数学选修2-1测试题


龙里中学 2011—2012 学年度第一学期高二数学单元测试题
命题范围: 第Ⅰ卷(选择题
选修 2-1 共 60 分)

一、选择题: (共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)在下列各小题的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.请将选项前的字母填入下表相应的空格内. 1.给出命题:p: 3 ? 1 ,q: 4 ?{2,3} ,则在下列三个命题: “p 且 q” “p 或 q” “非 p”中,真命题 的个数为( A.0 ) B.3 C.2 D.1 )

5 3 2.若椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0) ,且椭圆过点 ( ,? ) ,则椭圆方程是( 2 2
2 2 A. y ? x ? 1

2 2 2 2 2 2 B. y ? x ? 1 C. y ? x ? 1 D. x ? y ? 1 10 6 4 8 8 4 10 6 3.“m=-2”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.给出下列三个命题:①若 a ? b ? ?1 ,则 a ? b ;②若正整数 m 和 n 满足 m ? n ,则 m(n ? m) ? n ;
1? a 1? b

2

③设 P( x1 , y1 ) 为圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 9 上任一点, 圆 O2 以 Q(a, b) 为圆心且半径为 1. 当 (a ? x1 ) 2 ? (b ? y1 ) 2 ? 1 时,圆 O1 与圆 O2 相切;其中假命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 5.双曲线 x ? y ? ?1 的渐近线方程是(
2 2

D.3

) C. y ? ?

4

9

A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ?

2 x 3

9 x 4

D. y ? ?

4 x 9

6.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 2 2 7.如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是 ( ) A. (0,+∞) B. (0,2) C. (1,+∞) D. (0,1) 8.已知向量 a ? ( 2,?3,5) 与向量 b ? (?4, x, y ) 平行,则 x,y 的值分别是( )

A.6 和-10 B.–6 和 10 C.–6 和-10 D.6 和 10 9.已知 ABCD 是平行四边形,且 A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点 D 的坐标为( A. (1,1,-7) B. (5,3,1) C. (-3,1,5) D. (5,13,-3) 3 x ? 4 y ? 6 10.方程 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 表示的曲线为( ) 5 A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.圆 11. 已知双曲线方程为 x 2 ?



y2 过 P(2,?1) 的直线 L 与双曲线只有一个公共点, 则直线 L 的条数共有 ( ) ? 1, 4 A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 12.有 4 个命题: (1)没有男生爱踢足球; (2)所有男生都不爱踢足球; (3)至少有一个男生不爱踢足球; (4)所有女生都爱踢足球;其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是( ) A. (1) B. (2) C. (3) D. (4)
-1-

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)请将答案直接添在题中的横线上. 13.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的离心率为_ a2 b2

__。

14.直线 l 过抛物线 x ? ay2 (a>0)的焦点,并且与 x 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a= 15. 已知下列命题 ( a , b, c 是非零向量) (1) 若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; (2) 若 a ? b ? k ,则 a ?



k ; (3) b

(a ? b)c ? a(b ? c) 。 则假命题的个数为___________。
16.已知向量 OA ? (k ,12,1), OB ? (4,5,1), OC ? (?k ,10,1) ,且 A、B、C 三点共线,则 k= 三、解答题: (共 6 小题,共 70 分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 10 分)如果正△ABC 中,D∈AB,E∈AC,向量 DE ? 线的离心率. .

1 BC ,求以 B,C 为焦点且过点 D,E 的双曲 2

18. (本小题満分 12 分) 设 p :指数函数 y ? c 在 R 上是减函数;q: 1 ? 2c ? 0 。若 p∨q 是真命题,
x

p∧q 是假命题,求 c 的取值范围。

-2-

19. (本小题満分 12 分)已知一条曲线上的每个点 M 到 A(1,0)的距离减去它到 y 轴的距离差都是 1. (1)求曲线的方程; (2)讨论直线 y=kx+1 (k∈R)与曲线的公共点个数.

20. (本小题満分 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别 是 BB1、CD 的中点. (Ⅰ)证明 AD⊥D1F; (Ⅱ)求 AE 与 D1F 所成的角; (Ⅲ)证明面 AED⊥面 A1FD1;

-3-

21. (本小题満分 12 分) 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0) ,右顶点为 ( 3,0) 。 (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 ,求 k 的取值范围。 OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点)

22. (本小题満分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD,AB= 3 ,BC=1,PA=2,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ)在侧面 PAB 内找一点 N, 使 NE⊥面 PAC,并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离.

