立体几何第1讲


立体几何
第1讲 空间几何体的结构、三视图和直观图

?1.简单几何体的结构特征 ?2.三视图与直观图 ?3.柱、锥、台、球的表面积和体积

?1.简单几何体的结构特征
? 多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都 互相平行 ,上下底面是 全等 的 多边形.
(2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共 顶点 的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上 下底面是相似多边形.

旋转体的结构特征
(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕 一条直角边所在直线 旋转一周得到. (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周 或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得 到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋 转半周得到.

棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形
,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由 这些面所围成的几何体叫做棱柱。

顶点
侧面 底面

侧棱

用表示底面各顶点表示棱柱。

棱柱的分 类
1、按侧棱是否和底面垂直分类: 棱柱 斜棱柱 2、按底面多边形边数分类: 三棱柱、四棱柱、 五棱柱、· · · · · ·

直棱柱

正棱柱 其它直棱柱

几种六面体的关系:
底面变为 平行四边形 侧棱与底面 垂直

四棱柱

平行六面体

直平行六面体

底面是

底面为

侧棱与底面 边长相等

矩形

正方形

长方体

正四棱柱

正方体

棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一
个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何 体叫做棱锥。
顶点 S

侧面

侧棱

D 底面

C

A B

棱锥也用表 示顶点和底 面各顶点的 字母表示。

棱锥的结构特征

圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转

圆 柱 的 结 构 特 征

轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几 何体叫做圆柱。
底面


母线

侧面

圆柱和棱柱统称为柱体 。

圆柱用表示它的轴的字母表示。

圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为
旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何 体叫做圆锥。 A

圆 锥 的 结 构 特 征

母线

轴 侧面

C

B 底面

圆锥用表示它的轴的字母表示
圆锥和棱锥统称为锥体

棱台与圆台的结构特征
棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 ,底面与截面之间的部分叫做棱台。 圆台:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥 ,底面与截面之间的部分叫做圆台。
上底面

下底面

棱台和圆台统称为台体。

侧棱垂直于底 底面是正多边正棱柱 棱柱 直棱柱 面 形 底面为正多边形,顶点在底面 棱锥 的射影为正多边形的中心 正棱锥

正棱台

由正棱锥截的的棱台

处理台体的思想方法是还台于锥。

考点一 简单几何体的结构特征

?2.三视图与直观图
? 三视图:正视图、侧视图、俯视图 ? 画物体的三视图时,要符合如下原则:
位置:正视图 侧视图 俯视图 大小:长对正 高平齐 宽相等

几种基本几何体的三视图
几何体 主视图 左视图 俯视图

空间几何体的直观图
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于o点.画 直观图时,把它画成对应的x′轴、y′轴,使 ?x ?Oy?=45 或135

?

?

它确定的平面表示水平平面。
(2)原图形中平行于x或y轴的线段,在直观图中分别画成平行

于x′或y′轴的线段.

(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变; 平行于y轴的线段,长度为原来的一半. M E

F

A?

F ? M ? E?
N ? C?

y?

A
B
N

O C

D

x

B?

O?

D?

x?

考向二

空间几何体的三视图

【例2】?(2011· 新课标全国)在一个几何体的三视图中,正视图 和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( ).

[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥.

3.(2011· 陕西)某几何体的三视图如图所示, 则它的体积是( ).

2π π A.8- B.8- 3 3 2π C.8-2π D. 3 解析 圆锥的底面半径为1,高为2,该几何体体积为正方体体
2

1 2 2 积减去圆锥体积,即V=2 ×2- 3 ×π×1 ×2=8- 3 π,正确选 项为A. 答案 A

5.(2011· 天津)一个几何体的三视图如 图所示(单位:m)则该几何体的体积 为________m3. 解析 由三视图可知该几何体是组合体,下面是长方体,长、 宽、高分别为3、2、1,上面是一个圆锥,底面圆半径为1,高 1 为3,所以该几何体的体积为3×2×1+ π×3=6+π(m3). 3 答案 6+π

考点二:三视图与直观图

?3.几何体的表面积和体积
面 积 圆柱 圆锥 S侧=2πrh S侧=πrl 体 积 V=Sh=πr2h 1 1 2 1 2 2 2 V=3Sh=3πr h=3πr l -r 1 V=3(S上+S下+ S上S下)h 1 2 2 = π(r1+r2+r1r2)h 3

圆台

S侧=π(r1+r2)l

直棱 柱 正棱 锥 正棱 台 球

S侧=Ch 1 S侧=2Ch′
4?R 2

V=Sh 1 V=3Sh

1 1 S侧=2(C+C′)h′ V=3(S上+S下+ S上S下)h S球面=4πR2 4 3 V=3πR

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是( ).

