8.1二元一次方程组的教案


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8.1 二元一次方程(组)的教案
海师大附中 王 玲 教学内容:人教版七年级下 8.1 二元一次方程组 P 88-89 教学目标: (一)知识与技能目标 1.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念;会检验一组数值是不是某个 二元一次方程(组)的解。 2.通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型。 (二)过程与方法目标 1. 引导学生对问题观察、分析、归纳、猜想,养成良好的思维习惯。 2. 通过将二元一次方程与二元一次方程(组)有关知识的对比学习,渗透类比的思想 方法。 (三)情感与价值观目标 通过对实际问题的分析, 使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型, 培 养学生良好的数学应用意识, 体验在数学学习活动中探索与创造的乐趣, 通过合作交流学 习,培养他们的团队合作精神,增强学习数学的兴趣和信心。 教学重点: 1、二元一次方程、二元一次方程组的概念及其解的意义; 2、能准确地检验一组数值是不是某个二元一次方程(组)的解。 教学难点: 1、二元一次方程的特殊解; 2、能解决简单的实际问题中二元一次方程(组)的数学建模问题。 教学方法: 以学生熟悉的问题为背景设计问题,引领学生积极思考、认真探究,在探索问题解决途 径的过程中类比学习新概念.问题的解决采取以学生独立思考、相互交流为主,教师讲解点 拨、 归纳提炼为辅的方式进行, 使教学过程成为在教师指导下学生自主探索的学习活动过程. 教学过程: 一.课前小游戏:爱的鼓励的掌声,球场般的掌声。 二.创设情境,导入新课: (投影展示姚明在 NBA 篮球比赛中的图片) 提问 1:(1)同学们,你们喜欢看篮球联赛吗? (2)你们认识图片中的人物吗? (3)那你们知道姚明曾经效力于 NBA 的哪一支球队? (4)有哪位同学知道篮球联赛的比赛规则? 下面我们来看一道篮球联赛的实际问题: 例题:在 NBA 篮球联赛中,比赛规则:每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得 2 分,负 一场得 1 分. 姚明所在的火箭队在 10 场比赛中得到 16 分, 那么这个队胜负场数应 分别是多少? 提问 2:你能用我们学过的方法解决吗? 下面请同学们动手在学案中完成, 并完成思考部分。 (请完成的同学在小组内讨论, 看看哪一个小组的方法最多。 ) 解法分享: 1

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(1)学生1用算术法:10× 1=10(分),16-10=6(分),6÷ (2-1)=6(场)胜, 10-6=4(场)负。 (2)学生2用一元一次方程法:设这个对胜了x场,负了(10-x)场,由题意得: 2x+(10-x)=16。 提问3:请问你是根据什么等量关系列出这个方程的? (设计说明:从学生熟悉的人物引出蓝球联赛的实际问题,增强学生的民族自豪感,引发学 生积极思考并解决问题;还通过交流讨论,培养他们的团队合作精神,增强学习数学的兴趣 和信心。 ) 问题:这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件?如果设这个对胜的场数是 x,负的场数 是 y, 你能用方程把这些条件表示出来吗? 由问题知道,题中包含两个必须同时满足的条件: 胜的场数+负的场数=总场数, 胜场积分+负场积分=总积分. 这两个条件可以用方程 x+y=10 ① , 2x+y=16② 表示. 得到的两个方程是一元一次方程吗 ? 与一元一次方程比较有什么不同? 如果让你给它起 名字,你认为应该叫它什么合适? (学生答:二元一次方程)老师:对,今天我们就来学习8.1二元一次方程(组) (设计说明:新、旧知识对比,不同方法的解决,让学生明确知识学习的延续性。 ) 三.概念的学习: 问题1:什么叫做一元一次方程? 问题2:什么叫做二元一次方程? 请同学们打开课本88页,把二元一次方程的概念划出来: 含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程. 并思考在这个概念中应满足哪些条件?(二元一次方程:?两个未知数;?项的次数都 是1.注意:是整式方程) 。 教师注意清除“项”的次数的困惑。 下面我们再回过头来看篮球联赛中所列的两个方程 x+y=10? 2x+y=16?这里的x,y必 须同时满足方程?与方程?,我们把它们写在一起 x+y=10 2x+y=16 ① ②

就组成了一个二元一次方程组。 请同学们阅读课本88页二元一次方程组的概念: 含有两个未知数,未知数的项的次数都是1,并且一共有两个方程组成的方程组叫做二 元一次方程组. 并找出概念中应满足哪些条件?(二元一次方程组:?两个未知数;?项的次数都是1; ?一共有两个方程。 ) (设计说明: 本环节设计的问题引导学生用类比法在脑海中初步形成二元一次方程的概 念,并从课本的标准概念中找出应满足的条件,加深学生对概念的理解。 ) 【巩固练习一】 1、判断下列方程哪些是二元一次方程,哪些不是?是的打“

”,不是的打“



2

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(1) x ? y ? 11( (3) 2 x ? 6 xy ? 0 (

) )

(2) 3 x ? ? ? 11 ( (4) 7 x ?
2 ? 13 ( y

) )
”,不是的打“ ”

2、判别下列各方程组是不是二元一次方程组,是的打“

x ? 3y ? 4
(1)

2x ? 5 y ? 7



) (2)

m ? 3? n m?k ? 2





pq ? 1
(3)

