高三第三次月考文科(函数


高三数学周周练(十九)
一、选择题(每小题 5 分,共 12×5 分=60 分,每小题只有一个正确答案)
1、复数

i (i 是虚数单位 ) 的实部是( 1? i
B.-2



A.2

C.-

1 2

D.

1 2


2、设 {an } 是等差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则数列 {an } 的公差为( A. ? 2 B.2 C. ? 3 D.3

3、设等比数列 ?an ? 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则

S3 =( a2



A.3

B. 4

C.

7 2

D.

13 2


4、若直线 ax ? 2 y ? 2 ? 0 与直线 x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 互相平行,则 a 的值为( A.-1 B.2 C.-1 或 2 D.不存在

x ,x ? A ,则 A ? B ? ( 5、已知集合 A ? x y ? log2 ( x ? 1) , B ? y y ? 2 ? 1

?

?

?

?



A. ?

B.(1,3)

C.(3, ? ? )

D.(1, ? ? ) )

6、已知 p : x ? 2 ? 3 是 q : 0 ? x ? a 成立的必要非充分条件,则实数 a 的取值范围是(

5] A. (0,

, 0) B. (?1

C. (5, ? ?)

5) D. (?1,

7、若 ?,? 为锐角, sin? ? A. ?

2 5 4 ,cos(? ? ? ) ? ,则 cos? ? ( 5 5
C.



2 5 5

B.

2 5 25

2 5 2 5 或 5 25

D.

2 5 5


a2 ? a12 ) =( 8、已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? a7 ? a13 ? 4? ,则 tan(
A. ? 3 B. 3 C. ? 3 D. ?

3 3


9、已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S5 ? 2,S10 ? 6 ,则 a16 ? a17 ? a18 ? a19 ? a20 ? ( A.54 B.48 C.30
1

D.16

? 2 x ? y ? 4, ? 10、设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, ? x ? 2 y ? 2, ?
A.

则z ?

( x ? 5) 2 ? y 2 的最小值为(



9 5

B.

3 5

C.

6 5

D.

3 5 5

11、已知函数 y ? f ( x)( x ? R) 的 图像如右图所示, y 则不等式 xf / ( x) ? 0 的解集为( A. ( ??, ) ? ( , 2) )

1 2

1 2

?1

O

1 2

1

2

3

x

B. ( ??, 0) ? ( , 2) [

1 2

C. ( ??, ) ? ( , ?? )

1 2

1 2

D. (??, ) ? (2, ??) 12、已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时, ,则 f ? ?2009? ? f ? 2010? 的值为( f ( x) ? log2 (x ? 1 ) A. ? 2 B. ? 1 C. 2 ) D. 1

1 2

二、填空题(每小题 4 分,共 4× 4 分=16 分) ? ? ? ? 13、已知向量 a ? (4, 2) , b ? ( x, 3) ,若 a ∥ b ,则 x =
14、过点 p(3,-4)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 15、数列 an 满足: a1 ? 2, an ? 1 ?

. . .

? ?

1 (n ? 2, 3, 4, ?) ,则 a15 = an?1
( x ? R) 有下列命题:

16、关于函数 f (x) ? 2 3cos 2 x ? 2sin x cos x ?3

①由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0可得x1 ? x2必是?的整数倍; ② y ? f ( x) 的图象可由 y ? 2cos2 x 的图象向右平移 ③ y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ?

? 个单位得到; 6

?
6

对称;

2

④ y ? f ( x) 在区间[ , ] 上是减函数.

? ?

6 3

其中是 假 命题的序号有
?

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
17、(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a,b,c 分别是 ?A,?B,?C 的对边长,已知 a,b,c 成等比 数列,且 a ? c ? ac ? bc ,求 ? A 的大小及
2 2

b sin B 的值. c

18、(本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? 80(n ? N * ). (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {(2n ? 1) ? an } 的前 n 项的和 Sn .

| ? |? 19、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R,A ? 0,? ? 0,
分)如图所示. (1)试确定 f ( x ) 的解析式;

?
2

) 的图象(部

1] ,求函数 f ( x) 的值域. (2)若 x ? [0,

20、 (本题满分 12 分)如图组合体中,三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 ABB1 A1 是圆柱的轴截面(过圆柱的轴截 圆柱所得到的截面), C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合的一个点. (1)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 BC ? 平面 A1 AC ; (2)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1B1 与圆柱的体积比.

