山东省聊城市高唐一中2014-2015学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析


山东省聊城市高唐一中 2014-2015 学年高二下学期期末数学试卷 (文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 A.第一象限
2

(i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应的点在() B.第二象限
x

C.第三象限

D.第四象限

2.设集合 A={x|x ﹣2x﹣3<0},B={y|y=e ,x∈R},则 A∩B=() A.(0,3) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,2) 3.函数 A.[﹣2,0)∪(0,2] (﹣1,2] B. 的定义域为() (﹣1,0)∪(0,2] C. [﹣2,2] D.

4.下列四个命题: (1)“?x∈R,2x+5>0”是全称命题; (2)命题“?x∈R,x +5x=6”的否定是“?x0?R,使 x0 +5x0≠6”; (3)若|x|=|y|,则 x=y; (4)若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题. 其中真命题的序号是() A.(1) (2) B.(2) (4) C.(1) (4)
2 2

D.(1) (2) (3) (4)

5.观察数表: 1 2 3 4…第一行 2 3 4 5…第二行 3 4 5 6…第三行 4 5 6 7…第四行 … 第一列第二列第三列第四列 根据数表中所反映的规律,第 n 行与第 n﹣1 列的交叉点上的数应该是() 2 A.2n﹣1 B.2n+1 C.n ﹣1 D.2n﹣2 6.因为 a,b∈R ,a+b≥2 x+ ≥2 ,…小前提
+

,…大前提

所以 x+ ≥2,…结论 以上推理过程中的错误为()

A.小前提 7.已知 m>1, A.a>b C. a<b

B.大前提 ,

C.结论

D.无错误

,则以下结论正确的是() B. a=b D.a,b 的大小不确定

8.下面是一个 2×2 的列联表: y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 54 b 100 则表中 a,b 的值依次为() A.44,54 B.52,54
x

C.54,46

D.52,46

9.已知 ab=1,函数 f(x)=a 与函数 g(x)=﹣logbx 的图象可能是() A. B. C. D.

10.如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数,而函数 y=

在区间 I 上是减函数,那么

称函数 y=f(x)是区间 I 上“缓增函数”,区间 I 叫做“缓增区间”,若函数 f(x)= 是区间 I 上“缓增函数”,则“缓增区间”I 为() A.[1,+∞) B. C.[0,1] D.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.若曲线 f(x)=x ﹣x 在点 P 处的切线平行于直线 3x﹣y=0,则点 P 的坐标为. 12.用反证法证明“若 x ﹣1=0,则 x=﹣1 或 x=1”时,应假设. 13.函数 f(x)对?x∈R 满足条件 f(x+2)= ,如果 f(1)=﹣5,那么 f[f(5)]=.
2 4

14.在解不等式“x +1>0”中,我们有如下解题思路:设 f(x)=x +1,则 f(x) 在 R 上单 3 调递增,且 f(﹣1)=0,所以不等式 x +1>0 的解集是(﹣1,+∞) .类比上述解题思路, x 则不等式 e +x﹣1>0 的解集为. 15.给出下列三个命题: ①若△ ABC 三边为 a,b,c,面积为 S,内切圆的半径 r= ABCD 的内切球半径 R= 个面的面积) ; ,则由类比推理知四面体

3

3

(其中,V 为四面体的体积,S1,S2,S3,S4 为四

②若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程是 =1.23x+0.08; ③若偶函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=f(x) ,且 x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程 f(x) =log3|x|有 3 个根. 其中,正确命题的序号是. (把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知复数 (1)求 z; (2)求实数 a,b 的值. 17.已知全集 U=R,非空集合 (1)当 时,求(?UB)∩A; <0},B={x|(x﹣a) (x﹣a ﹣2)<0}.
2

,若 z +az+b=1﹣i,

2

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们分别到气象局与某 医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数, 得到如下资料: 日期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日 昼夜温差 x (℃) 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y(人) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是: 先从这六组数据中选取 2 组, 用剩下的 4 组数据求线性回归 方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性 回归方程 =bx+a;

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为 得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式:b=

,a= ﹣b . )

19.已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,且 f(3)﹣f(2)=1. (1)若 f(3m﹣2)<f(2m+5) ,求实数 m 的取值范围;

(2)求使

成立的 x 的值.

