北京市东城区2017届高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)


2016-2017 学年北京市东城区高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. ) 1.已知集合 A={x|(x﹣1) (x﹣3)<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.{x|1<x<3} B.{x|1<x<4} C.{x|2<x<3} D.{x|2<x<4} 2.抛物线 y2=2x 的准线方程是( A.y=﹣1 B. C.x=﹣1 ) D. ) )

3.“k=1”是“直线

与圆 x2+y2=9 相切”的(

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

4.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为(

A.6

B.8

C.10 D.12 )

5.已知 x,y∈R,且 x>y>0,则( A.tanx﹣tany>0 C.lnx+lny>0 B.xsinx﹣ysiny>0

D.2x﹣2y>0

6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则 f(x+1) ≥0 的解集为( )
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A. (﹣∞,﹣1]

B. (﹣∞,1] C.[﹣1,+∞)

D.[1,+∞) )

7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(

A.

B.

C.2

D.

8.数列{an}表示第 n 天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第 n 天的日增 长率 rn=0.6(rn= ,n∈N*) .当这种细菌在实际条件下生长时,其日增

长率 rn 会发生变化.如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时 间的变化规律.那么,对这种细菌在实际条件下日增长率 rn 的规律描述正确的

是(



A



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B



C



D.

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.若复数(2﹣i) (a+2i)是纯虚数,则实数 a= 10.若 x,y 满足 ,则 x+2y 的最大值为 .



11. 0) 若点 P (2, 到双曲线

的一条渐近线的距离为 1, 则 a= ; 若 AD⊥BC, 则 AD=

. .

12. AC=3, 在△ABC 中, 若 AB=2, ∠A=60°, 则 BC= 13.在△ABC 所在平面内一点 P,满足 ,则 λ= .

,延长 BP 交 AC 于点 D,若

14.关于 x 的方程 g(x)=t(t∈R)的实根个数记为 f(t) .若 g(x)=lnx,则 f
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(t)=

;若 g(x)= .

(a∈R) ,存在 t 使得 f(t+2)>f

(t)成立,则 a 的取值范围是

三、 解答题 (共 6 小题, 共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. ) 15.已知{an}是等比数列,满足 a1=3,a4=24,数列{an+bn}是首项为 4,公差为 1 的等差数列. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和. 16.已知函数 部分图象如图所示.

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及图中 x0 的值; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD, BC=1,AB=2, ,E 为 PA 中点.

(Ⅰ)求证:PC∥平面 BED; (Ⅱ)求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在点 M,使得 BM⊥AC?若存在,求 说明理由. 的值;若不存在,

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18.设函数



(Ⅰ)若 f(0)为 f(x)的极小值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,求 a 的最大值. 19.已知椭圆 C: =1(a>b>0)经过点 M(2,0) ,离心率为 .A,B

是椭圆 C 上两点,且直线 OA,OB 的斜率之积为﹣ ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若射线 OA 上的点 P 满足|PO|=3|OA|,且 PB 与椭圆交于点 Q,求 值. 20.已知集合 An={(x1,x2,…,xn)|xi∈{﹣1,1}(i=1,2,…,n)}.x,y∈ An,x=(x1,x2,…,xn) ,y=(y1,y2,…,yn) ,其中 xi,yi∈{﹣1,1}(i=1,2,…, n) .定义 x⊙y=x1y1+x2y2+…+xnyn.若 x⊙y=0,则称 x 与 y 正交. (Ⅰ)若 x=(1,1,1,1) ,写出 A4 中与 x 正交的所有元素; (Ⅱ)令 B={x⊙y|x,y∈An}.若 m∈B,证明:m+n 为偶数; (Ⅲ)若 A? An,且 A 中任意两个元素均正交,分别求出 n=8,14 时,A 中最多 可以有多少个元素. 的

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2016-2017 学年北京市东城区高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项. ) 1.已知集合 A={x|(x﹣1) (x﹣3)<0},B={x|2<x<4},则 A∩B=( A.{x|1<x<3} B.{x|1<x<4} C.{x|2<x<3} D.{x|2<x<4} 【考点】交集及其运算. 【分析】化简集合 A,由集合交集的定义,即可得到所求. 【解答】解:集合 A={x|(x﹣1) (x﹣3)<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4}, 则 A∩B={x|2<x<3}. 故选:C. )

2.抛物线 y2=2x 的准线方程是( A.y=﹣1 B. C.x=﹣1

) D.

【考点】抛物线的简单性质. 【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可. 【解答】解:抛物线 y2=2x 的准线方程是:x=﹣ . 故选:D.

