面GEF的距离为 11 .

→ 在平面EFG的法向量n上的射影求点B到 方法二:利用 BE →· |BE n| → |· → ,n〉|. 平面EFG的距离,即d= |n| =||BE cos〈BE 建立如方法一中图所示的坐标系,同方法一得 (0,2,0), → =(4,2,-2),EF → =(-2,2,0). GE → BE =

设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),则有
? ? G→ E =0, ? n· ?2x+y-z=0, ? 即? ? ?-x+y=0. ? E→ F =0, ? n·

令x=1,则y=1,z=3, ∴n=(1,1,3). → |· → ,n〉| 点B到平面GEF的距离为d=||BE cos〈BE
??0,2,0?· →· ?1,1,3?? |BE n| ? ? 2 11 = |n| =? ?= 11 . 11 ? ?

? 如何理解点到平面的距离? ? (1)连接平面 α外一点 P与α内任意一点的所有线段中,垂线 段最短;

? (2)一点到它在平面内正射影的距离,叫做该点到这个平面
的距离; ? (3)求点到平面的距离可以用向量法求解也可以利用定义转 化为三角形求解.

? ◎线段AB在平面α内,AC⊥α.BD⊥AB,且BD与α所成角
是30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离.
【错解】 由AC⊥α,可知AC⊥AB,过D作DD1⊥α,D1

→ ,BD → 〉=120° 为垂足,则∠DBD1=30° ,〈CA . → |2=|CD →· → |=|CA → +AB → +BD → |2 ∴|CD CD → 2+AB2+BD → 2+2CA →· → +2CA →· → +2AB →· → =CA AB BD BD =b2+a2+b2+2b2cos 120° =a2+b2, → |= a2+b2. ∴|CD

? 【错因】

上述解答仅考虑到 C 、 D 在平面 α 的同侧的情

况,忽视了两点位于α异侧的情况.
【正解】 → |= a2+b2; 当C、D在α同侧时,|CD

→ ,BD → ?=60° 当C、D在α异侧时,?CA . → |2=2b2+a2+2b2cos 60° ∴|CD =a2+3b2, → |= a2+3b2. ∴|CD ∴C、D间距离为 a2+b2或 a2+3b2.


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