(解析版)2012年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷(江苏卷)


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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅰ
参考公式:
棱锥的体积 V ? Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........

1 3

2 4} 4 6} 1.已知集合 A ? {1, , , B ? {2 , , ,则 A ? B ?

▲ .

2 4} 4 6} 解析:由已知,集合 A ? {1, , , B ? {2 , , ,所以 A ? B ? {1,2,4,6}.
答案:{1,2,4,6}, 2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 3 : 3 : 4 ,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 解析:由已知,高二人数占总人数的 答案:15

3 3 ,所以抽取人数为 ? 50 ? 15 . 10 10

b 3.设 a , ? R , a ? bi ?
解析:由已知, a ? bi ?

11 ? 7i (i 为虚数单位) ,则 a ? b 的值为 ▲ . 1 ? 2i

11 ? 7i ( ? 7i)(1+2i) 25 ? 15i 25 ? 15i 11 ? = = =5 ? 3i . 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 1-4i 2 5

? a ?b ?5?3?8 .
答案:8. 4.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ . 解析:将 k ? 1 带入 0=0 不满足, 将 k ? 2 带入 ?4 ? 0 不满足, 将 k ? 3 带入 ?2 ? 0 不满足, 将 k ? 4 带入 0 ? 0 不满足, 将 k ? 5 带入 4 ? 0 满足, 所以 k ? 5 . 答案: 5 . 5.函数 f ( x) ? 1 ? 2log6 x 的定义域为 ▲ . 解析:由题意 ? 答案: (0, 6] 6.现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ?3 为公比的等比数列,若从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 ▲ .
3 5 7 解析:满足条件的数有 1,-3, ?3 , ?3 , ?3 , ?3 ;所以 p ?
9

开始 k←1 N

k2-5k+4>0 Y 输出 k (第 4 题) 结束

k←k +1

?x ? 0 ,所以 x ? (0, 6] . ?1 ? 2 log 6 x ? 0

6 3 ? . 10 5

答案:

3 . 5
D1 A1
D

7.如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm , AA1 ? 2cm , 则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3.

C1 B1
C B

1 3 2 解析: V ? ? ?3 2 ? 2 ? 6 . 3 2
答案:6.
2 2

A (第 7 题)

8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

x y ? ? 1 的离心率为 5 ,则 m 的值为 ▲ . m m2 ? 4

? 2 m ? m2 ? 4 ?5 ?e ? 解析: ? ,解得 m ? 2 . m ?m ? 0 ?
答案:2. 9.如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若 AB ? AF ? 2 ,则 AE ? BF 的 BC 值是 ▲ . 解析:以 A 为坐标原点,AB,AD 所在直线分别为 x 轴和 y 轴建立平面直角坐标系, 则由题意知:点 B ( 2,0) ,点 E D F C

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

?

2,1 ,设点 F ( a, b) ,
E (第 9 题) A B

?

uur u uuu r 所以 AB ? ( 2,0) , AF ? (a, b) ;
由条件解得点 F (1, 2) , 所以 AE ? ( 2,1) , BF 1 ? 2, 2 ; 所以 AEgBF ? 2 . 答案: 2 .

uuu r

uuu r

?

?

uuu uuu r r

? ? ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? 1] b 10.设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1, 上, f ( x ) ? ? bx ? 2 其中 a , ? R .若 0 ? x ? 1 , ≤ x ≤ 1, ?

?1? ?3? f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 ▲ . 2? ? ?2?
解析:因为 T ? 2 ,所以 f (?1) ? f (1) ,求得 2a ? b ? 0 . 由 f ( ) ? f ( ) , T ? 2 得 f ( ) ? f ( ? ) ,解得 3a ? 2b ? ?2 . 联立 ?

1 2

3 2

1 2

1 2

?a ? 2 ? 2a ? b ? 0 ,解得 ? ?b ? ?4 ?3a ? 2b ? ?2

所以 a ? 3b ? ?10 .

答案 ?10

?? 4 ?? ? ? 11.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? 2? ? ? 的值为 ▲ . 6? 5 12 ? ? ?
解析:

Q ? 为锐角,?

?
6

?? ?

?
6

?

2? ?? 4 ?? 3 ? ? , Q cos ? ? ? ? ? ,? sin ? ? ? ? ? ; 6? 5 6? 5 3 ? ?