第 20 题图

21、 (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 = S n + S n ?1 ( n ? 2 ) , a1 ? 1 .
3

(1)证明:数列 { S n } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?

1 1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求证: Tn ? . 2 a n a n ?1

1 22、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a2 ? 1) x ? b(a, b ? R) 3
(1)若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求 a 的值;
f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,求 f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最大值; (2)若 y ? f ( x) 的图象在点 (1,

1) 上不单调,求 a 的取值范围. (3)当 a ? 0 时,若 f ( x) 在区间 ( ?1,

简要答案: 1-12 13、6 14、 4 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 15、-1 16、①②③ 17、解: (1)? a,b,c 成等比数列
? b 2 ? ac 又 a 2 ? c 2 ? ac ? bc
? b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc ,

DBCAC

ADADD

BD

在 ?ABC 中,由余弦定理得
4

b2 ? c2 ? a 2 bc 1 cos A ? ? ? 2bc 2bc 2
? ?A ? 60?

(2)在 ?ABC 中,由正弦定理得 sin B ?

b sin A a

?b 2 ? ac,?A ? 60?

?

b sin B b 2 sin 60? 3 ? ? sin 60? ? c ca 2

18、解: (1)∵ a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? 80 ,

? a1 ? a3 ? 10 ∴? 3 ?q ?2, 3 ?a1q ? a3q ? 80
又 a1 ? a3 ? a1q ? a1q2 ? 10 ? a1 ? 2 ∴ an ? a1qn?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n

(2) Sn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ???? ? (2n ?1) ? 2n
2Sn ? 1? 22 ? 3? 23 ? 5 ? 24 ???? ? (2n ?1) ? 2n?1

① ②

①-②得- Sn ? 2 ? 2 ? 22 ? 2 ? 23 ? 2 ? 24 ? ... ? 2 ? 2n ? (2n ?1)2n?1
? 2? 2 ? 22 ? (1 ? 2n ?1 ) ? (2n ? 1)2n ?1 1? 2

? 2 ? 8 ? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1)2n?1 ? ?6 ? (2n ? 3)2n?1

∴ Sn ? (2n ? 3)2n?1 ? 6 19、解: (Ⅰ)由图象可知 A=2 ∴T=2 ∴ ? ? 又 | ? |? 且
T 5 1 1 ? ? ? 4 6 3 2

?
2

2? 1 ? ? ? ,将点 P ( , 2) 代入 y ? 2sin(? x ? ? ) 得 sin( ? ? ) =1 T 3 3

,所以 ? ?

?

? 故所求解析式为 f ( x) ? 2sin(? x ? ), x ? R ……6 分 6 (Ⅱ)∵ x ? [0,1] ? ? 7? ∴ ? x ? ?[ , ] 6 6 6 ? 1 ∴ sin(? x ? ) ? [? ,1] 6 2 ∴ f ( x) 的值域为[-1,2] ……12 分 20、 ( 12 分) (1)因为侧面 ABB1 A1 是圆柱的轴截面,故 AB 是底面圆 的直径,又 C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点,所以
5

6



第 18 题图

AC ? BC …………2 分 又圆柱母线 AA1 ?平面 ABC , BC ?平面 ABC ,

所 以 AA1 ? BC ,又 AA1 ? AC ? A ,所以 BC ?平面 A1 AC , 因为 BC ?平面 A1BC ,所以平面 A1BC ? 平面 A1 AC ;…6 分 (2)法 1:设圆柱的底面半径为 r ,母线长度为 h , 则A1C1 ? B1C1 ? 2r ? A1B1是底面圆的直径

