【导与练】(新课标)2016高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第4讲 与函数的零点相关的问题课件 文


第4讲 与函数的零点相关的问题

考向分析

核心整合 热点精讲 阅卷评析

考向分析
考情纵览

年份
考点 函数零点及个数问题 确定函数零点所在的 区间 利用导数研究函数的 零点(方程的根)

2011 12

2012

2013
Ⅰ Ⅱ Ⅰ

2014


2015
Ⅰ Ⅱ

12 21(2) 21(1)

真题导航
1.(2015安徽卷,文4)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( D )

(A)y=ln x

(B)y=x2+1

(C)y=sin x

(D)y=cos x

解析:y=ln x的定义域为(0,+≦),不关于原点对称,所以y=ln x不是偶函 数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点;y=sin x不是偶函数;y=cos x是偶函 数且存在零点,故选D.

? ? 2 ? x , x ? 2, 2.(2015 天津卷,文 8)已知函数 f(x)= ? 函数 g(x)=3-f(2-x), 2 ? ?? x ? 2 ? , x ? 2,
则函数 y=f(x)-g(x)的零点个数为( A (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 )

解析:由已知条件可得 g(x)=3-f(2-x)=

? ? x ? 2 ? 1, x ? 0, 函数 y=f(x)-g(x)的零点 ? 2 ? ?3 ? x , x ? 0.
个数即为函数 y=f(x)与 y=g(x)图象的交点 个数,在平面直角坐标系内作出函数 y=f(x) 与 y=g(x)的图象如图所示. 由图可知函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有 2 个交点,所以函数 y=f(x)-g(x)的 零点个数为 2,选 A.

3.(2014新课标全国卷Ⅰ,文12)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一
的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( C (A)(2,+∞) (B)(1,+∞) )

(C)(-∞,-2)

(D)(-∞,-1)
3 2

解析:由题意得 ax -3x +1=0 存在唯一的正数 解,a=

3 1 3 1 - 3 ,设 h(x)= - 3 ,x≠0,则 h′ x x x x

3 3 3 ?1 ? x ??1 ? x ? (x)=- 2 + 4 = ,令 h′(x)>0 4 x x x
得-1<x<0,0<x<1,令 h′(x)<0 得 x>1 或 x<-1,所以 h(x)在(-≦,-1)上单调递 减,(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递增,在(1,+≦)上单调递减, 且 x→-≦时,h(x)→0;x→+≦时,h(x)→0,且 h(1)=2,h(-1)=-2,如图,画直线 y=a 与 h(x)只有一个交点,且 x0>0,观察图象可得 a<-2.故选 C.

? x 2 ? 2, x ? 0, 4.(2014 福建卷,文 15)函数 f(x)= ? 的零点个数是 ?2 x ? 6 ? 1nx, x ? 0
2

.

解析:当 x≤0 时,令 x -2=0,解得 x=- 2 ;当 x>0 时,f(x)=2x-6+lnx,在(0,+≦) 上单调递增,因为 f(1)=2-6+ln1=-4<0,f(3)=ln3>0,所以函数 f(x)=2x-6+lnx 在 (0,+≦)上有且只有一个零点.综上,函数 f(x)的零点个数为 2.
答案:2

5.(2015湖南卷,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范 围是 .

解析:函数 f(x)=|2x-2|-b 有两个零点等价于函数 y=|2x-2|与 y=b 的图象有两个不同的交点.在同一 坐标系中作出函数 y=|2 -2|及 y=b 的图象,如图.由 图可知 b∈(0,2).
x

答案:(0,2)

备考指要
1.怎么考

对函数零点的考查主要集中在以下两个方面:一是结合函数零点的存在性
定理或函数图象,对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断,及判断 函数零点所在的区间;二是利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或 取值范围.多以选择、填空题的形式出现,有时呈现在函数与导数的解答题 里面,难度中等偏上. 2.怎么办 复习备考时应理解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴有交点的等价

性;掌握函数零点存在性定理;注重培养函数与方程思想、数形结合的思想
及等价转化思想的应用意识.

