平面向量经典练习题 非常好



平面向量练习题
一、选择题: 1.已知平行四边形 ABCD,O 是平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, OA ? a , OB ? b , OC ? c , 则向量 OD 等于 A. a + b + c (A)5 ( ) B. a + b - c C. a - b + c D. a - b - c ? ? ? ? ? ? o 2.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于( (B)4 (C)3

)

(D)1

3.设 a,b 是两个非零向量.下列正确的是( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

)

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
3? 4.已知→=(sinθ, 1+cosθ),→=(1, 1-cosθ),其中 θ∈(π, ),则一定有 a b 2 →∥→ →⊥→ →与→夹角为 45° A. a b B. a b C. a b D.|→|=|→| a b ( )

π 5.已知向量→=(6,-4),→=(0,2),→=→+?→,若 C 点在函数 y=sin x 的图象上,实数?=( a b c a b 12 5 3 5 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2



??? ? ??? ? ???? ? AB ? (k ,1), AC ? (2, 4) ,若 AB ? 10 ,则△ABC 是直角三角形的概率为( 6. 已知 k ? Z ,
A.



1 7

B.

2 7

C.

3 7

D.

4 7
)

? x π? ? π ? ? 7.将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( 3 6? 4 ? ? ? ?x π? ?x π? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ?x π ? ?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ? 3 12 ?

8.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点, AM=1,点 P 在 AM 上且满足 ( ) (A)

? ? ??? ? 2 ?PM ,则 ??? ? (??? ? ????) 等于 ?? PA PB PC AP

4 4 (D) ? 3 9 ??? ??? ??? ? ? ? 9.已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么( ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? ???? A. AO ? OD B. AO ? 2OD C. AO ? 3OD D. 2AO ? OD
(B) (C) ? 10.△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 CB = a , CA = b ,

4 9

4 3



??? ?

??? ?

??? ? b = 2, 则 CD =(

a =1,



2 2 4 4 1 1 3 3 a+ b (B) a + b (C) a + b (D) a + b 3 5 5 3 ? 3 ? 3 5 5 ? ? ? ? ? 2 11.已知 | a |? 2 | b |? 0 ,且关于 x 的方程 x ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根,则 a 与 b 的夹角的取值范围是 (
(A)

)

1

A.[0,

? ] 6

B. [

?
3

,? ]

C. [

? 2?
3 , 3

]

D. [

?
6

,? ]

12. 设非零向量 a = ( x,2 x) , b ? (?3x,2) ,且 a, b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是(
?4 (A) ?? ?, 0? (B) ? , 0? ?3



? 1? ? 1 ?4 ?4 (C) ?? ?, 0? ? ? , 0? (D) ? ? ?, ? ? ? ? ? , 0? ? ? , ? ? ? ? 3? ? 3 ?3 ?3 ?

13.已知点 O 、N 、P 在三角形 ABC 所在平面内, OA = OB = OC , NA ? NB ? NC ? 0 , 且 则 PA? PB = PB ? PC = PC ? PA 则点 O 、 N 、 P 依次是三角形 ABC 的( ) (A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心 (C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心 ??? ??? ???? ? ? 14.设 A(a,1) , B(2, b) , C (4,5) 为坐标平面上三点, O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影 相同,则 a 与 b 满足的关系式为( ) (A) 4a ? 5b ? 3 (B) 5a ? 4b ? 3 (C) 4a ? 5b ? 14 (D) 5a ? 4b ? 14 ?? 15. 上海理 14) ( 在直角坐标系 xOy 中,i, j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量, 若直角三角形 ABC 中, ??? ? ? ? ??? ? ? ? ) AB ? 2i ? j , AC ? 3i ? k j ,则 k 的可能值有(
A、1 个 二、填空题: B、2 个 C、3 个 D、4 个 16.四边形 ABCD 中, AB ? ?1, 2? , BC ? ? ?4, ?1? , CD ? ? ?5, ?3? 则四边形 ABCD 的形状是 17.已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为____
? ?? ? ?? 1 3 ?S? , OF, FQ 夹角 ? 的取值范围是_________ 则 2 2 ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 19.若 O 是 ? ABC 所在平面内一点,且满足 OB ? OC ? OB ? OC ? 2OA ,则 ? ABC 的形状为_ ___ ??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? | AP | ? 20 若 D 为 ?ABC 的边 BC 的中点,?ABC 所在平面内有一点 P , 满足 PA ? BP ? CP ? 0 , ??? ? ? , 设 | PD | 则 ? 的值为__

??? ?

