等比数列的性质的经典总结


等比数列的性质总结
1. 等比数列的定义: 2. 通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
从而得 q
n?m

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

推广: an ? amqn?m ,

?

an . am

3. 等比中项
(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.即: A ? ab 或 A ? ? ab 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数)
2

(2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1

4. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式:
(1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 . (2) q ? 1 时,S n ? 当

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q a a ? 1 ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ( A, B, A ', B ' 为常数) ' 1? q 1? q 1? q

5. 等比数列的判定方法
(1)定义法:对任意的 n ,都有 an ?1 ? an q或

an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } 为等比数列. an

(2)中项公式法: an 2 ? an?1an?1 ( an ?1an ?1 ? 0) ? {an } 为等比数列. (3) 通项公式法: an ? A ? B (4) 前 n 项和公式法: Sn ? 等比数列
n

? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列

a1 n a q ? 1 ? A ? A ? B n或Sn ? A ' B n ? A ' ? A, B, A ', B ' 为常数? ? {an } 为 q ?1 q ?1

6. 等比数列的证明方法
依据定义:若

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7. 注意
(1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基 本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项; an ? a1q n?1
1

如奇数个数成等比,可设为…,

a a ; , , a, aq, aq 2 …(公比为 q ,中间项用 a 表示) q2 q

8. 等比数列的性质
(1)当 q ? 1 时 ①等比数列通项公式 an ? a1q
n ?1

?

a1 n q ? A ? B n ? A ? B ? 0 ? 是关于 n 的带有系数的类指数函数,底数为公比 q . q

②前 n 项和 Sn ?

a1 ?1 ? q n ? 1? q
?

?

a1 ? a1q n a a ? 1 ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ,系数和常数项是互为相反 1? q 1? q 1? q

数的类指数函数,底数为公比 q (2)对任何 m, n ? N ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m ,特别的,当 m ? 1 时,便得到等比数列的通项公式.因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3)若 m ? n ? s ? t ( m, n, s, t ? N ),则 an ? am ? as ? at .特别的,当 m ? n ? 2k 时,得 an ? am ? ak 2
?

注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ??? (4)数列 {an } , {bn } 为等比数列,则数列 {

a k } , {k ? an } , {an k } , {k ? an ? bn } { n } (k 为非零常数) 均为等比数列. bn an

(5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N ) 项取出一项( am , am?k , am?2k , am?3k , ??? )仍为等比数列.
?

(6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列. (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列. (8)若 {an } 为等比数列,则数列 a1 ? a2 ????? an , an?1 ? an?2 ????? a2n , a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列

a1 ? 0,则{an }为递增数列 (9)①当 q ? 1 时, a1 ? 0,则{an }为递减数列

{

a1 ? 0,则{an }为递减数列 ②当 0 ? q ? 1 时, a1 ? 0,则{an }为递增数列

{

③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列). ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中, 当项数为 2n (n ? N )时,
*

S奇 1 ? . S偶 q
n

(11)若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 Sn?m ? Sn ? q ? Sm
2

注意:解决等比数列问题时,通常考虑两类方法: ①基本量法:即运用条件转化为关于 a1 和 q 的方程; ②巧妙运用等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

等比数列练习 一、选择题
1.已知数列 ? 1, a1 , a 2 ,?4 成等差数列, ? 1, b1 , b2 , b3 ? 4 成等比数列,则 A、 1
2

a2 ? a1 的值为( b2

)

B、— 1
2

C、 1 或— 1
2
2

D、 1
4

2

2.等比数列 {an } 中, an ? 0, a1 , a99 为方程 x ? 10 x ? 16 ? 0 的两根,则 a20 ? a50 ? a80 的值为(



A. 32 B. 64 C. 256 D. ?64 3.已知-9,a1,a2,-1 四个实数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列,则 b2(a2-a1)=( 9 A.8 B.-8 C. ?8 D. 8 4.某数列既成等差数列也成等比数列,那么该数列一定是 ( ) A.公差为 0 的等差数列; B.公比为 1 的等比数列; C.常数数列 1,1,1…; D.以上都不对. 5.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a5a6 ? a4 a7 =18,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ?? log3 a10 =( A.12 B.10 C.8 D.2+ log3 5 )



6.已知 S n 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S1 , S 2 , S 4 成等比数列,则 A. 4 B. 6 C.8 D.10

a 2 ? a3 等于( a1



7.公差不为零的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 是 a3 与 a7 的等比中项, S10 ? 60, 则 S8 等于( A、28 B、32 C、36 D、40 ) D.2 或-2 ) 8.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S 4 ? 2S 2 ,则公比为( A.1 B.1 或-1 C.



