江苏省四校淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中2016届高三5月联考数学试题


2016 年南师附中、天一、淮阴、海门中学调研测试
数学 I 必做题部分
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题) .本卷满 分为 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置. 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答,在其它位置作 答一律无效. 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.

参考公式:
棱锥的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高. 3

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
2 1.设集合 A ? {0,1, 2} , B ? {a ? 2, a ? 3} , A ? B ? {1} ,则实数 a 的值为 ▲ . 2.设复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 5 ( i 为虚数单位) ,则 z ? ▲ . 3.右图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是 ▲ .

开始 k←1 N
0.035 0.030

频率 组距

k 2 ? 4k ? 0
Y 输出 k 结束
(第 3 题图)

k←k +1

0.020 0.010 0.005 80 90 100 110 120 130 车速(km/h)

(第 4 题图)

4.在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的 200 辆进行车速统 计, 统计结果如下面的频率分布直方图所示. 若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h ~120km/h,试估计 2000 辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 ▲ 辆. ? 5.将函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到函数 y ? f ( x) 的 8 图象,若函数 f ( x) 的图像过原点,则 ? ? ▲ . 1 1 6.已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为 ,乙胜的概率为 ,则甲胜的概率为 ▲ . 2 3 7.设偶函数 f ( x) 在区间 [0, ??) 上单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f (1) 的 x 的取值范围是

▲ . 8.在等比数列 {an } 中,已知 a2 ? a5 ? ?32 , a3 ? a4 ? 4 ,且公比为整数, 则 a10 ? ▲ .
P

9.如图,正四棱锥 P ? ABCD 的底面一边 AB 长为 2 3cm ,侧面积为 D C 2 ,则它的体积为 ▲ . 8 3cm 2 2 A B x y 10.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 (第 9 题图) a b 没有公共点, 则该双曲线的离心率的取值范围为 ▲ . ? 1 x ?3 ?( ) , x ? 2, (a ? 0 且 a ? 1) 的值域是 [2, ??) ,则实 11.若函数 f ( x) ? ? 2 ? log x , x ? 2 ? a 数 a 的取值范围是 ▲ . ??? ? ???? ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? AO , AB ? AO ,则 CA ?CB ? ▲ . 12.已知 ?ABC 外接圆 O 的半径为 2 ,且 AB ?AC ? 2 13.已知 x 、 y 为正实数,则
2x y ? 的最小值为 x ? 2y x

▲ .

14.设 (ax ? 3)( x2 ? b) ? 0 对任意 x ? [0, ??) 恒成立,其中 a 、 b 是整数,则 a ? b 的取值的集 合为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说 ....... 明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)
[来源:学

在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a 2 ? c 2 ? b2 ? ac . (1)求 B 的大小; (2)设 ?BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D , AD ? 2 3 , BD ? 1,求 cos C 的值.

A

B

D
(第 15 题图)

C

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC ,且 BC ? 2 AD , AD ? CD , PB ? CD ,点 E P 在棱 PD 上,且 PE ? 2ED . (1)求证:平面 PCD ? 平面 PBC ; (2)求证: PB // 平面 AEC .
E C B

D

A

(第 16 题图)

17. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :
2 x2 y 2 ,且点 P(2,1) 在 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? 2 2 a b

椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 A 、 B 都在椭圆 C 上,且 AB 中点 M 在线段 OP (不包括端点)上. ①求直线 AB 的斜率; ②求 ?AOB 面积的最大值.

18. (本小题满分 16 分) 如图,A 、B 是海岸线 OM 、ON 上的两个码头,Q 为海中一小岛, 在水上旅游线 AB 上. 测 得 tan ?MON ? ?3 , OA ? 6km , Q 到海岸线 OM 、 ON 的距离分别为 2km ,
7 10 km . 5

(1)求水上旅游线 AB 的长; (2)海中 P ( PQ ? 6km ,且 PQ ?OM ) 处的某试验产生的强水波圆 P ,生成 t 小时时的半径 为 r ? 6 6t 2 km .若与此同时,一瘦游轮以 18 2km / 小时 的速度自码头 A 开往码头 B , 试研究强水波是否波及游轮的航行?
N
B?
3

?P

?Q
O (第 18 题图)
A

?