20.温州某私营公司生产一种产品,根据历年的情况可知,生产该产品每天的固定成本为 14000 元,每生产一件该产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f(x)与产量 x 之 间的关系式为 ,每件产品的售价 g(x)与产量 x 之间的关

系式为



(Ⅰ)写出该公司的日销售利润 Q(x)与产量 x 之间的关系式; (Ⅱ)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润. 21.已知函数 f(x)= x ﹣mlnx+(m﹣1)x,m∈R. (1)若函数 f(x)在 x=2 处有极值,求 m 的值; (2)当 m≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3) 求证: 当 m=﹣2 时, 对任意的 x1, x2∈ (0, +∞) , 且 x1≠x2, 有 >0. +1
2

山东省聊城市高唐一中 2014-2015 学年高二下学期期末 数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 A.第一象限 (i 为虚数单位) ,则 z 在复平面内对应的点在() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求得 z 的坐标得答案. 解答: 解:由 = ,

∴z 在复平面内对应的点的坐标为(

) ,在第三象限角.

故选:C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 2.设集合 A={x|x ﹣2x﹣3<0},B={y|y=e ,x∈R},则 A∩B=() A.(0,3) B.(0,2) C.(0,1) D.(1,2) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 y 的范围确定出 B,找出两集合的交 集即可. 解答: 解:由 A 中不等式变形得: (x﹣3) (x+1)<0, 解得:﹣1<x<3,即 A=(﹣1,3) , x 由 B 中 y=e >0,得到 B=(0,+∞) , 则 A∩B=(0,3) , 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3.函数 A.[﹣2,0)∪(0,2] (﹣1,2] 考点: 专题: 分析: 解答: B. 的定义域为() (﹣1,0)∪(0,2] C. [﹣2,2] D.
2 x

对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 分式的分母不为 0,对数的真数大于 0,被开方数非负,解出函数的定义域. 解:要使函数有意义,

必须:

,所以 x∈(﹣1,0)∪(0,2].

所以函数的定义域为: (﹣1,0)∪(0,2]. 故选 B. 点评: 本题考查对数函数的定义域,函数的定义域及其求法,考查计算能力. 4.下列四个命题: (1)“?x∈R,2x+5>0”是全称命题; 2 2 (2)命题“?x∈R,x +5x=6”的否定是“?x0?R,使 x0 +5x0≠6”; (3)若|x|=|y|,则 x=y; (4)若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题. 其中真命题的序号是() A.(1) (2) B.(2) (4) C.(1) (4)

D.(1) (2) (3) (4)

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据全称命题的定义,全称命题的否定为特称命题,|x|=|y|时 x,y 的关系,p∨q 的真假和 p,q 真假的关系即可判断出每个命题的真假,从而得到正确选项. 解答: 解: (1)根据全称命题的定义知该命题为真命题; (2)全称命题的否定为特称命题; ∴命题“?x∈R,x +5x=6”的否定是“?x0∈R,使
2

”;

∴该命题为假命题; (3)若|x|=|y|,则 x=±y; 即不一定得到 x=y; ∴该命题为假命题; (4)该命题为真命题; ∵若 p,q 中若有一个为真命题,则 p∨q 为真命题; ∴p,q 只能都为假命题; ∴真命题的序号为(1) (4) . 故选 C. 点评: 考查全称命题的定义,全称命题的否定为特称命题,对于|x|=|y|去绝对值号后,清 楚 x,y 的关系,以及 p∨q 的真假和 p,q 真假的关系. 5.观察数表: 1 2 3 4…第一行 2 3 4 5…第二行 3 4 5 6…第三行 4 5 6 7…第四行 … 第一列第二列第三列第四列 根据数表中所反映的规律,第 n 行与第 n﹣1 列的交叉点上的数应该是() 2 A.2n﹣1 B.2n+1 C.n ﹣1 D.2n﹣2 考点: 归纳推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由给出排列规律可知,第一行第一列交叉点上的数是 1,第 2 行第 2 列交叉点上的 数是 3,…,第 n 行与第 n 列交叉点上的数构成一个等差数列,先求出第 n 行与第 n 列的交 叉点上的数,进而可得第 n 行与第 n﹣1 列的交叉点上的数. 解答: 解:由给出排列规律可知, 第一行第一列交叉点上的数是 1, 第 2 行第 2 列交叉点上的数是 3, …, 交叉点上的数构成一个等差数列. 第 n 行与第 n 列交叉点上的数是 2n﹣1, 故第 n 行与第 n﹣1 列的交叉点上的数为:2n﹣2, 故选:D