1 1 或? 2 2

9.已知等比数列 ?an ? 的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为( A.15 B.17 C.19 D .21

10.设 {an } 是公比为正数的等比数列,若 a3 ? 4, a5 ? 16 ,则数列 {an } 的前 5 项和为( A.15 B.31 C.32 D.41



二、填空题
13.设等比数列{ an }的前 n 项和为 sn 。若 a1 ? 1, s6 ? 4s3 ,则 a4 =

3

14.已知等差数列 ?an ? 满足: a1 ? ?8, a2 ? ?6 。若将 a1 , a4 , a5 都加上同一个数,所得的三个数依次成等比数列, 则所加的这个数为 。 ___.

15.等比数列 ?an ? 的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则 ?an ? 的前 4 项和 S4 = 16.等比数列 ?an ? 的前 n 项和 S n = a ? 2 ? a ? 2 ,则 an =_______.
n

三、解答题
17.(1)在等差数列 {an } 中, a1 ? a6 ? 12, a4 ? 7 ,求 an 及前 n 项和 Sn ; (2)在等比数列 {an } 中, S 3 ?

7 198 , S6 ? , ,求 an . 2 2

18.为 了保护三峡库区的生态 环境,凡是坡度在 25°以上的坡荒地都要绿化造林。据初步统计,到 2012 年底库 区的绿化率只有 30%。计划从 2013 年开始加大绿化造林的力度,每年原来坡度在 25°以上的坡荒面积的 16%将 被造林绿化,但同时原有绿化面积的 4%还是会被荒化。设该地区的面积为 1,2012 年绿化 面积为 a1 ? 过一年绿化面积为 a2,…,经过 n 年绿化面积为 an?1 . (I)试写出 an?1与an 的关系式,并证明数列 {a n ?1 ? } 是等比数列; (II)问至少需要经过多少年努力,才能使库区的绿化面积超过 60%?

3 ,经 10

4 5

19.已知等比数列 {a n }满足 a3 ? 12, a8 ? (1)求数列 {an } 的通项公式 an ;

3 , 记其前 n 项和为 S n . 8
(2)若 S n ? 93, 求n.

20.在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 公比 q ? 0 ,设 bn ? log2 an ,且 b1 ? b3 ? b5 ? 6, b1b3b5 ? 0. (1)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (3)试比较 an 与 S n 的大小. (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 及数列 ?an ? 的通项公式;

21.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,S3 ? S6 ? 2S9 ,求公比 q 。

22.设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且 (3 ? m)S n ? 2man ? m ? 3(n ? N*) . 其中 m 为常数,且 m ? ?3, m ? 0.

4

(Ⅰ)求证 ?an ? 是等比数列; (Ⅱ)若数列 ?an ? 的公比 q ? f (m) ,数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , bn ? 求证 {

3 f (bn ?1 )( n ? N , n ? 2) , 2

1 } 为等差数列,并求 bn . bn

答案 一、选择题 1.A 2.B 3.B 二、填空题 13.3 14.-1 15. 三、解答题

4.B 5.B

6.C
n ?1

7.B 8.B 9.A

10.B

15 2

16. 2

17.解析: (1)数列 ?an ? 是等差数列,因此 a1 ? a6 ? a3 ? a4 ? 12 , 由于 a4 ? 7

? a3 ? 5,? d ? 2 ? an ? 5 ? (n ? 3) ? 2 ? 2n ? 1
又 a1 ? 1,? S n ? n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 2

S a1 (1 ? q 6 ) 7 a1 (1 ? q 3 ) 3 (2) S 3 ? ? 由 6 ? 1 ? q ? 28得q ? 3 S 6 ? 98 ? S3 2 1? q 1? q
所以 a1 ?

7 7 ? 3 n ?1 , an ? 26 26

18.解析:(I)设 2012 年坡度在 25°以上的坡荒地面积为 b 1,经过 n 年绿化造林后坡荒地面积为

bn?1 , 则an ? bn ? 1.
故an ?1 ? 96%an ? 16%bn ? 96%an ? 16%(1 ? an ) ? 80%an ? 16% ?
由 a n ?1 ?