3.“k=1”是“直线

与圆 x2+y2=9 相切”的(



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据直线和圆相切得到关于 k 的方程,解出即可. 【解答】解:若直线 与圆 x2+y2=9 相切,
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则由

得: (1+k2)x2﹣6

kx+9=0,

故△=72k2﹣36(1+k2)=0,解得:k=±1, 故“k=1”是“直线 故选:A. 与圆 x2+y2=9 相切”的充分不必要条件,

4.执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为(



A.6

B.8

C.10 D.12

【考点】程序框图. 【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的 k,S 的值,可得当 S= 不满足条件 S≤ ,退出循环,输出 k 的值为 8,即可得解. 时

【解答】解:模拟程序的运行,可得 S=0,k=0 满足条件 S≤ 满足条件 S≤ 满足条件 S≤ 满足条件 S≤ ,执行循环体,k=2,S= ,执行循环体,k=4,S= + ,执行循环体,k=6,S= + + ,执行循环体,k=8,S= + + + =
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不满足条件 S≤ 故选:B.

,退出循环,输出 k 的值为 8.

5.已知 x,y∈R,且 x>y>0,则( A.tanx﹣tany>0 C.lnx+lny>0 B.xsinx﹣ysiny>0



D.2x﹣2y>0

【考点】函数单调性的性质. 【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可. 【解答】解:x,y∈R,且 x>y>0, 对于 A:当 x= ,y= 时,tan = ,tan sin = ,显然不成立;

对于 B:当 x=π,y=

时,πsinπ=﹣π,﹣

=﹣1,显然不成立;

对于 C:lnx+lny>0,即 ln(xy)>ln1,可得 xy>0,∵x>y>0,那么 xy 不一定 大于 0,显然不成立; 对于 D:2x﹣2y>0,即 2x>2y,根据指数函数的性质可知:x>y,恒成立. 故选 D

6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,则 f(x+1) ≥0 的解集为( A. (﹣∞,﹣1] ) B. (﹣∞,1] C.[﹣1,+∞) D.[1,+∞)

【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可. 【解答】解:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且在[0,+∞)上是增函数, ∴函数在(﹣∞,+∞)上是增函数, ∵f(0)=0, ∴不等式 f(x+1)≥0 等价为 f(x+1)≥f(0) , 则 x+1≥0,得 x≥﹣1, 即不等式的解集为[﹣1,+∞) , 故选:C
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7.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(



A.

B.

C.2

D.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积. 【分析】 由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图中右下角的三角形为 底面的三棱锥,代入棱锥体积公式,可得答案. 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个以俯视图中左上角的三角 形为底面的三棱锥, 其直观图如下图所示:

其底面面积 S= ×2×2=2, 高 h=2, 故棱锥的体积 V= 故选:B. = ,

8.数列{an}表示第 n 天午时某种细菌的数量.细菌在理想条件下第 n 天的日增

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长率 rn=0.6(rn=

,n∈N*) .当这种细菌在实际条件下生长时,其日增

长率 rn 会发生变化.如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量 Q 随时 间的变化规律.那么,对这种细菌在实际条件下日增长率 rn 的规律描述正确的

是(



A



B



C



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D.

【考点】散点图. 【分析】由图象可知,第一天到第六天,实际情况与理想情况重合,r1=r2=r6=0.6 为定值,而实际情况在第 10 天后增长率是降低的,并且降低的速度是变小的, 即可得出结论. 【解答】解:由图象可知,第一天到第六天,实际情况与理想情况重合, r1=r2=r6=0.6 为定值,而实际情况在第 10 天后增长率是降低的,并且降低的速度 是变小的, 故选 B.

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.若复数(2﹣i) (a+2i)是纯虚数,则实数 a= 【考点】复数的基本概念. 【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出. 【解答】解:∵复数(2﹣i) (a+2i)=(2a+2)+(4﹣a)i 是纯虚数, ∴2a+2=0,4﹣a≠0, 解得 a=﹣1. 故答案为:﹣1. ﹣1 .

10.若 x,y 满足 【考点】简单线性规划.

,则 x+2y 的最大值为

6



【分析】设 z=x+2y,作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识进行求 解即可.
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【解答】解:作出不等式组对应的平面区域, 设 z=x+2y,由 z=x+2y,得 y= 线经过点 A 时, 直线 y= 由 的截距最大,此时 z 最大, ,得 ,即 A(2,2) ,平移直线 y= ,由图象可知当直

此时 z=2+2×2=6. 故答案为:6

11.若点 P(2,0)到双曲线 .

