高考专题辅导与测试第1部分 专题六 第三讲 高考中的概率与统计(解答题型)


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第1部分

专题六 算法、复数、推理与证 明、概率与统计

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第三讲

高考中的概率与统计(解答题型)

第三讲

高考中的概率与统计?解答题型?

考点统计 古典概型 3年9考

考情分析

1.古典概型与互斥事件、对立事件 相结合命题,主要考查古典概型的概 概率与统计 3年20考 率的求法,如2013年辽宁T . 19 的综合问题 2.古典概型与统计问题相结合命 题,与实际生活相结合,考查学生应 用知识解决实际问题的能力,如2013 回归分析与 3年6考 年广东T . 独立性检验 17 3.线性回归分析或独立性检验也 是考查的重点.
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1.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为 1,2,3; 蓝色卡片两张,标号分别为 1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同 且标号之和小于 4 的概率; (2)向袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片,从这六张卡 片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率.
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高考中的概率与统计(解答题型)

解:(1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A,B,C,标号 为1,2的两张蓝色卡片分别记为D,E,从五张卡片中任取两张 的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E), (B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10 种. 由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出 现是等可能的. 从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号 之和小于4的结果为:(A,D),(A,E),(B,D),共3种.
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3 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为 . 10 (2)记 F 为标号为 0 的绿色卡片,从六张卡片中任取两张的所有 可能的结果为: (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D), (B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F), (E,F),共 15 种.

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由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事件的出现 是等可能的. 从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们的标号之 和小于 4 的结果为:(A,D),(A,E),(B,D),(A,F),(B, F),(C,F),(D,F),(E,F),共 8 种. 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于 4 的概率为 8 . 15

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2.(2013· 广东高考)从一批苹果中,随机抽取50个,其重量 (单位:克)的频数分布表如下:

分组(重量)
频数(个)

[80,85)
5

[85,90)
10

[90,95)
20

[95,100)
15

(1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共 抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个? (3)在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和 [95,100)中各有1个的概率.
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解:(1)由题意知苹果的样本总数n=50,在[90,95)的频数是 20, 20 ∴苹果的重量在[90,95)的频率是 =0.4. 50 (2)设从重量在[80,85)的苹果中抽取x个,则从重量在[95,100) 的苹果中抽取(4-x)个. ∵表格中[80,85),[95,100)的频数分别是5,15, ∴5∶15=x∶(4-x),解得x=1. 即重量在[80,85)的有1个.
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(3)在(2)中抽出的4个苹果中,重量在[80,85)中的有1个,记为 a,重量在[95,100)中的有3个,记为b1,b2,b3,任取2个,有 ab1,ab2,ab3,b1b2,b1b3,b2b3共6种不同方法.记基本事件 总数为n,则n=6,其中重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的 事件记为A,事件A包含的基本事件为ab1,ab2,ab3,共3个, 3 1 由古典概型的概率计算公式得P(A)= = . 6 2

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古典概型的概率

[例1]

(2013· 天津高考)某产品的三个质量指标分别为x,

y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4, 则该 产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样 本,其质量指标列表如下:

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产品编号
质量指标

A1
(1,1,2) A6 (1,2,2)

A2
(2,1,1) A7

A3
(2,2,2) A8

A4
(1,1,1) A9

A5
(1,2,1) A10

(x, y, z)
产品编号 质量指标 (x, y, z)

(2,1,1)

(2,2,1)

(1,1,1)

(2,1,2)

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(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中, 随机抽取2件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件B为“在取出的2件产品中, 每件产品的综合指 标S都等于4”, 求事件B发生的概率.

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[自主解答]

(1)计算 10 件产品的综合指标 S,如下表:

产品 编号 S

A1
4

A2
4

A3
6

A4
3

A5
4

A6
5

A7
4

A8
5

A9
3

A10
5

其中 S≤4 的有 A1,A2,A4,A5,A7,A9,共 6 件,故该 6 样本的一等品率为10=0.6,从而可估计该批产品的一等品率 为 0.6.