? A1C1 ? B1C1 又在圆柱中CC1 ? 面A1 B1C1 A1C1 ? 面A1 B1C1 ? CC1 ? A1C1 , 又B1C1 ? CC1 ? C1 ? A1C1 ? 面B1C1 BC 故A1C1是四棱锥A1 ? B1C1 BC的高, 设A1C1 ? h 1 2 ?VA1 ? B1C1BC ? S B1C1BC h ? hr 2 3 3 2 V圆柱 ? ? r h 故四棱锥 A1 ? BCC1B1 与圆柱的体积比为 2 : 3? .
(2)法 2:设圆柱的底面半径为 r ,母线长度为 h ,[来源:学,科,网] 当点 C 是弧 AB 的中点时,三角形 ABC 的面积为 r 2 , 1 三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 r 2 h ,三棱锥 A1 ? ABC 的体积为 r 2 h , 3 1 2 四棱锥 A1 ? BCC1B1 的体积为 r 2 h ? r 2 h ? r 2 h , 3 3 2 圆柱的体积为 ? r h , 四棱锥 A1 ? BCC1B1 与圆柱的体积比为 2 : 3? .

21、解: (1)? S n ? S n?1 ?

?

S n ? S n?1

??

S n ? S n?1 ? S n ? S n?1

?



? n ? 2?
…………2 分

易知 Sn ? 0 , ? Sn ? Sn?1 ? 1, 又 S1 ? a1 ? 1,所以数列
n

? S ? 是一个首项为 1 公差为 1 的等差数列.………… 3 分
…………4 分 …………7 分 …………9 分

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2 .
当 n ? 2 , an ? Sn ? Sn?1 ? n 2 ? (n ?1) 2 ? 2n ?1 ; . a1 ? 1 适合上式,?an ? 2n ?1 ( n ? N * ) (2) bn ?
1 1 1? 1 1 ? = ? ? ? ?, a n a n ?1 ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ?; 2? 3? 2?3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

6

1? 1 1 1 1 1 1 1 ? = ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? = ?1 ? …………12 分 ? 2 ? 2n ? 1 ? 1 1 1 1? 1 ? 1 ? 0 ,1 ? ? 1 , ?1 ? ? n ? N * ,? ? ? ,即 Tn ? .…………13 分[来源: 2n ? 1 2n ? 1 2 2 ? 2n ? 1 ? 2 2 2 22、解:(1) f ?( x) ? x ? 2ax ? a ? 1 …………1 分 ∵ x ? 1 是 f ( x) 的极值点,∴ f ?(1) ? 0 ,即 a 2 ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 或 2. …………2 分 (2)∵ (1, f (1)) 在 x ? y ? 3 ? 0 上 ∴ f (1) ? 2
1 3 2 又 f ?(1) ? ?1 ∴ 1 ? 2a ? a ? 1 ? ?1 ② 8 联立①、②式,解得 a ? 1, b ? ……5 分 3 1 8 ∴ f ( x) ? x3 ? x2 ? , f ?( x) ? x2 ? 2x 3 3 令 f ?( x) ? 0 可知: x ? 0 或 x ? 2 (?2,0) 0 x ?2 f ?( x) 0 ? f ( x) 8 ? ?4 3 ∴ f ( x) 在区间 [?2, 4] 上的最大值为 8.

∵ (1, 2) 在 y ? f ( x) 上

∴ 2 ? ? a ? a2 ? 1 ? b



(0, 2)
? ?

2
0

(2, 4)

4
8

4 3

? ?

…………8 分 (3)因为函数 f ( x) 在区间 ( ?1,1) 不单调,所以函数 f ?( x) 在 ( ?1,1) 上存在零点. 而 f ?( x) ? 0 的两根为 a ? 1 , a ? 1 ,区间长为 2 ∴在区间 ( ?1,1) 上不可能有 2 个零点.所以 f ?(?1) f ?(1) ? 0 ,即 a2 (a ? 2)(a ? 2) ? 0 . ∵ a2 ? 0 ,∴ (a ? 2)(a ? 2) ? 0, ? 2 ? a ? 2 .又∵ a ? 0 ,∴ a ? (?2, 0) ? (0, 2) . …………12 分

7


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