M

19. (本小题满分 16 分) 设 a, b ? R 函数 f ( x) ? e x ? a ln x ? a ,其中 e 是自然对数的底数,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 (e ? 1) x ? y ? b ? 0 . (1)求实数 a 、 b 的值; (2)求证:函数 f ( x) 存在极小值;

ex m 1 (3)若 ?x ?[ , ??) ,使得不等式 ? ln x ? ? 0 成立,求实数 m 的取值范围. 2 x x

20. (本小题满分 16 分) 正项数列: a1 , a2 ,?am (m ? 4, m ? N ? ) ,满足:a1 , a2 , a3 ,?, ak ?1 , ak (k ? m, k ? N ? ) 是公差为 d 的等差数列, a1 , am , am?1 ,?, ak ?1 , ak 是公比为 2 的等比数列. (1)若 a1 ? d ? 2, k ? 8 ,求数列 a1 , a2 ,?am 的所有项的和 Sm ; (2)若 a1 ? d ? 2, m ? 2016 ,求 m 的最大值; (3)是否存在正整数 k ,满足 a1 ? a2 ? ? ? ak ?1 ? ak ? 3(ak ?1 ? ak ? 2 ? ? ? am?1 ? am ) ? 若存在,求出 k 值;若不存在,请说明理由.

数学 II(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作 .................. 答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . A.[选修 4?1:几何证明选讲](本小题满分 10 分)
? ,过点 C 的圆的切线 CE 与 BA 的延长线交于点 E .[来源:学+科网ZXK] AC ? BD 如图,已知圆上的弧 ?

(1)求证: ?ACE ? ?BCD ; (2)求证: BD 2 ? AE ? CD .

D

C

B

A
(第 21 题 (A) 图)

E

B.[选修 4?2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) ? ?1? ?1 a ? 已知矩阵 A ? ? 的一个特征值 ? ? 3 所对应的一个特征向量 e ? ? ? ,求矩阵 A 的逆 ? ? 2 1? ?1? 矩阵 A?1 .

C.[选修 4?4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, 曲线 C 为 ? ? 4cos ? ? 2sin ? .曲线 C 上的任意一点的直角坐标为 ( x, y ) ,求 x ? y 的取值 范围.

D.[选修 4?5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 己知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4? . (1)求实数 a , b 的值; (2)求 at ? 12 ? bt 的最大值.

?

22. (本小题满分 10 分) 某商场举行抽奖促销活动,在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动: [1000,1500) [1500, ??) [500,1000) 消费金额 X (元) 1 2 4 抽奖次数 抽奖中有 9 个大小形状完全相同的小球,其中 4 个红球、3 个白球、2 个黑球(每次只

能抽取一个,且不放回抽取) .若抽得红球,获奖金 10 元;若抽得白球,获奖金 20 元; 若抽得黑球,获奖金 40 元. (1)若某顾客在该商场当日消费金额为 2000 元,求该顾客获得奖金 70 元的概率; (2)若某顾客在该商场当日消费金额为 1200 元,获奖金 ? 元,求 ? 的分布列和 E (? ) 的值.

23. (本小题满分 10 分) 1 1 设函数 f ( x) ? ln(2 x) ? ,数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? f (an )(n ? N * ) . 2 2 1 (1)求证: x ? 时, f ( x) ? x ; 2 1 (2)求证: ? an ? 1(n ? N * ) ; 2 n 3 (3)求证: ? (ai ? ai ?1 ) ? ai ?1 ? (n ? N * ) . 8 i ?1

数学 I 参考答案
3 1 3 4 ? i ;3. 5;4. 1700;5. ? ;6. ;7. [0,1] 8. 512;9. 4;10. (1, 2) ; 4 6 5 5 3 11. (1, 2] ;12. 12;13. ;14. {?2,8} 2
1. ?1 ;2. 15.解: (1)? a 2 ? c2 ? b2 ? ac a2 ? c2 ? b2 ac 1 ? cos B ? ?? ?? 2ac 2ac 2 ? B ? (0, ? ) ???2 分

2 ?B ? ? 3
(2)在 ?ABD 中,由正弦定理:

???4 分

AD BD ? sin B sin ?BAD 3 1? BD sin B 2 ?1 ?sin ?BAD ? ? AD 2 3 4 ?cos ?BAC ? cos2?BAD ? 1 ? 2sin 2 ?BAD ? 1 ? 2 ? 1 7 ? 16 8

???6 分 ???8 分 ???10 分

7 15 ? sin ?BAC ? 1 ? cos 2 ?BAC ? 1 ? ( ) 2 ? 8 8 ? cos C ? cos(60? ? ?BAC ) ? cos60? cos ?BAC ? sin 60? sin ?BAC
?
即 cos C 的值为