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(2)①在该样本的一等品中, 随机抽取 2 件产品的所有可能结 果为{A1,A2},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A7},{A1,A9},{A2, A4},{A2,A5},{A2,A7},{A2,A9},{A4,A5},{A4,A7},{A4, A9},{A5,A7},{A5,A9},{A7,A9},共 15 种. ②在该样本的一等品中, 综合指标 S 等于 4 的产品编号分别 为 A1,A2,A5,A7,则事件 B 发生的所有可能结果为{A1,A2}, {A1,A5},{A1,A7},{A2,A5},{A2,A7},{A5,A7},共 6 种. 6 2 所以 P(B)=15=5.
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——————————规律· 总结———————————— 古典概型的求法

求古典概型的概率关键是准确计算m与n的值,常借助表 格、树状图以及列举法进行计算.基本事件的列举要按照一 定的顺序,否则容易遗漏或重复.
———————————————————————————

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1.现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为 6,7,8,9的四道不同的历史题.甲同学从这九道题中一次性随 机抽取两道题,每道题被抽到的概率是相等的,用符号(x,y) 表示事件“抽到的两道题的编号分别为x、y,且x<y”. (1)问有多少个基本事件,并列举出来; (2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的 概率.

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解:(1)共有36个等可能的基本事件,列举如下:(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1,9),(2,3),(2,4), (2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7), (3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7), (5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9).

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(2)记“甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11” 为事件A, 则事件A为“x,y∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9},且x+y∈[11,17),其中 x<y”. 由(1)可知事件A共包含15个基本事件,列举如下:(2,9),(3,8), (3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7), 15 5 (6,8),(6,9),(7,8),(7,9),共15个,所以P(A)= = . 36 12 即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率 5 为 . 12
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概率与统计的综合问题
[例2] (2013· 陕西高考)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比

赛,由500名大众评委现场投票决定歌手名次.根据年龄将大众评 委分为五组,各组的人数如下:

组别

A

B

C

D

E

人数

50

100

150

150

50

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高考中的概率与统计(解答题型)

(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况,现用分层抽样方 法从各组中抽取若干评委,其中从B组抽取了6人,请将其余 各组抽取的人数填入下表:

组别 人数 抽取人数

A 50

B 100 6

C 150

D 150

E 50

(2)在(1)中,若A,B两组被抽到的评委中各有2人支持1 号歌手,现从这两组被抽到的评委中分别任选 人都支持1号歌手的概率.
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1人,求这2

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[自主解答]

(1)由题设知,分层抽样的抽取比例为

6%,所以各组抽取的人数如下表:

组别 人数

A 50

B 100

C 150

D 150

E 50

抽取人数

3

6

9

9

3

(2)记从 A 组抽到的 3 位评委为 a1,a2,a3,其中 a1,a2 支持 1 号歌手;从 B 组抽到的 6 位评委为 b1,b2,b3,b4,b5, b6,其中 b1,b2 支持 1 号歌手.从{a1,a2,a3}和{b1,b2,b3, b4,b5,b6}中各抽取 1 人的所有结果为:
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由以上树状图知所有结果共 18 种, 其中 2 人都支持 1 号歌手的有 a1b1,a1b2,a2b1,a2b2 共 4 种,故所求概率 P 4 2 =18=9.

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本例(2)中,若从 A,B 两组被抽到的评委中有 2 人支持 1 号歌手,那么这两人来自不同组的概率是多少?
解:记从 A 组抽到 3 位评委为 a1,a2,a3,从 B 组抽到 6 位评委为 b1,b2,b3,b4,b5,b6.其中有 2 人支持 1 号歌手的 所有结果为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3), (a1,b4),(a1,b5),(a1,b6),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2, b3),(a2,b4),(a2,b5),(a2,b6),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3), (a3,b4),(a3,b5),
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(a3,b6),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b1,b5),(b1,b6),(b2, b3),(b2,b4),(b2,b5),(b2,b6),(b3,b4),(b3,b5),(b3,b6), (b4,b5),(b4,b6),(b5,b6),共 36 种结果,来自不同组的结 果有(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a1,b5),(a1,b6), (a2,b1),(a2,b2), ?a2,b3?,?a2,b4?,?a2,b5?,?a2,b6?, ?a3,b1?,?a3,b2?,?a3,b3?,?a3,b4?,?a3,b5?,?a3,b6?,共 18 1 18 种结果,故所求概率为 = 36 6

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——————————规律· 总结————————————
解答概率与统计相结合的综合问题应注意 (1)明确频率与概率的关系,频率可近似替代概率; (2)此类问题中的概率模型多是古典概型, 在求解时要明确 基本事件的构成.