点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的 相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . 6.因为 a,b∈R ,a+b≥2 x+ ≥2 ,…小前提
+

,…大前提

所以 x+ ≥2,…结论 以上推理过程中的错误为() A.小前提 B.大前提

C.结论

D.无错误

考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 阅读型. 分析: 演绎推理是由一般到特殊的推理, 是一种必然性的推理, 演绎推理得到的结论不一 定是正确的,这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确,演绎推理一般模式是“三段 论”形式,即大前提小前提和结论. 解答: 解:∵ ,

这是基本不等式的形式,注意到基本不等式的使用条件,a,b 都是正数, 是小前提,没有写出 x 的取值范围, ∴本题中的小前提有错误, 故选 A. 点评: 本题考查演绎推理的意义, 演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理 模式,演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系.

7.已知 m>1, A.a>b C. a<b



,则以下结论正确的是() B. a=b D.a,b 的大小不确定

考点: 不等式比较大小. 专题: 综合题;转化思想;综合法. 分析: 对两个数的形式进行分子有理化,通过比较分母即可得到两数的大小. 解答: 解: 由于 , , ,

故 a<b; 故选 C. 点评: 本题考查不等式比较大小,为了比较的方便,本题采取了分子有理化的技巧,做题 时要注意灵活变形,达到做题目的. 8.下面是一个 2×2 的列联表:

y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 合计 54 b 100 则表中 a,b 的值依次为() A.44,54 B.52,54

C.54,46

D.52,46

考点: 独立性检验. 专题: 概率与统计. 分析: 由列联表中数据的关系,可知 a+21=73(或 a+2=54) ,21+25=b(或 54+b=100) , 求得答案. 解答: 解:由列联表中数据的关系,可知: a+21=73(或 a+2=54) , 21+25=b(或 54+b=100) , 解得:a=52,b=46. 故选:D. 点评: 本题考查了列联表的做法,难度不大,属于基础题. 9.已知 ab=1,函数 f(x)=a 与函数 g(x)=﹣logbx 的图象可能是() A. B. C. D. 考点: 对数函数的图像与性质;指数函数的图像与性质. 专题: 计算题. 分析: 根据对数的运算性质,根据 ab=1,进而化简函数 g(x)的解析式,然后根据反函 数的定义,判断出函数 f(x)与 g(x)的关系,然后对题目中的四个答案逐一进行比照, 即可得到答案. 解答: 解:∵ab=1 ∴f(x)=﹣logbx=logax x 则函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)与 g(x)=﹣logbx(b>0 且 b≠1)互为反函数 x 故函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)与 g(x)=﹣logbx(b>0 且 b≠1)的图象关于直线 y=x 对 称 故选 B 点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质, 指数函数的图象与性质, 反函数的图 象,其中利用对数运算性质,及反函数的定义,分析出函数 f(x)与 g(x)的关系,是解 答本题的关键.
x

10.如果函数 y=f(x)在区间 I 上是增函数,而函数 y=

在区间 I 上是减函数,那么

称函数 y=f(x)是区间 I 上“缓增函数”,区间 I 叫做“缓增区间”,若函数 f(x)= 是区间 I 上“缓增函数”,则“缓增区间”I 为() A.[1,+∞) B. C.[0,1] D.

考点: 函数单调性的判断与证明.

专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意,求 f(x)= 从而求缓增区间. 解答: 解:f(x)= y= = x﹣1+ , 在区间[1,+∞)上是增函数, 的增区间,再求 y= = x﹣1+ 的减函数,

y′= ﹣ ?