的一条渐近线的距离为 1,则 a=

【考点】直线与双曲线的位置关系;双曲线的简单性质. 【分析】 求出双曲线的渐近线方程, 利用点到直线的距离公式列出方程求解即可. 【解答】解:双曲线 的一条渐近线方程为:x+ay=0,

点 P(2,0)到双曲线

的一条渐近线的距离为 1,

可得: 故答案为:

=1,解得 a= .



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12.在△ABC 中,若 AB=2,AC=3,∠A=60°,则 BC= AD= .

; 若 AD⊥BC,则

【考点】三角形中的几何计算. 【分析】利用余弦定理求 BC,利用面积公式求出 AD. 【解答】解:∵AB=2,AC=3,∠A=60°, ∴由余弦定理可得 BC= = 故答案为 , . ,∴AD= = , ,

13.在△ABC 所在平面内一点 P,满足 ,则 λ= .

,延长 BP 交 AC 于点 D,若

【考点】平面向量的基本定理及其意义. 【分析】用特殊值法,不妨设△ABC 是等腰直角三角形,腰长 AB=AC=1,建立直 角坐标系,利用坐标法和向量共线,求出点 D 的坐标,即可得出 λ 的值. 【解答】解:根据题意,不妨设△ABC 是等腰直角三角形, 且腰长 AB=AC=1, 建立直角坐标系,如图所示, 则 A(0,0) ,B(1,0) ,C(0,1) , ∴ ∴ ∴ =(1,0) , = = + ﹣ =(0,1) ;

=( , ) , =(﹣ , ) ;

设点 D(0,y) , 则 由 ∴ 当 =(﹣1,y) , 、 共线,得 y= , =(0,1) ,

= (0 , ) , 时,

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λ= . 故答案为: .

14.关于 x 的方程 g(x)=t(t∈R)的实根个数记为 f(t) .若 g(x)=lnx,则 f (t)= 1 ;若 g(x)= a>1 . (a∈R) ,存在 t 使得 f(t+2)>f

(t)成立,则 a 的取值范围是 【考点】分段函数的应用.

【分析】若 g(x)=lnx,则函数的值域为 R,且函数为单调函数,故方程 g(x) =t 有且只有一个根,故 f(t)=1, 若 g(x)= (a∈R) ,存在 t 使得 f(t+2)>f(t)成立,则

x>0 时,函数的最大值大于 2,且对称轴位于 y 轴右侧,解得答案. 【解答】解:若 g(x)=lnx,则函数的值域为 R,且函数为单调函数, 故方程 g(x)=t 有且只有一个根, 故 f(t)=1, g(x)= ,

当 t≤0 时,f(t)=1 恒成立, 若存在 t 使得 f(t+2)>f(t)成立, 则 x>0 时,函数的最大值大于 2,且对称轴位于 y 轴右侧,

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解得:a>1, 故答案为:1,a>1

三、 解答题 (共 6 小题, 共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. ) 15.已知{an}是等比数列,满足 a1=3,a4=24,数列{an+bn}是首项为 4,公差为 1 的等差数列. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和. 【考点】数列的求和;等差数列与等比数列的综合. 【分析】 (Ⅰ)利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比,即可求 数列的通项公式; (Ⅱ) 利用分组求和的方法求解数列的和, 由等差数列及等比数列的前 n 项和公 式即可求解数列的和. 【解答】解: (Ⅰ)设等比数列{an}的公比为 q.a1=3,a4=24 得 q 3= =8,q=2.

所以 an=3?2n﹣1. 又数列{an+bn}是首项为 4,公差为 1 的等差数列, 所以 an+bn=4+(n﹣1)=n+3. 从而 bn=n+3﹣3?2n﹣1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn=n+3﹣3?2n﹣1. 数列{n+3}的前 n 项和为 数列{3?2n﹣1}的前 n 项和为 所以,数列{bn}的前 n 项和为为 . =3×2n﹣3. ﹣3×2n+3.

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16.已知函数

部分图象如图所示.

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及图中 x0 的值; (Ⅱ)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.

