2016年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)


2016 年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?淮北一模)设集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R},B={x|﹣1≤x≤2},则?R(A∩B) 等于( ) A.{x|﹣1<x<0} B.{x|2≤x<4} C.{x|x<0 或 x>2} D.{x|x≤0 或 x≥2} 2. (5 分) (2016?淮北一模)在复平面内,复数 z= ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. (5 分) (2016?淮北一模)已知 x>0,则“a=4“是“x+ ≥4”的( ) 的共轭复数 对应的点所在的象限

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分) (2016?淮北一模)执行如图所示的程序框图,若输出的 n=6,则输入整数 p 的最 小值是. ( )

A.17 B.16 C.18 D.19 5. (5 分) (2016?淮北一模)在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10﹣a12 的 值为( ) A.6 B.12 C.24 D.60 6. (5 分) (2016?浙江模拟)已知 O 为坐标原点,双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦

点 F, 以 OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点 O 的两点 A、 B, 若 (

+

) ?

=0,

则双曲线的离心率 e 为( ) A.2 B.3 C. D. 2 2 7. (5 分) (2016?淮北一模) 在区间[﹣1, 1]上随机取一个数 k, 使直线 y=k (x+3) 与圆 x +y =1 相交的概率为( )
第 1 页(共 52 页)

A.

B.

C.

D.
2

8. (5 分) (2016?淮北一模)有以下命题:①命题“?x∈R,x ﹣x﹣2≥0”的否定是:“?x∈R, 2 x ﹣x﹣2<0”; 2 ②已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,? ) ,P(ξ≤4)=0.79)则 P(ξ≤﹣2)=0.21; ③函数 f(x)= ﹣( ) 的零点在区间( , )内;
x

其中正确的命题的个数为( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 9. (5 分) (2016?淮北一模)已知函数 y=f(x)定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣ ∞,0)时 xf′(x)<﹣f(x)成立(其中 f′(x)是 f(x)的导函数) ,若 a= f( ) ,b=f (1) ,c=﹣2f(log2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是( A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b )

10. (5 分) (2016?淮北一模)已知实数 x,y 满足:

,则使等式(t+2)x+(t

﹣1)y+2t+4=0 成立的 t 取值范围为( A.[﹣ , ) C.[﹣ ,1)



B. (﹣∞,﹣ ]∪(﹣ ,+∞) D.[﹣ ,1)

11. (5 分) (2016?淮北一模)已知四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上,AB⊥平 面 BCD,又 AB=3,BC=2,BD=4,且∠CBD=60°,则球 O 的表面积为( ) A.12π B.16π C.20π D.25π 12. (5 分) (2013 春?衡水校级月考)如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 ,下列判断正确的是( )

A.满足 λ+μ=2 的点 P 必为 BC 的中点 B.满足 λ+μ=1 的点 P 有且只有一个 C.λ+μ 的最大值为 3 D.λ+μ 的最小值不存在 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分).

第 2 页(共 52 页)

13. (5 分) (2016?淮北一模)设 a=

dx,则二项式(ax ﹣ ) 展开式中的常数项

2

6

为 . 14. (5 分) (2016?淮北一模)寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一 座,恰在同一排 A,B,C,D,E 五个座位 (一排共五个座位) ,上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符 座位的坐法有 种. 15. (5 分) (2016?淮北一模)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 A=120°,b=1,且△ ABC 的面积为 ,则 =
2



16. (5 分) (2016?淮北一模)对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax +bx+c>0 的解集为(﹣ 2 1,2) ,解关于 x 的不等式 ax ﹣bx+c>0”,给出如下一种解法: 2 2 解:由 ax +bx+c>0 的解集为(﹣1,2) ,得 a(﹣x) +b(﹣x)+c>0 的解集为(﹣2,1) , 2 即关于 x 的不等式 ax ﹣bx+c>0 的解集为(﹣2,1) . 参考上述解法,若关于 x 的不等式 x 的不等式 + <0 的解集为 + <0 的解集为(﹣3,﹣1)∪(1,2) ,则关于 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) (2016?淮北一模)在等比数列{an}中,a3= ,S3= . (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)记 bn=log2 ,且{bn}为递增数列,若 Cn= ,求证:C1+C2+C3+…Cn< .

18. (12 分) (2016?淮北一模)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数: , , f3 (x) =2, , ,

f6(x)=xcosx. (Ⅰ)从中任意拿取 2 张卡片,若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数.在此条件下,求 两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则 停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ξ 的分布列和数学期望. 19. (12 分) (2016?淮北一模)已知某几何体直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, (Ⅰ)求证:BN⊥平面 C1B1N; (Ⅱ)设 θ 为直线 C1N 与平面 CNB1 所成的角,求 sinθ 的值; (Ⅲ)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P,使 MP∥平面 CNB1 并求 的值.

第 3 页(共 52 页)

20. (12 分) (2016?淮北一模)定长为 3 的线段 AB 两端点 A、B 分别在 x 轴,y 轴上滑动, M 在线段 AB 上,且 .

(1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设过 且不垂直于坐标轴的动直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点,问:线段 OF 上是否存在一点 D,使得以 DA,DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明. 21. (12 分) (2016?淮北一模)对于函数 y=f(x)的定义域为 D,如果存在区间[m,n]?D, 同时满足下列条件: ①f(x)在[m,n]上是单调函数;②当 f(x)的定义域为[m,n]时,值域也是[m,n],则 称区间[m,n]是函数 f(x)的“Z 区间”.对于函数 f(x)= (Ⅰ) 若 a=1,求函数 f(x)在(e,1﹣e)处的切线方程; (Ⅱ) 若函数 f(x)存在“Z 区间”,求 a 的取值范围. 选做题: (考生从以下三题中选做一题)选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2016?淮北一模)如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 是⊙O 上的两点,OC⊥AB, 过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D.连接 CF 交 AB 于点 E. 2 (1)求证:DE =DB?DA; (2)若 DB=2,DF=4,试求 CE 的长. (a>0) .

第 4 页(共 52 页)

选修 4-4:坐标系与参数方程. 23. (2016?淮北一模)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ= (t 为参数,0≤α<π) . (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 选修 4-5:不等式选讲. 24. (2016?淮北一模)设函数 f(x)=|x+1|+|x﹣5|,x∈R. (1)求不等式 f(x)≤2x 的解集; (2)如果关于 x 的不等式 loga2<f(x)在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. ,直线 l 的参数方程为

第 5 页(共 52 页)

2016 年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?淮北一模)设集合 A={x||x﹣2|≤2,x∈R},B={x|﹣1≤x≤2},则?R(A∩B) 等于( ) A.{x|﹣1<x<0} B.{x|2≤x<4} C.{x|x<0 或 x>2} D.{x|x≤0 或 x≥2} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】集合思想;综合法;集合. 【分析】集合 A 为绝对值不等式的解集,由绝对值的意义解出,求出其和集合 B 的交集, 求出后进行集合的运算即可. 【解答】解:A=[0,2],B=[﹣1,2], 所以 A∩B=[0,2]=A,
菁优网版权所有

?R(A∩B){x|x<0 或 x>2}, 故选:C. 【点评】本题考查对集合的认识以及集合的基本运算,属基本题.

2. (5 分) (2016?淮北一模)在复平面内,复数 z=

的共轭复数 对应的点所在的象限

( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】计算题;规律型;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的除法化简复数,求出对应点的坐标,即可判断选项.
菁优网版权所有

【解答】解:复数 z= 复数 z=

=

=﹣1﹣2i.

的共轭复数 对应的点(﹣1,2) ,所在的象限是第二象限.

故选:B. 【点评】本题考查复数的几何意义,复数的代数形式混合运算,考查计算能力.

3. (5 分) (2016?淮北一模)已知 x>0,则“a=4“是“x+ ≥4”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】结合基本不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
菁优网版权所有

【解答】解:若 a=4,则根据基本不等式的性质可知 x+ =x+ ≥2 即 x=2 时取等号,即充分性成立.
第 6 页(共 52 页)

=4,当且仅当 x= ,

若 a=16,x+ =x+

≥2

=8,当且仅当 x=

,即 x=4 时取等号,此时满足 x+ ≥4 成

立,但 a=4 不成立,即必要性不成立, 故“a=4“是“x+ ≥4”的充分不必要条件, 故选:A 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据基本不等式的性质是解决本题的关 键. 4. (5 分) (2016?淮北一模)执行如图所示的程序框图,若输出的 n=6,则输入整数 p 的最 小值是. ( )

A.17 B.16 C.18 D.19 【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分析法;算法和程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算累加器 S≥p 时的 n 值,模拟程序的运行,用表格对程序运行过程中各变 量的值进行分析,不难得到输出结果. 【解答】解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 S n 循环前/0 1 第一圈 是 1 2 第二圈 是 3 3 第三圈 是 7 4 第四圈 是 15 5 第五圈 是 31 6 第六圈 否 故当 S 值不大于 16 时继续循环, 故 p 的最小整数值为 16. 故选:B 【点评】处理此类问题时,一定要注意多写几步,从中观察得出答案;本题若将 n=n+1 与
菁优网版权所有

S=S+2 的位置调换一下,则情况又如何呢?同学们可以考虑一下.算法是新课程中的新 增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,
第 7 页(共 52 页)

n﹣1

这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前 两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误. 5. (5 分) (2016?淮北一模)在等差数列{an}中,若 a4+a6+a8+a10+a12=120,则 2a10﹣a12 的 值为( ) A.6 B.12 C.24 D.60 【考点】等差数列的通项公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】利用等差数列的通项公式求解. 【解答】解:∵在等差数列{an}中,a4+a6+a8+a10+a12=120, ∴5a1+35d=120,解得 a1+7d=24, ∴2a10﹣a12=2(a1+9d)﹣(a1+11d)=a1+7d=24. 故选:C. 【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数 列的性质的合理运用.
菁优网版权所有

6. (5 分) (2016?浙江模拟)已知 O 为坐标原点,双曲线



=1(a>0,b>0)的右焦

点 F, 以 OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点 O 的两点 A、 B, 若 ( 则双曲线的离心率 e 为( ) A.2 B.3 C. D. 【考点】双曲线的简单性质;平面向量数量积的运算. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先画出图形,如图,设 OF 的中点为 C,则

+

) ?