=



故 y=

= x﹣1+

在[﹣



]上是减函数,

故“缓增区间”I 为[1, ]; 故选 D. 点评: 本题考查了函数的性质应用,属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置. 4 11.若曲线 f(x)=x ﹣x 在点 P 处的切线平行于直线 3x﹣y=0,则点 P 的坐标为(1,0) . 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 先设切点坐标,根据导数的几何意义求出函数 f(x)在 x=m 处的导数,根据切线 的斜率等于函数 f(x)在 x=m 处的导数建立等式,解之即可. 解答: 解:设切点坐标为(m,m ﹣m) 3 则 f(m)=4m ﹣1=3 解得:m=1 则点 P 的坐标为(1,0) 故答案为: (1,0) 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程, 以及解方程等基础题知识, 考 查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,属于基础题. 12.用反证法证明“若 x ﹣1=0,则 x=﹣1 或 x=1”时,应假设 x≠﹣1 且 x≠1. 考点: 反证法与放缩法. 专题: 证明题;推理和证明. 2 分析: 根据命题的否定的定义,求得命题“若 x ﹣1=0,则 x=﹣1 或 x=1”的否定为,即为 所求. 解答: 解:用反证法证明数学命题时,把要证的结论进行否定,得到要证的结论的否定. 2 2 而命题“若 x ﹣1=0,则 x=﹣1 或 x=1”的否定为:“若 x ﹣1=0,则 x≠﹣1 且 x≠1”, 故答案为:x≠﹣1 且 x≠1. 点评: 本题主要考查用命题的否定, 反证法证明数学命题的方法和步骤, 把要证的结论进 行否定,得到要证的结论的反面,是解题的突破口,属于中档题.
2 4

13.函数 f(x)对?x∈R 满足条件 f(x+2)=

,如果 f(1)=﹣5,那么 f[f(5)]=



考点: 函数的周期性;函数的值. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 利用关系式求出函数的周期,然后求解 f(5) ,再去求解所求的表达式的值. 解答: 解:∵f(x+2)= ∴f(x+4)= = , =f(x) ,

所以函数的周期是:4. f[f(5)]=f[f(4+1)]=f[f(1)]=f(﹣5)=f(﹣1)= 故答案为: . = .

点评: 本题考查函数值的求法,函数的周期的应用,考查计算能力. 14.在解不等式“x +1>0”中,我们有如下解题思路:设 f(x)=x +1,则 f(x) 在 R 上单 3 调递增,且 f(﹣1)=0,所以不等式 x +1>0 的解集是(﹣1,+∞) .类比上述解题思路, x 则不等式 e +x﹣1>0 的解集为(0,+∞) . 考点: 类比推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由已知中解不等式“x +1>0”的思路,我们可以构造函数 f(x)=e +x﹣1,分析函 x 数的单调性和零点,进而得到不等式 e +x﹣1>0 的解集. 3 解答: 解:由解不等式“x +1>0”中, 3 设 f(x)=x +1,则 f(x) 在 R 上单调递增,且 f(﹣1)=0, 3 所以不等式 x +1>0 的解集是(﹣1,+∞) . x 类比可得,在解答不等式 e +x﹣1>0 时, x 设 f(x)=e +x﹣1,则 f(x) 在 R 上单调递增,且 f(0)=0, x 所以不等式 e +x﹣1>0 的解集是(0,+∞) . 故答案为: (0,+∞) 点评: 类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事 物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 15.给出下列三个命题: ①若△ ABC 三边为 a,b,c,面积为 S,内切圆的半径 r= ABCD 的内切球半径 R= ,则由类比推理知四面体
3 x 3 3

(其中,V 为四面体的体积,S1,S2,S3,S4 为四

个面的面积) ; ②若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) ,则回归直线方程是 =1.23x+0.08;

③若偶函数 f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=f(x) ,且 x∈[0,1]时,f(x)=x,则方程 f(x) =log3|x|有 3 个根. 其中,正确命题的序号是①②. (把你认为正确命题的序号都填上) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用等积法判断①正确; 由线性回归直线经过样本中心点判断②正确; 首先分析方程 f(x)=log3|x|在 x>0 时根的个数,然后结合偶函数的性质说明③错误. 解答: 解:对于①,△ ABC 三边为 a,b,c,面积为 S,内切圆的半径 r, 则 S= V= ∴R= ,即 r= ,类比四面体 ABCD, , .故命题①正确;

对于②,若回归直线的斜率估计值是 1.23,样本点的中心为(4,5) , 则 a=5﹣1.23×4=0.08. ∴回归直线方程是 =1.23x+0.08.故命题②正确; 对于③,函数 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且 x∈[0,1]时,f(x)=x, 又当 x>0 时方程 f(x)=log3|x|有两个根 x1∈[1,2],x2=3. 则由对称性可知,方程 f(x)=log3|x|有 4 个根.命题③错误. 故答案为:①②. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,考查了类比推理,训练了函数零点的判断方法, 是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知复数 (1)求 z; (2)求实数 a,b 的值. 考点: 复数代数形式的乘除运算;复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 2 2 分析: (1) (1﹣i) =1﹣2i+i =﹣2i,再由复数除法知识,分子分母同乘以 2+i,化简整 理即可. 2 (2)把 Z=1+i 代入 z +az+b=1﹣i,整理成 x+yi 形式,由复数相等知识实部、虚部分别相等, 列方程组求解. 解答: 解: (1)
2

,若 z +az+b=1﹣i,

2


2

(2)把 Z=1+i 代入 z +az+b=1﹣i,即(1+i) +a(1+i)+b=1﹣i, 得 a+b+(2+a)i=1﹣i.

