高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.1.1平面向量的背景及其基本概念》导学案


§2.1 平面向量的实际背景及 基本概念
【学习目标】1. 通过对物理中有关概念的分析,了解向量的实际背景,进而深刻理解向量 的概念; 2. 掌握向量的几何表示;理解向量的模、零向量与单位向量的概念. 3. 在理解向量和平行向量的基础上掌握相等向量和共线向量的概念. 【学习过程】 一、课前准备 (预习教材 P74-P76) 复习引入:有一类量如长度、质量、面积、体积等,只有 没有 ,这类量我们称 之为数量. 而力是常见的物理量,重力、浮力、弹力等都是既有 又有 的量;那

这样的量叫什么呢?
二、新课导学

※ 探索新知 探究一:向量的概念:数学中,我们把这种既有
问题 1:数量和向量的异同点有哪些?

,又有

的量叫做向量.

探究二:向量的表示法 问题 2:向量有几种表示方法? (1)人们常用 来表示向量,线段按一定比例画出,它的长短表示向量的大小, 箭头的指向表示向量的方向. ⑵以 A 为起点,B 为终点的有向线段记作 有向线段包含三个要素: (3)有向线段也可用字母如 a ,
?

, 线段 A B 的长度称为模, 记作

??? ? AB

.

, ? 表示.

探究三:几个特殊的向量 零向量:长度为 的向量; 单位向量:长度等于 的向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量. 若向量 a , b 平行,记作: a // b . 因 为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上,因此,平行向量也叫做共线向量
? ? ? ?

问题 3:如何理解零向量的方向?

探究四:相等向量:长度相等且 与 b 相等,记作: a ? b . ※ 典型例题 例 1、在如图所示的坐标 ⑴ ⑵
? ? ?

的向量叫做相等向量,用有向线段表示的向量 a

?

??? ? O A ? 3 ,点 A 在点 O ??? ? O B ? 2 2 ,点 B 在点

纸中,用直尺和圆规画出下列向量: 的正北方向;
O

南偏东 6 0 ? 方向.

例 2、教材 P75 例 1 学法指导:请将教材上的空白处填好。先用刻度尺量出图上距离, 再算出实际距离。
AB ?

; AC ?



例 3、如右图,设 O 是正六边形 A B C D E F 的中心,分别写出图中与 O D , O E , 的向量.

????

????

???? OF

相等

变式: (1)与 A B 相等的向量有哪些? (2) OA 与 EF 相等吗? OB 与 AF 相等吗?

??? ?

三、学习小结
1、描述向量的两个指标:模和方向. 2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比. 3、向量的图示,要标上箭头和始点、终点.

4、 向量与有向线段的区别: (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就 是相同的向量; (2)有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同 的有向线段.

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;? ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

2.下列说法中错误的是( ) .. A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的

3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 ? D.一个单位圆

课后作业
1.已知非零向量 a // b ,若非零向量 c // a ,则 c 与 b 必定 .

2.已知 a 、 b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必定

.


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