1 7 3 15 7 ? 3 5 ? ? ? ? 2 8 2 8 16
???14 分

7?3 5 16

16.证明: (1)? AD ? CD, AD ∥ BC , ? CD ? BC 又 PB ? CD PB ? BC ? B PB ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC ? CD ? 平面 PBC (2)连接 BD 交 AC 于 O ,连 OE ? AD ∥ BC , ? ?ADO ∽ ?BOD ? DO : OB ? AD : BC ? 1: 2 又 PE ? 2ED ? OE ∥ PB OE ? 平面 AEC , PB ? 平面 AEC ? PB // 平面 AEC

???2 分

???6 分 ???8 分 ???10 分 ???12 分 ???14 分

? c 2 ?e ? ? a 2 ? 1 ?4 17.解: (1)由题意得: ? 2 ? 2 ? 1 b ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? ?a ? 6 ?? ? ?b ? 3
x2 y2 ? ?1 6 3 (2)①法一、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的斜率为 k

???2 分

所以椭圆 C 的方程为

???4 分

? x12 y12 ? ?1 ? x12 ? x2 2 y12 ? y2 2 ? 6 3 ? ? ?0 则? 2 2 6 3 ? x2 ? y2 ? 1 ? 3 ? 6 2x 2 y ? 0 ? 0 ?k ? 0 6 3 1 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 2 2 所以 k ? ?1

???6 分

???8 分

法二、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,

? y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k ( y0 ? kx0 ) x ? 2( y0 ? kx0 ) 2 ? 6 ? 0 则 ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6 由题意, ? ? 0 4k ( y0 ? kx0 ) 所以 x1 ? x2 ? ? 1 ? 2k 2 2k ( y0 ? kx0 ) ? x0 ? ? 1 ? 2k 2 1 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 2 2 1 2k ( ? k ) 2 ? 1 ? k ? ?1 所以 ? 1 ? 2k 2 法三、设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ? y ? kx ? m ? 则 ? x 2 y 2 ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 6 ? 0 ?1 ? ? 3 ?6 由题意, ? ? 0

???6 分

???8 分

所以 x1 ? x2 ? ?
? x0 ? ?

4km 1 ? 2k 2

???6 分

2km (i) 1 ? 2k 2 1 1 又直线 OP : y ? x , M 在线段 OP 上, 所以 y0 ? x0 (ii ) 2 2 M 在直线 AB 上? y0 ? kx0 ? m (iii )
解 (i) (ii ) (iii ) 得: k ? ?1 ②设直线 AB 的方程为 y ? ? x ? m , m ? (0,3) ???8 分

则 ? x2

? y ? ?x ? m ? ? 3x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 6 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?6

? ?? ? 0 ? 4m ? 所以 ? x1 ? x2 ? 3 ? 2 ? 2m ? 6 ? x1 x2 ? 3 ?

???10 分

所以 AB ? 1 ? (?1)2 | x1 ? x2 |? 原点到直线的距离 d ?
? S?OAB ?
|m| 2

4 9 ? m2 3
???12 分

14 |m| 2 3 2 9 ? m2 ? ? (9 ? m2 )m2 ? 23 3 2 2 3 当且仅当 m ? 2 ? (0,3) 时,等号成立. 2 3 2 所以 ?AOB 面积的最大值 . 2

???14 分

18.解: (1)以点 O 为坐标原点,直线 OM 为 x 轴,建立直角坐标系如图所示.
N
B?

y

?P

C

?

?Q
A

O

?

xM

(第 18 题图)

则由题设得: A(6,0) ,直线 ON 的方程为 y ? ?3 x , Q( x0 , 2)( x0 ? 0) ,

???2 分



3x0 ? 2 10

?

7 10 ,及 x0 ? 0 得 x0 ? 4 ,? Q(4, 2) 5

???4 分 ???6 分

? 直线 AQ 的方程为 y ? ?( x ? 6) ,即 x ? y ? 6 ? 0 ,
? y ? ?3x, ? x ? ?3, 由? 得? 即 B (?3,9) , ? x ? y ? 6 ? 0 ? y ? 9,

? AB ? (?3 ? 6)2 ? 92 ? 9 2 ,即水上旅游线 AB 的长为 9 2km .