所以 解得 a=﹣3;b=4 所以实数 a,b 的值分别为﹣3,4 点评: 本题考查复数的基本运算和复数相等等知识,属基本运算的考查.
2

17.已知全集 U=R,非空集合 (1)当 时,求(?UB)∩A;

<0},B={x|(x﹣a) (x﹣a ﹣2)<0}.

(2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (1) 时,A={x|2<x<3},B={x| }.全集 U=R,由此能求出(CUB)

∩A. (2)由命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,q 是 p 的必要条件,知 A?B.由此能求出实数 a 的取 值范围. 解答: 解: (1)∵ 时, <0}={x|2<x<3}, }.

B={x|(x﹣ ) (x﹣ ﹣2)<0}={x| 全集 U=R, ∴CUB={x|x ,或 x }.

∴(CUB)∩A={x| ≤x<3}; (2)∵命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,q 是 p 的必要条件, ∴A?B. ∵a +2﹣a=(a﹣ ) + ≥ , ∴a +2>a, 2 ∵A={x|2<x<3},B={x|(x﹣a) (x﹣a ﹣2)<0}, ∴ ,解得 a≤﹣1 或 1≤a≤2,
2 2 2

故实数 a 的取值范围(﹣∞,﹣1],[1,2]. 点评: 本题考查集合的混合运用, 考查实数满足条件的取值范围的求法, 解题时要认真审 题,注意集合的包含的合理运用. 18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系, 他们分别到气象局与某 医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数, 得到如下资料: 日期 1 月 10 日 2 月 10 日 3 月 10 日 4 月 10 日 5 月 10 日 6 月 10 日

昼夜温差 x (℃) 10 11 13 12 8 6 就诊人数 y(人) 22 25 29 26 16 12 该兴趣小组确定的研究方案是: 先从这六组数据中选取 2 组, 用剩下的 4 组数据求线性回归 方程,再用被选取的 2 组数据进行检验. (1)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性 回归方程 =bx+a;

(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为 得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

(参考公式:b=

,a= ﹣b . )

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据所给的数据,求出 x,y 的平均数,根据求线性回归方程系数的方法,求 出系数 b,把 b 和 x,y 的平均数,代入求 a 的公式,做出 a 的值,写出线性回归方程. (2)根据所求的线性回归方程,预报当自变量为 10 和 6 时的 y 的值,把预报的值同原来表 中所给的 10 和 6 对应的值做差,差的绝对值不超过 2,得到线性回归方程理想 解答: 解: (1)由表中数据求得 =11, =24,

由 b=

=

=



a= ﹣b =24﹣

×11=﹣ = , x﹣ …

y 关于 x 的线性回归方程 (2)当 x=10 时, | ﹣22|= <2; = ,| =

当 x=6 时,

﹣12|= <2.

所以,该小组所得线性回归方程是理想的.… 点评: 本题考查线性回归方程的求法,考查线性分析的应用,考查解决实际问题的能力, 是一个综合题目,这种题目可以作为解答题出现在 2015 届高考卷中. 19.已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1) ,且 f(3)﹣f(2)=1.

(1)若 f(3m﹣2)<f(2m+5) ,求实数 m 的取值范围; (2)求使 成立的 x 的值.

考点: 对数函数图象与性质的综合应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由条件 f(3)﹣f(2)=1,求出 a 的值,然后利用对数的单调性解不等式 f (3m﹣2)<f(2m+5) ,即可求实数 m 的取值范围; (2)直接利用对数的性质解对数方程即可. 解答: 解:∵f(3)﹣f(2)=1, ∴f(3)﹣f(2)=loga3﹣loga2=loga =1, ∴ . . x 在定义域(0,+∞)上单调递增,

(1)∵

∴函数 f(x)=log

若 f(3m﹣2)<f(2m+5) ,



,即



∴ (2)若

. =f( ) ,

则 ∴

, 满足条件.