=0,

菁优网版权所有

+

=

,由题意得 AC⊥OF,根

据三角形的性质可得 AC=AF,又 AF=OF,从而得出△ AOF 是正三角形,即双曲线的渐近 线的倾斜角为 60°,得出 a,b 的关系式,即可求出双曲线的离心率 e. 【解答】解:如图,设 OF 的中点为 C,则 由题意得, ∴AO=AF, 又 c=OF,OA:y= 所以 A( ,
2

+

=



?

=0,∴AC⊥OF,

,A 的横坐标等于 C 的横坐标 , ,

) ,且 AO=

AO =

,所以 a=b,

则双曲线的离心率 e 为

=



第 8 页(共 52 页)

故选 C. 【点评】本题给出以双曲线右焦点 F 为圆心的圆过坐标原点,在已知若( + )? =0

的情况下求双曲线的离心率, 着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、 直线与圆的位 置关系等知识,属于基础题. 7. (5 分) (2016?淮北一模) 在区间[﹣1, 1]上随机取一个数 k, 使直线 y=k (x+3) 与圆 x +y =1 相交的概率为( ) A. B. C.
菁优网版权所有

2

2

D.

【考点】几何概型. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交,可求出满足条件的 k,最后 根据几何概型的概率公式可求出所求. 2 2 【解答】解:圆 x +y =1 的圆心为(0,0) 圆心到直线 y=k(x+3)的距离为

要使直线 y=k(x+3)与圆 x +y =1 相交,则

2

2

<1,解得﹣

<k<



∴在区间[﹣1,1]上随机取一个数 k,使 y=k(x+3)与圆 x +y =1 相交的概率为

2

2

=



故选:C. 【点评】本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率 类型,同时考查了计算能力,属于基础题. 8. (5 分) (2016?淮北一模)有以下命题:①命题“?x∈R,x ﹣x﹣2≥0”的否定是:“?x∈R, 2 x ﹣x﹣2<0”; 2 ②已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,? ) ,P(ξ≤4)=0.79)则 P(ξ≤﹣2)=0.21; ③函数 f(x)= ﹣( ) 的零点在区间( , )内;
x 2

其中正确的命题的个数为( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】综合题;转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】①根据特称命题的否定进行判断; ②根据正态分布的定义和性质判断; ③利用根的存在性判断. 2 【解答】解:①根据特称命题的否定是全称命题知:命题“存在 x∈R,使 x ﹣x﹣2≥0”的否 2 定是:“对任意的 x∈R,都有 x ﹣x﹣2<0”;所以正确.
菁优网版权所有

第 9 页(共 52 页)

②因为正态分布的对称轴为 x=1,所以 P(ξ≤﹣2)=P(ξ≥4)=1﹣P(ξ≤4)=1﹣0.79=0.21, 所以正确. ③因为 f( )<0,f( )>0,所以根据根的存在性定理可知,正确. 故选 A. 【点评】本题主要考查命题的真假判断,综合性较强,涉及的知识点较多. 9. (5 分) (2016?淮北一模)已知函数 y=f(x)定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣ ∞,0)时 xf′(x)<﹣f(x)成立(其中 f′(x)是 f(x)的导函数) ,若 a= f( ) ,b=f (1) ,c=﹣2f(log2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是( )

A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b 【考点】利用导数研究函数的单调性;函数奇偶性的性质. 【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用;导数的概念及应用. 【分析】由 f(x)为奇函数得到 f(﹣x)=﹣f(x) ,有 xf′(x)+f(x)<0,由导数的积的 运算得到[xf(x)]′<0,令 F(x)=xf(x) ,则 F(x)为偶函数,且在(﹣∞,0)上是减 函数,在(0,+∞)上是增函数,由 c=﹣2f(﹣2)=2f(2)=g(2) ,a= f( )=g( ) , b=f(1)=g(1) ,即可得到所求大小关系. 【解答】解:当 x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)<﹣f(x) , 即 xf′(x)+f(x)<0, ∴[xf(x)]′<0, ∴令 F(x)=xf(x) , 由函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 则 F(x)为偶函数, 且在(﹣∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,
菁优网版权所有

由 c=﹣2f(log2 )=﹣2f(﹣2)=2f(2)=g(2) , a= f( )=g( ) ,b=f(1)=g(1) , 由 1< <2,可得 b<a<c. 故选:A. 【点评】本题主要考查函数的性质及应用,考查奇偶函数的定义及应用,函数的单调性及应 用,以及应用导数的运算法则构造函数的能力,是函数的综合题.

10. (5 分) (2016?淮北一模)已知实数 x,y 满足:

,则使等式(t+2)x+(t

﹣1)y+2t+4=0 成立的 t 取值范围为( A.[﹣ , ) C.[﹣ ,1)



B. (﹣∞,﹣ ]∪(﹣ ,+∞) D.[﹣ ,1)
菁优网版权所有

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;作图题;数形结合;转化思想;不等式.
第 10 页(共 52 页)

【分析】由题意作平面区域,从而化简可得 t=

=1﹣

,而

几何意义是

点 A(﹣2,0)与阴影内的点的连线的斜率,从而结合图象解得. 【解答】解:由题意作平面区域如下,

, ∵(t+2)x+(t﹣1)y+2t+4=0, ∴t(x+y+2)+2x﹣y+4=0, ∴t= =1﹣ ,

几何意义是点 A(﹣2,0)与阴影内的点的连线的斜率, 而 kAB= 故 ≤ 故 < = ,kAC= <1, ≤ , =1,

故﹣ ≤1﹣

<﹣ ,

故选:A. 【点评】本题考查了数形结合的思想应用,同时考查了转化的思想应用,关键在于化简得到 t=1﹣ .

11. (5 分) (2016?淮北一模)已知四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上,AB⊥平 面 BCD,又 AB=3,BC=2,BD=4,且∠CBD=60°,则球 O 的表面积为( )
第 11 页(共 52 页)

A.12π B.16π C.20π D.25π 【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;转化思想;综合法;球. 【分析】由余弦定理求出 CD=2 ,以 AB、BC、CD、AB 为长方体的长、宽、高构造长
菁优网版权所有

方体 AGHF﹣BCDF,球 O 的半径 R=

,由此能求出球 O 的表面积.

【解答】解:∵四面体 ABCD 的四个顶点都在球 O 的表面上,AB⊥平面 BCD, 又 AB=3,BC=2,BD=4,且∠CBD=60°, ∴CD=
2 2 2

=2



∴BC +CD =BD ,∴AB⊥平面 BCD,BC⊥CD, ∴以 AB、BC、CD、AB 为长方体的长、宽、高构造长方体 AGHF﹣BCDF, 则球 O 的半径 R= ∴球 O 的表面积 S=4 故选:D. = = , =25π.

【点评】本题考查球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意构造法的合理运 用. 12. (5 分) (2013 春?衡水校级月考)如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 ,下列判断正确的是( )

A.满足 λ+μ=2 的点 P 必为 BC 的中点 B.满足 λ+μ=1 的点 P 有且只有一个 C.λ+μ 的最大值为 3 D.λ+μ 的最小值不存在
第 12 页(共 52 页)

【考点】向量的加法及其几何意义. 【专题】平面向量及应用. 【分析】建立坐标系可得

菁优网版权所有

=(λ﹣μ,μ) ,A,B 选项可举反例说明,通过 P

的位置的讨论,结合不等式的性质可得 0≤λ+μ≤3,进而可判 C,D 的正误,进而可得答案. 【解答】解:由题意,不妨设正方形的边长为 1,建立如图所示的坐标系, 则 B(1,0) ,E(﹣1,1) ,故 所以 当 λ=μ=1 时, 错误; 当 λ=1,μ=0 时, 当 λ= ,μ= 时, =(1,0) ,此时点 P 与 B 重合,满足 λ+μ=1, =(0, ) ,此时点 P 为 AD 的中点,满足 λ+μ=1, =(1,0) , =(﹣1,1) ,

=(λ﹣μ,μ) , =(0,1) ,此时点 P 与 D 重合,满足 λ+μ=2,但 P 不是 BC 的中点,故 A

故满足 λ+μ=1 的点不唯一,故 B 错误; 当 P∈AB 时,有 0≤λ﹣μ≤1,μ=0,可得 0≤λ≤1,故有 0≤λ+μ≤1, 当 P∈BC 时,有 λ﹣μ=1,0≤μ≤1,所以 0≤λ﹣1≤1,故 1≤λ≤2,故 1≤λ+μ≤3, 当 P∈CD 时,有 0≤λ﹣μ≤1,μ=1,所以 0≤λ﹣1≤1,故 1≤λ≤2,故 2≤λ+μ≤3, 当 P∈AD 时,有 λ﹣μ=0,0≤μ≤1,所以 0≤λ≤1,故 0≤λ+μ≤2, 综上可得 0≤λ+μ≤3,故 C 正确,D 错误. 故选 C

【点评】本题考查向量加减的几何意义,涉及分类讨论以及反例的方法,属中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13. (5 分) (2016?淮北一模)设 a= 15 . 【考点】二项式定理的应用. dx,则二项式(ax ﹣ ) 展开式中的常数项为
2 6

菁优网版权所有

第 13 页(共 52 页)