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2. 12 届全运会于 2013 年 8 月 31 日在辽宁沈阳举行, 第 组委会 在沈阳某大学招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者,将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位:cm),身高 在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子”,身高在 175 cm 以下(不包括 175 cm)定义为“非高个子”.

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男 9 15 7 7 8


9 9

8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 0 17 2 3 4 5 6 7 4 1 18 0 1 1 19 (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共
抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,求至少有一人是“高个子” 的概率; (2)若从身高 180 cm 以上(包括 180 cm)的志愿者中选出男、女 各一人,求这 2 人身高相差 5 cm 以上的概率.
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9 5 2

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解:(1)根据茎叶图知,“高个子”有 12 人,“非高个子”有 5 1 18 人.用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是 = ,所 30 6 1 以抽取的 5 人中,“高个子”有 12× =2 人,“非高个子”有 6 1 18× =3 人. 6 “高个子”用 A,B 表示,“非高个子”用 a,b,c 表示,则 从这 5 人中选 2 人的情况有:(A,B),(A,a),(A,b),(A,c), (B,a),(B,b),(B,c),(a,b),(a,c),(b,c),共 10 种.
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至少有一名“高个子”被选中的情况有:(A,B),(A,a),(A, b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共 7 种. 7 因此,至少有一人是“高个子”的概率是 P=10. (2)由茎叶图知,有 5 名男志愿者身高在 180 cm 以上(包括 180 cm),身高分别为 181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm;有 2 名女志愿者身高在 180 cm 以上(包括 180 cm),身高分别为 180 cm,181 cm.抽出的 2 人用身高表示, 则有: (181,180), (181,181), (182,180), (182,181), (184,180), (184,181), (187,180), (187,181), (191,180),(191,181),共 10 种情况.
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身高相差 5 cm 以上的有:(187,180),(187,181),(191,180), (191,181),共 4 种情况,故这 2 人身高相差 5 cm 以上的概 4 2 率为10=5.

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线性回归分析
[例 3] (2013· 重庆高考)从某居民区随机抽取 10 个家庭,

获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元) 的数据资料,算得 ?
i ?1 10

x =80, ?
i
i ?1

10

y =20, ?
i
i ?1

10

x y =184, ?
i i
i ?1

10

x2=720. i

(1)求家庭的月储蓄 y 对月收入 x 的线性回归方程 y=bx+a; (2)判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为 7 千元, 预测该家庭的月储蓄.

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n

[自主解答] 1? 20 n yi=10=2.
n i ?1

1? 80 - (1)由题意知 n=10, =n xi= =8,y = x 10
i ?1

又?
i ?1

n

xi2-n- 2=720-10×82=80, ?1 x i?

n

xiyi-n- - =184 x y

-10×8×2=24, xiyi-n- - 24 x y 由此可得 b= ? 2 = =0.3,a=--b-=2 y x 80 -2 ?xi -n x
i ?1 n i ?1

?

n

-0.3×8=-0.4,

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故所求回归方程为 y=0.3x-0.4. (2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b=0.3>0),故 x 与 y 之间是正相关. (3)将 x=7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为 y= 0.3×7-0.4=1.7(千元).

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——————————规律· 总结———————————— 进行线性回归分析时应注意的问题

^ ^ (1)正确理解计算b 、a 的公式和准确的计算,是求线性回归方 程的关键. (2)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散点 图来确定两个变量之间是否具有相关关系, 若具有线性相关关系, 则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.
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3.为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现 在从 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究,且分别记 录了每天昼夜温差与每天 100 颗种子浸泡后的发芽数,得 到如下表格:

日期 温差x/℃

4月1日 10

4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 11 13 12 8

发芽数y/颗

23

25

30

26

16

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(1)从这 5 天中任选 2 天,记发芽的种子数分别为 m,n,求事件 “m,n 均不小于 25”的概率; (2)从这 5 天中任选 2 天, 若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两 组数据,请根据这 5 天中的另 3 天的数据,求出 y 关于 x 的线 ^ ^ ^ 性回归方程y =b x+a ; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误 差均不超过 2 颗, 则认为得到的线性回归方程是可靠的, 试问(2) 中所得的线性回归方程是否可靠?