核心整合
函数的零点

函数零点的概念

对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做 函数y=f(x)的零点

方程f(x)=0有实数根 ? 函数y=f(x). 方程的根与函数零点的关系 的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 ? . 函数零点的存在定理 图象在[a,b]上连续不断,若f(a)f(b)<0, 则y=f(x)在(a,b)内存在零点

解方程f(x)=0
函数存在零点的判断方法 利用零点存在性定理 数形结合

温馨提示 (1)函数零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐 标. (2)当函数y=f(x)在(a,b)内有零点时,不一定有f(a)· f(b)<0,例如:f(x)=x2

在区间(-1,1)内有零点,却有f(1)· f(-1)>0.

热点精讲
热点一 函数零点的个数问题

【例 1】(1)(2015 合肥模拟)若偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]

1 x 10 时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)= ( ) 在[0, ]上的根的个数是( 10 3
2

)

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (2)(2015 陕西渭南市一模)定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对任意 x∈R,有 f(x+2)=f(x)-f(1),且当 x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数 y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上恰有三个零点,则 a 的取值范围是( (A)(0, )

2 ) 2

(B)(0,

3 ) 3

(C)(0,

5 ) 5

(D)(

5 3 , ) 5 3

解析:(1)因为 f(x)为偶函数,所以当 x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],所以 f(-x)=x ,即 f(x)=x .又 f(x-1)=f(x+1),所以 f(x+2)=f((x+1)+1)=f((x+1)-1)=f(x), 故 f(x)是以 2 为周期的周期函数,据此在同一坐标系 中作出函数 y=f(x)与 y=(
2

2

1 x 10 ) 在[0, ]上的图象如 10 3

图所示,数形结合得两图象有 3 个交点,故方程 f(x)= (

1 x 10 ) 在[0, ]上有三个根.故选 C. 10 3

(2)因为 f(x+2)=f(x)-f(1), 所以 f(1)=f(-1)-f(1), 又因为 f(x)是偶函数,所以 f(1)=0. 又函数 f(x)是以 2 为周期的偶函数, 函数 y=f(x)-loga(x+1)在(0,+≦)上恰 有三个零点可化为函数 y=f(x)与 y=loga(x+1)在(0,+≦)上有三个不同的 交点. 作函数 y=f(x)与 y=loga(x+1)的图象如下:

? 5 3 ?log a ? 2 ? 1? ? ?2, 结合函数图象知, ? 解得, <a< .故选 D. 5 3 ? ?log a ? 4 ? 1? ? ?2,

方法技巧 (1)判断函数y=f(x)零点个数的常用方法:①直接法.令f(x)=0,
则方程实根的个数就是函数零点的个数. ②零点存在性定理法.判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且

f(a)· f(b)<0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称
性)可确定函数的零点个数. ③数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题.(画出两个函数的 图象,其交点的个数就是函数零点的个数) (2)由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法 : ①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定 参数范围.

②分离参数法:先将参数分离得a=f(x),再转化成求函数f(x)值域问题加以
解决. ③数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中,画出函数的 图象,然后数形结合求解.

举一反三 1-1:(1)(2015 北京丰台二模)函数 f(x)= x

1 2

1 x - ( ) 的零点个数为 2

( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)(2015 山东枣庄三模)函数 f(x)=ax+1-2a 在区间(-1,1)上存在一个零点,则 实数 a 的取值范围是 .
1 1 x 解析:(1)令 f(x)=0,得 x =( ) ,在平面直角坐标系中分别画出函数 y= x 2 与 2 1 x y=( ) 的图象,可得交点只有一个,所以 f(x)的零点只有一个.故选 B. 2 1 2

(2)当 a=0 时,函数 f(x)=1 在(-1,1)上没有零点,所以 a≠0.根据零点存在性定

答案:(1)B (2) (

1 理可得 f(-1)f(1)<0,即(-3a+1)·(1-a)<0,所以(a-1)(3a-1)<0,解得 <a<1, 3 1 所以实数 a 的取值范围是( ,1). 3 1
3
,1)

热点二

确定函数零点所在的区间

【例 2】(1)(2014 北京卷)已知函数 f(x)= 的零点的区间是( )

