2015-2016学年高中数学 第2章 第16课时 向量的减法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4


目标导航 1.理解相反向量的概念.(重点) 2.掌握向量减法的运算,理解其几何意义.(难点) 3.能够用向量减法法则及意义求向量的差.(重点)

1 新知识· 预习探究 知识点一 相反向量 阅读教材 P85“探究”及下面第四自然段内容,完成下列问题. (1)我们规定,与 a长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的 相反向量,记作-a. (2)-(-a)=a,a+(-a)=(-a)+a=0. (3)零向量的相反向量仍然是 0,即 0=-0.

【练习 1】 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)相反向量是共线向量.( √ ) (2)若 a、b 是相反向量,则 a+b=0.( × ) → 与向量BA → 是相反向量.( √ ) (3)向量AB

知识点二 向量的减法及其几何意义 阅读教材 P85 下面三自然段内容~P86,完成下列问题. (1)我们定义,a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上 这个向量的 相反向量. → → → → (2)如图,AB=a,AD=b,则AC=a+b,DB=a-b.

→ → → (3)已知 a,b,在平面内任取一点 O,作OA=a,OB=b,则BA 终点 终点 =a-b, 即 a-b 可以表示为从向量 b 的 , 指向向量 a 的 的 向量,这是向量减法的几何意义.

【思考】(1)已知不共线向量 a、b,你能说出 a+b 与 a-b 的几 何意义分别是什么吗? (2)在向量运算中 a+b=c+d,是否有 a-c=d-b 成立? 【提示】 (1)a+b 与 a-b 分别是以 a、 b 为邻边的平行四边形两 对角线所表示的向量. (2)成立.移项法则对向量等式也适用.

→ → → → → → -BA → -CB → =CA 答案:CA -CB-BA=BA-BA=0.

→ → → 【练习 2】 CA-BA-CB=__________.

2 新视点· 名师博客 1.向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算,可以灵活 转化,减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 2.两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得: 用平行四边形法则时,两个向量也是共起点,和向量是起点与它们 → ),而差向量是另一条对角线(DB → ),方 的起点重合的那条对角线(AC 向是从减向量指向被减向量;用三角形法则时,把减向量与被减向 量的起点相重合,则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终 点.

① 3.非零向量 a,b 的差向量的三角不等式 (1)当 a,b 不共线时 → =a,OB → =b, 如图①,作OA → -OB → =BA →. 则 a-b=OA (2)当 a,b 共线且同向时

② 若|a|>|b|,则 a-b 与 a,b 同向(如图②), 于是|a-b|=|a|-|b|.

③ 若|a|<|b|,则 a-b 与 a,b 反向(如图③), 于是|a-b|=|b|-|a|

④ (3)当 a,b 共线且反向时,a-b 与 a 同向,与 b 反向. 于是|a-b|=|a|+|b|(如图④).

3 新课堂· 互动探究 考点一 向量的加减法运算 → → → → 例 1 化简(AB-CD)-(AC-BD).

分析:利用向量加、减法的定义及相关运算律求解. 解析:方法一(统一成加法): → → → → (AB-CD)-(AC-BD) → → → → → → → → =AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD → → → → → → =AB+BD+DC+CA=AD+DA=0.

→ → → 方法二(利用OA-OB=BA): → → → → (AB-CD)-(AC-BD) → → → → → → → → =AB-CD-AC+BD=(AB-AC)-CD+BD → → → → → =CB-CD+BD=DB+BD=0. → → → 方法三(利用AB=OB-OA): 设 O 是平面内任意一点,则 → → → → → → → → (AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD → → → → → → → → =(OB-OA)-(OD-OC)-(OC-OA)+(OD-OB) → → → → → → → → =OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0.

点评:掌握向量加、减法的定义及向量加法的交换律、结合律 等基础知识,可以将杂乱的向量运算式有序化处理.进行向量的加 减运算时,常用的变形如下: → → → → (1)化减为加,即运用AB=-BA或AB+BA=0. → → → (2)转化为“顺次首尾相接的形式相加”,运用AB+BC=AC. → → → (3)转化为“同一点出发的两个向量的差”,运用OA-OB=BA → → → 或AB=OB-OA.

变式探究 1 (1)若 A,B,C,D 是平面内任意四点,则下列 式子正确的有( ) → → → → ①AB+CD=BC+DA; → → → → ②AC+BD=BC+AD; → → → → ③AC-BD=DC+AB. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 → → → → (2)已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且四边形 ABCD 为 平行四边形,则( ) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0

→ → → → → → → 解析:(1)①式可变形为AB-BC=DA-CD,即AB+CB=DA+ → → → → → → → DC,不恒成立;②式可变形为AC-AD=BC-BD,即DC=DC,故 → → → → → → 正确;③式可变形为AC-DC=AB+BD,即AD=AD,故正确.

