【名师A计划】(全国通用)2017高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第八节 古典概型习题 理


第八节
[基础达标] 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)

古典概型

1.某班有 4 个学习小组,从中抽出 2 个小组进行作业检查,在这个试验中,基本事件的个数为( A.2 B.4 C.6 D.8

)

1.C 【解析】从 4 个学习小组中抽出 2 个小组,有 6 个基本事件. 2.盒中有 3 张分别标有 1,2,3 的卡片.从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张 记下号码,则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 A. B. C. D. ( )

2.B 【解析】两次抽取卡片的情况共有 3×3=9 种,其中两次都是奇数的有 2×2=4 种,所以 “至少有一个为偶数”的概率为 1-

.
( )

3.从长度分别为 2,3,5,6 的四条线段中任选三条,能构成三角形的概率为 A. B. C. D.

3.D 【解析】从长度为 2,3,5,6 的四条线段中任选三条,有 4 种选法,其中能够构成三角形 的有 3,5,6 和 2,5,6,故所求概率是

.

4.在 1,2,3,4 四个数中随机地抽取一个数记为 a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记 为 b,则“ 是整数”的概率为( )

A.

B.

C.

D.

4.A 【解析】在 1,2,3,4 四个数中随机地抽取一个数记为 a,再在剩余的三个数中随机地抽 取一个数记为 b,共有 4×3=12 个结果,其中“ 是整数”的数组(a,b)有

(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),共 4 种,故所求概率为

.

1

5.有 3 个兴趣小组,甲、 乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性 相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A. B. C. D. ( )

5.A 【解析】甲、乙两位同学参加兴趣小组的基本事件共有 3×3=9 个,其中这两位同学参 加同一兴趣小组的结果有 3 个,故所求概率为 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 6. (2015·江苏高考) 袋中有形状、大小都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只黄球. 从中一次随机摸出 2 只球,则这 2 只球颜色不同的概率为 6.

.

.

【解析】从 4 只球中取出两只的所有可能为{白,红},{白,黄 1},{白,黄 2},{红,黄

1},{红,黄 2},{黄 1,黄 2},共 6 种,则不同颜色的有 5 种,所以其概率为 . 7. (2014·新课标全国卷Ⅰ) 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为 7.

.

【解析】设两本数学书分别记为 1,2,语文书记为 3,则 3 本书的所有排法为

123,132,213,231,312,321 共 6 种,而 2 本数学书 1,2 相邻的有 4 种,所以其概率为 P=

.

8. (2016·镇江调研) 设 m,n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数,且向量 a=(m,n),b=(1,-1), 则向量 a,b 的夹角为锐角的概率是 8.

.

【解析】所有(m,n)的结果有 36 种,其中满足 a,b 夹角为锐角,即 a·b=m-n>0 的有

(2,1),(3,2),(3,1),(4,3),(4,2),(4,1),(5,4),(5,3),(5,2),(5,1),(6,5),(6,4),(6,3),( 6,2),(6,1),共 15 种,故所求概率为

.

9. (2015·开封联考) 从集合{-2,-1,1}中随机选取一个数记为 k,从集合{-1,1,3}中随机选 取一个数记为 b,则直线 y=kx+b 不经过第四象限的概率为

.

2

9.

【解析】直线 y=kx+b 共有 9 条,其中不经过第四象限的有 y=x+1 和 y=x+3,共 2 条,故

所求概率为 . 10. (2015·广东揭阳一中、 潮州金山中学联考) 从 1,2,3,6 这 4 个数中一次随机地取 2 个数, 则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是 10.

.

【解析】从 4 个数中随机取 2 个,有 1 和 2,1 和 3,1 和 6,2 和 3,2 和 6,3 和 6,共 6

个,其中这 2 个数的乘积为 6 的基本事件有 1 和 6,2 和 3 两个,故所求概率为 三、解答题(共 10 分)

.

11.(10 分)某工厂的 A,B,C 三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人 员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取 6 件样品进行检测. 车间 数量

A
50

B
150

C
100

(1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各车间产品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件进行进一步检测,求这 2 件商品来自相同车间的概率. 11.【解析】(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 ,

所以 A 车间产品被选取的件数为 50×

=1,

B 车间产品被选取的件数为 150×

=3,

C 车间产品被选取的件数为 100×

=2.

(2)设 6 件来自 A,B,C 三个车间的样品分别为 A;B1,B2,B3;C1,C2.

3

则从 6 件样品中抽取的这 2 件产品构成的所有基本事件有 (A,B1),(A,B2),(A,B3),(A,C1),(A,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,

C2),(B3,C1),(B3,C2),(C1,C2),共 15 个,
每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的. 记事件 D:“抽取的这 2 件产品来自相同车间”, 则事件 D 包含的基本事件有(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(C1,C2),共 4 个, 所以 P(D)= ,即这 2 件产品来自相同车间的概率为

.