【考点】三角函数的周期性及其求法;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解 析式. 【分析】 (Ⅰ)根据函数的部分图象得出最小正周期 T 以及 x0 的值; (Ⅱ)写出 f(x)的解析式,利用正弦函数的图象与性质即可求出 f(x)在区间 [0, ]上的最值. , =π; …

【解答】解: (Ⅰ)∵函数 ∴函数的最小正周期为 T=

因为点(0,1)在 f(x)=2sin(2x+φ)的图象上, 所以 2sin(2×0+φ)=1; 又因为|φ|< 所以 φ= 令 2x+ = ,… ,解得 x= = ; , … ) , ; ,

所以 x0=π+

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(x)=2sin(2x+ 因为 0≤x≤ 当 2x+ = ,所以 ,即 x= ≤2x+ ≤

时,f(x)取得最大值 2;
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当 2x+

=

,即 x=

时,f(x)取得最小值﹣1.…

17.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PCD⊥平面 ABCD, BC=1,AB=2, ,E 为 PA 中点.

(Ⅰ)求证:PC∥平面 BED; (Ⅱ)求二面角 A﹣PC﹣D 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在点 M,使得 BM⊥AC?若存在,求 说明理由. 的值;若不存在,

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性 质. 【分析】 (Ⅰ)设 AC 与 BD 的交点为 F,连结 EF,推导出 EF∥PC.由此能证明 PC∥平面 BED. (Ⅱ)取 CD 中点 O,连结 PO.推导出 PO⊥CD,取 AB 中点 G,连结 OG,建立 空间直角坐标系 O﹣xyz,利用向量法能求出二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值. (Ⅲ)设 M 是棱 PC 上一点,则存在 λ∈[0,1]使得 出在棱 PC 上存在点 M,使得 BM⊥AC.此时, 【解答】 (共 14 分) 证明: (Ⅰ)设 AC 与 BD 的交点为 F,连结 EF. 因为 ABCD 为矩形,所以 F 为 AC 的中点. 在△PAC 中,由已知 E 为 PA 中点, 所以 EF∥PC. 又 EF? 平面 BFD,PC?平面 BFD, 所以 PC∥平面 BED. …
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.利用向量法能求

=

(Ⅱ)取 CD 中点 O,连结 PO. 因为△PCD 是等腰三角形,O 为 CD 的中点, 所以 PO⊥CD. 又因为平面 PCD⊥平面 ABCD, PO? 平面 PCD,所以 PO⊥平面 ABCD. 取 AB 中点 G,连结 OG,由题设知四边形 ABCD 为矩形, 所以 OF⊥CD.所以 PO⊥OG.… 如图建立空间直角坐标系 O﹣xyz, 则 A(1,﹣1,0) ,C(0,1,0) ,P(0,0,1) ,D(0,﹣1,0) , B(1,1,0) ,O(0,0,0) ,G(1,0,0) . =(﹣1,2,0) , =(0,1,﹣1) .

设平面 PAC 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,令 z=1,得 =(2,1,1) . =(1,0,0) . = .

平面 PCD 的法向量为 设

的夹角为 α,所以 cosα=

由图可知二面角 A﹣PC﹣D 为锐角, 所以二面角 A﹣PC﹣B 的余弦值为 .… . =(﹣1,2,0) .

(Ⅲ)设 M 是棱 PC 上一点,则存在 λ∈[0,1]使得 因此点 M(0,λ,1﹣λ) , 由 因为 此时, =(﹣1,λ﹣1,1﹣λ) , .

,得 1+2(λ﹣1)=0,解得

∈[0,1],所以在棱 PC 上存在点 M,使得 BM⊥AC. = . …

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18.设函数



(Ⅰ)若 f(0)为 f(x)的极小值,求 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立,求 a 的最大值. 【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)求出函数 f(x)的导数,计算 f′(0)=0,求出 a 的值检验即可; (Ⅱ)通过讨论 a 的范围判断函数的单调性结合 f(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒 成立,求出 a 的具体范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)的定义域为(﹣1,+∞) , 因为 所以 f′(x)= ﹣ , ,

因为 f(0)为 f(x)的极小值, 所以 f′(0)=0,即 所以 a=1, 此时,f′(x)= , ﹣ =0,

当 x∈(﹣1,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 所以 f(x)在 x=0 处取得极小值, 所以 a=1. …

(Ⅱ)由(Ⅰ)知当 a=1 时,f(x)在[0,+∞)上为单调递增函数,
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所以 f(x)>f(0)=0, 所以 f(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立. 因此,当 a<1 时,f(x)=ln(x+1)﹣ f(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立. 当 a>1 时,f′(x)= , >ln(x+1)﹣ >0,

所以,当 x∈(0,a﹣1)时,f′(x)<0,因为 f(x)在[0,a﹣1)上单调递减, 所以 f(a﹣1)<f(0)=0, 所以当 a>1 时,f(x)>0 并非对 x∈(0,+∞)恒成立. 综上,a 的最大值为 1. …