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参考答案
一、选择题 DDBBA CDADA 二、填空题 13.e1, e2; 14.4; 三、解答题 17.解: 3 ? 1 18.解:∵p∨q 是真命题,p∧q 是假命题, ∴p 真 q 假 或 q 假 p 真 15.3; CC 16. ?

2 3

? p :指数函数 y ? c x 在 R 上不是减函数,即增函数; ? q:1 ? 2c ? 0
?0<c<1, ?c>1, ? ? ∴? 1 或? 1 c? c? ? ? ? 2 ? 2

所以 c 的取值范围是 ?c 0 ? c ?

? ?

1 ? 或c>1? 2 ?
-|x|=1,

19.解: (1)设点 M(x,y)是曲线上任意一点,则

( x ? 1) 2 ? y 2

化简得:y2=2x+2|x| 所求曲线的方程.C1:当 x?0 时, y2=4x;C2:当 x<0 时,y=0. (2)直线 y=kx+1 过定点(0,1) , 2 2 y=kx+1,与 y =4x 联列:ky -4y+4=0, ?=16-16k 当 k=0 时,直线与 C1 有一个公共点,而与 C2 没有公共点,共 1 个公共点; 当 k=1 时, ?=0,直线与 C1 和 C2 各一个公共点,共 2 个公共点; 当 0<k<1 时,?>0,直线与 C1 有 2 个公共点,和 C2 一个交点,共 3 个公共点; 当 k<0 时,?>0,直线与 C1 有两个公共点,和 C2 没有公共点,共 2 个公共点;
-5-

当 k>1 时, ?<0,直线与 C1 没有公共点,和 C2 有 1 个公共点,共 1 个公共点; 所以:当 k=0,或 k>1 时,直线与曲线有 1 个公共点; 当 k=1,或 k<0 时,直线与曲线有 2 个公共点; 当 0<k<1 时,直线与曲线有 3 个公共点. 20.解: (Ⅰ)设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
2 2

(a ? 0, b ? 0).

x2 ? y 2 ? 1. 由已知得 a ? 3, c ? 2, 再由a ? b ? 2 , 得b ? 1. 故双曲线 C 的方程为 3
2 2

(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3

2 ? ?1 ? 3k ? 0, 由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 2 2 2 ? ?? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

2 即k ?

1 且k 2 ? 1. 3

① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则

xA ? xB ?

6 2k ?9 , xA xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

而 xA xB ? yA yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ?1) xA xB ? 2k ( xA ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1


3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 于是 2 2 3 3k ? 1 3k ? 1
由①、②得

1 ? k 2 ? 1. 3

故 k 的取值范围为 (?1, ?

3 3 ) ? ( ,1). 3 3

21. (Ⅰ) AD ? (?1,0,0), D1 F ? (0, 1 ,?1), AD ? D1 F ? 0 , ∴AD⊥D1F

2

(Ⅱ) AE ? (0,1, ), AE ? D1 F ? 0 ∴AE⊥D1F, AE 与 D1F 所成的角为 900 (Ⅲ)由以上可知 D1F⊥平面 AED, ∴面 AED⊥面 A1FD1; 22. (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A、B、C、D、P、E 的坐标为 A(0,0,0) 、 B( 3 ,0,0) 、C( 3 ,1,0) 、D(0,1,0) 、

1 2

-6-

P(0,0,2) 、E(0,

1 ,1 ) ,从而 AC ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0,?2). 2

设 AC与PB 的夹角为θ ,则 cos ?

?

| AC ? PB | | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 . 14
1 ,1 ? z ) ,由 NE⊥面 2

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为(x,O,z) ,则 NE ? (? x, PAC 可得,
? ? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. 1 ? ? z ? 1 ? 0, ?(? x, 2 ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? ? 即? 化简得? 1 ? 3 x ? ? 0. ?(? x, 1 ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ? 2 ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

即 N 点的坐标为 (

3 3 . ,0,1) ,从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1, 6 6

-7-


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