→ → → → → → (2)如图 a-b=OA-OB=BA,c-d=OC-OD=DC,又四边 → → → → → → 形 ABCD 为平行四边形,则BA=CD,即BA-CD=0,所以BA+DC =0,即 a-b+c-d=0.故选 B. 答案:(1)C (2)B

考点二 用已知向量表示未知向量 例 2 如图,在五边形 ABCDE 中,若四边形 ACDE 是平行四 → → → → → 边形,且AB=a,AC=b,AE=c,试用 a,b,c 表示向量BD,BC, → → → BE,CD及CE.

分析:寻找图形中已知向量与所表示向量的关系,利用向量的 加法或减法来进行. 解析:∵四边形 ACDE 为平行四边形, → → → → → ∴CD=AE=c,BC=AC-AB=b-a. → → → → → → BE=AE-AB=c-a,CE=AE-AC=c-b, → → → ∴BD=BC+CD=b-a+c. 点评: 在解决这类问题时, 要注意向量加法、 减法和共线(相等) 向量的应用.当运用三角形法则时,要注意两向量首尾相接,当两 个向量起点相同时,可以考虑用减法. 事实上任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线的向量 → → → → → → 的和,即AM=AB+BM以及AB=NB-NA(M,N 是同一平面内任意 一点).

变式探究 2 如图,解答下列各题: → (1)用 a,d,e 表示DB; → (2)用 b,c 表示DB; → (3)用 a,b,e 表示EC; → (4)用 d,c 表示EC.

→ → → → → 解析:∵AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,EA=e, → → → → ∴(1)DB=DE+EA+AB=d+e+a. → → → → → (2)DB=CB-CD=-BC-CD=-b-c. → → → → (3)EC=EA+AB+BC=a+b+e. → → → → (4)EC=-CE=-CD-DE=-c-d.

考点三 向量加、减法运算在平面几何中的应用 例 3 如图所示,O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 的 → → → → 交点,设AB=a,DA=b,OC=c,求证:b+c-a=OA.

分析:

解析:方法一:∵四边形 ABCD 是平行四边形, → → ∴DA=CB, → → → → → ∴b+c=DA+OC=CB+OC=OB, → → → → → ∴b+c-a=OB-AB=OB+BA=OA.

方法二:∵四边形 ABCD 是平行四边形, → → ∴AB=DC, → → → → → → → ∴c-a=OC-AB=OC-DC=OC+CD=OD, → → → ∵DA=b,∴AD=-DA=-b, → → → → ∴OD=OA+AD=OA-b, → → ∴c-a=OA-b,即 b+c-a=OA.

点评:用几何法作两个向量的差应注意以下三点: (1)要求两向量有共同起点; (2)要弄清减向量与被减向量; (3)箭头指向被减向量.

变式探究 3 如图, 在任意四边形 ABCD 中, E, F 分别为 AD, → → → → BC 的中点,求证:AB+DC=EF+EF.

→ → → → 解析:∵EF=EA+AB+BF, → → → → EF=ED+DC+CF, → → → → 又EA与ED互为相反向量,BF与CF互为相反向量, → → → → ∴BF+CF=0,EA+ED=0. → → → → → → → → ∴EF+EF=ED+DC+CF+EA+AB+BF → → → → → → =(ED+EA)+DC+AB+(CF+BF) → → =AB+DC.

4 新思维· 随堂自测 → → → → → → → → → 1.AC可以写成①AO+OC; ②AO-OC; ③OA-OC; ④OC-OA. 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④

答案:D

→ → → → 2.化简AB+BD-AC-CD=( → → A.AD B.DA → C.BC D.0

)

答案:D

3.化简下列各式: → → → → → → → → → → ①AB-AC+BC;②AB+CA+BD-CD;③OA-OD-DA;④ → → → → NQ-PQ+MN-MP. 结果为零向量的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

答案:D

4.任给向量 a、b,则下列各项中正确的是( A.|a+b|=|a|+|b| B.|a-b|=|a|-|b| C.|a-b|≤|a|-|b| D.|a-b|≤|a|+|b|

)

答案:D

5.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AC 与 BD 交于 O 点, → → → → 则BA-BC-OA+OD=________.

→ → → → → → → → → → 解析:BA-BC-OA+OD=(BA-BC)-(OA-OD)=CA-DA → → → =CA+AD=CD. → 答案:CD

5 辨错解· 走出误区 易错点:错误使用向量的减法法则

【典例】 如图,已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 → A,B,C 的向量分别为 r1,r2,r3,求OD.

→ → → → → → → → 【错解】 因为OD=OC+CD, CD=BA=OB-OA, 所以OD= → → → OC+OB-OA=r3+r2-r1. 【错因分析】 错误地使用了向量的减法法则.

→ → → → → → → 【正解】 因为OD=OC+CD,CD=BA=OA-OB, → → → → 所以OD=OC+OA-OB=r3+r1-r2.


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