19.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)经过点 M(2,0) ,离心率为 .A,B

是椭圆 C 上两点,且直线 OA,OB 的斜率之积为﹣ ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若射线 OA 上的点 P 满足|PO|=3|OA|,且 PB 与椭圆交于点 Q,求 值. 【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 的

【分析】 (Ⅰ)由题意得

,求出 b,由此能求出椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x3,y3) ,求出 p 点的坐标,由 B,Q,P 三点共线,得 则 的值可求. ,联立方程组求解得 x3,y3,再结合已知条件能求出 λ 值,

【解答】解: (Ⅰ)由题意得



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解得

. ;

∴椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x3,y3) , ∵点 P 在直线 AO 上且满足|PO|=3|OA|, ∴P(3x1,3y1) . ∵B,Q,P 三点共线, ∴ .

∴(3x1﹣x2,3y1﹣y2)=λ(x3﹣x2,y3﹣y2) , 即 ,

解得



∵点 Q 在椭圆 C 上,∴







即 ∵A,B 在椭圆 C 上, ∴ , . , .



∵直线 OA,OB 的斜率之积为 ∴ ,即

∴ ∴ =|λ|=5.

,解得 λ=5.

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20.已知集合 An={(x1,x2,…,xn)|xi∈{﹣1,1}(i=1,2,…,n)}.x,y∈ An,x=(x1,x2,…,xn) ,y=(y1,y2,…,yn) ,其中 xi,yi∈{﹣1,1}(i=1,2,…, n) .定义 x⊙y=x1y1+x2y2+…+xnyn.若 x⊙y=0,则称 x 与 y 正交. (Ⅰ)若 x=(1,1,1,1) ,写出 A4 中与 x 正交的所有元素; (Ⅱ)令 B={x⊙y|x,y∈An}.若 m∈B,证明:m+n 为偶数; (Ⅲ)若 A? An,且 A 中任意两个元素均正交,分别求出 n=8,14 时,A 中最多 可以有多少个元素. 【考点】数列的应用. 【分析】 (Ⅰ)由子集定义直接写出答案; (Ⅱ)根据题意分别表示出 m,n 即可; (Ⅲ)根据两个元素均正交的定义,分别求出 n=8,14 时,A 中最多可以有多少 个元素即可. 【解答】解: (Ⅰ)A4 中所有与 x 正交的元素为(﹣1,﹣1,1,1) (1,1,﹣1, ﹣1) , (﹣1,1,﹣1,1) , (﹣1,1,1,﹣1) , (1,﹣1,﹣1,1) , (1,﹣1, 1,﹣1) . … (Ⅱ)对于 m∈B,存在 x=(x1,x2,…,xn) ,xi∈{﹣1,1},y=(y1,y2,…,yn) , 其中 xi,yi∈{﹣1,1}; 使得 x⊙y=m. 令 ﹣1. 那么 x⊙y= 所以 m+n=2k﹣n+n=2k 为偶数.… (Ⅲ)8 个,2 个 n=8 时,不妨设 x1=(1,1,1,1,1,1,1,1) ,x2=(﹣1,﹣1,﹣1,﹣1,1,1,1,1) . 在 考 虑 n=4 时 , 共 有 四 种 互 相 正 交 的 情 况 即 : (1,1,1,1) . , xiyi=1, xiyi= ; 当 xi=yi 时, 当 xi≠yi 时,

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, (﹣1,1,﹣1,1) , (﹣

1,﹣1,1,1) , (1,﹣1,﹣1,1)分别与 x1,x2 搭配,可形成 8 种情况. 所以 n=8 时,A 中最多可以有 8 个元素.… N=14 时, 不妨设 y1=(1,1…1,1) , (14 个 1) ,y2=(﹣1,﹣1…﹣1,1,1…1) (7 个 1,7 个﹣1) ,则 y1 与 y2 正交. 令 a=(a1,a2,…a14) ,b=(b1,b2,…b14) ,c=(c1,c2,…c14)且它们互相正交. 设 a、b、c 相应位置数字都相同的共有 k 个,除去这 k 列外 a、b 相应位置数字都相同的共有 m 个, c、b 相应位置数字都相同的共有 n 个. 则 a⊙b=m+k﹣(14﹣m﹣k)=2m+2k﹣14. 所以 m+k=7,同理 n+k=7. 可得 m=n. 由于 a⊙c=﹣m﹣m+k+(14﹣k﹣2m)=0,可得 2m=7,m= 所以任意三个元素都不正交. 综上,n=14 时,A 中最多可以有 2 个元素.… 矛盾.

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2017 年 1 月 21 日

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