2p ?q ? 5



) (4)

5y ? 15 3x ? 2 y ? 8





(设计说明:学生应用所学概念进行判断,教师关注其结论更关注得到结论的理由,通过判 断使学生加深对二元一次方程(组)概念的理解及记忆,不断完善他们的认知结构。 ) 问题 3:什么叫做方程的解?什么叫做一元一次方程的解? 问题 4:类比一元一次方程的解的概念,你认为什么叫做二元一次方程的解? 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解。 ( P 89) (1)我们再来看篮球赛中的方程 x ? y ? 10 ,符合问题实际意义的 x 、y 的值有哪些?

x y

0 10

1 9

2 8

3 7

4 6

5 5

6 4

7 3

8 2

9 1

10 0

抛开实际意义,一般地,二元一次方程的解有无数个。 (2)上面篮球赛中的方程 2 x ? y ? 16 ,请填入符合问题实际意义的 x 、y 的值: x y 0 16 1 14 2 12 3 10 4 8 5 6 6 4 7 2 8 0

问题 5:你能不能从这两个表格中找到一组数值同时满足这两个方程? 学生答:

?x ? 6 ? ?y ? 4

(3)什么叫做二元一次方程组的解? 二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. (P 89)

(设计说明:用类比的方法得出二元一次方程解的概念,用填表的方式让学生容易找
到符合问题实际意义的 x,y 的值,也就是二元一次方程的特殊解,然后结合表格数据得出二 元一次方程解的意义, 并进一步体会二元一次方程解的不唯一性。 同时为探究二元一次方程 组的解做好准备,在此基础上利用问题 5,,学生很容易理解两个二元一次方程的公共解,从 而得到二元一次方程组的解的概念) 3

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【巩固练习二】

练习(小组合作交流)
1、下列各组数中,哪几组是方程 x-3y=2 解 B D , 方程组

?x ? 3 y ? 2 ? ?2 x ? y ? 9 ?x ? 5 B? ?y ? 1

AB

,哪几组是方程 2x-y=9 的解 )

的解是( B

? x ? ?1 A? ? y ? ?1

?x ? 3 C? ?y ? 2

?x ? 2 D? ? y ? ?5

(设计说明:通过学生独立完成练习后,小组进行合作交流,从而帮助学生进一步加深对相 关概念的理解。 ) 【实际应用】 (只列方程(组) ,不求解) : 海师附中初一年级组织篮球比赛活动,结束后,初一(4)班为了奖励“运动员”,体育委 员第一次到商店购买了5本笔记本和8支碳素笔, 花费74元; 第二次又去购买了7本笔记本和5 支碳素笔,花费85元。求每本笔记本和每支碳素笔各多少元? 解:设每本笔记本x元,每支碳素笔y 元。 根据题意得:

5 x ? 8 y ? 74 7 x ? 5 y ? 85
【应用扩展】 把一根长7m的钢管截成2m长和1m长两种规格的钢管,怎样截不造成浪费?你有几种不 同的截法? 解:设截成2m长的钢管x根,截成1m长的钢 管 y根;根据题意得:

2x ? y ? 7
?x ? 1 ? ?y ? 5

?x ? 2 ? ?y ? 3

?x ? 3 ? ?y ?1

(设计说明:利用上述两个题目,一方面提高学生分析解决问题的能力,同时进一步体会 涉及多个未知量的问题是广泛存在的,体会学习二元一次方程(组)的必要性,突破本节 课的教学难点,激发学生学习数学的积极性。 ) 四.课堂小结: 本节课学习了哪些内容?你有哪些收获? (什么叫二元一次方程?什么叫二元一次方程组?什么叫二元一次方程(组)的解?如 何检验一组数值是否是二元一次方程(组)的解)

(设计说明:小结中充分体现了学生的主体地位,引导学生从各个方面总结,这样,
既强化了所学的知识, 又培养了学生用语言进行归纳和概括的能力。 教会学生整理知识的能 力,养成正确的学习习惯和良好的数学习惯。 )

4

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五.布置作业: 自我检测: (1)已知方程:①2x+

1 =3;②5xy-1=0;③x2+y=2;④3x-y+z=0;⑤2x-y=3;⑥x+3=5,? 其中 y
. (填序号即可) )

是二元一次方程的有

(2)下列各对数值中是二元一次方程 x+2y=2 的解是(

?x ? 2 A ? ?y ? 0

?x ? 0 ? x ? ?2 B ? c ? ?y ? 1 ?y ? 2

? x ? ?1 D ? ?y ? 0

变式:其中是二元一次方程组 ?

?x ? 2 y ? 2 解是( ) ?2 x ? y ? ?2
是二元一次方程.求 m 、n 的值

(3)若方程

x 2 m?1 ? 5 y 3n ?2 ? 7

(4) 已知下列三对值: x=-6 y=-9 ①哪几对数值使方程 x=10 y=-6 x=10 y=-1

1 x -y=6 的左、右两边的值相等? 2
1 x-y=6 2 2x+31y=-11
的解?

②哪对数值是方程组

(5)写出一个二元一次方程,使它的一个解为 ? (6)求二元一次方程3x+2y=19的正整数解.

? x ? 7, 这样的方程唯一吗? ? y ? 1,

(7)著名的“鸡兔同笼”问题: “今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几何?”

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