【专题】转化思想;综合法;二项式定理. 【分析】先利用定积分求出 a 的值,再利用二项展开式的通项公式求出展开式中的常数项. 【解答】解:a=
2 6

dx=lnx
2

=2﹣1=1,
6

则二项式(ax ﹣ ) =(x ﹣ ) 的展开式的通项公式为 Tr+1= 令 12﹣3r=0,求得 r=4,可得展开式中的常数项为 =15,

?(﹣1) ?x

r

12﹣3r



故答案为:15. 【点评】本题主要考查定积分的计算,二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基 础题. 14. (5 分) (2016?淮北一模)寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一 座,恰在同一排 A,B,C,D,E 五个座位 (一排共五个座位) ,上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符 座位的坐法有 45 种. 【考点】计数原理的应用. 【专题】计算题;整体思想;分析法;排列组合. 【分析】设 5 名同学也用 A,B,C,D,E 来表示,若恰有一人坐对与自己车票相符座位的 坐法,设 E 同学坐在自己的座位上,则其他四位都不是自己的座位,一一列举,根据分步 计算原理可得. 【解答】解:设 5 名同学也用 A,B,C,D,E 来表示, 若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法,设 E 同学坐在自己的座位上,则其他四位都 不是自己的座位, 则有 BADC,CADB,DABC,BDAC,CDAB,DCAB,BCDA,DCBA,CDBA 共 9 种坐 法, 则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 5×9=45 种, 故答案为:45. 【点评】本题考查错位排序法,需要分类讨论,列举要不重不漏,属于中档题.
菁优网版权所有

15. (5 分) (2016?淮北一模)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,其中 A=120°,b=1,且△ ABC 的面积为
菁优网版权所有

,则

= 2



【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】先利用面积公式,求出边 a=4,再利用正弦定理求解比值. 【解答】解:由题意, ∴c=4, ∴a =b +c ﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×(﹣ )=21. ∴a= ∴ = =2 .
第 14 页(共 52 页)
2 2 2

= ×c×1×sin120°

故答案为:2 . 【点评】 本题的考点是正弦定理, 主要考查正弦定理的运用, 关键是利用面积公式, 求出边, 再利用正弦定理求解. 16. (5 分) (2016?淮北一模)对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax +bx+c>0 的解集为(﹣ 2 1,2) ,解关于 x 的不等式 ax ﹣bx+c>0”,给出如下一种解法: 2 2 解:由 ax +bx+c>0 的解集为(﹣1,2) ,得 a(﹣x) +b(﹣x)+c>0 的解集为(﹣2,1) , 2 即关于 x 的不等式 ax ﹣bx+c>0 的解集为(﹣2,1) . 参考上述解法,若关于 x 的不等式 x 的不等式 +
菁优网版权所有

2

+

<0 的解集为(﹣3,﹣1)∪(1,2) ,则关于

<0 的解集为 (﹣1,﹣ )∪( ,1) .

【考点】类比推理. 【专题】计算题;转化思想;综合法;推理和证明. 2 2 【分析】观察发现 ax +bx+c>0 将 x 换成﹣x 得 a(﹣x) +b(﹣x)+c>0,则解集也相应 变化,﹣x∈(﹣1,2) ,则 x∈(﹣2,1) ,不等式 用 代入可得,分析可得答案. 【解答】解:由 ax +bx+c>0 的解集为(﹣1,2) ,得 a(﹣x) +b(﹣x)+c>0 的解集为 (﹣2,1) , 发现﹣x∈(﹣1,2) ,则 x∈(﹣2,1) 若关于 x 的不等式 则关于 x 的不等式 + + <0 的解集为(﹣3,﹣1)∪(1,2) , <0 可看成前者不等式中的 x 用 代入可得,
2 2

+

<0 可看成前者不等式中的 x

则 ∈(﹣3,﹣1)∪(1,2) , ∴x∈(﹣1,﹣ )∪( ,1) , 故答案为: (﹣1,﹣ )∪( ,1) . 【点评】本题考查了类比推理,通过已知条件发现规律,属于基础题. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (12 分) (2016?淮北一模)在等比数列{an}中,a3= ,S3= . (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)记 bn=log2 ,且{bn}为递增数列,若 Cn= ,求证:C1+C2+C3+…Cn< .

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】分类讨论;作差法;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.
菁优网版权所有

第 15 页(共 52 页)

【分析】 (Ⅰ)讨论 q=1,q≠1,由等比数列的通项公式和求和公式,解方程即可得到 q,和 a1,进而得到通项公式; (Ⅱ)由对数的运算性质,求得 bn=2n,化 Cn= = = ( ﹣ ) ,再由

数列的求和方法:裂项相消求和,预计不等式的性质,即可得证. 【解答】解: (Ⅰ)∵a3= ,S3= , ∴当 q=1 时,S3=3a1= ,满足条件,∴q=1.

当 q≠1 时,a1q2= , 解得 a1=6,q=﹣ . 综上可得:an= 或 an=6?(﹣ ) (Ⅱ)证明:由题意可得 bn=log2
n﹣1

= ,

; =log2 =log22 =2n,
2n

则 Cn=

=

= ( ﹣

) ,

即有 C1+C2+C3+…Cn= (1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = (1﹣ )= ﹣ < .



故原不等式成立. 【点评】本题考查了等比数列的通项公式、前 n 项和公式,考查了分类讨论方法、和不等式 的证明,注意运用裂项相消求和和不等式的性质,考查推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分) (2016?淮北一模)一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数: , , f3 (x) =2, , ,

f6(x)=xcosx. (Ⅰ)从中任意拿取 2 张卡片,若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数.在此条件下,求 两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率; (Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则 停止抽取,否则继续进行,求抽取次数 ξ 的分布列和数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式;排列、组合的实际应 用. 【专题】计算题;概率与统计.
菁优网版权所有

第 16 页(共 52 页)

【分析】 (Ⅰ)所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数;另一类 为两张卡片上写的函数为一个是奇函数, 一个为偶函数, 先求出基本事件总数为 ,

满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数, 再求出满足条件的基本事件个数为 ,由此能求出结果. (Ⅱ)ξ 可取 1,2,3,4.分别求出对应的概率,由此能求出 ξ 的分布列和数学期望. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 为奇函数; 为偶函数; f3(x)=2 为偶函数; 为奇函数;

为偶函数; f6(x)=xcosx 为奇函数…(3 分) 所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数; 另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数,一个为偶函数; 故基本事件总数为 满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数, 故满足条件的基本事件个数为

故所求概率为

.…(6 分)

(Ⅱ)ξ 可取 1,2,3,4.…(7 分) ,

; 故 ξ 的分布列为 ξ 1 P …(10 分) ∴ξ 的数学期望为 .…(12 分)
第 17 页(共 52 页)

2

3

4



【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是历年高考的必考题型.解 题时要注意排列组合和概率知识的合理运用. 19. (12 分) (2016?淮北一模)已知某几何体直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, (Ⅰ)求证:BN⊥平面 C1B1N; (Ⅱ)设 θ 为直线 C1N 与平面 CNB1 所成的角,求 sinθ 的值; (Ⅲ)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P,使 MP∥平面 CNB1 并求 的值.

【考点】直线与平面平行的判定;直线与平面平行的性质;直线与平面所成的角. 【专题】计算题;转化思想;向量法;空间位置关系与距离.

菁优网版权所有

【分析】 (Ⅰ)以 BA,BB1,BC 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法能证 明 BN⊥平面 C1B1N. (Ⅱ)求出平面 NCB1 的一个法向量,利用向量法能求出 sinθ. (Ⅲ)设 P(0,0,a)为 BC 上一点,利用向是琺能求出当 PB= 时,MP∥平面 CNB1 及 此时 的值.

【解答】证明: (Ⅰ)∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直 角梯形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直.…(2 分) 以 BA,BB1,BC 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 N(2,2,0) ,B1(0,4,0) ,C1(0,4,2) ,C(0,0,2) , ∵ =4﹣4+0=0, =0,

∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1, ∵B1C1 相交于 B1,∴BN⊥平面 C1B1N. (4 分) 解: (Ⅱ)设 =(x,y,z)为平面 NCB1 的一个法向量,
第 18 页(共 52 页)

则 ∵ =(2,﹣2,﹣2) ,

,取 x=1,得

=(1,1,2) ,

∴sinθ=

=

=



(Ⅲ)∵M(1,0,0) .设 P(0,0,a)为 BC 上一点, 则 =(﹣1,0,a) ,

∵MP∥平面 CNB1, ∴ , =﹣1+2a=0,解得 a= ,

又 PM?平面 CNB1,∴MP∥平面 CNB1, ∴当 PB= 时,MP∥平面 CNB1,∴ = . …(12 分)

【点评】本题考查线面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查满足线面平行的点是 否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 20. (12 分) (2016?淮北一模)定长为 3 的线段 AB 两端点 A、B 分别在 x 轴,y 轴上滑动, M 在线段 AB 上,且 .

