2013届北京市海淀区高三数学一模试题理科(word版)


海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学 (理科) 2013.4

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.
2 1.集合 A ? {x ? N|x ? 6}, B ? {x ? R|x ? 3x ? 0} ,则 A B ?

A. {3,4,5}

B. {4,5,6}

C. {x | 3 ? x ? 6} D. {x | 3 ? x ? 6}
开始

2.在极坐标系中, 曲线 ? ? 4cos ? 围成的图形面积为 A. π B. 4 C. 4π D. 16

输入 x

3.某程序的框图如图所示,执行该程序, 若输入的 x 值为 5,则输出的 y 值为 A. ?2 B. ?1 C.

x ? x?2

1 D. 2 2

x?0




y ? 2x
输出 y

? x ? 1, ? 4.不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 表示面积为 1 的直角三角形区域,则 k 的值为 ?kx ? y ? 0 ?
A. ?2 B. ?1 C. 0 D. 1

结束

5. 若向量 a , b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则 a ? b 的值为 A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?1

D. 1

6. 一个盒子里有 3 个分别标有号码为 1,2,3 的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子 中,共取 3 次,则取得小球标号最大值是 3 的取法有 A.12 种 B. 15 种 C. 17 种 D.19 种

2 7. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P ( x, y ) 为该抛物线上的动点,又点 A( ?1,0) ,则

| PF | 的最 | PA |

小值是 A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

2 2 3

8. 设 l1 , l2 , l3 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为 4,5,6 的直线.给出下列三个结论: ① ?Ai ? li (i ? 1,2,3) ,使得 ?A1 A2 A3 是直角三角形; ② ?Ai ? li (i ? 1,2,3) ,使得 ?A1 A2 A3 是等边三角形;

高三数学(理科)试题第 1 页(共 4 页)

③三条直线上存在四点 A i (i ? 1,2,3,4) , 使得四面体 A1 A2 A3 A4 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂 直的四面体. 其中,所有正确结论的序号是 A. ① B.①② C. ①③ D. ②③

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.在复平面上,若复数 a + b i ( a, b ? R )对应的点恰好在实轴上,则 b =_______. 10.等差数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 9, a2a5 ? 18 , 则 a1a6 ? _____. 11.如图, AP 与 O 切于点 A ,交弦 DB 的延长线于点 P ,
A C P

BC ? 3, CP ? 4 , 过点 B 作圆 O 的切线交 AP 于点 C . 若 ?ACB ? 90? ,
则弦 DB 的长为_______.
D

O

B

1 12.在 ?ABC 中,若 a ? 4, b ? 2, cos A ? ? ,则 c ? _____,sin C ? ____. 4
13.已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? a , x ? 0, ? 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是_____. 2 ? ? x ? 3ax ? a, x ? 0

14.已知函数 f ( x) ? sin

π x ,任取 t ? R ,定义集合: 2

At ? { y | y ? f ( x ) ,点 P (t , f (t )) , Q ( x, f ( x )) 满足 | PQ |? 2} .
设 M t , mt 分别表示集合 At 中元素的最大值和最小值,记 h(t ) ? M t ? mt . 则 (1)函数 h (t ) 的最大值是_____; (2)函数 h (t ) 的单调递增区间为________.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2 . (Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.

π 4

? ?

6 3

高三数学(理科)试题第 2 页(共 4 页)

16.(本小题满分 13 分) 在某大学自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读 与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B,C,D,E 五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统 计如下图所示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (I)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (II)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分. (i)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (ii)若该考场共有 10 人得分大于 7 分,其中有 2 人 10 分,2 人 9 分,6 人 8 分. 从这 10 人中随机抽取两人,求两人成绩之和的分布列和数学期望.

频率

科目:数学与逻辑

频率
0.375

科目:阅读与表达

0.375
0.250 0.200

0.150

0.075
0.025

等级

等级

17.(本小题满分 14 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , ?ABC 是正三角形,

P

AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点, ?CDA ? 120 , 又 PA ? AB ? 4 ,
点 N 在线段 PB 上,且 PN ? 2 . (Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)求证: MN / / 平面 PDC ; (Ⅲ)求二面角 A ? PC ? B 的余弦值.
B

N

A D M C

高三数学(理科)试题第 3 页(共 4 页)

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx (其中 a , b 为常数且 a ? 0 )在 x ? 1 处取得极值. (I) 当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (II) 若 f ( x ) 在 ? 0,e? 上的最大值为 1 ,求 a 的值.

19.(本小题满分 14 分) 已知圆 M :( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2( r ? 0 ).若椭圆 C : 的圆心,离心率为

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的右顶点为圆 M a 2 b2

2 . 2 (I)求椭圆 C 的方程; (II)若存在直线 l : y ? kx ,使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , H
两点,点 G 在线段 AB 上,且 AG ? BH ,求圆 M 半径 r 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 设 A( x A , y A ), B( xB , yB ) 为平面直角坐标系上的两点,其中 x A , y A , xB , yB ? Z .令 ?x ? xB ? x A ,

?y ? yB ? y A ,若 ?x + ?y =3 ,且 | ?x | ? | ?y |? 0 ,则称点 B 为点 A 的“相关点” ,记作: B ? ? ( A) .
已知 P0 ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ? Z) 为平面上一个定点,平面上点列 {Pi } 满足: P i ? ? (P i ?1 ) ,且点 Pi 的坐标 为 ( xi , yi ) ,其中 i ? 1,2,3,..., n . (Ⅰ)请问:点 P0 的“相关点”有几个?判断这些“相关点”是否在同一个圆上,若在同一个圆上, 写出圆的方程;若不在同一个圆上,说明理由; (Ⅱ)求证:若 P0 与 Pn 重合, n 一定为偶数; (Ⅲ)若 P0 (1,0) ,且 yn ? 100 ,记 T ? ? xi ,求 T 的最大值.
i ?0 n

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