4 4 an ? 5 25

4 4 4 4 4 a n ? , 得a n ?1 ? ? (a n ? ). 所以数列 5 25 5 5 5 4 4 1 4 {a n ?1 ? }是以 a1 ? ? ? 为首项 , 为公比的等比数列 . 5 5 2 5 4 1 4 n ( II ) 由 ( I ) 可 知 a n ?1 ? ? ? ( ) . 5 2 5

4 1 4 4 2 若 ? ? ( ) n ? 60%, 则( ) n ? . 5 2 5 5 5

4 2 4 16 10 2 4 3 64 2 因为 ? , ( )2 ? ? ? ,( ) ? ? , 5 5 5 25 25 5 5 125 5 4 256 250 2 4 5 1024 625 ? 2 2 ( )4 ? ? ? ,( ) ? 5 ? ? , 5 625 625 5 5 5 55 5 4 4 2 又y ? ( ) x 是减函数, 所以当n ? 5时, ( ) n ? . 5 5 5
19.解析: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q,则

故至少需要 5 年才能使库区的绿化面积超过 60%。

5

?a3 ? a1q 2 ? 12, ?a1 ? 48, ? ? ? 1 3 解得 ? 7 ?q ? 2 , ?a8 ? a1q ? , ? 8 ?
1 ? 48 ? ( ) n ?1 . 2 1 48[1 ? ( ) n ] a1 (1 ? q n ) 1 2 (2) S n ? ? ? 96[1 ? ( ) n ] 1 1? q 2 1? 2 1 n 由 S n ? 93, 得96[1 ? ( ) ] ? 93, 解得 n ? 5. 2
所以 a n ? a1 q
n ?1

20.解析 : (1)由已知 bn ?1 ? bn ? log2 且公差为 d ? log2 q.

an?1 ? log q 为常数.故数列 ?bn ? 为等差数列, an

(先求 q 也可)

(2)因 a1 ? 1, ? b1 ? log2 a1 ? 0 ,又 b1 ? b3 ? b5 ? 6 ? b3 ? 2 ,所以 b5 ? 0. 由?

?b3 ? b1 ? 2d ? 2, 9n ? n 2 ? b1 ? 4, d ? ?1 ? S n ? . 2 ? b5 ? b1 ? 4d ? 0

由?

?d ? log2 q ? ?1 1 ? a1 ? 16, q ? ? a n ? 2 5?n , n ? N * . 2 ?b1 ? log2 a1 ? 4

(3)因 a n ? 0, 当 n ? 9 时, S n ? 0 ,所以 n ? 9 时, an ? S n ; 又可验证 n ? 1,2 是时, an ? S n ; n ? 3,4,5,6,7,8 时, an ? S n . 21.解析:若 q ? 1 则 S3 ? 3a1,S9 ? 9a1,S6 ? 6a1

? 9a1 ? 2 ? 9a1 ? a1 ? 0
?矛盾

?q ? 1 ? a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q 9 ) ? ? 2? 1 1? q 1? q 1? q

? q 3 ( 2q 6 ? q 3 ? 1) ? 0 ?q ? 0 ? 2q 6 ? q 3 ? 1 ? 0 ? ( 2q 3 ? 1)( q 3 ? 1) ? 0

6

?q ? 1 ? 2q 3 ? 1 ? 0 ?q ? ?3 4 2

说明:此题易忽略 q ? 1 的情况,在等比数列求和时要分公比 q ? 1和q ? 1两种情况进行讨论。 22.解析: (Ⅰ)由 (3 ? m)S n ? 2man ? m ? 3得(3 ? m)S n?1 ? 2man?1 ? m ? 3 ,两式相减得

(3 ? m)an?1 ? 2man
m ? 0且m ? ?3, ?

…………3 分

an?1 2m , ∴{an}是等比数列 …………6 分 ? an m?3
2m , n ? N且n ? 2时 , ? m?3

(Ⅱ)b1=a1=1, q ? f (m) ?

bn ?

3 3 2bn?1 1 1 1 ……10 分 f (bn?1 ) ? ? , bn bn?1 ? 3bn ? 3bn?1 , ? ? 2 2 bn?1 ? 3 bn bn?1 3

∴{

1 1 } 是 1 为首项 为公差的等差数列 3 bn
…………14 分



1 n ?1 n ? 2 3 ? 1? ? ,? bn ? bn 3 3 n?2

7


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