???8 分

(2)设试验产生的强水波圆 P ,生成 t 小时时,游轮在线段 AB 上的点 C 处, 1 则 AC ? 18 2t , 0 ? t ? ,? C (6 ? 18t ,18t ) , ???10 分 2 令 h(t ) ? r 2 ? PC 2 , 则? P(4,8) , r ? 6 6t 2 ,
? h(t ) ? (6 6t 2 ) 2 ? [(2 ? 18t ) 2 ? (18t ? 8) 2 ]
3
3

? 18(12t 3 ? 36t 2 ? 20t ) ? 68 , 0 ? t ?
? h?(t ) ? 18(12 ? 3t 2 ? 36 ? 2t ? 20)

1 , 2

???12 分

? 72(9t 2 ? 18t ? 5)
? 72(3t ? 1)(3t ? 5) , 0 ? t ?

1 , 2

???14 分

1 5 或 t ? (舍去) 3 3 1 1 1 x (0, ) ( , ) 3 3 2 ? h?(t ) ? 1 1 ? [h(t )]max ? h( ) ? 63 ? ( )3 ? [(2 ? 6)2 ? (6 ? 8)2 ] ? ?12 ? 0 , 3 3 1 ? 0 ? t ? 时, h(t ) ? 0 ,即 r ? PC 恒成立, 2 亦即强水波不会波及游轮的航行. a 19.解: (1)? f ?( x) ? ex ? ,? f ?(1) ? e ? a , x ?e ? a ? e ? 1, ?a ? 1, ?? 由题设得: ? ?(e ? 1) ? (e ? a) ? b ? 0, ?b ? 0.
由 h?(t ) ? 0 得 t ?

???16 分

???2 分

1 (2)由(1)得 f ( x) ? ex ? ln x ? 1 ,? f ?( x) ? e x ? ( x ? 0) , x 1 ???4 分 ? ( f ?( x))? ? e x ? 2 ? 0 ,? 函数 f ?( x) 在 (0, ??) 是增函数, x 1 ? f ?( ) ? e ? 2 ? 0 , f ?(1) ? e ? 1 ? 0 ,且函数 f ?( x) 图像在 (0, ??) 上不间断, 2

1 ? ?x0 ? ( ,1) ,使得 f ?( x0 ) ? 0 , 2 结合函数 f ?( x) 在 (0, ??) 是增函数有:

???6 分
( x0 , ??)

x
f ?( x)

(0, x0 ) ?
x

?
???8 分

? 函数 f ( x) 存在极小值 f ( x0 ) .

e m 1 (3) ?x ?[ , ??) ,使得不等式 ? ln x ? ? 0 成立 2 x x 1 x ? ?x ?[ , ??) ,使得不等式 m ? e ? x ln x 成立(*) 2 1 x 令 h( x) ? e ? x ln x , x ?[ , ??) , 2 则 h?( x) ? e x ? ln x ? 1 ? f ( x) ,
? 结合(2)得: [h?( x)]min ? f ( x0 ) ? e x0 ? ln x0 ? 1 , 1 1 其中 x0 ? ( ,1) ,满足 f ?( x0 ) ? 0 ,即 e x0 ? ? 0 , x0 2 1 ? e x0 ? , x0 ? ? ln x0 , x0
?[h?( x)]min ? e x0 ? ln x0 ? 1 ? 1 1 ? x0 ? 1 ? 2 ? x0 ? 1 ? 1 ? 0 , x0 x0

???10 分

???12 分

1 ? x ?[ , ??) , h?( x) ? 0 , 2 1 ? h( x) 在 [ , ??) 内单调递增, 2 1 1 1 1 1 1 ?[h( x)]min ? h( ) ? e 2 ? ln ? e 2 ? ln 2 , 2 2 2 2 1 1 结合(*)有 m ? e 2 ? ln 2 , 2 1 1 即实数 m 的取值范围为 [e 2 ? ln 2, ?? ) . 2
20.解: (1)由已知 k ? m, k ? N ? , an ? 2n , ak ? a8 ? 16, 故 a1 , a2 , a3 ,?, ak ?1 , ak (k ? m, k ? N ? ) 为:2,4,6,8,10,12,14,16;

???14 分

???16 分

a1 , am , am?1 ,?, ak ?1 , ak 公比为 2.则对应的数为 2,4,8,16
从而 a1 , a2 ,?am 即为: 2,4,6,8,10,12,14,16,8,4; 此时 m ? 10, S m ? ???2 分 ???4 分

8(2 ? 16) ? 8 ? 4 ? 84 2
?