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解:(1)所有的基本事件为(23,25),(23,30),(23,26),(23,16), (25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共 10 个. 设“m,n 均不小于 25”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件 为(25,30),(25,26),(30,26),共 3 个. 3 所以 P(A)= . 10

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(2)由数据得,另 3 天的平均数 x =12, y =27,3 x y =972,3 x 2 =432, ? xiyi=977, ? x2=434, i
i ?1 i ?1 n n

977-972 5 ^= ^=27-5×12=-3, 所以b = ,a 2 434-432 2 ^=5x-3. 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y 2 ^ ^ (3)依题意得,当 x=10 时,y =22,|22-23|<2;当 x=8 时,y =17,|17-16|<2, 所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的.
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独立性检验
[例 4] (2013· 福建高考)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)

工人 300 名,25 周岁以下工人 200 名.为研究工人的日平均生 产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年 龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组, 再将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60),[60,70), [70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率 分布直方图.
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(1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 人, 求至少抽到一名“25 周岁以下组”工人的概率; (2)规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”,请你 根据已知条件完成 2×2 列联表,并判断是否有 90%的把握认 为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?

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附:

P(χ2≥k)

0.100

0.050

0.010

0.001

k
[自主解答]

2.706

3.841

6.635

10.828

(1)由已知得,样本中有 25 周岁以上组工人

60 名,25 周岁以下组工人 40 名. 所以,样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周 岁以上组工人有 60×0.05=3(人),记为 A1,A2,A3;25 周岁 以下组工人有 40×0.05=2(人),记为 B1,B2.

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从中随机抽取 2 名工人,所有可能的结果共有 10 种,它 们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2, B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2). 其中,至少 1 名“25 周岁以下组”工人的可能结果共有 7 种,它们是(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3, 7 B1),(A3,B2),(B1,B2),故所求的概率 P= . 10

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(2)由频率分布直方图可知, 在抽取的 100 名工人中, “25 周岁以上组”中的生产能手有 60×0.25=15(人), “25 周岁以 下组”中的生产能手有 40×0.375=15(人),据此可得 2×2 列 联表如下:

生产能手 非生产能手 总计

25周岁以上组
25周岁以下组 总计

15
15 30

45
25 70

60
40 100

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高考中的概率与统计(解答题型)

n?ad-bc?2 所以得 χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? 100×?15×25-15×45?2 25 = =14≈1.79. 60×40×30×70 因为 1.79<2.706, 所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的 年龄组有关”.

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高考中的概率与统计(解答题型)

——————————规律· 总结————————————

进行独立性检验的步骤 (1)假设两个分类变量 X 与 Y 无关; (2)找相关数据,列出 2×2 列联表; n?ad-bc?2 (3)由公式 K2= (其中 n=a+b+c ?a+b??c+d??a+c??b+d? +d)计算出 K2 的值; (4)将 K2 的值与临界值进行对比,进而做出统计推断. ———————————————————————————

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高考中的概率与统计(解答题型)

4.气象部门提供了某地区今年六月份(30 天)的日最高气温的 统计表:

日最高气温

t(单位:℃)
天数

t≤22 6

22<t≤28 12

28<t≤32 Y

t>32 Z

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高考中的概率与统计(解答题型)

由于工作疏忽,统计表被墨水污染,数据 Y 和 Z 不清楚,但 气象部门提供的资料显示,六月份的日最高气温不高于 32 ℃ 的频率为 0.9. (1)若把频率看作概率,求 Y,Z 的值; (2)把日最高气温高于 32 ℃称为本地区的“高温天气”,根据 已知条件完成下面 2×2 列联表,并据此推测是否有 95%的把 握认为本地区的“高温天气”与西瓜“旺销”有关?说明理 由.

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高考中的概率与统计(解答题型)

高温天气

非高温天气

总计

旺销
不旺销 总计

1
6

解:(1)由已知得:P(t≤32)=0.9, P(t>32)=1-P(t≤32)=0.1, Z=30×0.1=3, Y=30-(6+12+3)=9.

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高考中的概率与统计(解答题型)

(2)由题意得到如下 2×2 列联表:

高温天气 旺销 不旺销 总计 1 2 3

非高温天气 21 6 27

总计 22 8 30

n?ad-bc?2 30×?1×6-2×21?2 K2= = ≈2.727, ?a+b??c+d??a+c??b+d? 3×27×22×8 ∵2.727<3.841, ∴没有 95%的把握认为本地区的“高温天气” 与西瓜“旺销”有关.
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高考中的概率与统计(解答题型)

课题 22 [典例]

求和法求互斥事件的概率

某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信

息, 安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的 相关数据,如下表所示.