[高考冲关] 1.(5 分) (2015·江西红色六校月考) 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超 过 4 的概率记为 p1,点数之和大于 8 的概率记为 p2,点数之和为奇数的概率记为 p3,则( A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3 C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2 )

1.A 【解析】 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数共有 36 个结果,其中向上的点数 之和不超过 4 的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共 6 个,则 p1= 向上的点数之和大于 8 的基本事件有 (3,6),(4,6),(4,5),(5,6),(5,5),(5,4),(6,6),(6,5),(6,4),(6,3),共 10 个,则 ;

p2=

;向上的点数之和为奇数的基本事件有 3×3+3×3=18,则 p3=

,故 p1<p2<p3.

2.(5 分)在 1,2,3,4,5,6,7,8 这组数据中,随机取出五个不同的数,则数字 5 是取出的五个不 同数的中位数的概率为( A. B. ) C. D.

2.B 【解系】从 8 个数据中选择 5 个,有

种选法,其中 5 为中位数,则需要从 1,2,3,4 中

选择 2 个,从 6,7,8 中选择 2 个,有

种选法,所求概率为

.

4

3.(5 分) (2015·重庆铜梁一中月考) 俊、杰兄弟俩分别在 P,Q 两支篮球队效力,P 队和 Q 队 分别有 14 和 15 名球员,且每个队员在各自队中被安排首发(指各队首先上场的 5 名球员)上 场的机会是均等的,则 P,Q 两队交战时,俊、杰兄弟俩同为首发上场交战的概率是 A. B. C. D. ( )

3.B 【解析】所求概率为

.

4.(5 分) (2015·南昌一模) a,b,c,d 四封不同的信随机放入 A,B,C,D 四个不同的信封里,每 个信封至少有一封信.其中 a 没有放入 A 中的概率是 4.

.

【解析】将四封不同的信随机放入四个不同的信封中,每个信封至少有一封信的放法



=24 种,其中信 a 放入 A 中的结果有

=6 种,故“信 a 没有放入 A 中”的概率为

1-

=1-

=1-

.

5.(12 分) (2015·广东六校联考) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该 零件中随机抽取 20 个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1 0.05 2 3 0.15 4 0.35 5

m

n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件等级恰 好相同的概率. 5.【解析】(1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1,即 m+n=0.45. 由抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,得 n= 所以 m=0.45-0.1=0.35. (2)由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3;等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1,y2.

=0.1,

5

从 x1,x2,x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为 (x1,x2),(x1,x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1,y2),共 10 个. 记事件 A 为“从零件 x1,x2,x3,y1,y2 中任取 2 件,其等级相等”, 则 A 包含的基本事件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共 4 个. 故所求概率为 P(A)=

=0.4.

6.(13 分) (2016·抚顺模拟) 某班男生中的篮球特长生比较多,班主任为做好学校男子篮球 比赛前的准备与训练工作,根据日常的了解,先选出 10 名男生平均分成甲、乙两组进行了 4 次对抗训练,对这 4 次训练的比分统计制成如下统计表:

第一次

第二次

第三次

第四次

甲组得分 乙组得分

82 83

83 85

83 86

96 94

(1)根据所给这两组的训练成绩信息进行分析,你认为选择哪一组代表本班参加学校的比赛 较为合适; (2)对这 10 名男生的身高数据统计如下表: 身高(cm) 171~175 176~180 181~185 186~190 191~195

人数

1

2

2

3

2

班主任从这 10 名男生中身高超过 185 cm 的学生里任选 2 人作为中锋队员的人选,求所选的 这 2 人中,至少有 1 人身高超过 190 cm 的概率. 6.【解析】(1) (82+83+83+96)=86, (83+85+86+94)=87,

(16+9+9+100)=33.5,

(16+4+1+49)=17.5,

6

因为

,且

,所以选乙组代表本班去参加学校的比赛较为合适.

(2)根据数据统计表知,身高超过 185 cm 的共有 5 人,且身高在 186~190 cm 的有 3 人,身高在 191~195 cm 的有 2 人.将身高在 186~190 cm 的 3 名学生依次记为 1,2,3,将身高在 191~195 cm 的 2 名学生依次记为 4,5,则从中任选 2 人的所有可能结果组成的基本事件为 {1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},共 10 个基本事件,而 且这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示“所选的这 2 人中,至少有 1 人身高超过 190 cm”这一事件, 则 A 包含的基本事件有{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},共 7 个基本事件,所 以 P(A)=

.

7


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