(1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设过 且不垂直于坐标轴的动直线 l 交轨迹 C 于 A、B 两点,问:线段 OF 上是否存在一点 D,使得以 DA,DB 为邻边的平行四边形为菱形?作出判断并证明. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 【专题】综合题.
菁优网版权所有

第 19 页(共 52 页)

【分析】 (1)设 A(x1,0) ,B(0,y1) ,M(x,y) ,则

,由此能求出点 M 的轨

迹 C 的方程. (2)设满足条件的点 D(0,m) ,设 l 的方程为: 得 ,设 ,代入椭圆方程,



.由以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形,知

,由此能导出存在满足条件的点 D. 【解答】解: (1)设 A(x1,0) ,B(0,y1) ,M(x,y)



,|AB|=3=

=1

(2)存在满足条件的 D 点.设满足条件的点 D(0,m) , 则 得(k +4)x +2
2 2

,设 l 的方程为:y=kx+

, (k≠0) ,代入椭圆方程, ,

kx﹣1=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣

∴y1+y2=k(x1+x2)+2

.∵以 DA、DB 为邻边的平行四边形为菱形,





=



的方

向向量为(1,k) ,

=0,
2

∴﹣

﹣2mk=0 即 m=

∵k >0, ∴m=

, ∴0<m<



∴存在满足条件的点 D. 【点评】 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力, 具体涉及到轨迹方程的求法及直线 与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
第 20 页(共 52 页)

21. (12 分) (2016?淮北一模)对于函数 y=f(x)的定义域为 D,如果存在区间[m,n]?D, 同时满足下列条件: ①f(x)在[m,n]上是单调函数;②当 f(x)的定义域为[m,n]时,值域也是[m,n],则 称区间[m,n]是函数 f(x)的“Z 区间”.对于函数 f(x)= (Ⅰ) 若 a=1,求函数 f(x)在(e,1﹣e)处的切线方程; (Ⅱ) 若函数 f(x)存在“Z 区间”,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】综合题;分类讨论;分类法;导数的概念及应用. 【分析】 (Ⅰ) 若 a=1,则 f(x)=lnx﹣x,f′(x)= (a>0) .

菁优网版权所有

,求出切线斜率,代入点斜式方

程,可得答案; (Ⅱ) 结合函数 f(x)存在“Z 区间”的定义,分类讨论满足条件的 a 的取值范围,综合讨 论结果,可得答案. 【解答】解: (Ⅰ)若 a=1,x=e, 则 f(x)=lnx﹣x,f′(x)= 则切点坐标为(e,1﹣e) , 切线斜率 k=f′(e)= ﹣1, ∴函数 f(x)在(e,1﹣e)处的切线方程为 y﹣(1﹣e)=( ﹣1) (x﹣e) , 即(e﹣1)x+ey=0. (Ⅱ)∵f(x)= (a>0) . ,

∴f′(x)=

(a>0) .

列表如下 x (﹣∞,0) (0,a) a 0 f′(x) ﹣ ﹣ f(x) 减 增 极大值 设函数 f(x)存在“Z 区间”是[m,n], (1)当 0<m<n 时,由 f′(x)≥0 得: 即 0<x≤a 时函数 f(x)为增函数, 当 x=n 时,取得最大值, 当 x=m 时,取最小值, 即 ,

(a,+∞) ﹣ 减

≥0,解得 0<x≤a,

第 21 页(共 52 页)

即方程 alnx﹣x=x 有两个解, 即方程 a= 有两个解,做出 y= 的图象,

由图象以及函数的导数可知, 当 x>1 时,y= 在 x=a 时,y= 由 a≤
2

在 x=e 处取得最小值 2e, ,故方程 a= 有两个解,

得:a≤e ,
2

此时正数 a 的取值范围是(2e,e ]. 由 f′(x)<0 得: <0,解得 x>a,

即 x>a 时,函数 f(x)为单调减函数, 则当 x=m 时,取得最大值, 当 x=n 时,取得最小值, 即 ,

两式相减可得,alnm﹣alnn=0,即 m=n,不符合; 当 x≤0 时,函数 f(x)为减函数, 则当 x=m 时取最大值, 当 x=n 时,取得最小值, 即 ,两式相减,

可以得到 整理得到 1﹣

+

=1,回代到方程组的第一个式子得到 1﹣ ﹣n=a,

﹣a=n,

由图象可知,方程由两个解,

则 a∈( ,1],
第 22 页(共 52 页)

综上正数 a 的取值范围是( ,1]∪(2e,e ]

2

【点评】 本题考查的知识点是曲线在某点处的切线方程, 新定义, 分类讨论思想, 难度稍大, 中档偏上. 选做题: (考生从以下三题中选做一题)选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2016?淮北一模)如图,AB 是⊙O 的直径,C、F 是⊙O 上的两点,OC⊥AB, 过点 F 作⊙O 的切线 FD 交 AB 的延长线于点 D.连接 CF 交 AB 于点 E. 2 (1)求证:DE =DB?DA; (2)若 DB=2,DF=4,试求 CE 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】计算题;证明题;选作题;转化思想;综合法. 【分析】 (1)连接 OF,利用切线的性质及角之间的互余关系得到 DF=DE,再结合切割线定 2 理证明 DE =DB?DA,即可求出 DE. (2)求出 BE=2,OE=1,利用勾股定理求 CE 的长. 【解答】 (1)证明:连接 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°. 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90°. 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE.
菁优网版权所有

第 23 页(共 52 页)

因为 DF 是⊙O 的切线,所以 DF =DB?DA. 2 所以 DE =DB?DA. 2 (2)解:∵DF =DB?DA,DB=2,DF=4. ∴DA=8,从而 AB=6,则 OC=3. 又由(1)可知,DE=DF=4,∴BE=2,OE=1. 从而 在 Rt△ COE 中, .

2

【点评】本题主要考查了与圆有关的比例线段、圆的切线的性质定理的应用,属于中档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程. 23. (2016?淮北一模)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ= (t 为参数,0≤α<π) . (Ⅰ)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ)若直线 l 经过点(1,0) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 【考点】直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】坐标系和参数方程.
菁优网版权所有

,直线 l 的参数方程为

【分析】 (1)利用 (2)直线 l 的参数方程

即可得出直角坐标方程; ( t 为参数,0≤α<π) .可得 l 经过点(0,1) ;若直

线 l 经过点(1,0) ,得到

,得到直线 l 新的参数方程为

(t

为参数) .代入抛物线方程可得 |AB|=

t+2=0,设 A、B 对应的参数分别为 t1,t2,利用 即可得出. 化为 ρ sin θ=4ρcosθ,
2 2

【解答】解: (1)曲线 C 的极坐标方程 ρ=
2

得到曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x, 故曲线 C 是顶点为 O(0,0) ,焦点为 F(1,0)的抛物线; (2)直线 l 的参数方程为 故 l 经过点(0,1) ; 若直线 l 经过点(1,0) ,则 , ( t 为参数,0≤α<π) .

∴直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

代入 y =4x,得

2

t+2=0
第 24 页(共 52 页)

设 A、B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=﹣6 |AB|=|t1﹣t2|= =

,t1t2=2. =8.

【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的转换、直线的参数方程及其应用,考查了 计算能力,属于中档题. . 选修 4-5:不等式选讲. 24. (2016?淮北一模)设函数 f(x)=|x+1|+|x﹣5|,x∈R. (1)求不等式 f(x)≤2x 的解集; (2)如果关于 x 的不等式 loga2<f(x)在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;其他不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (1)根据绝对值不等式的解法即可求出不等式 f(x)≤2x 的解集; (2)求出函数 f(x)的最值,将不等式恒成立,转化为求函数的最值即可得到结论. 【解答】解:设函数 f(x)=|x+1|+|x﹣5|,x∈R. (1)若当 x≥5 时,f(x)=x+1+x﹣5=2x﹣4, 当﹣1<x<5,f(x)=x+1﹣x+5=6, 当 x≤﹣1 时,f(x)═﹣x﹣1﹣x+5=﹣2x+4,
菁优网版权所有

即 f(x)=



则不等式 f(x)≤2x 等价为: 当 x≥5 时,f(x)=2x﹣4≤2x,即﹣4≤0 恒成立,此时 x≥5, 当﹣1<x<5 时,f(x)=6≤2x,解得 x≥3,此时 3≤x<5, 当 x≤﹣1 时,f(x)=﹣2x+4≤2x,即 x≥1,此时 x 无解, 综上不等式的解集为{x|x≥5 或 3≤x<5}. (2)如果关于 x 的不等式 loga2<f(x)在 R 上恒成立, 则只需 loga2<f(x)min 即可,

∵f(x)=



∴函数 f(x)的最小值为 6, 6 ∴loga2<6=logaa , 若 0<a<1,则 loga2<6 恒成立. 若 a>1,则 a >2,解得 a>
6

, .

即实数 a 的取值范围是 0<a<1 或 a>

【点评】 本题主要考查绝对值函数的性质, 利用绝对值函数的特点求出函数的最值是解决本 题的关键.考查学生的运算能力.

第 25 页(共 52 页)

参与本试卷答题和审题的老师有:1619495736;qiss;maths;w3239003;zlzhan;minqi5; 刘长柏;双曲线;炫晨;lincy;caoqz;whgcn;翔宇老师;沂蒙松(排名不分先后) 菁优网 2016 年 4 月 28 日

第 26 页(共 52 页)

考点卡片
1.交、并、补集的混合运算 【知识点的认识】 集合交换律 A∩B=B∩A,A∪B=B∪A. 集合结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) , (A∪B)∪C=A∪(B∪C) . 集合分配律 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ,A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) . 集合的摩根律 Cu(A∩B)=CuA∪CuB,Cu(A∪B)=CuA∩CuB. 集合吸收律 A∪(A∩B)=A,A∩(A∪B)=A. 集合求补律 A∪CuA=U,A∩CuA=Φ. 【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质,借助数轴或韦恩图 直接解答. 【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算,每年高考一般都是单独命题,一道选择题 或填空题,属于基础题. 2.命题的真假判断与应用 【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复舍命题的真假,首先要明确 p、q 及非 p 的真假,然后由 真值表判断复合命题的真假. 注意:“非 p”的正确写法,本题不应将“非 p”写成“方程 x2﹣2x+1=0 的两根都不是实根”,因 为“都是”的反面是“不都是”,而不是“都不是”,要认真区分. 【解题方法点拨】 1.判断复合命题的真假,常分三步:先确定复合命题的构成形式,再指出其中简单命题的 真假,最后由真值表得出复合命题的真假. 2. 判断一个“若 p 则 q”形式的复合命题的真假, 不能用真值表时, 可用下列方法: 若“p q”, 则“若 p 则 q”为真;而要确定“若 p 则 q”为假,只需举出一个反例说明即可. 3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假,有时可利用原命题与逆否命题同真同假,逆命 题与否命题同真同假这一关系进行转化判断. 【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容,几乎年年都考,涉及知识点多而且 全,多以小题形式出现. 3.必要条件、充分条件与充要条件的判断 【知识点的认识】 正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否 命题、逆否命题的概念是本节的重点;掌握逻辑推理能力和语言互译能力,对充要条件概念 本质的把握是本节的难点. 1.充分条件:对于命题“若 p 则 q”为真时,即如果 p 成立,那么 q 一定成立,记作“p?q”, 称 p 为 q 的充分条件. 意义是说条件 p 充分保证了结论 q 的成立, 换句话说要使结论 q 成立,
第 27 页(共 52 页)

