2015届高三空间立体几何一轮专题复习


采得百花成蜜后,任谁辛苦任谁甜

空间立体几何知识点分类汇编
例 1、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, AD⊥PD,BC=1,PC=2 3 ,PD=CD=2.
类型一、证明线面垂直、面面垂直

( I) 、证明 AD ? 面PDC ,证明平面 PDC⊥平面 ABCD;

类型二、求异面直线所成的角(平移到同一平面内,利用解三角形知识求解)

(II) 、求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值;

类型三、求直线与平面所成的角(先找角,利用解三角形求角)

(III)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。

变式练习: 2
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把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A, B, C , D 四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线 BD 和平面

ABC 所成的角的大小为( A 90 B 60 C
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45

D

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30

3.如图,点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度数为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 4、 (2012 高考湖南文 19) 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

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例 2、如图(4) ,三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面是边长 2 的正三角形,侧棱与底面垂直,且长为

3 ,D 是 AC

的中点.
类型四、证明线面平行(转化为线线平行,利用中位线、平行四边形等)

(1)求证: B1C ∥平面 A1 BD ;

类型五、求体积

(2)求三棱锥 A1 ? ABD 的体积, (思考:若求三棱锥 A ? A1 BD 的体积呢?)

类型六、求点到平面的距离(直接法与等体积法)

(3)求点 A 到平面 A1 BD 的距离.

变式练习:

5.如图(4) ,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ABB1 A1 , ACC1 A1 均为正方形, AB ? AC ? 1,

?BAC ? 90 ,点 D 是棱 B1C1 的中点。
(1) 求证: AD1 ? 平面 BB1C1C ; (2) 、求证: AB1 // 平面 A 1 DC ; (3)、求三棱锥 C1 ? ACD 的体积 V 。 1 (4)、求 C1 到平面 A1CD 的距离

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6、如图 4,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面ABCD , AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC , E 为 PC 的 中点, AD ? CD ? 1 , DB ? 2 2 , PD ? 2 . (1)证明: PA // 平面BDE ; (2)证明: AC ? PB ; (3)求三棱锥 E ? ABD 的体积.

图4

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7、 (2013 年高考安徽(文) )如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 .已知

PB ? PD ? 2, PA ? 6 .
(Ⅰ)证明: PC ? BD (Ⅱ)若 E 为 PA 的中点,求三菱锥 P ? BCE 的体积.

8、 ( 2013 年高考广东卷(文) ) 如图 4, 在边长为 1 的等边三角形 ABC 中 , D, E 分别是 AB, AC 边上的 点, AD ? AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 ?ABF 沿 AF 折起,得到如图 5 所示的三棱锥

A ? BCF ,其中 BC ?

2 . 2
(2) 证明: CF ? 平面 ABF ;

A

(1) 证明: DE //平面 BCF ; (3) 当 AD ?

2 时,求三棱锥 F ? DEG 的体积 VF ? DEG . 3

D

G

E

B
A

F 图 4

C

G

E

D F C

B

图 5

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AB // CD , 9. (2012 年高考广东卷 (文) ) 如图 5 所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中,AB ? 平面 PAD , PD ? AD ,

E 是 PB 的中点,F 是 CD 上的点且 DF ?
中 AD 边上的高. (1)证明: PH ? 平面 ABCD ;

1 AB ,PH 为△ PAD 2

(2)若 PH ? 1, AD ? 2 , FC ? 1 ,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面 PAB .

10、 (2014 年高考广东卷(文) )如图 2,四边形 ABCD 为矩形, PD ⊥平面 ABCD , AB ? 1, BC ? PC ? 2 ,作

如图 3 折叠,折痕 EF ∥ DC ,其中点 E , F 分别在线段 PD , PC 上,沿 EF 折叠后点 P 叠在线段 AD 上的点记 为 M ,并且 MF ⊥ CF . (1)证明: CF ⊥平面 MDF ; (2)求三棱锥 M ? CDE 的体积. A B A B M

D E \\ P F P

C E

D F

C

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例 1、 (I) AD ? PD, AD ? DC, PD

DC ? D ? AD ? 面 PDC

AD ? 面 ABCD ? 平面 PDC ? 平面 ABCD
(II) AD / / BC ? ?PAD 是 PA 与 BC 所成角 在 ?ADP 中, AD ? PD, AD ? BC ? 1, PD ? 2

PD ?2 AD 异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2 tan ?PAD ?
(III)过点 P 作 PE ? CD 于点 E ,连接 BE 平面 PDC ? 平面 ABCD ? PE ? 面 ABCD ? ?PBE 是直线 PB 与平面 ABCD 所成角

CD ? PD ? 2, PC ? 2 3 ? ?PDC ? 120? ? PE ? 3, DE ? 1
在 Rt ?BCE 中, BE ?

BC2 ? CE2 ? 10 ? PB ? BE2 ? PE2 ? 13
PE 39 ? PB 13
39 13

在 Rt ?BPE 中, sin ?PBE ?

得:直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 2 、C 3、C

4、 (Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD. 又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 . 由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO . 在 Rt POD 中,由 ?DPO ? 30 ,得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AC ? BD ,所以 角形, 从而梯形 ABCD 的高为

AOD, BOC 均为等腰直角三

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2

S?

1 ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2

在等腰三角形AOD中, OD ?

2 , AD ? 2 2, 2
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所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ?

PD2 ? AD2 ? 4.
1 1 ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3

故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ? 例 2、 (1)证明:连结 DM ,

∵三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面垂直 ∴ M 为 A1 B 的中点.

