新授课3.1.2复数的几何意义


新授课 3.1.2 复数的几何意义
一、【教学目标】
重点:复数的几何意义以及复数的模. 难点:复数的几何意义及模的综合应用. 知识点:理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题的能力. 教育点:引导学生观察现象,发现问题,提出观点,验证结论,培养良好的学习思维品质. 自主探究点:复数的几何意义. 考试点:复数的几何意义以及复数的模.

二、【引入新课】
情境 1:对于复数 z1 ? a ? bi 和 z 2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) ,当满足什么条件时,这两个复数相等? 解: z1 ? z2 ? a ? c且b ? d ,即实部与虚部分别相等时,这两个复数相等. 【设计意图】回忆旧知;揭示确定一个复数的条件,为新课的学习作必要的铺垫. 情境 2:若把 a , b 看成有序实数对 ?a, b ? ,则 ?a, b ? 与复数 z ? a ? bi 是怎样的对应关系?有序实数对 ?a, b ? 与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系?(一一对应关系) 解:实数可以用数轴上的点来表示 实数 一一对应 实数轴上的点 (几何模型)


有序实数对 ? a, b ? 复数 z ? a ? bi 一一对应



直角坐标系中的点 z

?a, b?

情境 3:类比实数的性质,你能否找到用来表示复数的几何模型?还能得出复数其他的一些性质吗? 【设计意图】以学生熟悉的知识为载体,采用类比的方法,引导学生对比、思考、愤悱,调动他们的积极 性和主动性,活跃课堂气氛,拓展思维宽度,从而使新课更加顺理成章的展开.

三、【探究新知】
探究 1 复平面的概念 把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表 示实数,除原点外,虚轴上的点都表示虚数.

y b
y

Z=a+bi Z(a,b)

o
y

a
y

x
y

例 1.(1)在复平面内描出复数1 ? 4i,7 ? 2i,8 ? 3i,6, i, ?3,7i,0, ?3i,3 分别对应的点 (2)说出图中复平面内各点所表示的复数

y

D(2,4)

?
3 2 A -2

?C ?B
1 2 3

?

x

【设计意图】选用基本题型,巩固概念,体会数形结合思想,重视一题多变,较全面地理解复数、复平面 内的点、始点为原点的向量三者的关系。 探究 2 实轴与虚轴 观察我们所描出的点,以及各点所表示的复数,从中可以得出结论:实数都落在实轴上,实轴上的点 都表示实数,纯虚数落在虚轴上,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 【设计意图】重视一题多变,感受数形结合的美妙. 探究 3 复数的几何意义 我们所学过的知识当中,与平面内的点一一对应的还有哪些?由此你能得出复数的另一个几何意义 吗? 在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复数是一一对应 的,这样,我们可以用平面向量来表示复数.

复平面内的点z ? a, b ?

一一对应

? 平面向量OZ
复数

z ? a ? bi

复平面 内 的 点

平面向量

Z ? a, b?


OZ

【设计意图】把复数和平面向量相结合,从而推导出复数的另一个几何意义,认识复平面内复数与平面向 量的一一对应. 探究 4 复数的模(或绝对值) 向量 OZ 的模叫做复数 z ? a ? bi 的模 (或绝对值) , 记作 Z 或 a ? bi 。 如果 b ? 0 , 那么 z ? a ? bi 就 是实数 a ,它的模等于 a (即实数 a 的绝对值).

Z = a ? bi = a 2 ? b 2
【设计意图】学生回答,并总结.师生共同总结,教师通过多媒体展示,让学生认知复平面内的基本概念.

四、 【理解新知】
复数与实数既有联系又有区别,实数能比较大小,虚数不能比较大小,是实数的复数能比较大小,能 比较大小的复数只能是实数.复数可看作是向量 OZ ,向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. 【设计意图】为准确地运用新知,作必要的铺垫.