6 -log2x.在下列区间中,包含 f(x) x

(A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,4) (D)(4,+∞)

1 x-2 (2)(2015 湖南四月调研)已知函数 f(x)=ln x-( ) 的零点为 x0,则 x0 所在 2
的区间是( ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)

解析:(1)由函数 f(x)在定义域内是减函数,

3 1 又因为 f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)= -log24=- <0,所以函数 2 2
f(x)的零点所在区间为(2,4),故选 C.
(2)因为 f(x)=ln x-( 又 f(1)=ln 1-( f(2)=ln 2-(

1 x-2 ) 在(0,+≦)是增函数, 2

1 -1 ) =ln 1-2<0, 2

1 0 1 ) <0,f(3)=ln 3-( )1>0, 2 2

所以 x0∈(2,3).故选 C.

方法技巧 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象

是否连续,再看是否有f(a)?f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必
有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点 来判断. 提醒:在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数 零点的唯一性时往往要利用函数的单调性.

举一反三2-1:(1)已知函数f(x)=ln x,则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所 在的区间是( (A)(0,1) ) (B)(1,2) (C)(2,3) ) (D)(3,4)

(2)(2013重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(xa)的两个零点分别位于区间( (A)(a,b)和(b,c)内 (C)(b,c)和(c,+∞)内 (B)(-∞,a)和(a,b)内 (D)(-∞,a)和(c,+∞)内

解析:(1)函数 f(x)的导数为 f′(x)=

1 1 ,所以 g(x)=f(x)-f′(x)=ln x- .因为 x x

1 g(1)=ln 1-1=-1<0,g(2)=ln 2- >0,所以函数 g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的 2
区间为(1,2).故选 B.
(2)因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a) (c-b)>0,所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,故选A.

热点三

利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题

x2 【例 3】 (2015 山东卷)设函数 f(x)=(x+a)ln x,g(x)= x .已知曲线 y=f(x)在 e
点(1,f(1))处的切线与直线 2x-y=0 平行. (1)求 a 的值;

(2)是否存在自然数 k,使得方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在, 求出 k;如果不存在,请说明理由; (3)设函数 m(x)=min {f(x),g(x)}(min {p,q}表示 p,q 中的较小值),求 m(x)的 最大值.
解:(1)由题意知,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 2, 所以 f′(1)=2,又 f′(x)=ln x+

a +1,所以 a=1. x

(2)k=1 时,方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.

x2 设 h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x- x ,当 x∈(0,1]时,h(x)<0, e
4 4 又 h(2)=3ln 2- 2 =ln 8- 2 >1-1=0,所以存在 x0∈(1,2),使得 h(x0)=0. e e

x ? x ? 2? 1 1 因为 h′(x)=ln x+ +1+ , 所以当 x ∈ (1,2) 时 ,h ′ (x)>1>0, x x e e
当 x∈(2,+≦)时,h′(x)>0,所以当 x∈(1,+≦)时,h(x)单调递增. 所以 k=1 时,方程 f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.

(3)由(2)知方程 f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根 x0,且 x∈(0,x0)

?? x ? 1?1nx, x ? ? 0, x0 ? , ? 时,f(x)<g(x),x∈(x0,+≦)时,f(x)>g(x),所以 m(x)= ? x 2 ? x , x ? ? x0 , ?? ? . ?e 1 当 x∈(0,x0)时,若 x∈(0,1],m(x)≤0;若 x∈(1,x0),由 m′(x)=ln x+ +1>0. x x ?2 ? x?
可知 0<m(x)≤m(x0).故 m(x)≤m(x0).当 x∈(x0,+≦)时,由 m′(x)=

e

x

,

可得 x∈(x0,2)时,m′(x)>0,m(x)单调递增;x∈(2,+≦)时,m′(x)<0,m(x)单调 递减.可知 m(x)≤m(2)=

4 4 , 且 m(x )<m(2). 综上可得 , 函数 m(x) 的最大值为 . 0 2 2 e e

x2 举一反三 3-1:(2015 北京卷)设函数 f(x)= -kln x,k>0. 2
(1)求 f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1, e ]上仅有一个零点.