∴四边形 AA1 B1 B 是矩形,

∵ D 是 AC 的中点, ∴ MD 是三角形 AB1C 的中位线, ∴ MD ∥ B1C . ∵ MD ? 平面 A1 BD , B1C ? 平面 A1 BD ,∴ B1C ∥平面 A1 BD . : (2)∵三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的侧棱与底面垂直 ∴ AA1 ? 平面 ABC ∵

S ?ABD ?

1 1 1 ? 3 S ?ABC ? ? BC ? BA ? sin ? 2 2 2 3 2

∴ V A ? ABD ? 1

1 1 3 1 S ?ABD . AA1 ? ? ? 3? 3 3 2 2

(3)法一、等体积法:设点 A 到平面 A1 BD 的距离为 h, ∵ AA1 ? 平面 ABC

BD ? 3, A1D2 ? AD2 ? A1 A2 ? 4
A1B2 ? B1B2 ? A1B12 ? 7 ,
∴A 1D ? BD ? A 1B ,
2 2 2

∴△ A1 BD 为直角三角形, ?BDA1 为直角, ∴ S ?A1BD ?

1 BD ? A1 D ? 3 , 2

由 VA1 ? ABD

1 ? 3? 3 3. ? VA? A1BD 得 h ? S?ABD ? AA1 ? 2 ? S?A1BD 2 3

法二、直接法:过 A 作

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5、

6.解: (1)证明:如图,设 AC

BD ? F ,连接 EF ,因为 AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC ,

所以 F 为 AC 中点,又因为 E 为 PC 的中点,所以 EF 为 ?PAC 的中位线,所以 PA / / EF , 又因为 EF ? 平面 BDE ,所以 PA // 平面BDE .……………………………………4 分 (2)证明:因为 AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC ,所以 AC ? BD ,又 PD ? 平面ABCD ,

AC ? 平面ABCD ,所以 PD ? AC ,又因为 PD

BD ? D ,

且 PD ? 平面 PBD 、 BD ? 平面 PBD ,所以 AC ? 平面 PBD ,又 PB ? 平面 PBD , 所以 AC ? PB .………………………………………8 分 (3)由(2)知 AF ? BD ,又因为 AD ? CD 、 AD ? CD ? 1 , 所以 AF ?

2 1 1 2 ,所以 S?ABD ? BD ? AF ? ? 2 2 ? ? 1 ;……………………11 分 2 2 2 2

又因为 PD ? 平面ABCD , PD ? 2 , E 为 PC 中点, 所以 E 到平面 ABD 的距离为 h ? 所以 VE ? ABD ?

1 PD ? 1 ;………………13 分 2

1 1 1 S?ABD ? h ? ?1?1 ? , 3 3 3
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即三棱锥 E ? ABD 的体积为

1 .…………………………………………………14 分 3

7、

(1)证明:连接 BD, AC 交于 O 点

PB ? PD ? PO ? BD ? BD ? AC 又? ABCD 是菱形 而 AC ? PO ? O ? BD ⊥面 PAC (2) 由(1) BD ⊥面 PAC

? BD ⊥ PC

S△ PEC ?

2 1 1 ?3 S△ PAC ? ? 6 ? 2 3 ? sin 45? = 6 ? 3 ? 2 2 2
1 1 1 1 ? S ?PEC ? BO ? ? 3 ? ? 2 3 2 2

VP ? BEC ? VB ? PEC ?

8、(1)在等边三角形 ABC 中, AD ?

AE

?

AD AE ? DB EC ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中

也成立,

? DE / / BC ,

DE ? 平面 BCF ,

BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ;

(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①,

BF ? CF ?

1 2.

在三棱锥 A ? BCF 中,

BC ?

2 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ②

BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .
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1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 2 3 ? ? 3 2 ? 3 324
9、 (1)证明:因为 AB ? 平面 PAD , 所以 PH ? AB 。 因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高, 所以 PH ? AD 。 因为 AB AD ? A , 所以 PH ? 平面 ABCD 。 (2)连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 。 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG // PH 。 因为 PH ? 平面 ABCD , 所以 EG ? 平面 ABCD 。 则 EG ? (3)证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 。 因为 E 是 PB 的中点,

1 AB 。 2 1 // AB , 因为 DF ? 2 // 所以 ME ?
// DF , 所以 ME ?
所以四边形 MEDF 是平行四边形, 所以 EF // MD 。 因为 PD ? AD , 所以 MD ? PA 。 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 MD ? AB 。 因为 PA AB ? A , 所以 MD ? 平面 PAB , 所以 EF ? 平面 PAB 。

1 1 PH ? , 2 2

2 1 1 1 。 VE ? BCF ? S ?BCF ? EG ? ? ? FC ? AD ? EG ? 12 3 3 2

10、

解 : (1)证明 : PD ? 平面ABCD, PD ? PCD,? 平面PCD ? 平面ABCD, 平面PCD 平面ABCD ? CD, MD ? 平面ABCD, MD ? CD, ? MD ? 平面PCD, CF ? 平面PCD,? CF ? MD, 又CF ? MF , MD, MF ? 平面MDF , MD ? CF ? 平面MDF . 1 1 (2) CF ? 平面MDF ,? CF ? DF , 又易知?PCD ? 600 ,??CDF ? 300 , 从而CF = CD = , 2 2 1 DE CF DE 2 3 3 3 1 3 EF∥DC ,? ? ,即 = ,? DE ? ,? PE ? , S ?CDE ? CD ? DE ? , DP CP 4 4 2 8 3 2 MD ? ME 2 ? DE 2 ? PE 2 ? DE 2 ? ( 3 3 2 3 6 ) ? ( )2 ? , 4 4 2 MF ? M ,

1 1 3 6 2 ?VM ?CDE ? S ?CDE ? MD ? ? ? ? . 3 3 8 2 16

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