??? ?
?

??? ?

? ?

?

? ?

? ? ?

18.已知 ?OFQ 的面积为 S , OF ? FQ ? 1 , 且 若

? ?? ? ??

21 下列命题中:① a? ( b ? c ) ? a? b ? a? c ;② a? ( b ? c ) ? ( a? b ) ? c ;③ ( a ? b )2 ?| a |2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?2 ?2 | a | ? | b | ? | b |2 ;④ 若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 ;⑤若 a ? b ? c ? b, 则 a ? c ;⑥ a ? a ;
? ? ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 a ?b b ⑦ ? 2 ? ? ;⑧ (a ? b)2 ? a ? b ;⑨ (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 。其中正确的是_____ a a
?

?

?

?

? ?

? ?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

22 函数 y ? sin 2 x 的图象按向量 a 平移后, 所得函数的解析式是 y ? cos2 x ? 1 , a =________ 则 ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 23.设 a, b 是两个不共线的向量, AB ? 2a ? kb, CB ? a ? 3b, CD ? 2a ? b ,若 A, B, D 三点共线,则 k 的值为 ____________________. 24.已知 a =4, b =3, (2a ? 3b)?(2a ? b) =61.在 ? ABC 中, AB = a , CA = b , 则 ? ABC 的内角 A 的度数 是 .
2 2
2

?

?

?

?

?

? ?

??? ? ?

??? ? ?

25.设向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a| ? | b | +|c| 的值是

.

三、解答题:

2

26.已知向量 m ? ( a ? sin ? ,? ) , n ? ( , cos ? ) . (1)当 a ?
? ? 2 ,且 m ? n 时,求 sin 2? 的值; 2
?

?

1 2

?

1 2

(2)当 a ? 0 ,且 m ∥ n 时,求 tan ? 的值.

?

27.已知 A.B.C 是△ABC 的三个内角,向量向量 m=(-1,√3) ,n=(cosA,sinA) ,且 m·n=1 (1)求角 A (2)若(1+sin2B)/(cos?B-sin?B)=-3,求 tanC

28. 已知→=(cosx+sinx,sinx),→=(cosx-sinx,2cosx). a b →与向量→不可能平行; (1)求证:向量 a b ?? (2)若 f(x)=→· ,且 x∈[- , ]时,求函数 f(x)的最大值及最小值. a → b 44

29. (已知 a 、 b 是两个不共线的向量,且 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ). (1)求证: a + b 与 a - b 垂直; (2)若 ? ∈( ?

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?
4 4 ,

) ?= ,

? ? ? ,且| a + b | = 4

16 ,求 sin ? . 5

30.如图,向量 AB=(6,1) ,BC=(x,y),CD=(-2,-3) ,
1) 若向量 BC‖ DA,求 x 与 y 的关系式; 2) 若满足(1)且又有向量 AC⊥ BD,求 x、y 的值及四边形 ABCD 的面积。

3

31. 设 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b , b2 ) , 定 义 一 种 向 量 积 : a ? b ? (a1b1 , a2b2 ) 1

。已知点

1 ? p(? , s i n ) m ? ( 2, ) n ? ( ,0) ,点 Q 在 y ? f (x) 上运动,满足 OQ ? m ? OP ? n (其中 O 为 ? 3 2 坐标原点) ,求 y ? f (x) 的最大值及最小正周期分别是多少?

32.已知向量 a=

(c os

3 3 1 1 x, sin x ) 2 2 ,b= (c os x,- sin x) ,且 x∈[0,π /2],求 : 2 2

(1)a· 及 a· 的模; b b (2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值是-3/2,求实数 λ 的值

33. 设函数 f (x)=a · 其中向量 a=(2cosx , 1), b=(cosx, 3 sin2x), x∈R. b, (1) f(x)=1- 3 且 x∈[- 若

? , 3

? ? ],求 x; (2)若函数 y=2sin2x 的图象按向量 c=(m , n) ( m ﹤ )平移后得到函数 y=f(x)的图象,求实 3 2
数 m、n 的值.

34 设 G、H 分别为非等边三角形 ABC 的重心与外心,A(0,2),B(0,-2)且 GH ? ? AB (λ ∈R).(Ⅰ) 求点 C(x, y)的轨迹 E 的方程; (Ⅱ) 过点(2, 0)作直线 L 与曲线 E 交于点 M、 两点, OP ? OM ? ON , N 设 是否存在这样的直线 L,使四边形 OMPN 是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.

4


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