?? ?? ? ? 12 ? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? 2sin ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? , 3? 6? 6 ? 25 ? ? ?
?? ? ?? ?? ? ? ? ? 17 2 ? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? sin ? 2? ? ? ? ? sin ? 2? ? ? cos ? cos ? 2? ? ? sin ? . 12 ? 3 4? 3? 4 3? 4 50 ? ? ? ?
答案:

17 2 . 50

12.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是 ▲ . 解析:圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1;由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半 径的圆与圆 C 有公共点;故存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 ACmin ? 2 ;而 ACm 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 i n 的距离

4k ? 2 k 2 ?1

,故

4k ? 2 k 2 ?1

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 4 ,即 k 的最大值是 . 3 3

答案:

4 3

? m b 13.已知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b(a, ?R) 的值域为 [0 , ?) ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) ,则实数
c 的值为 ▲ .

a2 ? 解析:由值域为 [0 , ?) 得 V? a ? 4b ? 0 ,即 b ? ; 4
2

? f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? x 2 ? ax ?
2

a2 ? a? ??x? ? , 4 ? 2?

2

a a? ? ? f ( x) ? ? x ? ? ? c 解得 ? c ? x ? ? c ; 2? 2 ?
a a m Q 不等式 f ( x) ? c 的解集为 (m , ? 6) ,?( c ? ) ? (? c ? ) ? 2 c ? 6 ,解得 c ? 9 . 2 2
答案:9

b c c 14.已知正数 a , , 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a , ln b ≥ a ? c ln c ,则

b 的取值范围是 ▲ . a

答案: [e, 7]

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ....... 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? 3BA ? BC . (1)求证: tan B ? 3tan A ; (2)若 cos C ? 解析:

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

5 ,求 A 的值. 5

16. (本小题满分 14 分)

E F 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB1 ? AC1 ,D , 分别是棱 BC , 1 上的点 (点 D 不同于点 C) 且 AD ? DE , , CC 1 1
为 B1C1 的中点.

A1
F

C1

求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE.

B1

E

A 解析:

C D B (第 16 题)

17. (本小题满分 14 分) 如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知 炮弹发射后的轨迹在方程 y ? kx ? 点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小) ,其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中 它?请说明理由. y(千米)

1 其中 k 与发射方向有关. 炮的射程是指炮弹落地 (1 ? k 2 ) x2 (k ? 0) 表示的曲线上, 20

O 解析:

(第 17 题)

x(千米)

18. (本小题满分 16 分) 若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函数 y ? f ( x) 的极值点. 已知 a,b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数.
解析:

19. (本小题满分 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c , , 0) a 2 b2

? 3? e F2 (c , .已知 (1 , ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 0) ? 2 ? ? ? y
(1)求椭圆的方程; (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P. A P B

F1

O

F2

x

6 ,求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i)若 AF1 ? BF2 ? 解析:

(第 19 题)

20. (本小题满分 16 分) 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: an ?1 ?

an ? bn an ? bn
2 2

, ? N? . n

?? b ? 2 ? bn ? ? ? (1)设 bn ?1 ? 1 ? ,n ? N ,求证:数列 ?? n ? ? 是等差数列; an ?? an ? ? ? ?
(2)设 bn ?1 ? 2 ? 解析:

bn ,n ? N? ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅱ(附加题)
注 意 事 项

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求: 1.本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题) 。本卷满分为 40 分。考试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4.作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答,在其它位置 作答一律无效。 5.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。

21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 ................... 答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. A.[选修 4 - 1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,AB 是圆 O 的直径,D,E 为圆上位于 AB 异侧的两点,连结 BD 并延长至点 C,使 BD = DC,连结 AC,AE,DE. C 求证: ?E ? ?C . D A 解析:

O E

B (第 21-A 题)

B.[选修 4 - 2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)

? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?1 已知矩阵 A 的逆矩阵 A ? ? ? ,求矩阵 A 的特征值. ? 1 ? 1? ? 2 2? ? ?
解析:

C.[选修 4 - 4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 解析:

?

2,

? 3 ? ?? ,圆心为直线 ? sin ? ? 与极轴的交点,求圆 C 的极坐标方程. 3 2 4

?

?

?

D.[选修 4 - 5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 x,y 满足: | x ? y |? 解析:

1 1 5 求证: | y |? . ,2x ? y |? , | 3 6 18

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演 ........ 算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 设 ? 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时, ? ? 0 ;当两条棱平行时, ? 的值为两 条棱之间的距离;当两条棱异面时, ? ? 1 . (1)求概率 P(? ? 0) ; (2)求 ? 的分布列,并求其数学期望 E (? ) . 解析:

23. (本小题满分 10 分) 设集合 Pn ? {1, , , } , n ? N? .记 f ( n) 为同时满足下列条件的集合 A 的个数: 2 … n ① ? Pn ;② x ? A ,则 2x ? A ;③ x ??Pn A ,则 2 x ?? Pn A . 若 若 A (1)求 f (4) ; (2)求 f ( n) 的解析式(用 n 表示) . 解析:


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