A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点 答案 D

2.(2012· 杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体,各个截面 都是圆面,则这个几何体一定是( A.圆柱 C.球体 解析 B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 ).

当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和

三角形,只有球满足任意截面都是圆面. 答案 C

4.(2011· 浙江)若某几何体的三视图 如图所示,则这个几何体的直观 图可以是( ).

解析

所给选项中,A、C选项的正视图、俯视图不符合,D

选项的侧视图不符合,只有选项B符合. 答案 B

考向一 空间几何体的结构特征 【例1】?如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱 锥”,四条侧棱称为它的腰,以下4个命题中,假命题是 ( A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 [审题视点] 可借助几何图形进行判断. ).

解析 如图,等腰四棱锥的侧棱均相等, 其侧棱在底面的射影也相等,则其腰与底 面所成角相等,即A正确;底面四边形必 有一个外接圆,即C正确;在高线上可以 找到一个点O,使得该点到四棱锥各个顶 点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即D正确;但四棱 锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成 立).故仅命题B为假命题.选B. 答案 B

三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见 的空间几何体,也是重要的几何模型,有些问题可用上述几何 体举特例解决.

【训练1】 以下命题: ①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥; ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台; ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆; ④一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台. 其中正确命题的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 ).

解析 命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边,则得不 到圆锥.命题②错,因这条腰必须是垂直于两底的腰.命题③ 对.命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行. 答案 B

考向二

空间几何体的三视图

【例2】?(2011· 新课标全国)在一个几何体的三视图中,正视图 和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为( ).

[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥.

解析 由几何体的正视图和俯视图可知,该几何体应为一个半 圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于 底面的三棱锥的组合体,故其侧视图应为D. 答案 D

(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上 的正投影,并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图 形. (2)在画三视图时,重叠的线只画一条,能看见的轮廓线和棱用 实线表示,挡住的线要画成虚线.

【训练2】

(2011· 浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个 ).

几何体的直观图可以是(

解析 A中正视图,俯视图不对,故A错.B中正视图,侧视图 不对,故B错.C中侧视图,俯视图不对,故C错,故选D. 答案 D

考向三

空间几何体的直观图

【例3】?已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直 观图△A′B′C′的面积为( 3 2 A. 4 a 3 2 B. 8 a 6 2 C. 8 a ).

6 2 D. 16 a

[审题视点] 画出正三角形△ABC的平面直观图△A′B′C′, 求△A′B′C′的高即可.

解析

如图①②所示的实际图形和直观图.

1 3 由斜二测画法可知,A′B′=AB=a,O′C′=2OC= 4 a, 在图②中作C′D′⊥A′B′于D′, 2 6 则C′D′= 2 O′C′= 8 a. 1 1 6 6 2 ∴S△A′B′C′=2A′B′· C′D′=2×a× 8 a= 16 a . 答案 D

直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即 可得到平面图形的面积是其直观图面积的2 2 倍,这是一个较 常用的重要结论.

【训练3】 如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面 图形的直观图,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图 形是( ). B.矩形 D.一般的平行四边形

A.正方形 C.菱形

解析

将直观图还原得?OABC,则

∵O′D′= 2O′C′=2 2 (cm), OD=2O′D′=4 2 (cm), C′D′=O′C′=2 (cm),∴CD=2 (cm), OC= CD2+OD2= 22+?4 2?2=6 (cm), OA=O′A′=6 (cm)=OC, 故原图形为菱形. 答案 C

阅卷报告 9——忽视几何体的放置对三视图的影响致错 【问题诊断】 空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三 个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同,其三视图可能 不同,有的考生往往忽视这一点. 【防范措施】 应从多角度细心观察.

【示例】?(2010· 新课标全国)一个几何体的正视图为一个三角 形,则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有 可能的几何体前的编号). ①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆 柱. 错因 忽视几何体的不同放置对三视图的影响,漏选③. 实录 ①②⑤

正解 ①三棱锥的正视图是三角形;②当四棱锥的底面是四边 形放置时,其正视图是三角形;③把三棱柱某一侧面当作底面 放置,其底面正对着我们的视线时,它的正视图是三角形;④ 对于四棱柱,不论怎样放置, 其正视图都不可能是三角形; ⑤当圆锥的底面水平放置时,其正视图是三角形;⑥圆柱不论 怎样放置,其正视图也不可能是三角形. 答案 ①②③⑤

【试一试】(2011· 山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形.给 定下列三个命题:①存在三棱柱,其正(主)视图、俯视图如右 图;②存在四棱柱,其正(主)视图、俯视图如右图;③存在圆 柱,其正(主)视图,俯视图如右图.其中真命题的个数是 ( A.3 B.2 C.1 D.0 ).

[尝试解答] 如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相 同,故选A.

答案 A


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