一次购物 量

1至4件 x
1

5至8件 30
1.5

9至12 件

13至16 17件及以 件 上

顾客数(人)
结算时间 (分钟/人)
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25
2

y
2.5

10
3

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高考中的概率与统计(解答题型)

已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均 值; (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将 频率视为概率). [考题揭秘] 本题主要考查古典概型、互斥事件的概率以及

分析问题,解决实际问题的能力.

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高考中的概率与统计(解答题型)

[审题过程]

第一步:审条件.通过表格提供了顾客的购物

量及结算时间等信息. 第二步:审结论.第(1)问求表中 x,y 的值,并估计顾客一 次购物的结算时间的平均值; 第(2)问求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概 率. 第三步:建联系.(1)根据 100 位顾客中一次购物量超过 8 件 的顾客占 55%,列出方程求 x,y 的值; (2)分别求出结算时间为 1 分钟,1.5 分钟,2 分钟的概率,由 互斥事件概率加法求得结果.
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[规范解答] 以 x=15,y=20.

(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收 集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用 样本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 =1.9(分钟). 100

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高考中的概率与统计(解答题型)

(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”, A1,A2,A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”,“该顾客一次购物的结 算时间为 2 分钟”. ???????????????????① 15 3 30 3 25 将频率视为概率得 P(A1)=100=20, 2)=100=10, 3)=100 P(A P(A 1 =4.??????????????????????????② 因为 A=A1∪A2∪A3,且 A1,A2,A3 是互斥事件,所以 P(A)= 3 3 1 7 P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=20+10+4=10.????③ 7 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为10.
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高考中的概率与统计(解答题型)

[模型归纳] 利用互斥事件的概率加法公式求概率的模型示意图如下:

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高考中的概率与统计(解答题型)

[变式训练] (2013· 海口模拟)某中学研究性学习小组为了考查高中学生的作 文水平与爱看课外书的关系,在本校高三年级随机调查了 50 名 学生.调查结果表明:在爱看课外书的 25 人中有 18 人作文水 平好,另 7 人作文水平一般;在不爱看课外书的 25 人中有 6 人 作文水平好,另 19 人作文水平一般. (1)试根据以上数据完成以下 2×2 列联表, 并运用独立性检验思 想,指出有多大把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关 系?
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高考中的概率与统计(解答题型)

高中学生的作文水平与爱看课外书的 2×2 列联表:

爱看课外书

不爱看课外书

总计

作文水平好
作文水平一般 总计
(2)将其中某 5 名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为 1,2,3,4,5,某 5 名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编 号为 1,2,3,4,5,从这两组学生中各任选 1 人进行学习交流,求 被选取的两名学生的编号之和为 3 的倍数或 4 的倍数的概率.
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高考中的概率与统计(解答题型)

解:(1)2×2 列联表如下:

爱看课外书 作文水平好 作文水平一般 总计 18 7 25

不爱看课外书 6 19 25

总计 24 26 50

50×?18×19-6×7?2 150 因为 K2(或 χ2)= = ≈11.538>10.828. 13 25×25×24×26 由表知,P(K2 或 χ2≥10.828)≈0.001, 故有 99.9%的把握认为中学生的作文水平与爱看课外书有关 系.
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高考中的概率与统计(解答题型)

(2)设“被选取的两名学生的编号之和为 3 的倍数”为事件 A, “被选取的两名学生的编号之和为 4 的倍数”为事件 B. 因为基本事件总数为 25,事件 A 所包含的基本事件为(1,2), (1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(4,2),(4,5),(5,1), (5,4),共 9 个,

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高考中的概率与统计(解答题型)

事件 B 所包含的基本事件为(1,3),(2,2),(3,1),(3,5),(4,4), (5,3),共 6 个, 9 6 所以 P(A)= ,P(B)= . 25 25 因为事件 A,B 互斥, 9 6 3 所以 P(A∪B)=P(A)+P(B)= + = , 25 25 5 故被选取的两名学生的编号之和为 3 的倍数或 4 的倍数的概率 3 是 . 5
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