具备条件 p 就够了当然 q 成立还有其他充分条件.如 p:x≥6,q:x>2,p 是 q 成立的充分 条件,而 r:x>3,也是 q 成立的充分条件. 必要条件:如果 q 成立,那么 p 成立,即“q?p”,或者如果 p 不成立,那么 q 一定不成立, 也就是“若非 p 则非 q”,记作“¬p?¬q”,这是就说条件 p 是 q 的必要条件,意思是说条件 p 是 q 成立的必须具备的条件. 充要条件:如果既有“p?q”,又有“q?p”,则称条件 p 是 q 成立的充要条件,或称条件 q 是 p 成立的充要条件,记作“p?q”. 2.从集合角度看概念: 如果条件 p 和结论 q 的结果分别可用集合 P、Q 表示,那么 ①“p?q”,相当于“P?Q”.即:要使 x∈Q 成立,只要 x∈P 就足够了﹣﹣有它就行. ②“q?p”,相当于“P?Q”,即:为使 x∈Q 成立,必须要使 x∈P﹣﹣缺它不行. ③“p?q”,相当于“P=Q”,即:互为充要的两个条件刻画的是同一事物. 3. 当命题“若 p 则 q”为真时, 可表示为, 则我们称 p 为 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件. 这 里由,得出 p 为 q 的充分条件是容易理解的.但为什么说 q 是 p 的必要条件呢?事实上,与 “”等价的逆否命题是“”.它的意义是:若 q 不成立,则 p 一定不成立.这就是说,q 对于 p 是必不可少的,所以说 q 是 p 的必要条件. 4.“充要条件”的含义,实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是说,如果命 题 p 等价于命题 q,那么我们说命题 p 成立的充要条件是命题 q 成立;同时有命题 q 成立的 充要条件是命题 p 成立. 【解题方法点拨】 1.借助于集合知识加以判断,若 P?Q,则 P 是 Q 的充分条件,Q 是的 P 的必要条件;若 P=Q,则 P 与 Q 互为充要条件. 2.等价法:“P?Q”?“¬Q?¬P”,即原命题和逆否命题是等价的;原命题的逆命题和原命 题的否命题是等价的. 3.对于充要条件的证明,一般有两种方法:其一,是用分类思想从充分性、必要性两种情 况分别加以证明;其二,是逐步找出其成立的充要条件用“?”连接. 【命题方向】 充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系, 它是中学数学最重要的数学概念之 一,它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中,都会考查此类问题. 4.函数奇偶性的性质 【知识点的认识】 ①如果函数 f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x) =﹣f(x) ,那么函数 f(x)就叫做奇函数,其图象特点是关于(0,0)对称.②如果函数 f(x)的定义域关于原点对称,且定义域内任意一个 x,都有 f(﹣x)=f(x) ,那么函数 f (x)就叫做偶函数,其图象特点是关于 y 轴对称. 【解题方法点拨】 ①奇函数:如果函数定义域包括原点,那么运用 f(0)=0 解相关的未知量; ②奇函数:若定义域不包括原点,那么运用 f(x)=﹣f(﹣x)解相关参数; ③偶函数:在定义域内一般是用 f(x)=f(﹣x)这个去求解; ④对于奇函数,定义域关于原点对称的部分其单调性一致,而偶函数的单调性相反. 例题:函数 y=x|x|+px,x∈R 是( )
第 28 页(共 52 页)

A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶 D.与 p 有关 解:由题设知 f(x)的定义域为 R,关于原点对称. 因为 f(﹣x)=﹣x|﹣x|﹣px=﹣x|x|﹣px=﹣f(x) , 所以 f(x)是奇函数. 故选 B. 【命题方向】函数奇偶性的应用. 本知识点是高考的高频率考点,大家要熟悉就函数的性质,最好是结合其图象一起分 析,确保答题的正确率. 5.函数恒成立问题 【知识点的认识】 恒成立指函数在其定义域内满足某一条件(如恒大于 0 等) ,此时,函数中的参数成为 限制了这一可能性 (就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件) , 因此, 适当的分离参数能简化解题过程.例:要使函数 f(x)=ax^2+1 恒大于 0,就必须对 a 进行 限制﹣﹣令 a≥0,这是比较简单的情况,而对于比较复杂的情况时,先分离参数的话做题较 简单 【解题方法点拨】 一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题,常用的方法是分离参变量和求导. 2 例:f(x)=x +2x+3≥ax, (x>0)求 a 的取值范围. 解:又题意可知:a≤ 即 a≤x+ +2 ?a≤2 +2 【命题方向】 恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题, 它比较全 面的考查了导数的应用,突出了导数的工具性作用. 6.利用导数研究函数的单调性 【知识点的知识】 1、导数和函数的单调性的关系: (1)若 f′(x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数,f′(x)>0 的 解集与定义域的交集的对应区间为增区间; (2)若 f′(x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减函数,f′(x)<0 的 解集与定义域的交集的对应区间为减区间. 2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤: (1)确定 f(x)的定义域; (2)计算导数 f′(x) ; (3)求出 f′(x)=0 的根; (4)用 f′(x)=0 的根将 f(x)的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内 f′(x) 的符号,进而确定 f(x)的单调区间:f′(x)>0,则 f(x)在对应区间上是增函数,对应 区间为增区间;f′(x)<0,则 f(x)在对应区间上是减函数,对应区间为减区间. 【典型例题分析】
第 29 页(共 52 页)

恒成立

题型一:导数和函数单调性的关系 典例 1:已知函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为( ) A. (﹣1,1)B. (﹣1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)D. (﹣∞,+∞) 解:设 g(x)=f(x)﹣2x﹣4, 则 g′(x)=f′(x)﹣2, ∵对任意 x∈R,f′(x)>2, ∴对任意 x∈R,g′(x)>0, 即函数 g(x)单调递增, ∵f(﹣1)=2, ∴g(﹣1)=f(﹣1)+2﹣4=4﹣4=0, 则由 g(x)>g(﹣1)=0 得 x>﹣1, 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) , 故选:B 题型二:导数很函数单调性的综合应用 典例 2:已知函数 f(x)=alnx﹣ax﹣3(a∈R) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2) )处的切线的倾斜角为 45°,对于任意的 t∈[1, 2],函数 范围; (Ⅲ)求证: 解: (Ⅰ) (2 分) . 在区间(t,3)上总不是单调函数,求 m 的取值

当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],减区间为[1,+∞) ; 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为[1,+∞) ,减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数(4 分) (Ⅱ) ∴
2

得 a=﹣2,f(x)=﹣2lnx+2x﹣3 ,

∴g'(x)=3x +(m+4)x﹣2(6 分) ∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且 g′(0)=﹣2 ∴ 由题意知:对于任意的 t∈[1,2],g′(t)<0 恒成立,

所以有:

,∴

(10 分)

第 30 页(共 52 页)

(Ⅲ)令 a=﹣1 此时 f(x)=﹣lnx+x﹣3,所以 f(1)=﹣2, 由(Ⅰ)知 f(x)=﹣lnx+x﹣3 在(1,+∞)上单调递增, ∴当 x∈(1,+∞)时 f(x)>f(1) ,即﹣lnx+x﹣1>0, ∴lnx<x﹣1 对一切 x∈(1,+∞)成立, (12 分) ∵n≥2,n∈N*,则有 0<lnn<n﹣1, ∴ ∴

【解题方法点拨】 若在某区间上有有限个点使 f′(x)=0,在其余的点恒有 f′(x)>0,则 f(x)仍为增 函数(减函数的情形完全类似) .即在区间内 f′(x)>0 是 f(x)在此区间上为增函数的充 分条件,而不是必要条件. 7.利用导数研究曲线上某点切线方程 【考点描述】 利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点,它既可以考查学生求导能 力,也考察了学生对导数意义的理解,还考察直线方程的求法,因为包含了几个比较重要的 基本点,所以在高考出题时备受青睐.我们在解答这类题的时候关键找好两点,第一找到切 线的斜率; 第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点, 在知道斜率的情况下可以用点斜式 把直线方程求出来. 【实例解析】 例:已知函数 y=xlnx,求这个函数的图象在点 x=1 处的切线方程. 解:k=y'|x=1=ln1+1=1 又当 x=1 时,y=0,所以切点为(1,0) ∴切线方程为 y﹣0=1×(x﹣1) , 即 y=x﹣1. 我们通过这个例题发现,第一步确定切点;第二步求斜率,即求曲线上该点的导数;第三 步利用点斜式求出直线方程.这种题的原则基本上就这样,希望大家灵活应用,认真总结. 8.简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题,它是一 种重要的数学模型. 简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划, 其最优解可 以用数形结合方法求出.我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行 域,然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值. 【例题解析】 例:若目标函数 z=x+y 中变量 x,y 满足约束条件 .

(1)试确定可行域的面积; (2)求出该线性规划问题中所有的最优解. 解: (1)作出可行域如图:对应得区域为直角三角形 ABC,
第 31 页(共 52 页)

其中 B(4,3) ,A(2,3) ,C(4,2) , 则可行域的面积 S= = .