(2) a1 , a2 , a3 ,?, ak ?1 , ak (k ? m, k ? N ) 是首项为 2,公差为 2 的等差数列

故 k ? m, k ? N ? , an ? 2n ,从而 ak ? 2k 而 a1 , am , am?1 ,?, ak ?1 , ak 首项为 2,公比为 2 的等比数列且 ak ? 2 m?k ?2 故有 2k ? 2 又k ?2 ? 2
k m ?1 m?k ? 2

;即 k ? 2

m ? k ?1

即 k 必是 2 的整数幂

???6 分

10 ,要 m 最大, k 必需最大, k ? m ? 2016 ,故 k 的最大值为 2 ???8 分

所以 2 ? 2
10

210

? 210 ? 21024 ? 21034 ? 2 m?1 ,即 m 的最大值为 1033

???10 分

(1) 由数列 a1 , a2 , a3 ,..., ak ?1 , ak 是公差为 d 的等差数列知, ak ? a1 ? (k ?1)d ,而

a1 , am , am?1 ,..., ak ?1, ak 是公比为 2 的等比数列 ak ? a1 ? 2m?1?k ,
故 a1 ? (k ? 1)d ? a1 ? 2m?1?k ,

(k ?1)d ? a1 (2m?1?k ?1) ,

???12 分

又 a1 ? a2 ? ?ak ?1 ? ak ? 3(ak ? ak ?1 ? ? ? am?1 ? am ) , am ? 2a1 ,则

1 1 ? 2m ? k 1 m ?1? k ? 1)] ? 3 ? 2a1 (2m ? k ? 1) , ka1 ? k (k ? 1)d ? 3 ? 2a1 ? ,即 ka1 ? k[a1 (2 2 2 1? 2
1 1 k ? 2m?1? k ? k ? 6(2m?k ? 1) ,即 k ? 2m?1?k ? k ? 6 ? 2m?1?k ? 12 , ???14 分 2 2 k ? 12 18 m ?1? k 2, 3, 4, 5 一一代入验证知, ? ? ?1 ? 显然 k ? 6 ,则 2 ,所以 k ? 6 ,将 k ? 1, 6?k 6?k
则 当 k ? 4 时,上式右端为 8 ,等式成立,此时 m ? 6 , 综上可得:当且仅当 m ? 6 时,存在 k ? 4 满足等式. ???16 分

数学 II(附加题)参考答案
21.A.[选修 4?1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) ? ,??ABC ? ?BCD ,??2 分 AC ? BD 证明: (1)? 弧 ?

? CE 是圆的以 C 为切点的切线,
??ACE ? ?ABC , ??ACE ? ?BCD .

D

C

???4 分

B

A
(第 21 题 (A) 图)

E

(2)? ?ACE ? ?BCD , ?CAE ? ?BDC ,
? ?A C E ∽ ?DCB ,

???6 分 ???8 分

?

AC AE , ? CD BD

? ,? AC ? BD , AC ? BD ?弧 ?

BD AE , ? CD BD ? BD 2 ? AE ? CD . B.[选修 4?2:矩阵与变换](本小题满分 10 分) ?? ?? ?1 a ? ?1? ?1? 解:由题意: Ae1 ? ? e1 ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 2 1? ?1? ?1? ? a ?1 ? 3 ?a?2 ?1 2 ? ? A?? ? ? 2 1? ? | A |? ?3 ? 0 ?

???10 分

???5 分

? 1 ?2 ? ? 1 2 ? ? ?3 ?3 ? ? ? 3 3 ? ? A?1 ? ? ??? ? ? ?2 1 ? ? 2 ? 1 ? ? ?3 ?3 ? ? ? ? 3 ? 3? ? C.[选修 4?4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 解:曲线 C 为 ? ? 4cos ? ? 2sin ?

???10 分

? 曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 2 2 即 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 5
所以曲线 C 是以 (2,1) 为圆心, 5 为半径的圆 故设 x ? 2 ? 5 cos ? , y ? 1 ? 5 sin ? 则 x ? y ? 1 ? 5 cos ? ? 5 sin ? ? 1 ? 10 cos(? ?