五、【运用新知】
例 2.求下列复数的模: (1) z ? ?5i (2) z ? ?3 ? 4i (3) z ? 1 ? mi ? m ? R ? 解:(1) z ? 5 (2) z ? 5 (3) z ? 1 ? m
2

【设计意图】检测学生对基础知识的掌握情况. 变式练习 1: (1)已知复数 z1 ? 3 ? 4i , z2 ?1 ? 5i ,试比较它们模的大小; (2)若复数 z ? 3a ? 4ai ? a ? 0? ,则其模长为 答案: (1) z1 ? 5 , z2 ? (2) z1 ? ?5a 例 3 . 实数 m 取什么值时,复平面内表示复数 z ? (m2 ? 5m ? 6) ? (m2 ? 2m ? 15)i 是: (1)实数 ; (2)虚数 ; (3)纯虚数; (4)对应点在 x 轴上方; (5)对应点在直线 y ? x 上. 解:(1) m ? 2m ? 15 ? 0,? m ? ?3或m ? 5
2

26



? z1 ? z2

(2) m ? 2m ? 15 ? 0,? m ? ?3且m ? 5
2

(3) m ? 5m ? 6 ? 0且m ? 2m ? 15 ? 0,? m ? -2
2 2

(4) m 2 ? 2m ? 15 ? 0,? m ? ?3或m ? 5 (5) m 2 ? 5m ? 6 ? m 2 ? 2m ? 15,? m ? ?3 提炼方法: 相互转化 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 数学思想:数形结合、转化思想 【设计意图】让学生理解表示复数的点所在象限的问题转化,即复数的实部与虚部所满足的不等式组的问 题,并掌握重要的数学思想:数形结合思想. 变式练习 2:实数 x 分别取什么值时,复数 z ? x2 ? x ? 6 ? ( x2 ? 2x ? 15)i 对应的点 Z (1)在第四象限? (2)直线 x ? y ? 3 ? 0 上? 答案: (1) ?x | 2 ? x ? 5?

uur uuu r uuu r 例 4. 在复平面内,复数 1 ? i 与 1 ? 3i 分别对应向量 OA 和 OB ,其中 O 为坐标原点,则 AB (
A. 2 B. 2 C. 10 D. 4 解:B 【设计意图】体会数形结合思想,加深数与形的相互转化,进一步认识复数的模的几何意义. 变式练习 3:

(2) x ? ?2



(1) 满足 z ? 6 ? z ? R ? 的 z 值有几个?满足 z ? 6 ? z ? C ? 的 z 值有几个?这些复数对应的点在复平面内 构成怎样的图形? (2)设 z ? C ,满足 2 ? z ? 3 的点 Z 的集合是什么图形? 答案: (1)两个, ?6 ;无穷多个,这些复数对应的点在复平面内构成一个圆. (2)以原点为圆心,半径为 2 到 3 的圆环内. 【设计意图】综合应用能力的培养,进一步巩固所学.

六、【课堂小结】
1、复数几何意义:复数与复平面内的点是一一对应的,复数与复平面内向量 OZ 是一一对应的 2、复数模的几何意义: z ? a ? bi ? OZ ?

a 2 ? b2

3、数学思想方法:类比、数形结合 【设计意图】检验学生本节所学知识和思想方法,进行系统的总结.

七. 【布置作业】
必做: 1.如果复数 a ? bi (a, b ? R) 在复平面内的对应点在第二象限,则( ) a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 a ? 0, b ? 0 a A. B. C. D. ? 0, b ? 0 2.复数 z ? 3 ? i 2 对应点在复平面( ) A. 第一象限 B. 实轴上 C. 虚轴上 D. 第四象限内 3.已知复数 z ? i ,复平面内点 z 的坐标为( ) A. (0,1) B. (1,0) C. (0,0) D. (1,1) 4.复数 z ? 3 ? 5i 的模为 5.复数 z ? x ? 3 ? ( y ? 2)i ( x, y ? R ) 且 z ? 2 ,则点 ( x, y ) 的轨迹方程是

选做: 6.设 z 为纯虚数,且 z ? 1 ? ?1 ? i ,求复数 z .

7.已知 z1 ? 2 ? 2i ,且 z ? 1 ,求 z ? z1 的最大值.

【设计意图】巩固本节课所学的知识方法

八. 【教后反思】
本节课以学生熟悉的知识为载体,采用类比的方法,以数形结合的思想引导学生对比、思考,调动他 们的积极性和主动性,活跃了课堂气氛,拓展了思维宽度,从而使本节课更加顺利的完成.

九、【板书设计】
§3.1.2 复数的几何意义 一.复数的几何意义 例1 例2 二.复数模的几何意义: 例3 例4 变式练习 1 变式练习 2 变式练习 3

z ? a ? bi ?

OZ

? a 2 ? b2


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