(2)由 z=x+y,得 y=﹣x+z,则平移直线 y=﹣x+z, 则由图象可知当直线经过点 A(2,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最小, 此时 z 最小为 z=2+3=5, 当直线经过点 B(4,3)时,直线 y=﹣x+z 得截距最大, 此时 z 最大为 z=4+3=7, 故该线性规划问题中所有的最优解为(4,3) , (2,3) 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型, 解这种题一律先画图, 把每条直线在同一 个坐标系中表示出来,然后确定所表示的可行域,也即范围;最后通过目标函数的平移去找 到它的最值. 【考点预测】 线性规划在实际中应用广泛,因此具有很高的实用价值,所以也成为了高考的一个热 点.大家在备考的时候,需要学会准确的画出可行域,然后会平移目标曲线. 9.其他不等式的解法 【知识点的知识】 不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法) . 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结) ,定解. 特例: ①一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

. (3)无理不等式:转化为有理不等式求解.

第 32 页(共 52 页)

(4)指数不等式:转化为代数不等式

(5)对数不等式:转化为代数不等式

(6)含绝对值不等式 ①应用分类讨论思想去绝对值; ②应用数形思想; ③应用化归思想等价转化.

注:常用不等式的解法举例(x 为正数) :

10.等差数列的通项公式 【知识点的认识】 等差数列是常见数列的一种, 数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,已知等差数列的首项 a1,公差 d,那么第 n 项为 an=a1+(n﹣1)d,或者已知第 m 项为 am,则第 n 项为 an=am+(n﹣m)d. 【例题解析】 2 eg1:已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n +1,求数列{an}的通项公式,并判断{an}是不是等差 数列 2 解:当 n=1 时,a1=S1=1 +1=2, 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +1﹣(n﹣1) ﹣1=2n﹣1, ∴an= ,

把 n=1 代入 2n﹣1 可得 1≠2,
第 33 页(共 52 页)

∴{an}不是等差数列 考察了对概念的理解, 除掉第一项这个数列是等差数列, 但如果把首项放进去的话就不 是等差数列,题中 an 的求法是数列当中常用到的方式,大家可以熟记一下. eg2:已知等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1,2a+1,a+7 则这个数列的通项公式为 解:∵等差数列{an}的前三项分别为 a﹣1,2a+1,a+7, ∴2(2a+1)=a﹣1+a+7, 解得 a=2. ∴a1=2﹣1=1,a2=2×2+1=5,a3=2+7=9, ∴数列 an 是以 1 为首项,4 为周期的等差数列, ∴an=1+(n﹣1)×4=4n﹣3. 故答案:4n﹣3. 这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质, 即等差中项的特点, 通过这个性质 然后解方程一样求出首项和公差即可. 【考点点评】 求等差数列的通项公式是一种很常见的题型, 这里面往往用的最多的就是等差中项的性 质,这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点. 11.等比数列的通项公式 【知识点的认识】 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比值等于同一个常数, 那么这个数列 叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0) .从等比数列的定 义看,等比数列的任意项都是非零的,公比 q 也是非零常数. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1?qn 3.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比 中项. G =a?b (ab≠0) 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am?q m, (n,m∈N*) . (2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n, (k,l,m,n∈N*) ,则 ak?al=am?an (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0) ,{a},{an?bn},仍是等比数 列. (4)单调性: 或 ?{an}是递增数列; 或? {an}是递
n﹣ 2
﹣1

减数列;q=1?{an}是常数列;q<0?{an}是摆动数列. 12.数列的求和 【知识点的知识】 就是求出这个数列所有项的和,一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比 数列等等,常用的方法包括: (1)公式法:

第 34 页(共 52 页)

①等差数列前 n 项和公式:Sn=na1+ n(n﹣1)d 或 Sn= ②等比数列前 n 项和公式:

③几个常用数列的求和公式:

(2)错位相减法: 适用于求数列{an×bn}的前 n 项和,其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列. (3)裂项相消法: 适用于求数列{ ( ) . }的前 n 项和,其中{an}为各项不为 0 的等差数列,即 =

(4)倒序相加法: 推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再 把它与原数列相加,就可以得到 n 个(a1+an) . (5)分组求和法: 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【典型例题分析】 典例 1:已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (Ⅰ)求 an 及 Sn; (Ⅱ)令 bn= (n∈N ) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
第 35 页(共 52 页)
*

分析:形如

的求和,可使用裂项相消法如:

. 解: (Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d, ∵a3=7,a5+a7=26, ∴ ,解得 a1=3,d=2,

∴an=3+2(n﹣1)=2n+1; Sn= =n +2n.
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an=2n+1, ∴bn= = = = ,

∴Tn= 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= .

=

=



点评:该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法,这也是数列求和当中常用的方法,就像 友情提示那样,两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和. 【解题方法点拨】 数列求和基本上是必考点, 大家要学会上面所列的几种最基本的方法, 即便是放缩也要 往这里面考. 13.向量的加法及其几何意义 【知识点的知识】 向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算,其运算法则有二: (1)三角形法则:设 与 不共线,在平面上任取一点 A(如图 1) ,依次作 则向量 叫做 与 的和,记作 ,即 + = + = =a, =b,

特征:首尾相接的几个有向线段相加,其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点.

第 36 页(共 52 页)

(2)平行四边形法则:如图 2 所示,ABCD 为平行四边形,由于 得 + = + =

=

,根据三角形法则 与 的和.

,这说明,在平行四边形 ABCD 中,所表示的向量就是

特征: 有共同起点的两个向量相加, 其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角 线. (首尾相接,结果为首尾)

(3)向量的加法性质 ① + = + = ; +(﹣ )= ; ② + = + ; ③( + )+ = +( + ) . 14.平面向量数量积的运算 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为①( ± ) = =
2 2 2

±2 ? +

2

.②( ﹣ ) ( + )



2

.③ ?( ? )≠( ? )? ,从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些

是相同的,有些不一样. 【例题解析】 例:由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn=nm”类比得到“ ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( ③“t≠0,mt=nt?m=n”类比得到“ ④“|m?n|=|m|?|n|”类比得到“| |=| |?| |”; )? = ”; ” )? = ? ”; ”;

⑤“(m?n)t=m(n?t)”类比得到“(

⑥“

”类比得到



以上的式子中,类比得到的结论正确的是 ①② .

解:∵向量的数量积满足交换律, ∴“mn=nm”类比得到“ ”,
第 37 页(共 52 页)

即①正确; ∵向量的数量积满足分配律, ∴“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 即②正确; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到“ 即③错误; ∵| |≠| |?| |, |=| |?| |”; ? ”, )? = ”,

∴“|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| 即④错误; ∵向量的数量积不满足结合律,

∴“(m?n)t=m(n?t)”不能类比得到“( 即⑤错误; ∵向量的数量积不满足消元律, ∴ ”不能类比得到 ,

)? =

”,

即⑥错误. 故答案为:①②. 向量的数量积满足交换律,由“mn=nm”类比得到“ 配律,故“(m+n)t=mt+nt”类比得到“( 元律,故“t≠0,mt=nt?m=n”不能类比得到“ “|m?n|=|m|?|n|”不能类比得到“| (n?t) ”不能类比得到“ ( )? = ”;向量的数量积满足分 ”;向量的数量积不满足消 ? ”;| |≠| |?| |,故

|=| |?| |”;向量的数量积不满足结合律,故“(m?n)t=m ) ? = ”; 向量的数量积不满足消元律, 故 ”

不能类比得到



【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握,这个知识点和三角函数联系比较多,也是一个常考 点,题目相对来说也不难,所以是拿分的考点,希望大家都掌握. 15.复数的代数表示法及其几何意义 【知识点的知识】 1、复数的代数表示法
第 38 页(共 52 页)

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内,x 轴叫做实轴,y 轴叫 做虚轴,x 轴的单位是 1,y 轴的单位是 i,实轴与虚轴的交点叫做原点,且原点(0,0) , 对应复数 0.即复数 z=a+bi→复平面内的点 z(a,b)→平面向量 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外,还要注意: (1)|z|=|z﹣0|=a(a>0)表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a; (2)|z﹣z0|表示复数 z 对应的点与复数 z0 对应的点之间的距离. 3、复数中的解题策略: (1)证明复数是实数的策略: ①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R) ;②z∈R?z=z. (2)证明复数是纯虚数的策略: ①z=a+bi 为纯虚数?a=0,b≠0(a,b∈R) ; ②b≠0 时,z﹣z=2bi 为纯虚数;③z 是纯虚数?z+z=0 且 z≠0. 16.复数代数形式的乘除运算 【知识点的知识】 1、复数的加、减、乘、除运算法则 .

2、复数加法、乘法的运算律

17.古典概型及其概率计算公式 【考点归纳】 1.定义:如果一个试验具有下列特征: (1)有限性:每次试验可能出现的结果(即基本事件)只有有限个; (2)等可能性:每次试验中,各基本事件的发生都是等可能的. 则称这种随机试验的概率模型为古典概型. *古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征,所以求 事件的概率就可以不通过大量的重复试验, 而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分 析和计算即可. 2.古典概率的计算公式
第 39 页(共 52 页)

如果一次试验中可能出现的结果有 n 个, 而且所有结果出现的可能性都相等, 那么每一个基 本事件的概率都是 ; 如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那么事件 A 的概率为 P(A) = = .