???4 分

???6 分

?
4

)

???8 分 ???10 分

? x ? y 的取值范围是 [1 ? 10,1 ? 10]

D.解: (1)? x ? a ? b ? ?a ? b ? x ? ?a ? b ,
? ? a ? b ? 2, ?? ? ? a ? b ? 4, ?a ? ?3, ?? ?b ? 1. (2)由(1) ,结合柯西不等式有:
at ? 12 ? bt ? 3 ? 4 ? t ? 1? t ,

???2 分

???4 分

? ( 3)2 ? 12 ? ( 4 ? t )2 ? ( t ) 2
即 at ? 12 ? bt ? 4 4?t t ? 当且仅当 ,即 t ? 1 时取“=” 1 3
? t ? 1 时, at ? 12 ? bt 取得最大值 4 ,

???8 分

即 at ? 12 ? bt 的最大值为 4 . ???10 分 22. (本小题满分 10 分) 解: (1)? X ? 2000 ,? 该顾客有 4 次抽奖机会, 得奖金 70 元,则有两种情形:抽得 3 红球, 1 黑球;抽得 1 红球, 3 白球. C 3 C 1 ? C 1C 3 2 ???4 分 ? 该顾客获得奖金 70 元的概率 P ? 4 2 4 4 3 ? . C9 21 (2)? X ? 1200 ,? 该顾客有 2 次抽奖机会, ? ? 的值可能为 20 , 30 , 40 , 50 , 60 , 80 ,
P(? ? 20) ? P(? ? 40) ? P(? ? 60) ?
1 1 2 C4 C3 1 C4 1 ? P ( ? ? 30) ? ? , , 2 C9 6 C92 3 1 1 C32 1 C4 C2 2 ? P ( ? ? 50) ? ? , , 2 C9 12 C92 9 1 1 2 C3 C2 1 C2 1 ? P ( ? ? 80) ? ? , , 2 2 C9 6 C9 36

?

20

30

40

50

60

80

P

1 6

1 3

1 12

2 9

1 6

1 36
???8 分 ???10 分

1 1 1 2 1 1 ? E(? ) ? 20 ? ? 30 ? ? 40 ? ? 50 ? ? 60 ? ? 80 ? ? 40 . 6 3 12 9 6 36
23. (本小题满分 10 分) 解: (1)令 F ( x) ? f ( x) ? x ? 则 F ( x) ?
'

1 1 ln( 2 x) ? ? x , 2 2

1 ? 2x 1 ' ,又 x ? ,可得 F ( x) ? 0 . 2x 2 1 1 即 F ( x) 在 ( ,?? ) 为减函数.故 F ( x) ? F ( ) ? 0 2 2

即x ? (2)

1 , f ( x) ? x 2
1) 当 n ? 1 时 a1 ? 1,

???2 分

1 ? a1 ? 1 成立. 2 1 2)假设 n ? k (k ? N * ) 时, ? a k ? 1 2
当 n ? k ? 1 (k ? N * ) 时, a k ?1 ? f (a k ) ? 根据归纳假设

1 1 ln( 2a k ) ? 2 2

1 ? a k ? 1 ,由(1)得: 2 1 1 1 1 1 1 1 ln( 2 ? ) ? ? ln( 2a k ) ? ? ln( 2 ? 1) ? 2 2 2 2 2 2 2 1 即: ? a k ?1 ? 1 即 n ? k ? 1 时命题成立。 2 ? 综上所述对 n ? N 命题成立 1 1 (3)由 ? a n ? 1 , an?1 ? f (an ) , x ? , f ( x ) ? x 2 2 1 可得: ? a n ?1 ? f (a n ) ? a n ? 1 2
从而 ai ?1 ?

???6 分

ai ? ai ?1 ,又 ai ? ai ?1 ? 0 2 ai ? a i ?1 1 2 2 ? (ai ? ai ?1 ) 2 2

???8 分

故 (ai ? ai ?1 )ai ?1 ? (ai ? ai ?1 ) ? 则有: ? (ai ? ai ?1 ) ? ai ?1 ?
i ?1 n

1 2 (a1 ? a2 2 ? a2 2 ? a32 ? ? ? an 2 ? an ?12 ) 2
???10 分

1 1 1 1 3 ? (a12 ? an?12 ) ? (1 ? an?12 ) ? (1 ? 2 ) ? 2 2 2 2 8


相关文档

更多相关文档

四校淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中2016届高三5月联考数学试题
江苏省四校淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中2016届高三5月联考数学试题 Word版含答案
江苏省四校淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中2016届高三数学5月联考试题
江苏省四校淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中2016届高三5月联考英语试题
2016届江苏省四校淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中高三5月调研联考物理试题
江苏省四校淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中2016届高三5月联考历史试题
江苏省无锡市天一中学2012届高三4月月考试卷(数学)
江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研(二)数学试题含答案
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试数学试卷
江苏省海安高级中学等三校2012届高三下学期联合考试数学试题
江苏省苏锡常镇徐连六市2013届高三3月教学情况调研(一) 数学
电脑版