点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质, 以及利用对数函数的单调性解不等式, 考查 学生的运算能力. 20.温州某私营公司生产一种产品,根据历年的情况可知,生产该产品每天的固定成本为 14000 元,每生产一件该产品,成本增加 210 元.已知该产品的日销售量 f(x)与产量 x 之

间的关系式为

,每件产品的售价 g(x)与产量 x 之间的关

系式为



(Ⅰ)写出该公司的日销售利润 Q(x)与产量 x 之间的关系式; (Ⅱ)若要使得日销售利润最大,每天该生产多少件产品,并求出最大利润. 考点: 函数模型的选择与应用;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: (I)先求出总成本 c(x)的函数,然后根据日销售利润 Q(x)=f(x)g(x)﹣c (x)求出所求; (II)讨论 x 的范围,然后利用导数研究函数的最值,分别求出最值,从而求出整个函数的 最值,从而得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)总成本为 c(x)=14000+210x. 所以日销售利润 Q(x)=f(x)g(x)﹣c(x) = (Ⅱ)①当 0≤x≤400 时, .



令 Q′(x)=0,解得 x=100 或 x=700. 于是 Q(x)在区间[0,100]上单调递减,在区间[100,400]上单调递增, 所以 Q(x)在 x=400 时取到最大值,且最大值为 30000; ②当 x>400 时,Q(x)=﹣210x+114000<30000. 综上所述,若要使得日销售利润最大,每天该生产 400 件产品,其最大利润为 30000 元. 点评: 本题考查了分段函数, 以及函数与方程的思想, 属于基础题. 函数模型为分段函数, 求分段函数的最值, 应先求出函数在各部分的最值, 然后取各部分的最值的最大值为整个函 数的最大值,取各部分的最小者为整个函数的最小值. 21.已知函数 f(x)= x ﹣mlnx+(m﹣1)x,m∈R. (1)若函数 f(x)在 x=2 处有极值,求 m 的值; (2)当 m≤0 时,讨论函数 f(x)的单调性; (3) 求证: 当 m=﹣2 时, 对任意的 x1, x2∈ (0, +∞) , 且 x1≠x2, 有 >0. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数的导数,通过 f′(2)=0,解出 m 的值即可; (2)先求出函数的导数,通过讨论 m 的范围,求出函数的单调区间; +1
2

(3)将 m=﹣2 代入,问题转化为证明:f(x2)+x2>f(x1)+x1,通过讨论函数的单调性 证明即可. 解答: 解: (1)f′(x)=x﹣ +m﹣1, ∵函数 f(x)在 x=2 处有极值, ∴f′(2)=2﹣ +m﹣1=0,解得:m=﹣2, 经检验,m=﹣2 符合题意, ∴m=﹣2; (2)f(x)的定义域为(0,+∞) , f′(x)=x﹣ +m﹣1= ,

①当 m=0 时,f′(x)=x﹣1,∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数, x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; ②当 0<﹣m<1 即﹣1<m<0 时,x∈(0,﹣m)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(﹣m,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数, x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; ③当﹣m=1,即 m=﹣1 时, f′(x)= ≥0,f(x)在(0,+∞)上为增函数;

④当﹣m>1,即 m<﹣1 时, x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; x∈(1,﹣m)时,f′(x)<0,f(x)为减函数, x∈(﹣m,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数 综上所述:当 m=0 时,f(x)的单调递增区间是(1,+∞) , 单调递减区间是(0,1) , 当﹣1<m<0 时,f(x)的单调递增区间是(0,﹣m) , (1,+∞) , 单调递减区间是(﹣m,1) 当 m=﹣1 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞) ,无单调递减区间 当 m<﹣1 时,f(x)的单调递增区间是(0,1) , (﹣m,+∞) , 单调递减区间是(1,﹣m) ; (3)不妨设 0<x1<x2,要证明 即证:f(x2)+x2>f(x1)+x1, 当 m=﹣2 时,函数 f(x)= x +2lnx﹣3x, 设 h(x)=f(x)+x= x +2lnx﹣2x,
2 2

+1>0,

则 h′(x)=x+ ﹣2=

>0,

所以 h(x)在(0,+∞)上是增函数

故对任意的 0<x1<x2,有 h(x2)>h(x1) , 所以 f(x2)+x2>f(x1)+x1,即 +1>0,命题得证.

点评: 本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,不等式的证明,本题有一 定的难度.


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