【解题技巧】 1.注意要点:解决古典概型的问题的关键是:分清基本事件个数 n 与事件 A 中所包含的基 本事件数. 因此要注意清楚以下三个方面: (1)本试验是否具有等可能性; (2)本试验的基本事件有多少个; (3)事件 A 是什么. 2.解题实现步骤: (1)仔细阅读题目,弄清题目的背景材料,加深理解题意; (2)判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件 A; (3)分别求出基本事件的个数 n 与所求事件 A 中所包含的基本事件个数 m; (4)利用公式 P(A)= 求出事件 A 的概率. 3.解题方法技巧: (1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率 (2)利用分析法求解古典概型. 18.几何概型 【考点归纳】 1.定义:若一个试验具有下列特征: (1)每次试验的结果有无限多个,且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示; (2)每次试验的各种结果是等可能的. 那么这样的试验称为几何概型. 2.几何概率:设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域 Ω,事件 A 所对应的区域 用 A 表示(A?Ω) ,则 P(A)= 称为事件 A 的几何概率.

19.离散型随机变量的期望与方差 【知识点的知识】 1、离散型随机变量的期望 数学期望:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 … … xn x1 x2 … … P pn p1 p2 则称 Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为 ξ 的数学期望,简称期望. 数学期望的意义: 数学期望离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量取值的 平均水平.

第 40 页(共 52 页)

平均数与均值:一般地,在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,令 p1=p2=…=pn,则 有 p1=p2=…=pn= ,Eξ=(x1+x2+…+xn)× ,所以 ξ 的数学期望又称为平均数、均值. 期望的一个性质:若 η=aξ+b,则 E(aξ+b)=aEξ+b. 2、离散型随机变量的方差; 方差:对于离散型随机变量 ξ,如果它所有可能取的值是 x1,x2,…,xn,…,且取这些值的 概率分别是 p1,p2,…,pn…,那么, 称 为随机变量 ξ 的均方差,简称为方差,式中的 Eξ 标准差:Dξ 的算术平方根 方差的性质: 是随机变量 ξ 的期望. . .

叫做随机变量 ξ 的标准差,记作

方差的意义: (1)随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; (2)随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳 定与波动、集中与离散的程度; (3)标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛. 20.计数原理的应用 【知识点的认识】 1.两个计数原理 (1)分类加法计数原理:N=m1+m2+…+mn (2)分步乘法计数原理:N=m1×m2×…×mn 2.两个计数原理的比较 分类加法计数原理 共同点 不同点 都是计数原理,即统计完成某件事不同方法种数的原理. 分类完成,类类相加

分步乘法计 数原理

分步完成, 步 步相乘 n 类方案相互独立,且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事n 个步骤相 互依存, 每步 依次完成才 算完成这件 事情 (每步中 的每一种方 法不能独立 完成这件事) 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依, 步 骤完整 【解题方法】 1.计数原理的应用
第 41 页(共 52 页)

(1)如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,使用分 类加法计数原理; (2)如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成, 那么计算完成这件事的方法数时,使用分步乘法计数原理. 2.解题步骤 (1)指明要完成一件什么事,并依事件特点确定是“分 n 类”还是“分 n 步”; (2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数; (3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数; (4)作答. 【命题方向】 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合 问题的基本思想方法. 常见考题类型: (1)映射问题 (2)涂色问题(①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色) (3)排数问题(①允许有重复数字②不允许有重复数字) 21.排列、组合的实际应用 【知识点的知识】 排列、组合的实际应用: 1.排列数、组合数问题: (1)排列组合恒等式的计算 (2)排列组合恒等式的证明 (3)解排列组合恒等方程 2.排队问题 (1)相邻问题 (2)不相邻问题 (3)定序问题 3.排数问题 (1)允许有重复数字的排数问题 (2)不允许有重复数字的排数问题 4.分组问题 (1)平均分组问题 (2)不平均分组问题 5.排列组合综合问题. 22.二项式定理的应用 【知识点的知识】 二项式定理的应用: (1)求特征项:先求通项公式,再求满足条件的 r; (2)求二项式系数及项的系数的问题: ①二次项系数:每项中的组合数 ②项的系数:除去变量以外的部分
第 42 页(共 52 页)

(3)证明组合恒等式问题:熟记组合数的各个性质; (4)整除、余数的问题:通常把底数适当地拆成两项之和或之差,再按二项式定理展开推 得所求结论; n (5)近似计算的问题:一般地,当 a 较小时, (1+a) ≈1+na *记清二项展开式的特点,熟记二项展开式的通项公式是正确应用二项式定理的关键. 23.程序框图 【知识点的知识】 1.程序框图 (1)程序框图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来 准确、直观地表示算法的图形; (2)构成程序框的图形符号及其作用 程序框 名称 功能 起止框 表示一个算法的起始和结束,是任何算法程序框图不可缺 少的.

输入、输出表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中任何需要 框 输入、输出的位置. 处理框 判断框 赋值、计算.算法中处理数据需要的算式、公式等,它们 分别写在不同的用以处理数据的处理框内. 判断某一条件是否成立,成立时在出口处标明“是”或“Y”; 不成立时在出口处标明则标明“否”或“N”. 算法进行的前进方向以及先后顺序

流程线

连结点 注释框

连接另一页或另一部分的框图 帮助编者或阅读者理解框图

(3)程序框图的构成. 一个程序框图包括以下几部分:实现不同算法功能的相对应的程序框;带箭头的流程线;程 序框内必要的说明文字. 24.类比推理 【知识点的认识】 1.类比推理:根据两个(或两类)对象在一些属性上相同或相似,从而推出它们在其他属 性上也相同或相似的推理形式. 2.类比推理的形式:

第 43 页(共 52 页)

3.特点:类比推理是一种主观的不充分的似真推理,要确认猜想的正确性,需经过严格的 逻辑论证.一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,则 类比得出的命题就越可靠. 【解题技巧点拨】 类比推理的步骤: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) . 例:请用类比推理完成下表:

解:本题由已知前两组类比可得到如下信息: ①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象; ②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象; ③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象; ④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象; ⑤三角形的面积公式中的“二分之一”,与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象. 由以上分析可知:

故第三行空格应填:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一. 【命题方向】 一般以选择题、填空题的形式出现,是高考的重要内容.常见题型有: (1)升级类比:平面到空间的类比; (2)同级类比:圆锥曲线之间的类比; (3)运算类比:等差与等比的类比. 25.正弦定理 【知识点的知识】 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 内容

余弦定理 =2R a =b +c ﹣2bccos A, 2 2 2 b =a +c ﹣2accos B,
第 44 页(共 52 页)
2 2 2

变形 形式

( R 是△ ABC 外接圆半径) ①a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; ②sin A= ,sin B= ,sin C= ;

c =a +b ﹣2abcos C cos A= ,

2

2

2

③a:b:c=sinA:sinB:sinC; ④asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin Acos B=



cos C= 解决 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条 ①已知三边,求各角; 三角 边; ②已知两边和它们的夹角,求第三边 形的 ②②已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他两角 问题 和其他两角 在△ ABC 中,已知 a,b 和角 A 时,解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形

a≥b 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a>b 解的个 一解 两解 一解 一解 数 由上表可知,当 A 为锐角时,a<bsin A,无解.当 A 为钝角或直角时,a≤b,无解. 2、三角形常用面积公式 1.S= a?ha(ha 表示边 a 上的高) ; 2.S= absin C=\frac{1}{2}acsin B=\frac{1}{2}bcsin A. 3.S=\frac{1}{2}r(a+b+c) (r 为内切圆半径) . 26.轨迹方程 【知识点的认识】 1.曲线的方程和方程的曲线 在平面内建立直角坐标系以后,坐标平面内的动点都可以用有序实数对(x,y)表示,这就 是动点的坐标.当点按某种规律运动形成曲线时,动点坐标(x,y)中的变量 x、y 存在着 某种制约关系,这种制约关系反映到代数中,就是含有变量 x、y 的方程. 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看做适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与 一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程就叫做曲线的方程,这条曲线就叫做方程的曲线. 2.求曲线方程的一般步骤(直接法)
第 45 页(共 52 页)

(1)建系设点:建立适当的直角坐标系,用(x,y)表示曲线上任一点 M 的坐标; (2)列式:写出适合条件 p 的点 M 的集合{M|p(M)}; (3)代入:用坐标表示出条件 p(M) ,列出方程 f(x,y)=0; (4)化简:化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点 【常用解法】 (1)直接法:根据题目条件,直译为关于动点的几何关系,再利用解析几何有关公式(如 两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等)进行整理、化简.这种求轨迹方程 的过程不需要特殊的技巧. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆 等) ,可用定义直接探求.关键是条件的转化,即转化为某一基本轨迹的定义条件. (3)相关点法:用所求动点 P 的坐标(x,y)表示已知动点 M 的坐标(x0,y0) ,即得到 x0=f(x,y) ,y0=g(x,y) ,再将 x0,y0 代入 M 满足的条件 F(x0,y0)=0 中,即得所求.一 般地,定比分点问题、对称问题可用相关点法求解,相关点法的一般步骤是:设点→转换→ 代入→化简. (4)待定系数法 (5)参数法 (6)交轨法. 27.双曲线的简单性质 【知识点的知识】 双曲线的标准方程及几何性质 标准方程 (a>0,b>0) 图形

(a>0,b>0)



焦点 焦距 范围 对称 顶点 轴 离心率 准线

F1(﹣c,0) ,F2( c,0) |F1F2|=2c |x|≥a,y∈R 关于 x 轴,y 轴和原点对称 (﹣a,0) . (a,0) 实轴长 2a,虚轴长 2b e= (e>1) x=±

F1(0,﹣c) ,F2(0,c) 2 2 2 a +b =c |y|≥a,x∈R (0,﹣a) (0,a)

y=±

第 46 页(共 52 页)

渐近线 质

± =0

± =0

28.直线与圆锥曲线的综合问题 【概述】 直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点,比方说求封闭面积,求距离,求他们的 关系等等, 常用的方法就是联立方程求出交点的横坐标或者纵坐标的关系, 通过这两个关系 的变形去求解. 【实例解析】 例:已知圆锥曲线 C 上任意一点到两定点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)的距离之和为常数,曲 线 C 的离心率 .