k x2 ? k x2 (1)解:由 f(x)= -kln x(k>0),得 x>0 且 f′(x)=x- = .由 f′(x) x x 2
=0,解得 x= k (负值舍去).f(x)与 f′(x)在区间(0,+≦)上的情况如表: x f′(x) f(x) (0, ↘

k )

k
0

( k ,+≦) + ↗

k ?1 ? 1nk ? 2

所以,f(x)的单调递减区间是(0, x= k 处取得极小值 f( k )=

k ),单调递增区间是( k ,+≦),f(x)在 k ?1 ? 1nk ?
2
.

(2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+≦)上的最小值为 f( k )= 因为 f(x)存在零点,所以

k ?1 ? 1nk ? 2

.

k ?1 ? 1nk ? 2

≤0,从而 k≥e.

当 k=e 时,f(x)在区间(1, 当 k>e 时,f(x)在区间(1, 且 f(1)=

e )上单调递减,且 f( e )=0, e ]上的唯一零点. e )上单调递减,

所以 x= e 是 f(x)在区间(1,

1 e?k >0,f( e )= <0, 2 2
e ]上仅有一个零点. e ]上仅有一个零点.

所以 f(x)在区间(1,

综上可知,若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,

备选例题

【例 1】 (2015 天津河西区二模)函数 f(x)=x2-4x-2ln x+5 的零点个数为 ( (A)3 ) (B)2
2

(C)1

(D)0

解析:函数 f(x)=x -4x-2ln x+5 的零点个数即函数 y=x -4x+5 与函数 y=2ln x 的交点的个数,作函数 y=x2-4x+5 与函数 y=2ln x 的图象如下, 结合图象可得,函数 f(x)=x2-4x-2ln x+5 的零点个数 为 2.故选 B.
2

【例 2】 (2015 泉州 3 月质检)曲线 y=ex 与直线 y=5-x 交点的纵坐标在区间 (m,m+1)(m∈Z)内,则实数 m 的值为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

解析:列出下列自变量与函数值的数表: y y=ex 1 x=0 2 x=ln 2 3 x=ln 3 4 x=ln 4

y=5-x x=4 x=3 x=2 x=1

考查数表中 x 值的大小变化对应的 y 值的范围,得曲线 y=ex 与直线 y=5-x 交点的纵坐标 y∈(3,4),则 m=3,故选 C.

阅卷评析
利用导数研究函数零点问题 2x (2015 新课标全国卷Ⅰ,文 21)设函数 f(x)=e -aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数; (2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln
评分细则:

2 . a
2x

(1)f(x)的定义域为(0,+≦),f′(x)=2e -

a (x>0). x

当 a≤0 时,f′(x)>0,f′(x)没有零点;……………3 分

a 单调递增,所以 f′(x)在(0,+≦)上单调递增, x a 1 又 f′(a)>0,当 b 满足 0<b< 且 b< 时,f′(b)<0,故当 a>0 时,f′(x)存在唯一零 4 4
当 a>0 时,因为 y=e 单调递增,y=2x

点.…………………6 分 注:分 a≤0 与 a>0 两种情况讨论

(2)由(1),可设 f′(x)在(0,+≦)上的唯一零点为 x0, 当 x∈(0,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈(x0,+≦)时,f′(x)>0. 故 f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+≦)上单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得 最小值,最小值为 f(x0).…………9 分 由于 2e 2 x0 -

a =0, x0

a 2 所以 f(x0)= +2ax0+aln ≥2a+aln 2 x0 a
故当 a>0 时,f(x)≥2a+aln

2 .…………11 分 a

2 .…………………12 分 a

【答题启示】 1.常考的函数类型有指数函数、对数函数、分式函数、分段函数及三次 函数,常涉及的问题有函数的单调性、极值与最值问题,求参数的取值范 围及证明不等式等,求解这些问题时应树立定义域优先意识. 2.涉及的数学思想方法有函数与方程思想,分类讨论思想、数形结合思 想及化归转化思想.函数解析式中含有字母参数的需分类讨论.


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