(1)求圆锥曲线 C 的方程; (2)设经过点 F2 的任意一条直线与圆锥曲线 C 相交于 A、B,试证明在 x 轴上存在一个定 点 P,使 的值是常数. (a>b>0) ,

解: (1)依题意,设曲线 C 的方程为 ∴c=1, ∵ ∴a=2, ∴ , ,

所求方程为



(2)当直线 AB 不与 x 轴垂直时,设其方程为 y=k(x﹣1) ,


2 2


2 2

得(3+4k )x ﹣8k x+4(k ﹣3)=0, 从而 设 P(t,0) ,则 = , ,

第 47 页(共 52 页)

当 解得 此时对?k∈R,





当 AB⊥x 轴时,直线 AB 的方程为 x=1, xA=xB=1, 对 , ,使 的值为常数 . , ,

即存在 x 轴上的点

这是一道符合高考命题思维的题型,一般命题思路都是第一问叫你求曲线的表达式; 第二问在求证某种特殊的关系, 像本题求证是个常数这是高考中非常喜欢考的一种形式. 我 们看看解答思路,第一问就是求 a、b、c 中的两个值即可;第二问先是联立方程,然后把我 们要证的这个关系转化为根与系数的关系,这也是常用的方法. 【考点分析】 必考题,也是难题,希望大家多总结,尽量去总结一下各种题型和方法,在考试的时 候,如果运算量大可以适当的放到最后做. 29.球的体积和表面积 【知识点的认识】 1.球体:在空间中,到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体,简称球.其中到 定点距离等于定长的点的集合为球面. 2.球体的体积公式 设球体的半径为 R, V 球体= 3.球体的表面积公式 设球体的半径为 R, S 球体=4πR . 【命题方向】 考查球体的体积和表面积公式的运用, 常见结合其他空间几何体进行考查, 以增加试题难度, 根据题目所给条件得出球体半径是解题关键. 30.直线与平面平行的判定 【知识点的知识】 1、直线与平面平行的判定定理: 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 用符 号表示为:若 a?α,b?α,a∥b,则 a∥α. 2、直线与平面平行的判定定理的实质是:对于平面外的一条直线,只需在平面内找到一条 直线和这条直线平行,就可判定这条直线必和这个平面平行.即由线线平行得到线面平行.
第 48 页(共 52 页)
2

31.直线与平面平行的性质 【知识点的知识】 1、直线和平面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和 交线平行. 用符号表示为:若 a∥α,a?β,α∩β=b,则 a∥b. 2、直线和平面平行的性质定理的实质是: 已知线面平行,过已知直线作一平面和已知平面相交,其交线必和已知直线平行.即由 线面平行?线线平行. 由线面平行?线线平行,并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行. 正确的结论是:a∥α,若 b?α,则 b 与 a 的关系是:异面或平行.即平面 α 内的直线分成 两大类,一类与 a 平行有无数条,另一类与 a 异面,也有无数条. 32.直线与平面所成的角 【知识点的知识】 1、直线和平面所成的角,应分三种情况:? (1) 直线与平面斜交时, 直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角; (2)直线和平面垂直时,直线和平面所成的角的大小为 90°;? (3)直线和平面平行或在平面内时,直线和平面所成的角的大小为 0°.? 显然,斜线和平面所成角的范围是(0, ) ;直线和平面所成的角的范围为[0, ].?

2、一条直线和一个平面斜交,它们所成的角的度量问题(空间问题)是通过斜线在平面内 的射影转化为两条相交直线的度量问题(平面问题)来解决的.具体的解题步骤与求异面直 线所成的角类似,有如下的环节:? (1)作﹣﹣作出斜线与射影所成的角;? (2)证﹣﹣论证所作(或找到的)角就是要求的角;? (3)算﹣﹣常用解三角形的方法(通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直 角三角形)求出角.? (4)答﹣﹣回答求解问题. 在求直线和平面所成的角时, 垂线段是其中最重要的元素, 它可起到联系各线段的纽带 的作用.在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想.? 3、斜线和平面所成角的最小性: 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的, 其中一条直线就是斜线本 身,另一条直线是斜线在平面上的射影.在平面内经过斜足的直线有无数条,它们和斜线都 组成相交的两条直线, 为什么选中射影和斜线这两条相交直线, 用它们所成的锐角来定义斜 线和平面所成的角呢?原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中,它是最小的 角.对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的,它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程 度”.根据线面所成的角的定义,有结论:斜线和平面所成的角,是这条斜线和这个平面内 的直线所成的一切角中最小的角. 33.与圆有关的比例线段
第 49 页(共 52 页)

【知识点的知识】 1、相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等. 2、割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 3、切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中 项. 4、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线, 它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的 夹角. 【解题方法点拨】 相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理,在与圆有关的问题 中经常用到,这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长,而圆周角定理、弦切角 定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系, 这两者的结合, 往往能综合讨论与圆 有关的相似三角形问题. 因此,在实际应用中,见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理;见到两条割线要想到割 线定理;见到切线和割线要想到切割线定理. 34.简单曲线的极坐标方程 【知识点的认识】 一、曲线的极坐标方程 定义:如果曲线 C 上的点与方程 f(ρ,θ)=0 有如下关系 (1)曲线 C 上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程 f(ρ,θ)=0; (2)以方程 f(ρ,θ)=0 的所有解为坐标的点都在曲线 C 上. 则曲线 C 的方程是 f(ρ,θ)=0. 二、求曲线的极坐标方程的步骤: 与直角坐标系里的情况一样 ①建系 (适当的极坐标系) ②设点 (设 M( ρ,θ)为要求方程的曲线上任意一点) ③列等式(构造△ ,利用三角形边角关系的定理列关于 M 的等式) ④将等式坐标化 ⑤化简 (此方程 f(ρ,θ)=0 即为曲线的方程) 三、圆的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为 r,ρ=r. (2)中心在 C(ρ0,θ0) ,半径为 r. 2 2 2 ρ +ρ0 ﹣2ρρ0cos(θ﹣θ0)=r . 四、直线的极坐标方程 (1)过极点,θ=θ0(ρ∈R) (2)过某个定点垂直于极轴,ρcosθ=a
第 50 页(共 52 页)

(3)过某个定点平行于极轴,rsinθ=a (4)过某个定点(ρ1,θ1) ,且与极轴成的角度 α,ρsin(α﹣θ)=ρ1sin(α﹣θ1) 五、直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图; 2、设点 M(ρ,θ)是直线上任意一点; 3、连接 MO; 4、根据几何条件建立关于 ρ,θ 的方程,并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求. 35.直线的参数方程 【知识点的认识】 直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 直线 y﹣y0=tan α(x﹣x0)

参数方程 (t 为参数)

圆 椭圆

(x﹣a) +(y﹣b) =r

2

2

2

(θ 为参数) (θ 为参数)

+ 双曲线 ﹣ 抛物线
2

=1(a>b>0)

=1

(θ 为参数)

y =2px(p>0) (t 为参数)

【解题思路点拨】 1.选取参数时的一般原则是: (1)x,y 与参数的关系较明显,并列出关系式; (2)当参数取一值时,可唯一的确定 x,y 的值; (3)在研究与时间有关的运动物体时,常选时间作为参数;在研究旋转物体时,常选用旋 转角作为参数;此外,也常用线段的长度、倾斜角、斜率、截距等作为参数. 2.求曲线的参数方程常常分成以下几步: (1)建立直角坐标系,在曲线上设任意一点 P(x,y) ; (2)选择适当的参数; (3)找出 x,y 与参数的关系,列出解析式; (4)证明(常常省略) . 3.根据直线的参数方程标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论: (1)若 M1,M2 为 l 上任意两点,M1,M2 对应 t 的值分别为 t1,t2,则|M1M2|=|t1﹣t2|; (2)若 M0 为线段 M1M2 的中点,则有 t1+t2=0;

第 51 页(共 52 页)

(3)若线段 M1M2 的中点为 M,则 M=tM= 比为 λ,则 tP= .

.一般地,若点 P 分线段 M1M2 所成的

4.直线的参数方程的一般式
2 2

(t 为参数) ,是过点 M0(x0,y0) ,斜率为的直线

的参数方程. 当且仅当 a +b =1 且 b≥0 时, 才是标准方程, t 才具有标准方程中的几何意义. 将

非标准方程

化为标准方程是

(t′∈R) ,式中“±”号,当 a,

b 同号时取正;当 a,b 异号时取负. 5.参数方程与普通方程互化时,要注意: (1)不是所有的参数方程都能化为普通方程; (2)在化参数方程为普通方程时变量的范围不能扩大或缩小; (3)把普通方程化为参数方程时,由于参数选择的不同而不同,参数的选择是由具体的问 题来决定的. 6.在已知圆、椭圆、双曲线和抛物线上取一点可考虑用其参数方程设定点的坐标,将问题 转化为三角函数问题求解. 7.在直线与圆和圆锥位置关系问题中,涉及距离问题探求可考虑应用直线参数方程中参数 的几何意义求解. 8.在求某些动点的轨迹方程时,直接寻找 x,y 的关系困难,甚至找不出时,可以通过引入 参数,建立动点的参数方程后求解.

第 52 页(共 52 页)


相关文档

更多相关文档

2016年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)
2016年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2014年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)
2016年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)
2016年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)
2016年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)
2016年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)
2016年广东省揭阳市高考数学一模试卷(理科)
2017年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2016年辽宁省大连市高考数学一模试卷(理科)
2016高考数学必会22种方法
2016年高考数学(理科)考点解析及考点分布表
2016年高考数学模拟试题(全国新课标卷)
2016届高考数学总知识点知识点总结精华版
2016年高考数学模拟试题(全国新课标卷)
电脑版